八年级数学竞赛例题专题讲解22：关于中点的联想(含答案)

(1)如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点，求证：OM⊥BC．
(2)如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转α(α为锐角)，M为线段AD的中点．
①求证：OM＝ BC；
②OM⊥BC是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
12．如图1，在△ABC中，点P为BC边的中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．
【例6】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高CH与△ABC的两条内角平分线AM，BN分别交于P，Q两点，PM，QN的中点分别为E，F，求证：EF∥AB．（全国初中数学联赛题）
解题思路：从图形的形成过程，逐步探索相应结论．将原问题分解为多个小问题．
A级
1．如图，若E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是____________．
10．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如图1，连接DE，设M为DE的中点．
(1)求证：MB＝MC；
(2)设∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图2的位置，试问：MB＝MC是否还成立?请说明理由．（江苏省竞赛试题）
11．已知△OAB，△OCD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以AB，AC为边分别向形外作正三角形ABD和正三角形ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，则∠MPN＝_________．（北京市竞赛试题）
4．如图，已知A为DE的中点，设△DBC，△ABC，△EBC的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）
10．如图，在△ABC中，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P，Q，求证：AP＝AQ．
11．在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；
A．S2＝ (S1＋S3)B．S2＝ (S3―S1)C．S2＝ (S1＋S3)D．S2＝ (S3―S1)
5．如图，在图形ABCD中，AB∥DC，M为DC的中点，N为AB的中点，则( )
A．MN＞ (AD＋BC) B．MN＜ (AD＋BC)
C．MN＝ (AD＋BC) D．无法确定MN与 (AD＋BC)的关系
6．如图，凸四边形ABCD的面积是a，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，那么图中的阴影部分的面积为( )
A． aB． aC． aD． a
（江苏省竞赛试题）
7．如图，在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE＝DF，过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于点P．求证：∠PAE＝∠PBF．（全国初中数学联赛试题）
B级
1．如图，正方形ABCD两条对角线相交于点E，∠CAD的平分线AF交DE于点G，交DC于点F，若GE＝24，则FC＝_________________．
2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别是AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点P，Q，且∠FPQ＝∠FQP，BD＝10，则AC＝_________．（重庆市竞赛试题）
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM，若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分的面积为________________．
（北京市中考试题）
5．A′，B′，C′Байду номын сангаасD′顺次为四边形ABCD的各边的中点，下面条件中使四边形A′B′C′D′为正方形的条件是（）
(1)如果把条件中的四边形ABCD依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH分别为_______________________；
(2)如果把结论中的平行四边形EFGH依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD应具备的条件是_______________________．（湖北省黄冈市中考试题）
A．8cm B．7cm C．6cm D．5cm
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE＝EG＝GB，AD＝18，BC＝32，则EF＋GH＝（）
A．40 B．48 C．50 D．56（泰州市中考试题）
第8题图 第9题图
9．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，M是BC的中点，求证：DM＝ AB．
专题 22 关于中点的联想
阅读与思考
线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连．
解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示：
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
(2009年河北省中考试题)
12．在六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，AB＋DE＝BC＋EF，A1，B1，D1，E1分别是边AB，BC，DE，EF的中点，A1D1＝B1E1．求证：∠CDE＝∠AFE．
8．如图，锐角△ABC中，作高BD和CE，过顶点B，C分别作DE的垂线BF和CG，求证：EF＝DG．
（全俄奥林匹克数学竞赛试题）
9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN＝90°，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求证：AD2＝ (AB2＋AC2)．（北京市竞赛试题）
图①图②图③
解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创造条件．
【例5】如图，以△ABC的AB，AC边为斜边向形外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD＝∠ACE，M是BC的中点，求证：DM＝EM．（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：显然△DBM不全等于△ECM，必须通过作辅助线，构造全等三角形证明DM＝EM．
例题与求解
【例1】如图，△ABC边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值为___________．(安徽省竞赛试题)
解题思路：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线，点P可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题．
(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；
(3)如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（营口市中考试题）
求证：CD＝2EC．(宁波市竞赛试题)
解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．
【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，PD＝PB，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．
2．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为_______________．(重庆市竞赛试题)
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，若BC＝16，DE＝5，则AD＝______________．（南京市中考试题）
A．四边形ABCD是矩形B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是等腰梯形D．四边形ABCD中，AC⊥BD且AC＝BD
6．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则该等腰梯形的面积为（）
A．16cm2B．32cm2C．64cm2D．112cm2
7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是BD，AC的中点，若AD＝6cm，BC＝18cm，则EF的长为（）
(1)延长MP交CN于点E(如图2)．
①求证：△BPM≌△CPE；
②求证：PM＝PN．
(2)若直线a绕点A旋转到如图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3) )若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN是否成立．不必说明理由．（沈阳市中考试题）
【例2】如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF∥AB，线段CF，DH的中点分别为M，N，则线段MN的长度为( )(北京市竞赛试题)
A． B． C． D．
解题思路：连接CG，取CG的中点T，构造三角形中位线、梯形中位线．
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB中点，连接CE，CD，