匀速圆周运动与力的正交分解法

第10点匀速圆周运动与力的正交分解法

对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，往往要进行力的正交分解．这种情况下建立的坐标系不是恒定不变的，而是在每一个瞬间建立坐标系，其坐标原点是做圆周运动的物体所在的位置，相互垂直的两个坐标轴中，一定有一个坐标轴的正方向沿着半径指向圆心．

图1

对点例题一细绳穿过一光滑、不动的细管，两端分别拴着质量为m和M的小球A、B.当小球A绕管子的中心轴转动时，A球摆开某一角度θ，此时A球到上管口的绳长为L，如图1所示．细管的半径可以忽略．试求：小球A的线速度．

解题指导设绳子的拉力为T，绳子与竖直方向的夹角为θ，小球A受力如图所示，把T沿水平和竖直方向正交分解，

由牛顿第二定律得：竖直方向：

T cosθ＝mg；

水平方向：

T sinθ＝m v2

L sinθ，

对于小球B有：T＝Mg. 联立各式解得：

v＝MgL

m sinθ.

答案MgL

m sinθ

图2

如图2所示，有一质量为m 的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内．已知小球与半球形碗的球心O 的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R ，求小球做圆周运动的速率及碗壁对小球的弹力．

答案 Rg sin θtan θ mg cos θ

解析 经分析知小球受重力G 和碗对它的弹力N .

由题图可知，小球做圆周运动的圆心为O ′，运动半径为r ＝R sin θ，

向心加速度沿水平方向指向圆心O ′.

如图，向心力为弹力N 的水平分力，

则F ＝N sin θ

竖直方向：N cos θ＝mg ，即N ＝mg cos θ

由F ＝m v 2r

得 N sin θ＝m v 2

R sin θ

解得v ＝Rg sin θtan θ