1-2绪论求根习题课
21章 习题课 二次根式及运算(25张ppt)
将a±2 变成m2＋n2±2mn＝(m±n)2开方，从而
使得
化简．
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习题 根号内含有未明确取值范围的字 母的二次根式的化简
9．已知a是实数，求
的值．
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10．有这样一道题：“化简：
”．同
学甲给出了如下的解答过程：a＋
＝a＋
＝a＋a－1＝2a－1.同学甲的解答过程
是否正确？若不正确，请你写出正确的解答过程．
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11．已知实数a、b满足 ＝10－|b＋3|－|b－2|，求a2＋b2的最大值．
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类型四 分母有理化 的结果是( D )
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14．(1)将下列式子进行分母有理化：
①
____；②＝_______；
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第21章 二次根式
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类型一 利用二次根式的意义和性质化简或变形含有 “隐含条件”的有关二次根式的代数式 1．化简：
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5．有这样一类题目：将
化简，如果你能
找到两个数m、n，使m2＋n2＝a并且mn＝ ，则
一元二次方程的求根公式名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
即
x 5 2 9 4 16
开方，得 x 5 3 44
，x2=2
∴ x1 2
x2
1 2
系数化为1 移项 配方
开方 定解
概括总结
1.对于二次项系数不为1旳一元二次方程， 用配措施求解时首先要怎样做 ？
首先要把二次项系数化为1
2.用配措施解一元二次方程旳一般环节：
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
=
用配措施解一般形式旳一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
∵a≠0 4a2＞0 ∴当b2-4ac≥0 时
用配措施解一般形式旳一元二次方程 ax2+bx+c=0 a≠0
一元二次方程旳求根公式：
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)旳求根公式为：
一元二次方程旳求根公式
教学目的： 1、会用配措施解方程ax2+bx+c=0 （a≠0） 2、了解方程ax2+bx+c=0（a≠0）旳求根公式
复习：用配措施解方程2x2-5x+2=0
解：两边都除以2，得 x2 5 x 1 0
2
移项，得 x2 5 x 1
2
配方，得
x2
5
x
5
2
1
25
2 4
16
利用这个求根公式能 够求出全部一元二次 方程旳根。
总结：
1、配措施解方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)
2、一元二次方程旳求根公式旳推导。
计算方法与实习答案1-2
绪论
习题1——10：设 f ( x) = 8 x 5 − 0.4 x 4 + 4 x 3 − 9 x + 1 用秦九韶法求f(3)。 解：
8 − 0.4
24 8 23.6
0
−9
1
x=3
70.8 74.8
224.4 224.4
673.2 664.2
1992.6 1993.6
∴ f(3)=1993.6
第一章 绪论 练习
1．《计算方法》课程主要研究以计算 机为工具的 数值 分析方法 ，并评价 该算法的计算误差。 2．近似值作四则运算后的绝对误差限 公式为 ε ( x1 − x2 ) ≤ ε ( x1 ) + ε ( x2 ) ，近似值 1.0341的相对误差限不大于 1 ×10−2 ， 则它至少有三位有效数字。 4
ln(103 ) ∴k ≥ ln(2) ≥ 9.965
2 2 2
∴需二分10次 需二分 次
方程求根——二分法
习题2——2：用二分法求方程2e-x-sinx=0在区 间[0,1]内的1个实根，要求3位有效数字。
解：1）判断是否在该区间有且仅有一个根 f(0)=2>0，f(1)=2/e-sin1≈-0.1<0， f’(x)=-2e-x-cosx，f’=-3,-2/e-cos1<0 2）判断二分次数 由(b-a)/2k+1=1/2k+1≤1/2*10-3，解得k≥3ln10/ln2≥9.965， 所以需要二分10次，才能满足精度要求。
∴ x≈2.981
方程求根
f (xk )(xk − xk −1) xk +1 = xk − f (xk ) − f (xk −1)
习题2——11：用割线法求方程x3-2x-5=0的根，要 求精确到4位有效数字，取x0=2, x1=2.2。
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
1-2数的开方与二次根式(解析版)
1-2数的开方与二次根式【题型目录】题型一：平方根、算术平方根、立方根题型二：二次根式有意义的条件题型三：二次根式的运算题型四：二次根式的估算【题型真题】题型一：平方根、算术平方根、立方根1. （2022甘肃）计算的结果是（）A. ±2B. 2C.D. 解：4的算术平方根是2，即=2，故选B．2．（2022桂林）化简的结果是（）A．2B．3C．2D．2解：＝2，故选：A．3. （2022杭州）计算：_________；_________．解：；．故答案为：2，44 （2022鄂州）化简：= .解：∵22=4，∴=2.5. （2022恩施）9的算术平方根是．解：∵，∴9算术平方根为3．故答案为3．6. （2022凉山州）化简：＝（）A. ±2B. －2C. 4D. 2解：，故选：D．7. （2022泸州）（）A. B. C. D. 2解：-2，故选A．8. （2022雅安）化简：= .解：∵22=4，∴=2.9. （2022宜宾）4的平方根是（）A. ±2B. 2C. ﹣2D. 16解：∵（±2 ）2=4，∴4的平方根是±2，故选A．题型二：二次根式有意义的条件1. （2022北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．解：由题意得：x-8≥0，解得：x≥8．故答案为：x≥8．2. （2022贵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是A. x≥3B. x≤3C. x＞3D. x＜3解：由题意得．解得x≥3，故选：A．3. （2022长沙）若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________．解：，解得，故答案为：．4. （2022云南）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．解：∵代数式有意义∴x+1≥0，∴x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．5. （2022贵港）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．解：由题意得：，解得，故答案为：．6. （2022河池）若二次根式有意义，则a的取值范围是_____．解：由题意得，a－1≥0，解得，a≥1，故答案为：7. （2022贺州）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．解：在实数范围内有意义，，解得．故答案为：．8（2022安顺）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____．解：由二次根式在实数范围内有意义可得：，解得：；故答案为．9. （2022牡丹江）函数中，自变量x的取值范围是（）A. B. C. D.解：由二次根式的被开方数的非负性得：，解得，故选：D．10. （2022衡阳）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（）A. B. C. D.解：根据题意知≥0，解得，故选：B．11. （2022邵阳）若有意义，则的取值范围是_________．解：由题意可得x-2>0，解得：x>2，故答案为：x>2．12. （2022湘西）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A. x＞2B. x＜2C. x≤2D. x≥2解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．13. （2022岳阳）使有意义的的取值范围是_______．解：根据题意得，解得．故答案为：．14. （2022常州）若二次根式有意义，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.解：由题意得：，，故选：A．15. （2022连云港）函数中自变量的取值范围是（）A. B. C. D.解：∵，∴．故选A．16. （2022无锡）函数y＝中自变量x的取值范围是()A. x＞4B. x＜4C. x≥4D. x≤4解：4-x≥0，解得x≤4，故选：D．17. （2022盐城）使有意义的的取值范围是_______．解：根据题意得，解得．故答案为：．18. （2022扬州）若在实数范围内有意义，则取值范围是__．解：若在实数范围内有意义，则，解得：．故答案为：．19. （2022丹东）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A. x≥3B. x≥﹣3C. x≥3且x≠0D. x≥﹣3且x≠0解：由题意得：x+3≥0且x≠0，解得：x≥﹣3且x≠0，故选：D．20. （2022滨州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____．解：由题意知，，解得，，故答案为：．21. （2022济宁）若二次根式有意义，则x的取值范围是________．解：根据题意，得，解得：；故答案为：．22. （2022日照）若二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是_______．解：根据题意，得，解得：，故答案是：．23. （2022内江）函数中，自变量的取值范围是.解：依题意，得x-3≥0，解得：x≥3．题型三：二次根式的运算1. （2022河北）下列正确的是（）A. B. C. D. 解：A.，故错误；B.，故正确；C，故错误；D.，故错误；故选：B．2. （2022哈尔滨）计算的结果是___________．解：==，故答案为：．3. （2022江西）计算：；解：原式=2+2-1，=3．4. （2022大连）下列计算正确的是（）A. B. C. D.解：A、无解，故该项错误，不符合题意；B、，故该项错误，不符合题意；C、，故该项正确，符合题意；D、，故该项错误，不符合题意；故选：C．5. （2022青岛）计算的结果是（）A. B. 1 C. D. 3解：故选：B．6.（2022山西）计算的结果是________．解：原式＝＝＝3．故答案为：3．7. （2022陕西）计算：______．解：．故答案为：-2．8．（2022仙桃）下列各式计算正确的是（）A．+＝B．4﹣3＝1C．×＝D．÷2＝解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝，不符合题意；C、原式＝＝，符合题意；D、原式＝2÷2＝，不符合题意．故选：C．9. （2022武威）计算：．解：原式.10. （2022北部湾经济区）化简：=_____．解：．故答案为：．11. （2022柳州）计算：=______．解：=；故答案为．12. （2022六盘水）计算：__________．解：==故答案为：．13. （2022衡阳）计算：＝_____．解：．故答案为：．14. （2022常州）计算：=___．解：∵23=8，∴，故答案为：2．15. （2022泰安）计算：__________．解：，故答案为：．题型四：二次根式的估算1.（2022海南）写出一个比大且比小的整数是___________．解：∵，∴即比大且比小的整数为2或3，故答案为：2或32. （2022济南）写出一个比大且比小的整数_____．解：∵＜2＜3＜4＜，∴比大且比小的整数有2，3，4.故答案为：3（答案不唯一）．3. （2022绵阳）正整数a、b分别满足，，则（）A. 4B. 8C. 9D. 16解：，，，，．故选：D．4. （2022天津）估计的值在（）A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间解：，，即在5和6之间．故选：C．5. （2022重庆A卷）估计的值应在（）A. 10和11之间B. 9和10之间C. 8和9之间D. 7和8之间解：，∵，∴，∴，故选：B．6. （2022重庆B卷）估计的值在（）A. 6到7之间B. 5到6之间C. 4到5之间D. 3到4之间解：∵49<54<64，∴，∴，即的值在3到4之间，故选：D．7. （2022安顺）估计的值应在（）A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间解：原式＝，，，故选B．8. （2022遵义）估计的值在（）A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间解：∵，即：，∴的值在4和5之间，故选C．9. （2022永州）请写出一个比大且比10小的无理数：______．解：∵5＜7＜100，∴<<10∴比大且比10小的无理数为，故答案为：（答案不唯一）．10. （2022宿迁）满足的最大整数是_______．解：满足的最大整数是3．故答案为：3．11. （2022泰州）下列判断正确的是( )A. B. C. D. 解：由题意可知：，故选：B．12. （2022广安）比较大小：__________3（填“＞”、“＜”或“＝”）解：∵，32=9，∴7＜9，∴＜3，故答案为：＜．13. （2022泸州）与最接近的整数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7解：∵12.25＜15＜16，∴3.5＜＜4，∴5.5＜2+＜6，∴最接近的整数是6，故选：C．14. （2022宁波）写出一个大于2的无理数_____．解：∵2=，∴大于2的无理数须使被开方数大于4即可，如（答案不唯一）．15. （2022台州）估计的值应在（）A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之解：∵4＜6＜9，∴，∴，故选B．16. （2022舟山）估计的值在（）A. 4和5之间B. 3和4之间C. 2和3之间D. 1和2之间解：∵∴故选：C．17. （2022潍坊）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（）A. B. C. D.解：4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜1＜2，∴＜＜1，故选：C．18. （2022随州）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．解：∵，是大于1的整数，∴．∵n为正整数∴n的值可以为3、12、75，n的最小值是3，最大值是75．故答案为：3；75．。
1绪论-求根课件1
第1章 绪 论本章主要介绍科学计算的特点、数值分析基本知识和概念，它们对学习数值分析、了解科学计算原理，以及进行科学计算都是很有帮助的。
1.1 学习数值分析的重要性例 1.1 将数列15nn x I dx x =+⎰写成递推公式的形式，并计算数列12,,I I 的值。
解：因为111011111005551555n n n n n n n x x x I dxx x x dx dx I x n-----+-=+=-=-+⎰⎰⎰ 得到计算I n 的递推公式()1151,2, 1.1n n I I n n-=-=由10016ln 55I dx x ==+⎰，借助递推公式（1.1）可依次算出I 1，I 2，……。
实际中，一般需要具体的数据，因此若取0I 为准确到小数点后8位的近似值作为初始值，在字长为8的计算机上编程计算，可出现2120.3290211010I =-⨯的结果，这显然是错误的！因为数列I n 的被积函数在积分区间上是非负的，故总应有I n ≥0才对。
（请读者可以在自己的计算机上用递推公式（1.1）编程做一个数值实验，来检验当n 较大时，I n 的计算结果一定会出现负数的现象！）现在很多科学研究和工程问题的解决都是借助计算机进行的。
通常用计算机解决实际问题有四个步骤○1建立数学模型；○2选择数值方法；○3编写程序；○4上机计算。
1.2计算机中的数系与运算特点1.计算机的数系数学理论告诉我们：实数集是稠密的无限集，其中任何一个非零实数可表示为()123100. 1.2c x a a a =±⨯⋅⋅⋅其中}{9,4,3,2,1,0⋅⋅⋅∈i a ，c 为整数。
式（1.2）表示的数x 称为十进制浮点数。
类似地，数学上可以方便的定义 β 进制的浮点数⋅⋅⋅⨯±=321.0a a a x c β }{1,4,3,2,1,0-⋅⋅⋅∈βi a 。
在计算机中，由于机器本身的限制，数学中的实数被表示为t c a a a a x ⋅⋅⋅⨯±=321.0β }{1,4,3,2,1,0-⋅⋅⋅∈βi a (1.3)其中t 是正整数，表示计算机的字长；c 是整数，满足L ≤c ≤U ，L 和U 为固定整数。
八年级同步第8讲：一元二次方程求根公式及综合-教师版
一元二次方程求根公式是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程求根公式解法进行讲解，重点是对一元二次方程求根公式的推导和解方程的理解，难点是求根公式在解一元二次方程中的灵活应用．同时，结合之前所学的开平方法、因式分解法及配方法进行解法综合应用，让学生熟练掌握．通过这节课的学习一方面为我们后期学习一元二次方程根的判别式提供依据，另一方面也为后面学习一元二次方程的应用奠定基础．一元二次方程求根公式及解法综合知识结构内容分析1、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac -≥时，22404b ac a -≥利用开平方法，得：22424b b acx a a -+=±， 即：242b b ac x a-±-= ②当240b ac -<时，22404b aca -<这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．2、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：2142b b ac x a -+-=，2242b b acx a---= 这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 3、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；④若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．模块一：一元二次方程求根公式知识精讲【例1】 求下列方程中24b ac -的值：（1）220x x -=；（2）2220x x --+=； （3）224(32)26x x x -+=-；（4）23233x x =+．【难度】★【答案】（1）4；（2）17；（3）236；（4）38． 【解析】（1）0,2,1=-==c b a ，则442=-ac b ；（2）2,1,2=-=-=c b a ，则1742=-ac b ；（3）方程可化为一般形式为：021452=-+x x ，2,14,5-===c b a ，则23642=-ac b ； （4）3323-=-==c b a ，，，则3842=-ac b ． 【总结】本题主要考查根的判别式的概念及其计算．【例2】 用公式法解下列方程：（1）2270x x -+=；（2）211042x x -=．【难度】★【答案】（1）27,021==x x ；（2）2,021==x x ． 【解析】（1）0,7,2==-=c b a ，则4942=-ac b ，则477-±-=x ，∴27,021==x x ； （2）0,21,41=-==c b a ，则4142=-ac b ，则212121±=x ，∴2,021==x x ． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式24b b acx -±-=的运用．例题解析（1）2320x x +-=；（2）25610x x -++=．【难度】★ 【答案】（1）12317317x x -+--；（2）12314314x x +-==． 【解析】（1）132a b c ===-，，，则1742=-ac b ，则2173±-=x ， ∴12317317x x -+--=； （2）561a b c =-==，，，则5642=-ac b ，则101426-±-=x ，∴12314314x x +-==． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式24b b acx -±-=的运用．【例4】 用公式法解下列方程：（1）220x x ++=；（2）27690x x -+-=．【难度】★【答案】（1）方程无实数解；（2）方程无实数解．【解析】（1）112a b c ===，，，则0742<-=-ac b ，方程无实数解； （2）769a b c =-==-，，，则021642<-=-ac b ，方程无实数解． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．【例5】 用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．【难度】★★ 【答案】（1）12214214x x -+--=；（2）123322x x ==-，． 【解析】（1）方程可化为：05422=-+x x ，245a b c ===-，，，则5642=-ac b ，则41424±-=x ，∴12214214x x -+--== （2）方程可化为：2490x -=，则123322x x ==-，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用直接开平方法求解．（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=． 【难度】★★ 【答案】（1）121217012170x x -+--=（2）12122x x ==-，． 【解析】（1）方程可化为2224130x x +-=，13,24,2-===c b a ，则68042=-ac b ，则4170224±-=x ，∴121217012170x x -+--==（2）两边同时乘以10，方程可化为02322=--x x ，2,3,2-=-==c b a ，则2542=-ac b ，则453±=x ，∴12122x x ==-，． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用因式分解法求解．【例7】 当x 为何值时，多项式21122x x +与220x +的值相等？【难度】★★ 【答案】8或-5．【解析】由题意，可得：211=22022x x x ++，整理得：04032=--x x ，因式分解可得：()()058=+-x x ，则5,821-==x x ．∴当x 为8或-5时，多项式21122x x +与220x +的值相等．【总结】本题主要考查一元二次方程在多项式的值相等时求所含字母的取值中的运用．【例8】 用公式法解下列方程：（1）29166x x +=；（22243220x x +-=．【难度】★★ 【答案】（1）126565x x +-=；（2）12622622x x =-=． 【解析】（1）1,66,9=-==c b a ，则18042=-ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：126565x x +-=；（2）22,34,2-===c b a ，则6442=-ac b ，则22834±-=x ，∴原方程的解为：12622622x x =-+=--，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．【例9】 用公式法解方程：22(21)3220x x +-+-=． 【难度】★★【答案】2121-==x x ．【解析】223,222,1-=-==c b a ，则042=-ac b ，所以2222±-=x ，∴原方程的解为：2121-==x x ．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．师生总结1、在用求根公式解一元二次方程时首先应考虑什么问题？2、求根公式中，如果，此时、是什么关系？请用字母表示、．1、一元二次方程解法总结①开平方法：形如20 (0)ax c a +=≠及2()0 (0)a x k c a ++=≠的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若0A B ⋅=，则0A =或0B =．③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解即：222222440()0()2424b b ac b b ac ax bx c a x x a a a a --++=⇒+-=⇒+=，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，有两个实数根： 221244 22b b ac b b acx x a a -+----==，【例10】口答下列方程的根：（1）(2)0x x +=； （2）(1)(3)0x x --=； （3）(32)(4)0x x +-=； （4）()()0x m x n -+=． 【难度】★【答案】（1）1202x x ==-，；（2）1213x x ==，；（3）12243x x ==-，；（4）12x m x n ==-，．【解析】形如()()0=--b x a x 的方程的两个解分别为12x a x b ==，．【总结】本题主要考查两个因式的乘积为零时，则每一个因式都为零的应用．例题解析知识精讲模块二：一元二次方程解法综合【例11】 用开平方法解下列方程：（1）21(3)63x +=；（2）224(1)(2)x x +=-．【难度】★【答案】（1）12323323x x ==-，；（2）1240x x =-=，．【解析】（1）21(3)63x +=则()1832=+x ，开平方得：233±=+x ，∴原方程的解为：12323323x x ==-，；（2）224(1)(2)x x +=-，开平方得：()212-=+x x 或()()212--=+x x ，∴原方程的解为：1240x x =-=，．【总结】本题主要考查利用直接开平方法解一元二次方程．【例12】用因式分解法解下列方程：（1）2(23)x x =；（2）2(21)(21)0x x x ---=．【难度】★★【答案】（1）12320x x -=，；（2）12112x x ==，．【解析】（1）2(23)x x =，提取公因式可得：(23)10x x ⎡⎤-=⎣⎦，∴原方程的解为：12320x x -=，； （2）2(21)(21)0x x x ---=，提取公因式可得：()()01212=---x x x ，∴原方程的解为：12112x x ==，．【总结】本题主要考查利用提取公因式法求一元二次方程的解．【例13】用因式分解法解下列方程： （1）212193x x +=-； （2）2225(21)9(3)0x x +-+=．【难度】★★【答案】（1）321-==x x ；（2）12414713x x ==-，．【解析】（1）212193x x +=-，用完全平方公式可得：01312=⎪⎭⎫⎝⎛+x ，∴原方程的解为：321-==x x ；（2）原方程用平方差公式可得：()()[]()()[]03312533125=++++-+x x x x ，整理可得：()()0141347=+-x x ，∴原方程的解为：12414713x x ==-，．【总结】本题主要考查利用公式法求一元二次方程的解．【例14】用因式分解法解下列方程：（1）23250x x -+-=；（2）2184033x x ++=；（3）(1)(2)10x x -+=；（4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--．【难度】★★【答案】（1）12512x x =-=，；（2）1226x x =-=-，；（3）1243x x =-=，；（4）1212x x ==，．【解析】（1）对原方程十字相乘分解可得：()()0521=-+x x ，∴原方程的解为：12512x x =-=，； （2）对原方程整理得：01282=++x x ，十字相乘分解可得：()()062=++x x ，∴原方程的解为：1226x x =-=-，；（3）(1)(2)10x x -+=，整理得：0122=-+x x ，十字相乘分解可得：()()034=-+x x ，∴原方程的解为：1243x x =-=，；（4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--，提取公因式可得：()()()[]014131=--+-x x x ，整理得：()()021=+--x x ，∴原方程的解为：1212x x ==，．【总结】本题主要考查利用因式分解法求一元二次方程的解，注意（3）和（4）化成一般形式再分解．【例15】 用配方法解下列方程：（1）2252x x -=；（2）211.30.604x x ++=．【难度】★★【答案】（1）方程无解；（2）方程无解．【解析】（1）2252x x -=，则52522-=-x x ，配方可得：25152512+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ，则0259512<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ，所以原方程无解； （2）211.30.604x x ++=，03.14146.02<⨯⨯-=∆，所以原方程无解． 【总结】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解．【例16】 用配方法解下列方程：（1）213402x x ++=；（2）263150x x --=．【难度】★★【答案】（1）1224x x =-=-，；（2）211=x ，152-=x ．【解析】（1）213402x x ++=，整理得：0862=++x x ，配方得：()132=+x ，∴原方程的解为：1224x x =-=-，；（2）263150x x --=，配方得：()931532+=-x ，∴原方程的解为：211=x ，152-=x ．【总结】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方．【例17】 用配方法解下列关于x 的方程：（1）230x x t +-=；（2）220ax x ++=（0a ≠）．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）230x x t +-=，则23=x x t +，配方得：49232+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+t x当49-≥t 时，2329423491-+=-+=t t x ，2329423492++=++=t t x；当49-<t 时，方程无实数根；（2）220ax x ++=（0a ≠），则22-=+x ax ，整理得：ax a x 212-=+，配方可得：22248141221a a a a a x -=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 当81≤a 时，a a x 21811--=，a a x 21812---=，当81>a 时，方程无实数根．【总结】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方，另此题系数中含有字母，要注意分类讨论．【例18】 用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=． 【难度】★★【答案】（1）方程无解；（2）方程无解．【解析】（1）因为536a b c ==-=，，，则011142<-=-ac b ，所以原方程无解；（2）整理可得：0145142=++x x ，则042<-ac b ，所以原方程无解．【总结】本题主要考查对求根公式的理解及运用．【例19】 用公式法解下列方程：（12220x x -=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【难度】★★ 【答案】（1）221-=x ，22=x ； （2）4531+=x ，4532-=x ；（3）41751+=x ，41752-=x ．【解析】（1）∵212a b c ==-=，942=-ac b ，∴2231±=x ，∴原方程的解为：221-=x ，22=x ； （2）整理可得：01642=+-x x ，461a b c ==-=，，，则2042=-ac b ，8526±=x ，∴原方程的解为：4531+=x ，4532-=x ； （3）整理可得：01522=+-x x ，251a b c ==-=，，，则1742=-ac b ，4175±=x ，∴原方程的解为：41751+=x ，41752-=x ． 【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根．【例20】 用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）21200.1a x bx a -=． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵c b 42+=∆，∴当042≥+c b 时，2421c b b x ++=，2422cb b x +-=；当042<+c b 时，原方程无实数根；（2）原方程可化为：222100x abx a -=，∵2222400a b a ∆=+≥，∴原方程的解为：212240b b x ++=，222240b b x -+．【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．【例21】 用适当方法解下列方程：（1）2(21)9x -=；（2）212455250x x --=； （3）22(31)(1)0x x --+=；（4）2(2)(2)0x x x -+-=；（5）2152102x x -+=；（6）20.30.50.3 2.1x x x +=+．【难度】★★【答案】（1）21=x ，12-=x ；（2）4351=x ，52-=x ；（3）11=x ，02=x ； （4）11=x ，22=x ；（5）34251+=x ，34252-=x ；（6）371=x ，32-=x ．【解析】（1）直接开平方可得：312±=-x ，∴原方程的解为：21=x ，12-=x ； （2）化简得：01751542=--x x ，十字相乘分解可得：()()05354=+-x x ，∴原方程的解为：4351=x ，52-=x ； （3）22(31)(1)0x x --+=，平方差因式分解得：()()[]()()[]0113113=++-+--x x x x ，整理得：()0422=-x x ，∴ 原方程的解为：11=x ，02=x ；（4）2(2)(2)0x x x -+-=，提取公因式可得：()()022=+--x x x ，整理得：()()0222=--x x ，∴原方程的解为：11=x ，22=x ；（5）∵方程2152102x x -+=，48=∆，∴原方程的解为：34251+=x ，34252-=x ；（6）20.30.50.3 2.1x x x +=+，整理可得021232=-+x x ， 十字相乘分解得：()()0373=+-x x ，∴原方程的解为：371=x ，32-=x ． 【总结】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．【例22】用因式分解法和公式法2种方法解方程：22223332x x x -+．【难度】★★【答案】3471+=x ，12-=x ．【解析】方程可整理成：()()02332322=+---x x ，十字相乘分解可得：()()[]()012332=++--x x ，∴原方程的解为：3471+=x ，12-=x ；公式法：()()()1632324322=+⨯-⨯+=∆，∴()322432-±=x ，∴原方程的解为：3471+=x ，12-=x ．【总结】本题主要考查利用因式分解和公式法求解一元二次法的解．【例23】 如果对于任意两个实数 a b 、，定义：2a b a b =+o ．试解方程：2(2)210x x +=o o ．【难度】★★【答案】221-==x x ．【解析】由题意可得：02242=+++x x ，利用完全平方公式可得：221-==x x ． 【总结】本题主要考查对新定义的理解和运用．【例24】已知2220x x --=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+-- 222221943365x x x x x x x =-++-+-+=--()2325x x =--，∵2220x x --=，∴222x x -=，∴原式3251=⨯-=．【总结】本题主要考查代数式的化简求值，不要去解方程，而是用整体代入思想求值．【例25】已知22()(2)8x y x y -+-=，求2x y -的值．【难度】★★★ 【答案】-4或2．【解析】∵22()(2)8x y x y -+-=，∴222()+2()80x y x y ---=，十字相乘分解得：()()02422=--+-y x y x ，∴42-=-y x 或22x y -=．【总结】本题主要考查利用整体思想求代数式的值，也可进行换元．【习题1】 已知m 是方程220x x --=的一个根，则代数式2m m -的值是．【难度】★ 【答案】2．【解析】m 是方程220x x --=的一个根，则022=--m m ，∴2m m -= 2． 【总结】本题主要考查方程的解的定义以及整体代入思想的运用．【习题2】 已知31-是关于x 的方程240x mx --=的一个根，则m =． 【难度】★【答案】33--=m ．【解析】∵31-是关于x 的方程240x mx --=的一个根，∴()()0413132=----m ，解得：33--=m ．【总结】本题主要考查方程的解的定义．【习题3】 用配方法解关于x 的方程20x bx c ++=时，方程可变形为（）．A 、22()24b b x +=B 、224()24b b cx -+=C 、224()24b b cx +-=D 、224()24b b cx --=【难度】★★ 【答案】B【解析】注意二次项系数化为1之后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 【总结】本题主要考查对配方法的理解及运用．随堂检测【习题4】 用适当方法解下列方程： （1）2(1)25x -=；（2）26153x x +=； （3）2(4)5(4)x x +=+；（4）242011x x +=；（5）22(23)(1)04x x +--=；（6）4(23)10x x +=．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）2(1)25x -=，开平方法可得：51±=-x ，∴61=x ，42-=x ；（2）26153x x +=，整理得：0522=--x x ，求根公式可得：611+=x ，612-=x ； （3）2(4)5(4)x x +=+，提取公因式可得：()()0544=-++x x ，∴11=x ，42-=x ； （4）242011x x +=，整理得：0201142=+-x x ，0<∆，方程无解；（5）22(23)(1)04x x +--=，平方差因式分解可得：()()012321232=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+x x x x ， 整理得：021225=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，解得：41-=x ；（6）4(23)10x x -+=，整理得：013482=+-x x ，16=∆，∴16434±=x∴4131+=x ，4132-=x ． 【总结】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．【习题5】 当x 为何值时，274x x ++的值与23(32)x x -的值相等？ 【难度】★★ 【答案】4或21-． 【解析】由题意，可得：274x x ++23(32)x x =-，整理得：04722=--x x ， 十字相乘法分解可得：()()0412=-+x x ，∴211-=x ，42=x ． 【总结】本题主要考查解一元二次方程在求多项式的值相等时的运用．【习题6】 二次方程(1)(2)(2)(3)(3)(1)0a x x b x x c x x ++++++++=有根0与1，求::a b c 的值．【难度】★★ 【答案】6:1:6-．【解析】∵二次方程(1)(2)(2)(3)(3)(1)0a x x b x x c x x ++++++++=有根0与1， ∴0362=++c b a ，08126=++c b a ， ∴b a 6=，b c 6-=，∴6:1:66::6::-=-=b b b c b a ．【总结】本题主要考查对一元二次方程的根的理解及运用．【作业1】 关于x 的方程24(1)10x k x +++=的一个根是2，那么另一个根是 ．【难度】★【答案】81．【解析】∵方程24(1)10x k x +++=的一个根是2，∴()011216=+++k ，∴219-=k ． 则原方程为0121742=+-x x ，十字相乘因式分解可得：811=x ，22=x ， 也可以用韦达定理来解决：两根之乘积为41，所以另一个根是81． 【总结】本题主要考查对方程的根的概念的理解及运用．【作业2】 使分式2282x x x --+的值等于零的x 的值是．【难度】★ 【答案】4．【解析】∵分式2282x x x --+的值等于零，课后作业∴0822=--x x 且02≠+x ，∴4=x ．【总结】本题主要考查解一元二次方程在分式值为零的计算中的运用．【作业3】 关于x 的一元二次方程有两个根57和75-，则这个方程可以是（ ）．A 、23524350x x ++=B 、23524350x x -+=C 、23524350x x +-=D 、23524350x x --=【难度】★ 【答案】D【解析】可求得D 的两解符合题意．【作业4】 按照要求解下列关于x 的一元二次方程： （1）2650x x +-=（用配方法）； （2）26153x x +=（用配方法）；（3）2734y y =+（用公式法）； （4）2224320t t =（用公式法）．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）()1432=+x ，∴1431+-=x ，1432--=x ；（2）522=-x x ，配方得：()612=-x ，∴611+=x ，612-=x ；（3）16=∆，243±=x ，∴211-=x ，272=x ； （4）64=∆，22834-±-=x ，∴6221+=x ，2262-=x ．【总结】本题主要考查利用指定方法求一元二次方程的根．【作业5】 已知2514x x =-，求2(1)(21)(1)1x x x ---++的值． 【难度】★★ 【答案】15．【解析】∵2(1)(21)(1)1x x x ---++222231(21)151x x x x x x =-+-+++=-+，又2514x x =-， ∴2514x x -=，∴2(1)(21)(1)1x x x ---++14115=+=．【总结】本题主要考查代数式化简求值以及整体代入思想的运用．【作业6】 用适当方法解下列关于x 的方程： （1）22(23)12x -=；（2）225180x x +-=；（3）(2)(5)2x x --=-；（4）2(25)(1)(25)0x x x x +--+=； （5）221(0.5)0.25(2)039x x ---=；（6）2(21)210x x -++=； （7）2(1)2(1)10x x ---=；（8）(1)(21)x x a x a -=--．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】（1）2(23)6x -=，开平方得：632±=-x ，∴原方程的解为：22331+=x ，22332+-=x ； （2）225180x x +-=，十字相乘因式分解可得：()()0292=-+x x ，∴原方程的解为：291-=x ，22=x ； （3）(2)(5)2x x --=-，整理得：01272=+-x x ，十字相乘因式分解可得：原方程的解为：31=x ，42=x ；（4）2(25)(1)(25)0x x x x +--+=，提取公因式可得：()()[]01252=--+x x x ，∴原方程的解为：251-=x ，12-=x ；（5）221(0.5)0.25(2)039x x ---=，平方差公式因式分解可得：035.03122135.031221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x ，整理得：0313432=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x∴原方程的解为：01=x ，412=x ；（6）2(21)210x x -++=，整理得：0222=+x x ，提取公因式可得：()022=+x x ，∴原方程的解为：01=x ，222-=x ； （7）设y x =-1，则原方程可化为0122=-+y y ， 公式法求得：2621+-=y ，2622--=y ， 当262+-=y 时，2621+-=-x ，则2262++-=x ； 当262--=y 时，2621--=-x ，则2262+--=x ，∴原方程的解为22621++-=x ，22622+--=x ；（8）(1)(21)x x a x a -=--，整理得：()01222=+++-a a x a x ， 十字相乘因式分解为()[]()01=-+-a x a x ，∴原方程的解为：11+=a x ，a x =2．【总结】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．【作业7】 若1x =是一元二次方程22(56)(21)50m m x m x -+++-=的一个根，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】∵1x =是一元二次方程22(56)(21)50m m x m x -+++-=的一个根， ∴0512652=-+++-m m m ，整理得：0232=+-m m ，∴11=m ，22=m ，∵0652≠+-m m ，∴1=m ．【总结】本题主要考查对方程的根的概念的理解，注意本题中二次项系数不能为零．。
人教B版高中数学必修第一册第2章2-1-2一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件
2.(1)方程 2x2－5x＋3＝0 的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 A ∵Δ＝(－5)2－4×2×3＝1＞0，∴方程 2x2－5x＋3＝0 有两个 不相等的实数根．故选 A．
(2)若关于 x 的一元二次方程 x2＋4x＋k＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是________．
3,10 由一元二次方程根与系数的关系，可得22＋ ×－ －55＝ ＝－ －bc，， 解得bc＝＝130，.
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 类型2 类型3 类型4
类型 1 一元二次方程的解法 角度 1 直接开平方法 【例 1】 用直接开平方法求下列一元二次方程的解集． (1)4y2－25＝0；
一元二次方程解的判断 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式 Δ＝b2－4ac.当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ＝0 时，方程有两个相等 的实数根；当 Δ＜0 时，方程没有实数根．
[跟进训练]
4．下列一元二次方程中，解集为空集的是( )
A．x2－2x＝0
B．x2＋4x－1＝0
应用直接开平方法求一元二次方程的解集主要有哪些步骤？
[提示] (1)化为 x2＝p(p≥0)的形式；(2)直接开平方；(3)解两个 一元一次方程，写出方程的两个根；(4)总结写成解集的形式．
[跟进训练] 1．用直接开平方法求下列一元二次方程的解集． (1)(x＋1)2＝12；
[解] 直接开平方，得 x＋1＝±2 3， ∴x1＝2 3－1，x2＝－2 3－1. ∴原一元二次方程的解集是{2 3－1，－2 3－1}．
配方法 ＝t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足 b2－4ac≥0，利用
初中数学精品课件：第一章《二次根式》复习课件共18张ppt
bb • a b a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb
练习： 1.计算 （ 3）2 的结果是… … … … … …( C )
(A) -3 (B) ±9 (C) 3 (D) 9
二次根式复习课
课前2分钟朗读内容：
• 42
• 8 2 2 • 45 3 6
• 93 • 16 4 • 25 5
• 12 2 3 • 18 3 2 • 20 2 5
• 48 4 3 • 80 4 5 • 1 2
22
• 36 6 • 49 7 • 64 8 • 81 9
• 24 2 6 • 27 3 3 • 32 4 2
ABFG的面积为a,b,则它们的 G F
边长分别可用 a, b 表示.
在Rt△ACD和 Rt△CAG中, A B
C
AD2 ( a b)2 ( a )2
CG 2 ( a b)2 ( b)2 ∴AD2-CG2=a-b 由已知得 a+b=7 解得 a=5
a-b=3
b=2
∴ AC与EF的乘积=（ 5 2）•（ 5 2） 5 2 3
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
简单方程,从而使问题得到解决.
16.如图,正方形ABFG与正方形BCDE的面积
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
解:设正方形BCDE和正方形
A
垂足为D.
第一章二次根式习题课[下学期]--浙教版 (2)
![第一章二次根式习题课[下学期]--浙教版 (2)](https://img.taocdn.com/s3/m/ff0a9858172ded630a1cb685.png)
古今中外的诗歌，抒情诗一直是主流，几千年未曾撼动，怎么到了今天，就弃之如敝履了呢？依笔者看，冷抒情的探索和当下遍地皆是的叙述性诗有关，显而易见，因为抒情既不展开情节，也不刻 画物事，你写的是叙述性的东西，是所谓的“小叙事”，那就实在没有更好的办法从始至终将抒情融进去，只能舍抒情而弃之，随机玩一点暗示性的小情怀，从没听说讲故事的过程中还可以重点搞抒情， 这本就是鱼与熊掌不可兼得之事。
叙述性诗写作嘈嘈切切这么些年，诗写作整体上看是歉收的，作为当下诗歌流行的语境，其呈现方式也并无优势，很多诗人已经把诗写成了白开水即是例证。从过程来看，质疑的声音也一直不断， 西渡就认为“所谓的叙事性诗歌普遍存在两个缺陷：想象力的退化和主体体验的贫乏。”针对口语化的叙述性诗，枕戈在他的《80后之“神性写作”与“口语写作”》中甚至说“口语写作对神圣的拒绝， 对经典和文化的鄙弃，最终பைடு நூலகம்诗歌堕落为一种极端的消费主义立场，葬送了诗歌本身也葬送了诗歌面向公众的前途。”北岛也对叙事性写作持有异议，在他看来，实在是“因为没什么好写的，大家开始 讲故事……那甚至也不是故事，只是些日常琐事，絮絮叨叨，跟北京街头老大妈聊天没什么区别。”
忧愁时就读一首我写的诗，但愿你不读，也就是你没有忧愁，永远……hg3088新2平台
幸福时请读一首我写的诗，但愿你常读，也就是你常常幸福，永远……
最后，感恩与祝福所有在座的老师们，嘉宾们幸福再深一度！幸福永远！再深一度！
注：深读诗会第18期主题诗人李国坚讲话稿（2020.07.03于深圳特区文学杂志文学厅）
[数学]线性代数1-2-习题课
![[数学]线性代数1-2-习题课](https://img.taocdn.com/s3/m/81221faea1c7aa00b52acbba.png)
n
ai
a2
x
an
i1
n
x ai
a2
a3
x
i1
h
31
提取第一列的公因子，得
1 a1 a2 an
1 x a2 an
n
Dn1 (x ai) 1
a2
x an.
i1
1 a2 a3 x
将1第 列(的 a1)倍加2 到 列第 ，1将 列第 的 (a２ )倍加3 到 列 第 ， ,将1第 列(的 an)倍加到 后一列，得
h
20
解 设D5中第 1,2,3,4,5行的元素a分 1p1,a别 2p2, 为 a3p3,a4p4,a5p5,那么， D5中 由第 1,2,3,4,5行可能 的非零元素分别得到
p12,3;
p1,2,3,4,5; 2
p31,2,3,4,5;
p2,3; 4
p52,3.
因为p1, p2, p3, p4, p5在上述可能取的,代
一个5元排列也不能组成，
故D5 0.
h
21
评注 本例是从一般项入手，将行标按标准顺序 排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每 一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法．
注意
如果一n个 阶行列式中等于素 零比 的元
n2n还多，则此行列于 式零 必 .(为等什么 ?)
h
22
例３
设
a11 a12 a1n
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．
h
6
５、n阶行列式的定义
a11 a12 a1n
Da 21a 2 2 a 2n p1p2pn1ta1p1a2p2anpn
an1 an2 ann
第一章二次根式习题课PPT优选课件
5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
x1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( )
A.3
B.-3
C.1 D.-1
2020/10/18
4
题型3:公式( a )2 =a(a≥0)的应用.
6.在实数范围内分解因式. (1)x2-7 (2)x4-9
2020/10/18
1
知识回顾:
1.二次根式的概念及意义.
形如 a (a≥0 )这样的式子叫做二次根式, 其中a可以是数,也可以是单项式和多项式.
注意： 被开方数ａ大于或等于零
２．二次根式的性质．
2
a aa0
aa 0
a2 | a|
a a 0
ab a b
a b (a 0, b 0) a (a 0, b 0) b
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汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
2020/10/18
2
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1.求出下列二次根式中字母a的取值范围：
a2 2a3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 2a a 1
2.已知y= 5x + x5,求x+y的值.
3.(2005.青岛) a4 + 4a 有意义的条
件是 .
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3
题型2:二次根式的非负性的应用.
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5
题型4:公式 a2 = a (a≥0)的应用.
(3.14)2 (x3)2（ｘ＜３） a3
１.(2005.武汉) ．已知ａ＜ｂ，化简二次
第一讲 一元二次方程解法及根的判别式(练)
一元二次方程(1)重要知识点：一元二次方程根的意义与根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式ac b 42-=∆： （1）⇔>∆0方程有两个不等实数根． （2）⇔=∆0方程有两个相等实数根．（3）⇔<∆0方程无实数根．（4）⇔≥∆0方程有两个实数根．※ 运用根的判别式时要注意：关于x 的方程02=++c bx ax 有两个实数根和实数根的区别在于：若有两个实数根，则00≠≥∆a ，且．若有实数根，则分两种情况：①00≥∆≠，a ；②0=a一、典型例题例1 （2013•自贡）已知关于x 的方程x 2﹣（a+b ）x+ab ﹣1=0，x 1、x 2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③222212x x a b +<+．则正确结论的序号是_____．（填上你认为正确结论的所有序号）例2（2013•）已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.例3（2013•厦门）若x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，且x 1＋x 2＝2k （k 是整数），则称方程x 2＋bx ＋c ＝0为“偶系二次方程”.如方程x 2－6x －27＝0，x 2－2x－8＝0，x 2＋3x －274＝0，x 2＋6x －27＝0，x 2＋4x ＋4＝0都是“偶系二次方程”. （1）判断方程x 2＋x －12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b ，是否存在实数c ，使得关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0是“偶系二次方程”，并说明理由.例4 （2013菏泽）已知m 是方程x 2﹣x ﹣2=0的一个实数根，求值：22()(1)m m m m --+． 例5（2013菏泽）已知：关于x 的一元二次方程kx 2﹣（4k+1）x+3k+3=0 （k 是整数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；2 （2）若方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＜x 2），设y =x 2﹣x 1，判断y 是否为变量k 的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．例6 （2013日照）已知，关于x 的方程x m mx x 2222+-=-的两个实数根1x 、2x 满足12x x =，XX 数m 的值.例7.（2013XX ）如图,已知抛物线x x y 421+-=和直线x y 22=.我们约定：当x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1、y 2，若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M= y 1=y 2.下列判断：①当x ＞2时，M =y 2；②当x ＜0时，x 值越大，M 值越大；③使得M 大于4的x 值不存在；④若M =2，则x = 1 .其中正确的有 A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个例8.(2013泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x 元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？二、巩固练习1. （2013咸宁市）关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x +3=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ． 2B ． 1C ． 0D ． ﹣12.（2013XX ） 方程0411)1(2=+---x k x k 有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ． k≥1 B ． k≤1 C ． k>1 D ． k<13. 我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-.若我们规定一个新数“i ”,使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ）。
人教B版高中数学必修第一册 2-1-2《一元二次方程的解集及其根与系数的关系》课件PPT
当Δ = 0时，1 = 2，按照初中的习惯，我们仍称方程有两个相等的实数根.
计算1 + 2和12的值，并填空：
+ 2 =
൜ 1
12 =
−
这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系.
例2 已知一元二次方程22 + 3 − 4 = 0的两根为1与2，求下列各式的值：
分析: 这不是一个一元二次方程，但是通过把 看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程.
解: 设 ＝，则 ≥ 0，且原方程可变为
2 − 2 − 1＝0，
因此可知＝1 + 2或＝1 −
2（舍）.
从而 ＝1 + 2 ，即＝3+ 2 ，所以原方程的解集为{3+ 2 }.
一元二次方程2 + + = 0( ≠ 0)的解集不是空集时，这个方程的解可以记为
3
25
4
（2）因为（1 − 2）2＝（1 + 2）2 − 412＝(− 2)2 −4 × （ − 2）＝
所以|1 − 2|＝ （1 + 2）2 ＝
41
2
.
.
41
，
4
课堂小结
1.一元二次方程的解集
2.一元二次方程根与系数的关系
作业：教材P50
练习A、B
网网
{ ，− }
{0}
∅
更进一步，形如( − )² = （其中，是常数）的一元二次方程的解集也容易得到.
例如，由( −1)2= 2可知 − 1 = − 2 或 − 1 = 2 ，从而 = 1 − 2 或x=1+ 2 ，
因此解集为{1 − 2 ，1 +
课时规范练7 一元二次方程根的分布--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
2025北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）课时规范练7 一元二次方程根的分布基础 巩固练1.(2024·山西太原模拟)若一元二次方程ax2-2x-4=0有一个正根和一个负根,则实数a的取值范围为( )AA.a>0B.a>2C.a>1D.a>-1解析因为一元二次方程ax2-2x-4=0有一个正根和一个负根,所以2.(2024·浙江余姚高三期中)已知一元二次方程x2-mx+1=0的两根都在(0,2)内,则实数m的取值范围是( )B3.(2024·广东惠州高三模拟)已知关于x的方程x2+x+m=0在区间(1,2)内有实B根,则实数m的取值范围是( )A.[-6,-2]B.(-6,-2)C.(-∞,-6]∪[-2,+∞)D.(-∞,-6)∪(-2,+∞)解析因为关于x的方程x2+x+m=0在区间(1,2)内有实根,所以m=-x2-x在区间(1,2)内有实根,令f(x)=-x2-x,x∈(1,2),所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以f(2)<f(x)<f(1),即f(x)∈(-6,-2),依题意直线y=m与函数y=f(x)的图象在(1,2)内有交点,所以m∈(-6,-2),故选B.4.(2024·安徽滁州模拟)关于x的方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在区间(0,1)内,则实数m的取值范围是( )D5.(多选题)(2024·重庆南开中学模拟)已知a,b,c是三个互不相等的正实数,且BCa(a-b)=b(a-c),则a,b,c的大小关系可能是( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b解析设f(x)=x2-2bx+bc,由a(a-b)=b(a-c)知a2-2ba+bc=0,则f(a)=0,故函数f(x)有零点,所以Δ=4b2-4bc≥0,即b≥c,又b≠c,所以b>c,又f(b)=b2-2b2+bc=b(c-b) <0,f(c)=c2-2bc+bc=c(c-b)<0,故b,c均小于a或b,c均大于a,即a<c<b或c<b<a,故选BC.6.(2024·北京海淀区模拟)方程x2-(2-a)x+5+a=0的一根大于1,一根小于1,则(-∞,-2)实数a的取值范围是 .7.(2024·山东潍坊高三模拟)二次方程x2+kx+2k-1=0的两个根x 1与x2,当-2<x1<-1,1<x2<2时,则实数k的取值范围为 .解析由已知设f(x)=x2+kx+2k-1,则当-2<x1<-1,1<x2<2时,满足8.设二次函数f(x)=x2+(a-1)x+a.(1)若该二次函数无零点,求实数a的取值范围;(2)方程f(x)=0的两根为x1,x2,若x1∈(-1,0),x2∈(1,2),求实数a的取值范围.综合 提升练9.(2024·福建厦门高三模拟)若函数f(x)=x2+mx+n在区间(-1,1)上有两个零点,则n2-m2+2n+1的取值范围是( )AA.(0,1)B.(1,2)C.(0,4)D.(1,4)BCD解析令f(x)=m,记g(m)=4m2-4am+2a+3的两个零点为m1,m2,则由f(x)的图象可知:方程4f2(x)-4a·f(x)+2a+3=0有5个不同的实根⇔直线y=m1,y=m2与f(x)的图象共有5个交点⇔-2<m1≤-1,且-1<m2<0(不妨设m1<m2).11.(2024·湖南雅礼中学模拟)若方程(x-2)(x2-4x+m)=0的三个根可以作为一(3,4]个三角形的三条边的长,则实数m的取值范围是 .解析∵方程(x-2)(x2-4x+m)=0有三根,∴x1=2,方程x2-4x+m=0有根,Δ=16-4m≥0,得m≤4.又原方程有三根,且为一个三角形的三边长.∴有x2+x3>x1=2,|x2-x3|<x1=2,而x2+x3=4>2已成立;当|x2-x3|<2成立时,两边平方得(x2+x3)2-4x2x3<4,即16-4m<4,解得m>3.∴3<m≤4.12.(2024·河北石家庄模拟)已知函数f (x )=3x 且f (x )=g (x )+h (x ),其中g (x )为奇函数,h (x )为偶函数.若关于x 的方程2ag (x )+h (2x )=0在(0,1]上有两个不同解,则实数a 的取值范围是( )创 新 应用练A本 课 结 束。
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习题课1.假设8675.41=x ，08675.42=x ，08675.03=x 是由四舍五入得到的近似数，求下列各近似数的误差限：（1）321x x x ++；（2）;21x x （3）21x x 。
解：因为 411021)(-⨯≤x e ，521021)(-⨯≤x e ，531021)(-⨯≤x e（1） 由123123123()()()()()()e x x x e x x e x e x e x e x ++=++=++得 123123()()()()e x x x e x e x e x ++=++)()()(321x e x e x e ++≤5554106102110211021----⨯=⨯+⨯+⨯≤（2）由)()()(211221x e x x e x x x e +≈得 )()()(211221x e x x e x x x e +≈45421121028675.210218675.4102108675.4)()(---⨯=⨯⨯+⨯⨯≤+≤x e x x e x（3）由)()(1)(22211221x e x x x e x x x e -≈得)()(1)(22211221x e xx x e x x x e -≈5524222112103692.1102108675.48675.4102108675.41)()(1---⨯≤⨯⨯+⨯⨯≤+≤x e x x x e x2.用一元二次方程求根公式1,22x a=8位的计算机上求一元二次方程()2991044100x x -++⨯=的根，将求出的计算解与方程的准确解做对比，对你的计算结果给出解释。
3．若1<<ac ，能否用常用的求根公式aacbb x 2422,1-±-=来求根？若不能，请给出说明及更好的求根公式。
4 说明把相对误差的计算公式()***r ex x e x xx-==用公式****e x x xx-=来代替的合理性，并指出这种替代的条件。
设x 为精确值，*x 为其近似值，证明：2211rrr r rre e e e e e -==+-这里,)(xx x x e r -=***-=xx x x e r )(证明： *r r x x x x e e xx**---=-***2*11()()()x x xxx x xx=---=因而 **22**()()r r r x x xxe e e xxx e x *--=⋅=⋅-22*1()11rr re e e x e x=⋅=--， ,)(x x x e -=*或， 22*()()r r r x x x x e e e xxx e x *--=⋅=⋅+221()11rr re e e x e x=⋅=++5.设n 次多项式0111)(a x a xa xa x P n n nn n ++⋅⋅⋅++=--试构造一个计算P n （x ）的算法，使其计算量尽可能小。
6.设,280=y 按递推公式 ⋅⋅⋅=-=-,2,1,78310011n y y n n计算到100y ，若取982.27783≈（5位有效数字），试问计算到100y 将有多大误差？解 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=-=-28,2,1783100101y n y y n n （1）设 ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=⨯-==*-**,2,1,982.271001281n y y y n n n （2）记*-=n n n y y e ，将（1）和（2）相减，得⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=-⨯-==-,2,1),982.27783(1001010n e e e n n递推可得 ⋅⋅⋅=--=,2,1),982.27783(100n n e n因而31001001021)982.27783(-⨯≤--=e e非线性方程求根1.A 为已知数。
2证明对任意初始值01,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由不动点迭代12kx k x -+=，k=0,1,2,……产生的序列{}k x 都收敛于方程2xx -=在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦的唯一根p 。
若要求p 的近似值的误差不超过410-（取初始值023x =），试估计迭代次数。
解：对迭代法()12kx k k x x ϕ-+==有迭代公式()2xx ϕ-=则()2ln 2xx ϕ-'=-对1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有()2ln 2x x ϕ-'=-∈[0.34657, 0.8733 1] 所以有()2ln 2x x ϕ-'=-≤0.87331<1 取 L=0.87331取初始值023x = 则0231220.62996x x --==≈为使解p 的近似值k x 的误差不超过410-，根据误差估计式：10,1kk Lx p x x L-≤--只要 410101kLx x L--<-。
因此k 应取为410lg 10lg 1lg x x Lk L---->≈0.666670.629964lg 10.87331lg 0.87331-⎛⎫-- ⎪-⎝⎭≈58.84667取k=59.于是迭代59次必可使近似解的误差不超过410-3.证明： 设()x ϕ在[],a b 上连续可微，且()01x ϕ'<<，()x x ϕ=在[],a b 上有根*x ，0[,]x a b ∈，但*0x x ≠，则由()1,0,1,2...k k x x k ϕ+==产生的迭代序列{}k x 单调收敛于*x。
证明：因为()x x ϕ=在[],a b 上有根*x ，故有()**x x ϕ=设*0x x b <≤，则由()()**10x x x xϕϕ-=-()()*00x x ϕξ'=-及()01x ϕ'<<知**100x x x x <-<-于是*10x x x <<同理可得**211,,k k x x x x x x +<<<< ，因而{}0k k x ∞=单调下降并以*x 为下界， 所以lim k k x →∞存在，记为x ，由()01x ϕ'<<知方程在[],a b 内的根是唯一的，显然有x =*x 。
所以 *lim k k x x →∞=4.设函数()f x 的导数满足'0()m f x M <≤≤，且0)(=x f 的根存在，x 任意，证明： 任取2(0,)Mλ∈，迭代格式1()k k k x x f x λ+=-对任意初值0x 均收敛于0)(=x f 的根*x 。
证明：由题意可取定义域为R 。
由于0)('>x f ，0)('>x f 为单调函数，又0)(=x f 的根存在，所以方程0)(=x f 的根*x 是唯一的。
由迭代格式1()k k k x x f x λ+=-可以得到迭代函数)()(x f x x λϕ-=且|)('1||)('|x f x λϕ-=又'0()m f x M <≤≤及M20<<λ得2)('0<≤≤<M x f m λλλ所以有 11)('111<-≤-≤-<-m x f M λλλ 故 1|}1||,1max{||)('|<--=≤M m L x λλϕ 此外，显然有()x R x R ϕ∀∈⇒∈由定理知迭代)()(111---=-=k k k k x x f x x ϕλ对任意初值0x 均收敛于0)(=x f 的根*x 。
3.设32()()f x x a =-(1)写出解方程()0f x =的Newton 迭代公式； (2)证明迭代格式是收敛的。
解：(1) 32()()f x x a =-∴23'()6()f x x x a =-构造Newton 迭代公式：1()'()k k k k f x x x f x +=-326k k kx a x x -=-0,1,2,k =(2)3126k k k kx a x x x +-=-∴令32()6x a x x xϕ-=-又可知x *=是()0f x =的根，∴必存在x *的某个邻域，使()x ϕ连续可微且 35'()63a x xϕ=-∴1'()2xϕ*=∴1|'()|12xϕ*=<根据定理可知：存在0δ>，只要初值0x 满足||x x δ*-<，迭代序列{}k x 就收敛于x *。
（局部收敛）得证。
1'()02x ϕ*=≠，是线性收敛。
（重根）。