函数的图像及应用专题
反比例函数的图像和性质的综合应用
解析
根据题意，将点 A（-2 ，3）和点 B（3，-2 ）分别代入两个函数中 ，得到关于 m、k、b 的方程组，解方程组求 得 m、k、b 的值，即 可得到两个函数的解析
式。
05
反比例函数在几何图形中应用
相似三角形判定定理推广
预备定理
平行于三角形的一边，并且和 其他两边相交的线段，所截得 的三角形的三边与原三角形三 边对应成比例。
反比例函数图像在平面直角坐标系中 ，沿y轴方向平移，函数表达式不变， 图像沿y轴平移。
伸缩变换规律
01
当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而减小；
02
当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而增大。
03
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数； k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3
平行四边形面积问题
通过已知相邻两边及其夹角求解面积，或已知面 积和一边长度及夹角求解另一边长度，应用反比 例函数进行求解。
速度、时间、距离关系分析
匀速直线运动问题
通过已知速度和时间求解距离，或已 知距离和时间求解速度，利用反比例 关系建立方程。
变速直线运动问题
曲线运动问题
通过已知速度和方向的变化规律，求 解某时刻的速度或某段时间内的平均 速度及运动轨迹，结合反比例函数进 行综合分析。
解析
根据题意，将点（-2， -1）代入两个函数中， 得到关于 k、m、n 的 方程组，解方程组求得 k、m、n 的值，即可 得到两个函数的解析式 。再将 x = 3 代入两个 函数中，得到关于 k、 m、n 的另一个方程， 与前面的方程组联立求 解，即可得到最终的解
二次函数图像的变化规律及应用
二次函数图像的变化规律及应用引言：二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的图像呈现出一种独特的形态，具有丰富的变化规律和广泛的应用。
本文将从图像的变化规律和应用两个方面，对二次函数进行深入的探讨。
一、图像的变化规律1. 平移变换二次函数的图像可以通过平移变换而得到不同的形态。
平移变换是指在坐标平面上将图像整体向左、右、上、下平移的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当平移向右时，a保持不变，b不变，c减小；当平移向左时，a保持不变，b不变，c增大；当平移向上时，a增大，b不变，c增大；当平移向下时，a减小，b不变，c减小。
通过平移变换，我们可以观察到二次函数图像在平面上的移动轨迹，进而掌握其变化规律。
2. 缩放变换缩放变换是指在坐标平面上将图像整体放大或缩小的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当缩放因子为k时，a不变，b不变，c增大（或减小）k倍。
缩放变换可以改变二次函数图像的大小和形状，通过观察不同缩放因子下的图像，我们可以总结出二次函数图像的缩放规律。
3. 翻折变换翻折变换是指在坐标平面上将图像关于某一直线进行对称的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当翻折轴为x轴时，a不变，b变号，c不变；当翻折轴为y轴时，a变号，b不变，c不变；当翻折轴为直线x=k时，a不变，b变号，c变号。
翻折变换可以改变二次函数图像的位置和形状，通过观察不同翻折轴下的图像，我们可以总结出二次函数图像的翻折规律。
二、图像的应用1. 最值问题二次函数的图像呈现出一个开口朝上或朝下的抛物线形态，通过观察图像的顶点，我们可以得出二次函数的最值。
当抛物线开口朝上时，顶点为最小值；当抛物线开口朝下时，顶点为最大值。
最值问题在实际应用中有广泛的应用，例如在物理学中，我们可以通过最值问题求解物体的最高点或最低点。
2. 零点问题二次函数的图像与x轴的交点称为零点，也叫根或解。
通过观察图像与x轴的交点，我们可以求解二次函数的零点。
函数y=sin(wx+ψ) 的图像性质及应用
第15讲 函数sin()y A wx ϕ=+的图像性质及应用第一部分 知识梳理1.函数sin()y A wx ϕ=+（0x >）的物理概念，振幅A ：表示震动时离开平位置的大距离；频率w ：表示单位时间内往返震动的次数；初像：ϕ；相位：wx ϕ+2. 函数sin()(0)y w k ϕ=±>的图象和函数sin y x =图像的关系（平移）；函数sin (0)y wx w => 的图像和函数y = sinx 图像的关系（周期变换）；函数sin (0)y A x A =>的图像和函数sin y x =图像（振幅变换）3. 作函数sin()y A wx ϕ=+的图像（1） 用“五点法”作图，用“五点法”作sin()y A wx ϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z wx ϕ=+，由z 取30,,,,222ππππ来求出相应的x ，同过列表，计算出五点坐标，描点后得出图像（2） 由函数sin y x =的图像通过变换得到sin()y A wx ϕ=+的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”4. 函数x y sin =的图象得到sin()(0,0)y A wx w ϕϕ=+>>的图象主要有下列两种方法①x y sin =（相位变换）→_______(周期变换) →________(振幅变换)→_________ ②x y sin =(周期变换)→________（相位变换）→________(振幅变换)→_________5. 函数sin()y A wx ϕ=+的性质① 函数sin()y A wx ϕ=+的周期可利用2T wπ=② 判断函数sin()y A wx ϕ=+(0A ω≠)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为sin (0)y A wx Aw =≠或cos (0)y A wx Aw =≠的形式。
③ 求sin()(0,0)y A wx A w ϕ=+>≠的单调区间，一般将wx ϕ+看成一个整体，代入sin y x =相关的单调区间对应的不等式，解之即得。
2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
常用函数图像
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1) 极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质(1) (局部保号性)极限的性质(2) (局部保号性) 极限的性质(3) (不等式性质) 极限的性质(4) (局部有界性) 极限的性质(5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于x tanx等价于x arctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞) 夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性(1) 数列的夹逼性(2) pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练04 函数的图象、零点及应用(含解析)
高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题04 函数的图象、零点及应用考点1 作函数的图象 1.作出下列函数的图象． (1)y ＝⎩⎨⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2；【解析】(1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x ＋2的图象是由y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．考点2 识图与辨图2.已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )【答案】D【解析】法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象； 然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D. 法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.3．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高三模拟）函数()21xy x e =-的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()21xy x e =-，则()21xy x e '=+，1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+<，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+>，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，且12x <时，()210xy x e =-<，所以BCD 均错误，故选：A.4．（2021·吉林高三模拟）函数()6cos 2sin xf x x x=-的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数()6cos 2sin xf x x x=-为奇函数，所以排除选项BC ，又当0x >时，()f x 第一个零点为2x π=，所以令4x π=，则有222sin 0,cos0242x x ππ--=>=>，所以排除D.故选：C 考点3 函数图象的应用 考向1 研究函数的性质5.已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 【答案】C【解析】将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．6．（2021·山东烟台高三模拟）设函数()2,01,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．()0,∞+ C ．()1,0- D ．(),0-∞【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象如下图所示：所以，函数()f x 在(),0-∞上为减函数，且当0x ≥时，()1f x =， 因为()()12f x f x +<，观察图象可得2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是(),0-∞.故选：D. 考向2 求不等式解集7.若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2] B.)1,22(C ．(1，2) D ．(2，2) 【答案】A【解析】要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．8.（2021·甘肃省会宁县第一中学高三模拟）已知)(f x 在R 上是可导函数，)(f x 的图象如图所示，则不等式)()(2230x x f x '-->解集为（ ）A ．)()(,21,-∞-⋃+∞B ．)()(,21,2-∞-⋃C ．)()()(,11,02,-∞-⋃-⋃+∞D ．)()()(,11,13,-∞-⋃-⋃+∞ 【答案】D【解析】原不等式等价于()22300x x f x '⎧-->⎪⎨>⎪⎩或()22300x x f x '⎧--<⎪⎨<⎪⎩，结合)(f x 的图象可得，3111x x x x ><-⎧⎪⎨-⎪⎩或或或1311x x -<<⎧⎨-<<⎩，解得1x <-或3x >或11x -<<．故选：D ． 考点4 函数图象对称性的应用9.已知lga ＋lgb ＝0，函数f(x)＝a x 与函数g(x)＝－log b x 的图像可能是( )【答案】B【解析】∵lga ＋lgb ＝0，∴lgab ＝0，ab ＝1，∴b ＝1a .∴g(x)＝－log b x ＝log a x ，∴函数f(x)与g(x)互为反函数，图像关于直线y ＝x 对称，故选B.10．（2021·云南高三模拟）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且满足()()11f x f x =+-，当(]0,1x ∈，()ln f x x =，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为1B ．函数()f x 在()0,2021内单调递增C ．函数()f x 相邻两个对称中心的距离为2D ．函数()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点 【答案】D【解析】由()()11f x f x =+-得：()()2f x f x +=，()f x ∴最小正周期为2，A 错误； 当(]0,1x ∈时，()ln f x x =，又()f x 为R 上的奇函数，则()00f =， 可得()f x 大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 在()0,2021上没有单调性，B 错误；()f x 的对称中心为()()0,k k Z ∈，则相邻的对称中心之间距离为1，C 错误；()ln y f x x =+在区间()0,2021内的零点个数等价于()f x 与ln y x =-在()0,2021内的交点个数，在平面直角坐标系中画出()f x 与ln y x =-大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 与ln y x =-在每个()()2,22k k k Z +∈内都有1个交点，且在区间内的交点横坐标等于或小于21k +，∴两个函数在()0,2021内有1010个交点，即()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点，D正确.故选：D.11．（2021·山东淄博高三模拟）已知函数()y f x =的定义域为{|0}x x x ∈≠R ，，且满足()()0f x f x --=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由()()0f x f x --=得函数()f x 为偶函数，排除A 、B 项， 又当0x >时，()ln 1f x x x =-+，∴(1)0f =，()20f e e =-<.故选:D 考点5 判断函数零点所在的区间12.设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间)1,1(e，(1，e)内均有零点B ．在区间)1,1(e，(1，e)内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】D【解析】法一：图象法 令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图， 显然y ＝f (x )在)1,1(e内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法当x ∈),1(e e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x <0，所以函数f (x )在),1(e e 上单调递减．又f )1(e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．13．（2021·黑龙江高三模拟）函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（）A ．()1,2B ．()1,0-C ．()0,1D ．()2,1--【答案】D【解析】如图，绘出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数29y x =+的图像，结合图像易知，函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是()2,1--，故选：D.考点6 判断函数零点(或方程根)的个数14.(2021·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解方程法，令f (x )＋3x ＝0， 则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.15．（2021·山东潍坊高三模拟）已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围（ ） A ．()1,0- B ．[]1,0-C ．（0，1）D ．[]0,1【答案】C【解析】因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点．作出函数()y f x =图象，由图可知，实数m 的取值范围是(0,1)．故选：C ．16．（2021·浙江镇海中学高三模拟）函数4()log (||1)cos f x x x π=+-的零点个数为（ ） A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】令()4log (||1)x g x =+ ，因为10x +>恒成立，则()g x 的定义域为R ， 由()()44log (||1)log (||1)x g x x g x --+=+==，所以()g x 为偶函数， 当0x >时，()4log (1)g x x +=，在()0,∞+上单调递增，令()cos h x x π=， 分别画出()g x 与()h x 的函数图象，由图可知，()g x 与()h x 有六个交点， 即函数4()log (||1)cos f x x x π=+-有六个零点.故选: D.考点7 函数零点的应用 考向1 根据零点的范围求参数17.若函数f(x)＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2) 【答案】C【解析】由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a －3)<0，解之得0<a<3.18．（2021·浙江高一期末）已知函数()()2log 1,1212,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，若函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．()2,3C ．(]3,4D ．()2,+∞【答案】A【解析】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，分别画出()y f x =与()h x k =的图象，如图所示，5(1)2f -=，观察图象可得，当522k <≤时，两图象有3个交点，即函数()()F x f x k =-恰有3个零点.故选：A.19．（2021·江西高三模拟）设函数,10()11,01(1)x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，若函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,{0}4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】因为()(),1011,011x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩所以(),1011,011x x f x x x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，其图象如下：函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，等价于()40f x t -=在区间()1,1-内有且仅有一个实数根，又等价于函数()y f x =的图象与直线4y t =在区间()1,1-内有且仅有一个公共点. 于是41t ≤-或40t =，解得14t ≤-或0t =.故选：D 考向2 已知函数零点或方程根的个数求参数20．（2020·湖南高三模拟）已知函数2141,0()1,02x x x x f x x +⎧-+≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()g x f x a =-恰好有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[0,1) B ．(0,1)C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由条件可知()0f x a -=()a f x ⇒=()()g x f x a =-恰好有3个零点，等价于y a =与()y f x =有3个交点，如图画出函数的图象，由图象可知112a <≤.故选：D21.(2021·安庆摸底)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】]2,41[-【解析】∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝2)412(-x －14，∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈]2,21[，∴2)412(-x －14∈]2,41[-∴实数a 的取值范围是]2,41[-考点8 用函数图象刻画变化过程22.甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④ 【答案】B【解析】由题知速度v ＝st 反映在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图①符合，乙与图④符合．23．（2021·重庆高三模拟）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，xhr H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r r πππ⋅=⇒=⇒=⋅，而,,r H v 都是常数，即2323H v r π是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h tr π=⋅，203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=⋅>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同.故选：A 24．（2021·浙江高三模拟）如图，设有圆O 和定点C ，当l 从0l 开始在平面上绕O 匀速旋转（旋转角度不超过90︒）时，它扫过圆内阴影部分面积S 是时间t 的函数，它的图像大致是如下哪一种（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当直线l 从初始位置0l 转到经过点C 的过程中阴影部分面积增加的越来越快，图像越来越“陡峭”；l 从过点C 的位置转至结束时阴影部分面积增加的越来越慢，图像越来越“平缓”，故选：C.考点9 应用所给函数模型解决实际问题25.某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表： 月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元 D ．10元 【答案】A【解析】根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.26．（2021·湖南高三期末）某工厂8年来某种产品年产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示.以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年到第八年每年的年产量保持不变. 其中说法正确的序号是________. 【答案】②④【解析】由图可知，前3年的产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确； 第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确； 综合所述，正确的为：②④. 故答案为：②④.27．（【百强校】福建师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题）如图所示，边长为 1的正方形PABC 沿 x 轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处，点B 恰好能经过原点．设动点P 的纵坐标关于横坐标的函数解析式为()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x = 是偶函数； ②()y f x =是周期为 4 的函数；③函数 ()y f x =在区间[10，12] 上单调递减； ④函数 ()y f x = 在区间[1，1] 上的值域是[1，2] 其中判断正确的序号是_______．(写出所有正确结论的序号) 【答案】①②④【解析】当2x 1-≤<-时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆当1x 1-≤<时，P 的轨迹是以B 为圆心，半径为2的14圆 当1x 2≤<时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆当2x 3≤≤时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆 故函数的周期为4因此最终构成图象如下所示：①根据图象的对称性可知函数()y f x =是偶函数；故正确②由图可得()f x 的周期为4，故正确③函数()y f x =在区间[2，4]上为增函数，故在区间[10，12]上也是增函数，故错误 ④在区间[1，1]上的值域是[1，2]，故正确 综上，正确的序号是①②④考点10 构建函数模型解决实际问题 考向1 构建二次函数模型28.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计) 【答案】2 500【解析】设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )． 当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)．29．（2021·四川高三模拟）某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为6元，即最初3km （不含3km ）计费6元.若某人乘坐该市的出租车去往13km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么他需要支付的车费为_____. 【答案】19.2【解析】乘车距离为x km ，车费为y 元，由题意得：6,036 1.2,346 1.22,456 1.23,56x x y x x <<⎧⎪+≤<⎪⎪=+⨯≤<⎨⎪+⨯≤<⎪⎪⎩， 所以当13x =时，()6132 1.219.2y =+-⨯=元，所以他需要支付的车费为19.2元，故答案为：19.230（2021·河南郑州一中高三模拟）在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份x 的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为100.5万元、202万元和304.5万元．当改造后累计纯收入首次多于不改造的累计纯收入时，x =（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】A【解析】不妨设投产后的累计收入2y ax bx c =++，则100.520242304.593a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1,100,02a b c ===， 211002y x x ∴=+， ∴改造后累计纯收入为215001005002y x x -=+-， 不改造的累计纯收入为()10020x -，令()21100500100202x x x +->-， 即212050002x x +->， 解得201014x >-+201014x <--，20101417.4x ∴>-+，x N *∈，x 的最小值为18.故选：A 考向2 构建指数函数、对数函数模型31.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况【答案】B【解析】设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．32.声强级1L （单位：dB ）与声强I 的函数关系式为：11210lg 10I L -⎛⎫= ⎪⎝⎭.若普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ） A ．610倍B ．510倍C ．410倍D ．310倍【答案】B【解析】设普通列车的声强为1I ，高速列车的声强为2I ，因为普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，所以1129510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2124510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()11129510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得12.5lg I -=，所以 2.5110I -=， ()22124510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得27.5lg I -=，所以7.5210I -=， 两式相除得 2.5517.52101010I I --==， 则普通列车的声强是高速列车声强的510倍.故选：B.33．（2020·重庆市酉阳第一中学校高三月考）为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出著名的普森公式：22112.51g E m m E -=-，联系两个天体的星等1m ､2m 和它们对应的亮度1E ､2E .这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是1.26，猎户星座的“参宿一”星等是1.76，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的（ ）倍.（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.567B ．1.568C ．1.569D ．1.570 【答案】B【解析】设“十字架三”的星等是1m ，“参宿一”的星等是2m ，“十字架三”的亮度是1E ，“参宿一”的亮度是2E ，则1 1.26m =，2 1.76m =，设12E rE =， 两颗星的星等与亮度满足22112.51gE m m E -=-， 211.76 1.26 2.51g E E ∴-=-，0.21210E E =0.22101 2.30.2 2.7(0.2) 1.568r ∴=≈+⨯+⨯=，∴与r 最接近的是1.568，故选B ． 考向3 构建分段函数模型34（2021·广东江门市·高三模拟）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（时）之间近似满足如图所示的图象．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为___________小时．【答案】7916【解析】当01t ≤≤时，函数图象是一个线段，由于过原点与点()1,4，故其解析式为4,01y t t =≤≤，当 1t ≥时，函数的解析式为12t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()1,4M 在曲线上，所以1142a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得 3a =， 所以函数的解析式为31,12t y t -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭， 综上，34(01)()1(1)2t t t y f t t -≤<⎧⎪==⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，由题意有340.2510.252t t -≥⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1165t t ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，所以1516t ≤≤， 所以服药一次治疗疾病有效的时间为17951616-=个小时，故答案为：7916． 35．（2020·福建三明市·三明一中高三期中）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是21300,0300()245000,300x x x P x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≥⎩，则总利润最大时店面经营天数是__________，最大总利润是__________．【答案】200 10000元【解析】由题意，0300x ≤<时，221130010010000(200)1000022y x x x x =---=--+，200x ∴=时，10000max y =；300x ≥时，4500010010000350001005000y x x =--=-≤，200x ∴=天时，总利润最大为10000元 故答案为：200, 10000元。
高三数学专题教案函数图像的变换及应用_
芯衣州星海市涌泉学校2021届高三数学专题教案：函数图像的变换及应用一．知识梳理复习函数图像的变换：(1)、奇偶函数图象的对称性；(2)、假设f(x)满足f(a+x)=f(b －x)那么f(x)的图象以2a b x+=为对称轴;特例：假设f(a+x)=f(a －x)那么f(x)的图象关于x=a 对称。
(3)、假设f(x)满足f(a+x)=-f(b －x)那么f(x)的图象以(,0)2a b +为对称中心;特例：假设f(a+x)=-f(a －x)那么f(x)的图象以点〔a,0〕为对称中心。
(4)、假设f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c 那么f(x)的图象关于点(,)22a b c +中心对称。
二．例题讲解例1、求函数y=f 〔1-x 〕与函数y=f 〔x-1〕的图象对称轴方程？〔1〕．对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题： ①假设)(x f 是奇函数，那么)1(-x f 的图像关于点)0,1(A 对称；②假设对R x ∈，恒有)1()1(-=+x f x f ，那么)(x f 的图像关于直线1=x 对称； ③假设函数)1(-x f 的图像关于直线1=x 对称，那么)(x f 为偶函数； ④函数)1(x f +与函数)1(x f -的图像关于直线1=x 对称．其中正确命题的序号为______________________．例2、设f(x)=x+1,求f(x+1)关于直线x=2对称的曲线的解析式。
例3、设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2－1,求f(x)的解析式。
例3、设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01,||1|lg |)(x x x x f ，那么关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f有7个不同实数解的充要条件是〔〕(A)0<b 且0>c(B)0>b 且0<c (C)0<b 且0=c (D)0≥b 且0=c 例4．函数)(x f 的图像与函数21++=x x y 的图像关于点)1,0(A 对称． 〔1〕求)(x f 的解析式；〔2〕假设xa x f x g +=)()(且)(x g 在区间]2,0(上为减函数，求正数a 的取值范围． 例5、函数4(1)|1|()2(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩〔1〕作出函数()y f x =的大致图像． 〔2〕〔考虑题〕假设关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的实数解123x x x 、、，求222123x x x ++的值．三、课后习题：1、设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2－1,求f(x)的解析式。
函数图像专题PPT课件图文
2．(2011·福州质检)函数y＝log2|x|的图象大致是( ) 答案 C 解析 函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，图象关于y轴对称，应选C.
答案 A
4．(08·山东)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则a的值为( ) A．3 B．2 C．1 D．－1 答案 A 解析 ∵函数f(x)图象关于直线x＝1对称，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(2)＝f(0)．即3＋|2－a|＝1＋|a|，用代入法知选A.
思考题1 将函数y＝lg(x＋1)的图象沿x轴对折，再向右平移一个单位，所得图象的解析式为________． 【答案】 y＝－lgx
题型二 知式选图或知图选式问题 例2 (2011·合肥模拟)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为( )
【解析】 首先分析奇偶性，知函数为偶函)＝1，∴选A.
1.函数图象的三种变换 (1)平移变换：y＝f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位，得到y＝f(x＋a)的图象；y＝f(x－b)(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移b个单位而得到；y＝f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位，得到y＝f(x)－b的图象；y＝f(x)＋b(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向上平移b个单位而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减上加下减．
【答案】 C
题型三 函数图象的对称性 例3 (1)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为________________． (2)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于( ) A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
函数的图像和性质
用到数形结合、函数与方程、转化与 化归等数学思想，用好这些思想方法 解题就会事半功倍。
函数的图象和性质专题复习
课堂练习
1. 设函数 f ( x) ln(1 x) ln(1 x) ，则 f ( x) 是 （ A.奇函数，且在 (0,1) 上是增函数 C.偶函数，且在 (0,1) 上是增函数
函数的图象和性质
专题复习
董波
重庆市江津第八中学校
函数的图象和性质专题复习
学过的初等函数
一次函数 二次函数 指数函数 对数函数
反比例函数
三角函数
幂函数
……….
函数的图象和性质专题复习
函数的主要性质
定义域 值 域 奇偶性 周期性
最 值
单调性
对称性
………
函数的图象和性质专题复习
考向分析
函 数 的 图 象 和 性 质
y 的取值范围是 x 1
3 0， 4
作图分析
函数的图象和性质专题复习
考点突破
y
-1
3 k= 4
.
o
1 2
k=0
x
函数的图象和性质专题复习
考点二：函数的性质
考点突破
2
例 2.已知函数 f ( x) x sin x( x R) ，且 f ( x 3x) f ( x 8) 0 ，
有 8 个不同的零点，则实数 b 的取值范围为
1 由方程t bt 1 0得b t ， t 典型错误！！！ 且t 0,4 ，则b 2, .
2
函数的图象和性质专题复习
考点突破
分析： 方程t bt 1 0有两不同根t 、t , 1, 且t t b,t t 1, 对于b t 1 中的 t 和 t t 就应视为t ,t ,
最全一次函数图像专题(带解析)完整版.doc
最全一次函数图像专题(带解析)完整版.doc最全一次函数图像专题(带解析)完整版一次函数也称为一次方程或线性方程，是数学中的重要概念。
在本专题中，我们将详细讨论一次函数的图像及相关概念和性质。
一、一次函数的定义与性质一次函数是指形如y = kx + b的函数，其中k和b为常数，k 称为斜率，b称为截距。
一次函数的图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。
二、一次函数的图像特征1. 斜率k的正负决定了直线的倾斜方向。
当k为正数时，直线向右上方倾斜；当k为负数时，直线向右下方倾斜。
2. 斜率k的绝对值决定了直线的倾斜程度。
绝对值越大，倾斜程度越大。
3. 当k为0时，直线为水平线；当k不存在时，直线为竖直线。
三、一次函数图像的基本形状1. 当k>0时，直线从左下方向右上方倾斜。
2. 当k=1时，直线为45°斜线。
3. 当k=-1时，直线为水平斜线。
4. 当k=0时，直线为水平线。
5. 当k不存在时，直线为竖直线。
四、一次函数的图像平移1. 沿x轴平移的结果：将y = kx + b中的b替换为b'，则得到的函数为y = kx + b'。
平移后的直线与原直线平行，斜率不变，但截距发生了变化。
2. 沿y轴平移的结果：将y = kx + b中的k替换为k'，则得到的函数为y = k'x + b。
平移后的直线与原直线平行，截距不变，但斜率发生了变化。
五、一次函数的图像伸缩1. 垂直伸缩的结果：将y = kx + b中的k替换为ak，其中a 为正数。
当a>1时，直线变得更陡峭；当0<a<1时，直线变得更平缓。
2. 水平伸缩的结果：将y = kx + b中的x替换为x/a，其中a为正数。
当a>1时，直线变得更平缓；当0<a<1时，直线变得更陡峭。
六、一次函数的解析法与图像的关系1. 斜率k的正负决定了图像的倾斜方向。
二次函数的图像性质及应用
二次函数的图像性质及应用二次函数是一种代数函数，由形如f(x) = ax^2 + bx + c 的方程定义，其中a、b、c为实数且a不等于0，x为自变量，f(x)为因变量的值。
在二次函数的图像性质及应用方面，可以从以下几个角度来进行解析。
一、图像性质1. 平移性质：二次函数的图像可以根据a、b、c的值进行平移。
当c不为0时，图像沿y轴平移c个单位；当b不为0时，图像沿x轴平移-b/2a个单位；当a 不为0时，图像的开口方向取决于a的正负性，开口向上（a>0）或者开口向下（a<0）。
2. 对称性质：二次函数的图像关于y轴对称。
这是因为二次函数的方程中只有x 的二次项没有一次项，故图像关于y轴对称。
3. 零点性质：二次函数的零点是指函数值为0的x值。
对于一般的二次函数，它将有两个零点，除非它开口向上或开口向下且顶点位于x轴上，此时则只有一个零点。
4. 首项分类：当a>0时，二次函数的图像开口向上，称为正二次函数；当a<0时，二次函数的图像开口向下，称为负二次函数。
首项a的正负性决定了二次函数的凹凸性。
二、应用1. 自然科学中的运动学问题：二次函数可以用来描述自然界中物体的运动状态。
例如，自由落体运动中物体的下落高度与时间的关系可以用二次函数来表示。
2. 经济学中的成本与收益问题：在经济学中，很多问题可以用二次函数来建模。
例如，成本与产量之间的关系、价格与需求之间的关系等。
3. 地理学中的地形分析：地理学中，二次函数可以用来描述地形的变化。
例如，山谷河流的横断面、地势的坡度等。
4. 工程学中的建模问题：在工程学中，二次函数可以应用于许多建模问题，如桥梁设计、弹道分析等。
总结起来，二次函数的图像性质包括平移性质、对称性质、零点性质和首项分类。
而其应用领域广泛，包括自然科学中的运动学问题、经济学中的成本与收益问题、地理学中的地形分析以及工程学中的建模问题等。
通过对二次函数的图像性质及应用的深入理解，可以更好地应用于实际问题的建模与求解。
第12讲 函数的图像(精讲)
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第12讲函数的图像（精讲）①画函数的图像一、基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数．二、描点法作图要点描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．(3)描点、连线．三、函数图像变换（1）平移变换提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减．一、必备知识整合（2）对称变换①y ＝f (x )的图象―――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象―――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象． （3）含绝对值的对称变换①()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示①()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）．注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． （4）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到．①()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到．1.若)()(x m f x m f -=+恒成立，则)(x f y =的图像关于直线m x =对称．2.设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)(m x f y -=与)(x m f y -=)0(>m 的图象关于直线m x =对称．3.若)()(x b f x a f -=+，对任意∈x R 恒成立，则)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称．4.函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图象关于直线2a bx +=对称． 5.函数..()y f x =..与函数(2)y f a x =-的图象关于直线x a =对称． 6.函数()y f x =与函数2(2)y b f a x =--的图象关于点()a b ，中心对称． 7.函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．【题型一 画函数的图像】作函数图象的两种常用方法【典例1】（2024高三·全国·专题练习）画下列函数的图象 (1)lg y x =；(2)221y x x =--.一、解答题1．（2024高三·全国·专题练习）（1）利用函数f （x ）＝2x 的图象，作出下列各函数的图象． ① y ＝f （－x ）; ① y ＝f （|x |）; ① y ＝f （x ）－1；① y ＝|f （x ）－1|；① y ＝－f （x ）；① y ＝f （x －1）. （2）作出下列函数的图象．二、考点分类精讲① y ＝（12）|x |；① y ＝|log 2（x ＋1）|； ① y ＝211x x --. 2．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知函数()2,01,0132,1x x xf x x x x x ⎧≤⎪-⎪=<<⎨⎪--≥⎪⎩.(1)画出函数()f x 的图象；(2)当()2f x ≥时，求实数x 的取值范围，【题型二 已知解析式选图像】辨析函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．A．B．C．D．一、单选题1．（23-24高三下·天津·阶段练习）函数()f x=）A．B．C．D．2．（2024·四川·模拟预测）数形结合思想是数学领域中一种核心的思想方法，它将数的概念与几何图形的特性相结合，从而使抽象的数学问题具体化，复杂的几何问题直观化.“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合简洁而有力的表达.数与形是不可分割的统一体，彼此相互依存.已知函数()) cos ln2f x x x=，则()f x的图象大致是（）A．B．C ．D ．3．（2024·陕西商洛·模拟预测）函数cos sin y x x x =-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2024·湖北·模拟预测）函数()12e e ln xxf x x =--的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2024·四川·模拟预测）函数()()321ln f x x x x =--的大致图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【题型三 已知图像选解析式】【典例1】（单选题）（2024·天津·二模）函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()2ln 1x f x x =+B ．()2e e x xf x x --=C ．()21x f x x-=D ．()ln x f x x=一、单选题1．（2024·天津·二模）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）．A ．()e 1e 1x xf x +=- B ．()e 1e 1x x f x -=+C ．()2f x D ．()f x =2．（2024·广东广州·一模）已知函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()sin(tan )f x x =B ．()tan(sin )f x x =C ．()cos(tan )f x x =D ．()tan(cos )f x x =3．（2024·陕西汉中·二模）已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．sin ()e e x x x xf x ---=+B ．cos ()e e x x x xf x --=+C ．sin ()e e x xx xf x -+=+D ．cos ()e e x xx xf x -+=+4．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．sin ()3xf x = B ．cos ()3xf x =C ．sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．cos 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭5．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园”一首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）A ．y =B ．y =C ．y =D ．y 6．（2024高三·全国·专题练习）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【题型四 函数图像的平移、对称、伸缩变换】【典例1】（单选题）（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数1xy x =-的图象，只需将函数1y x =的图象（ ）A ．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度一、单选题1．（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数1xy x =-的图象，只需将函数1y x=的图象（ ）A ．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度2．（2024·北京西城·二模）将函数()tan f x x =的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ） A ．1tan -xB ．1tan --xC ．tan (1)--xD ．tan (1)-+x3．（2024·四川南充·二模）已知函数()3=f x x，则函数()11y f x =-+的图象（ ） A ．关于点()1,1对称 B ．关于点()1,1-对称 C ．关于点()1,0-对称D ．关于点()1,0对称4．（2024·重庆·三模）设函数()22xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()21f x -+ B ．()22f x -+ C ．()22f x ++D ．()21f x ++5．（22-23高二上·贵州遵义·期末）已知函数()f x 的图象如下图所示，则(|1|)f x +的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2024·辽宁·三模）已知对数函数()log a f x x ，函数()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（ ）A ．32 B ．23 C D【题型五 函数图像的其他应用】 函数图像的其他应用1.利用函数图象研究不等式【典例1】（单选题）（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数21,2,()3,2,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩若函数()y f x =图象与直线y k =有且仅有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．0k >B ．01k <<C ．03k <<D ．13k <<一、单选题1．（2024高二下·湖南·学业考试）如图，已知函数y x =的图象与函数y x m =-的图象关于直线1x =对称，则m =（ ）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．22．（2024·广东江门·二模）若函数()f x 的图象与圆22:4C x y +=恰有4个公共点，则()f x 的解析式可以为（ ） A ．()|||2|f x x =-B ．2()2||f x x x =-C ．()22x f x =-D ．2()lg f x x =3．（2024·北京昌平·二模）已知函数()()24,1,ln 1, 1.x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩若对任意的x 都有()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．[]4,0-C ．[]3,0-D ．(],2-∞4．（23-24高一下·安徽·阶段练习）定义在[]1,6-上的()f x 满足对()()22log 2,26(1),12x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨--≤≤⎪⎩，关于x 的方程()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦有7个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．[]1,2C ．(]2,4D ．(]1,4二、多选题5．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数()ln f x x =，则（ ） A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 是偶函数D ．函数()f x 是增函数6．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数23log ,02(),1()1,22x x x f x x -⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩()()g x f x k =-，则（ ） A ．()f x 的值域为()1,∞-+B ．若()g x 有1个零点，则0k <或1k >C ．若()g x 有2个零点，则0k =或1k =D ．若()g x 的3个零点分别为：1x ，2x ，3123()x x x x <<，则123x x x 的取值范围为()2,3。
中考数学专题复习：二次函数图象综合应用
图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小． 对称轴 2bx a=-（或x h =）． 顶点坐标(2ba-，24)4ac b a -或(h ，)k ． 单调性当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大（如图1）；知识互联网思路导航题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小（如图2）与坐标轴的交点① 与y 轴的交点：()0c ，； ② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的两根．图象与x 轴的交点个数① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点． ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．Ⅰ当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()a c ，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） 例题精讲典题精练A ．B ．C ．D ．⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为()02，-，则下列结论中，正确的是（ ）A ．k a b +=2B ．k b a +=C ．0＞＞b aD ．0＞＞k a【解析】 ⑴ B. ⑵ B ．⑶D.【例2】 ⑴ 如图，抛物线2y ax bx c =++，OA OC =，下列关系中正确的是（）A ．1ac b +=B ．1ab c +=C ．1bc a +=D ．1ac b+= ）⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为 ．【解析】 ⑴ A ．提示：把()0c -，代入2y ax bx c =++即可．⑵ 12-．提示：先把B ()0c ，代入2y ax bx c =++，得1ac b =--，再把()0c ，代入()()2y a x c x c =+-即可．【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示，有以下结论：①ac b 42-＞0；②01=++c b ；③063=++c b ；④当1＜x＜3时，()012＜c x b x +-+．其中正确的为．⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C ．对称轴在y 轴的右边得0ab <（由开口向下得0a <，故0b >），抛物线与y 轴交于正半轴得0c >，∴0abc <，①不正确；当1x =-时，函数值为0a b c -+<，②不正确； 当2x =时，函数值420a b c ++>，③正确；其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等，函数值相等得42a b c c ++=，∴2b a =-代入0a b c -+<，32bc <，即23c b <，④正确；当1x =，∵1m ≠，2max y a b c am bm c =++>++，可知⑤正确；由对称轴12ba-=得20a b +=，故⑥正确；抛物线与x 轴有两个交点，故240b ac ->，故⑦不正确；0a b c ++>，0a b c -+<，故()220a c b +-<，故⑧不正确．对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--,如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；b 思路导航例题精讲题型二：二次函数的最值⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，则代数式6822+-k k 的最小值 为 ．⑵ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑶当12x ≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，∴m 、n 、k 最小为0，当n =0时，k 最大为：21；∴210≤≤k ，故最小值为2.5．⑵ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例5】 如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且与抛物线221y ax ax =--相交于典题精练A B ，两点．⑴ 求a 值； ⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；⑶ 设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点()0Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C D ，两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，∴1191428a a -++=，解得12a =．⑵ 由⑴知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--．当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =．∵点M 在点N 的左边，∴2M x =-，1N x =． 当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． ∵点E 在点F 的左边，∴1E x =-，2F x =．∵0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 关于y 轴对称，点N 与点E 关于y 轴对称． ⑶ ∵102a =>．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． 根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消y可解得12x x ==，则当0x =时，CD 的最大值为2．【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)， 则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，∵0a <，据图象得对称轴在y 轴左侧，∴0b <∴()10a -+<，∴1a >-于是有10a -<<． ⑵ 由图象可知0a >．又顶点在y 轴的右侧，在x 轴的下方，则：02ba->，2404ac b a -<，∴0b <． 又∵当0x =时，1y c =-=当0y =时，1x =-，∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<．∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<，即20a b c -<++<．精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系． ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于a b c ，，的等式． ⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．例. 2y ax bx c =++的图象如图所示．设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--， 则（ ）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0分析：依题意得0a >，012ba<-<，∴0b <，20a b +>，20a b ->， 又当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+>，故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<，故选C ．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲) 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例．求2()22f x x ax =-+在[24]，上的最大值和最小值． 分析： 先求最小值．因为()f x 的对称轴是x a =，可分以下三种情况：⑴ 当2a <时，()f x 在[24]，上为增函数，所以min ()(2)64f x f a ==-； ⑵ 当24a ≤≤时，()f a 为最小值，2min ()2f x a =-；⑶ 当4a >时，()f x 在[24]，上为减函数，所以min ()(4)188f x f a ==-．综上所述：2min 64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤最大值为(2)f 与(4)f 中较大者：(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+，（1）当3a ≥时，(2)(4)f f ≥，则max ()(2)64f x f a ==-； （2）当3a <时，(2)(4)f f <，则max ()(4)188f x f a ==-．故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24]，的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较(2)f 与 (4)f 的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两 种情况． 3、轴定区间动：例．若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ，求函数()g t 当[32]t ∈-，时的最值． 分析：2()(1)1f x x =-+，按直线1x =与区间[1]t t +，的不同位置关系分类讨论：若1t >，则2min ()()(1)1f x f t t ==-+；若11t t +≤≤，即01t ≤≤，则min ()(1)1f x f ==； 若11t +<，即0t <，则2min ()(1)1f x f t t =+=+．∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞，内是减函数，在[01]，内是常值函数，在(1)+∞，内是增函数，又(3)(2)g g ->，故在区间[32]-，内，min ()1g t =（当01t ≤≤时取得），max ()(3)10g t g =-=．小结：（i ）解此类问题时，心中要有图象；（ii ）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标．因此， 可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题．设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x ＜，ac b 42-=∆，方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f ．1．当方程有一根大于m ，另一根小于m 时，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ；2．当方程两根均大于m 时，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， m ab2-，()0＞m af ； 3．当方程两根均在区间()n m ，内，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， n abm ＜＜2-，()0＞m af ，()0＞n af ； 4．当两根中仅有一根在区间()n m ，内，对应函数()x f 的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件： ()()0＜n f m f ⋅；5．当两根在区间[]n m ，之外时：对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ，()0＜n af ；6．当两根分别在区间()n m ，、()t s ，内，且s n ≤，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＞m af ，()0＜n af ，()0＜s af ， ()0＞t af ．小结： 由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式ac b 42-=∆的符号；②对称轴abx 2-=的位置分布；③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号．例．若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2，求实数m 的取值范围． 分析：令()1222+-+=m mx x x f ，如图得充要条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422＞＞m m m f m m ，解得4316-≤-m ．训练1. 已知：a b c >>，且0a b c ++=，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的（ ）A B C D【解析】 B ．由a b c >>，且0a b c ++=，可得0a >， 0c <，且过()10，点，由a b c >>，且a b c ++=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：a b a b >>--，∴112ba -<<， ∴11224b a -<-<．另一方法：∵a b >，∴330a b ->，330a b a b c -+++>，从而得到420a b c -+>．训练2.已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <，则对于下列结论：⑴ 当2x =-时，1y =；⑵ 当2x x >时，0y >；⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ；⑷11x <-，21x >-；⑸21x x -=确的结论是______.（只需填写序号）【解析】 ⑴⑶⑷．当2x =-时，代入得1y =，故⑴正确；因为k 的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当2x x >时，0y >，故⑵不正确；联立方程()22110y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=，抛物线与x 轴有两个交点，即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根．当1x =-时，y k =-，若0k >，0y k =-<，若0k <，0y k =->，故⑷正确．21x x -=.训练3. 如图所示，二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ，交y 轴于C ，当线段AB 最短时，求线段OC 的长．【解析】 设1(A x ，0)，2(B x ，0)，思维拓展训练(选讲)则1x ，2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根，则12AB x x =-=== 当4a =时，AB 取最小值，即最短，此时，抛物线为221y x x =--， 可求得C 的纵坐标为1-，即线段OC 的长是1．训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象，先取自变量x 的7个值满足：213276x x x x x x d -=-==-= ，再分别算出对应的y 值，列出表1：表1：x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-，232m y y =-，343m y y =-，454m y y =-，…； 121s m m =-，232s m m =-，343s m m =-，… ⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系；⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”，列出表2：表2：x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y其他条件不变，判断1s 、2s 、3s 之间关系，并说明理由；⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，列出表3： 表3： x 1x 2x 3x4x 5x 6x7x y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心，表3中有一个y 值算错了，请指出算错的y 值（直接写答案）．【解析】 ⑴ 123s s s ==；⑵ 123s s s ==．证明：()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦ 同理22322s m m ad =-=，23432s m m ad =-=． ∴123s s s ==．⑶ 表中的420改为410．题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 ⑴ A ．⑵ D ．【练习2】 如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经点()12-，和()10，且与y 轴交于负半轴．⑴ 下列四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=， 其中正确的结论的序号是 ． ⑵给出下列四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >．其中正确的结论的序号是 ．【解析】 ⑴图象开口向上得0a >；对称轴02ba->可得0b <；当0x =时，0y <，即0c <；由1x =时，0y =，即0a b c ++=．故①④．⑵由⑴可知0abc >；对称轴12ba-<，∴20a b +>；∵点()12-，和()10，在抛物线上，代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=，得1a c =-，∵0c <，∴11c ->，即1a >．A BCD复习巩固故②③④．【练习3】 如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（ ）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．102b -<< D ．01b <<【解析】 B ．【练习4】 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示，⑴判别a ，b ，c 和24b ac -的符号，并说明理由； ⑵如果OA OC =，求证：10ac b ++=【解析】 ⑴ 解：因为抛物线开口向上，0a >．因为抛物线与y 轴交于负半轴，0c <．又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧，02ba->，即a ，b 异号，由0a >，得0b <． 因为抛物线与x 轴有两个交点，所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，所以其判别式240b ac ->．⑵ 证明：由于C 点坐标为()0c ，，而OA OC =，所以A 点坐标为()0c ，，把()0A c ，代入2y ax bx c =++，得20ac bc c =++． 因为0c ≠，所以10ac b ++=．题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥， ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=. 等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=， ∴ a m =.当2x =时，222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-，22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，22211273363(24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =，得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2，m B =1.∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.【测试1】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断：24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【解析】由图像可知0a >，102ba-<<，2404ac b a -<，2000a b c ⋅+⋅+<，0a b c -+=，0a b c ++>，于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->，，，，，．【测试2】 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =． ∵当0x =时，20011y =⨯-+=当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．课后测。
2022年高考数学核心考点专题训练专题8 函数的图象及应用(含解析)
2022年高考数学核心考点专题训练专题8函数的图象及应用一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.设函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(x)为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则f'(x)的图象可能为( )A. B. C. D.2.设函数f(x)=xln1+x1−x，则函数f(x)的图象可能为( )A. B.C. D.3.已知函数f x=8x−4−e,x≤1−lnx,x>1，记g x=f x−ex−a，若g x存在3个零点，则实数a的取值范围是()A.−2e,−32eB.−2e,−eC.−32e,−eD.−e,−12e4.已知如下六个函数：y=x，y=x2，y=lnx，y=2x，y=sinx，y=cosx，从中选出两个函数记为f x和g x，若F x=f x+g x的图像如图所示，则F x=A.x2+cosxB.x2+sinxC.2x+cosxD.2x+sinx5.如图，函数f x的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f x≥x2−a的解集中有且仅有1个整数，那么a取值范围是()．A.a|−2≤a<0B.a|−2<a<0C.a|0≤a<1D.a|−2≤a<16.已知函数f(x)=2x|log2x|x≤0x>0，若a<b<c，且满足f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围为()A.(−∞,−1]B.(−∞,0]C.[−2,0]D.[−4,0]7.如图所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l // l1与半圆相交于F，G 两点，与三角形ABC两边相交于F，D两点，设弧FG的x(0<x<π)，y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动带l2，则函数y=f(x)图象大致是()A. B. C. D.8.如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0)，则导函数y=S'(t)的图像大致为A. B. C. D.9.设f(x)是定义在R上的函数，g(x)=f(x−1).若函数g(x)满足下列条件：①g(x)是偶函数；②g(x)在区间[0,+∞)上是增函数；③g(x)有一个零点为2．则不等式(x+1)f(x)>0的解集是A.(−3,−1)∪(1,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,−3)∪(1,+∞)D.(−∞,−1)∪(1,+∞)10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=4−x−1，g(x)=x2+2x,x<0log2(x+1),x≥0，若g(f(a))≤3，则实数a的取值范围为()A.−12,12B.−3,−2∪0,12C.−12,−2∪0,8D.−2,8二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11.若函数y=f(x)图象上不同两点M，N关于原点对称，则称点对[M,N]是函数y=f(x)的一对“和谐点对”(点对[M,N]与[N,M]看作同一对“和谐点对”).已知函数f(x)=e x,x<0,x2−4x,x>0,则此函数的“和谐点对”有_______对．12.已知函数f(x)=|x−1|+|x+1|−12|x|，若函数g(x)=f(x)−b恰有四个零点，则实数b的取值范围是________．13.已知函数f(x)=|log2|1−x||(a>0，且a≠1)，若x1<x2<x3<x4，且f x1=f x2=f x3=f x4，则1x1+1x2+1x3+1x4=__________．14.函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=≤x≤2)−1,(x>2)，若关于x的方程[f(x)]2+ af(x)+b=0，a,b∈R，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是_____________．三、解答题（本大题共3小题，共30分）15.已知函数f x=sinωx+φ+bω>0,0<φ<π的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f x的图象先向右平移π3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于y轴对称且经过坐标原点．(1)求f x(2)若对任意x∈f x2−af x+a+1≤0恒成立，求实数a的取值范围．16.已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x，且f(0)=1．(1)求f(x)的解析式;(2)在区间[−1,1]上，函数y=f(x)的图象恒在直线y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围．17.已知①函数f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)，周期是π2；②函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A> 0,ω>0,|φ|<π2,k∈R)的图像如图所示；在以上两个条件中选择一个解答下列问题．(注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分．)(1)求f(x)的解析式，以及x∈−π12f(x)的值域；(2)将f(x)图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数g(x)的图像，若|g(x)−m|<1成立的充分条件是0≤x≤5π12，求m的取值范围．专题8函数的图象及应用一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）18.设函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(x)为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则f'(x)的图象可能为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，若f(x)为偶函数，则其导数f'(x)为奇函数，分析选项：可以排除B、D，又由函数f(x)在(0,1)上存在极大值，则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，分析选项：可以排除A，C符合；故选：C．19.设函数f(x)=xln1+x1−x，则函数f(x)的图象可能为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】解：函数f(x)=xln1+x1−x的定义域为(−1,1)，由f(−x)=−xln1−x1+x=xln1+x1−x=f(x)，得f(x)为偶函数，排除A，C；又f(12)=12ln1+121−12=12ln3>0，排除D．故选：B．20.已知函数f x=8x−4−e,x≤1−lnx,x>1，记g x=f x−ex−a，若g x存在3个零点，则实数a的取值范围是()A.−2e,−32eB.−2e,−eC.−32e,−eD.−e,−12e【答案】C【解析】解：结合函数f(x)={|8x−4|−e,x⩽1−1nx,x>1与y=ex+a的图像，若g x=f x−ex−a存在三个零点，则y=ex+a在点12,−e上方，在1,0下方∴−e<12e+ae+a<0解得：−32e<a<−e故选C．21.已知如下六个函数：y=x，y=x2，y=lnx，y=2x，y=sinx，y=cosx，从中选出两个函数记为f x和g x，若F x=f x+g x的图像如图所示，则F x=A.x2+cosxB.x2+sinxC.2x+cosxD.2x+sinx【答案】D【解析】解：由图象可知，函数F(x)过定点(0,1)，当x>0时，F(x)>1，为增函数，当x<0时，F(x)>0或，F(x)<0交替出现，因为y=2x的图象经过点(0,1)，且当x>0时，y>1，当x<0时，0<y<1，若为y=cosx，当x=0时，y=1，2x+cosx不满足过点(0,1)，所以只有当F(x)=2x+sinx才满足条件，故选：D．22.如图，函数f x的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f x≥x2−a的解集中有且仅有1个整数，那么a取值范围是()．A.a|−2≤a<0B.a|−2<a<0C.a|0≤a<1D.a|−2≤a<1【答案】A【解析】解：f x=２ｘ+２,ｘ⩽０−ｘ+２,ｘ>０，不等式f x≥x2−a等价于a⩾x2−f x，设g(x)=x2−f(x)=x2−2x−2 ,x≤0x2+x−2 ,x>0，x≤0，g'(x)=2x−2<0，函数单调递减，x>0，g'(x)=2x+1>0，函数单调递增，又g(0)=−2，g(1)=1+1−2=0，g(−1)=1+2−2=1，要使a≥g(x)只有1个整数，那么a取值范围是−2⩽a<0．故选A．23.已知函数f(x)=2x|log2x|x≤0x>0，若a<b<c，且满足f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围为()A.(−∞,−1]B.(−∞,0]C.[−2,0]D.[−4,0]【答案】B【解析】解：由函数f x=2x,x≤02x,x>0，作出函数的图象；结合函数f x=2x,x≤02x,x>0图象可得a∈−∞,0,12≤b<1<c≤2,由f(a)=f(b)=f(c)可得−log2b=log2c，从而bc=1．所以abc=a∈−∞,0．故选B．24.如图所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l // l1与半圆相交于F，G 两点，与三角形ABC两边相交于F，D两点，设弧FG的x(0<x<π)，y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动带l2，则函数y=f(x)图象大致是()A. B. C. D.【答案】D【解析】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3=23；当x=π3时，∠FOG=π3，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=在正△AED中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA−(AE+AD)=32×1=23−2.如图，又当x=π3时，图中y0=13(23=>23−2．故当x=π3时，对应的点(x,y)在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选D.25.如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0)，则导函数y=S'(t)的图像大致为A. B. C. D.【答案】A【解析】【试题解析】解：最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A．故选：A26.设f(x)是定义在R上的函数，g(x)=f(x−1).若函数g(x)满足下列条件：①g(x)是偶函数；②g(x)在区间[0,+∞)上是增函数；③g(x)有一个零点为2．则不等式(x+1)f(x)>0的解集是A.(−3,−1)∪(1,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,−3)∪(1,+∞)D.(−∞,−1)∪(1,+∞)【答案】A【解析】解：由g(x)=f(x−1)，可得g(x+1)=f(x)，即f(x)为g(x)向左平移一个单位得到．故由g(x)是偶函数，可得f(x)关于直线x=−1对称；又由g(x)在区间[0,+∞)上是增函数，可得f(x)在区间[−1,+∞)上是增函数；由g(x)有一个零点为2，可得f(x)有一个零点为1，结合图象，可得f(x)>0的解集为−∞,−3∪1,+∞，f(x)<0的解集为−3,1，(x +1)f(x)>0即x +1>0f x >0或x +1<0f x <0,解得x >1或−3<x <−1，故不等式解集为(−3,−1)∪(1,+∞)．故选A ．27.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=4−x −1，g(x)=x 2+2x,x <0log 2(x +1),x ≥0，若g(f(a))≤3，则实数a 的取值范围为()A.−12,12B.−3,−2∪0,12C.−12,−2∪0,8D.−2,8【答案】C【解析】由g(x)≤3可得，当x <0时，x 2+2x⩽3，得−3⩽x <0，当x⩾0时，log 2(x +1)⩽3，得0⩽x⩽7，故g(x)≤3的解为{x|−3⩽x⩽7}∴g(f(a))≤3的解即−3≤f(a)≤7的解，函数f(x)=4−x −1,x >00, x =0−4+x +1,x <0作出f(x)的图象如下，∵f(12)=−7，f(8)=−3，∴f(−12)=7，∴当a ∈[−12,−2]∪[0,8]时，g(f(a))≤3.故选C ．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）28.若函数y =f(x)图象上不同两点M ，N 关于原点对称，则称点对[M,N]是函数y =f(x)的一对“和谐点对”(点对[M,N]与[N,M]看作同一对“和谐点对”).已知函数f(x)=e x ,x <0,x 2−4x,x >0,则此函数的“和谐点对”有_______对．【答案】2【解析】作出函数f(x)={e x,x<0,x2−4x,x>0的图象，f(x)的“和谐点对”数可转化为y1=e x(x<0)和y2=−x2−4x(x<0)的图象的交点个数(如图)．由图象知，函数f(x)有两对“和谐点对”．29.已知函数f(x)=|x−1|+|x+1|−12|x|，若函数g(x)=f(x)−b恰有四个零点，则实数b的取值范围是________．,2【解析】由题意，分段函数f x的解析式为f x=x, x⩾1−12x, 0⩽x<1+12x, −1⩽x<032x, x<−1，其图像如下图所示：由图像可知，当b∈时，方程f x=b有4个交点，此时函数g x=f x−b=0恰有四个零点．,2．30.已知函数f(x)=|log2|1−x||(a>0，且a≠1)，若x1<x2<x3<x4，且f x1=f x2=f x3=f x4，则1x1+1x2+1x3+1x4=__________．【答案】2【解析】因为f(x)=|log a|x−1||a>0且a≠1，所以f(x)的图象关于x=1对称，又因为x1<x2<x3<x4且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，所以x1<x2<1<x3<x4，故log a|x1−1|=−log a|x2−1|,−log a|x3−1|=log a|x4−1|，即(x1−1)(x2−1)=1,(x3−1)(x4−1)=1，解得x1x2=x1+x2,x3x4=x3+x4，所以1x1+1x2+1x3+1x4=x1+x2x1x2+x3+x4x3x4=1+1=2．故答案为2．31.函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=≤x≤2)−1,(x>2)，若关于x的方程[f(x)]2+ af(x)+b=0，a,b∈R，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是_____________．【答案】(−14,1)∪(−12,−14)【解析】作出f(x)的函数图象如图所示：令f(x)=t，显然，当t=0时，方程f(x)=t有三个解，当0<t<14时，方程f(x)=t有四个解，当t=14或−1<t<0时，方程f(x)=t有两解，当t≤−1或t>14时，方程f(x)=t无解．∵关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，∴关于t的方程t2+at+b=0，t∈R有两根，不妨设为t1,t2，且t1=14,0<t2<14或−1<t1<0，0<t2<14∴t1+t2∈(14,12)或者t1+t2∈(−1,14)；又∵−a=t1+t2，∴a∈(−14,1)∪(−12,−14)，故答案为：(−14,1)∪(−12,−14)三、解答题（本大题共3小题，共30分）32.已知函数f x=sinωx+φ+bω>0,0<φ<π的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f x的图象先向右平移π3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于y轴对称且经过坐标原点．(1)求f x(2)若对任意x∈f x2−af x+a+1≤0恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)由题意f(x)=+φ)+b(ω>0,0<φ<π)，其周期为T=π2×2=π，故T=2πω=π，即得ω=2.将f(x)的图象向右平移π3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到y=sin (2(x−π3)+φ)+b+2．即y=sin (2x+φ−2π3)+b+2，由题设条件得φ−2π3=π2+kπ，即φ=7π6+kπ, k∈Z，因为0<φ<π，当k=−1时满足条件，即φ=π6，又函数f x的图像经过坐标原点，即得sin (φ−2π3)+b+2=0，故b=−1.故f(x)=sin (2x+π6)−1．(2)因为x∈[0,π4]，故2x+π6∈[π6,2π3]，故sin (2x+π6)∈[12,1]，f(x)∈[−12,0]．设t=f(x)∈[−12,0]，即t2−at+a+1⩽0恒成立．即g(t)=t2−at+a+1的最大值小于等于零即可．故满足：g(−12)⩽0g(0)⩽0,+12a+a+1⩽0+1⩽0，解得a⩽−1．故实数a的取值范围为−∞,−1．已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x，且f(0)=1．(1)求f(x)的解析式;(2)在区间[−1,1]上，函数y=f(x)的图象恒在直线y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围．【答案】解：(1)由f(0)=1，可设f(x)=ax2+bx+1(a≠0)，故f(x+1)−f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+1−(ax2+bx+1)=2ax+a+b，又f(x+1)−f(x)=2x，所以2a=2a+b=0，解得a=1b=−1，故f(x)=x2−x+1．(2)由题意，得x2−x+1>2x+m，即x2−3x+1>m，对x∈[−1,1]恒成立．令g(x)=x2−3x+1(x∈[−1,1])，则问题可转化为g(x)min>m．又g(x)在[−1,1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=−1，故m<−1．所以m的取值范围为(−∞,−1)．33.已知①函数f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)，周期是π2；②函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A> 0,ω>0,|φ|<π2,k∈R)的图像如图所示；在以上两个条件中选择一个解答下列问题．(注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分．)(1)求f(x)的解析式，以及x∈−π12f(x)的值域；(2)将f(x)图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数g(x)的图像，若|g(x)−m|<1成立的充分条件是0≤x≤5π12，求m的取值范围．【答案】解：选择条件 ①解答如下(1)f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx=32sin2ωx+12(cos2ωx+1)=sin(2ωx+π6)+12由T=2π2ω=π2，解得ω=2，所以函数f(x)=sin(4x+π6)+12因为x∈[−π12,7π24]，所以−π64x+π6≤4π3，≤sin(4x+π6)+12≤32，即函数f(x)在x∈[−π12,7π24](2)将f(x)图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得y=sin(2x+π6)+12，纵坐标不变，再向左平移π3个单位，得y=sin[2(x+π3)+π6]+12=sin(2x+5π6)+12，最后将整个函数图象向上平移32个单位后，得到g(x)=sin(2x+5π6)+12+32=sin(2x+5π6)+2因为|g(x)−m|<1，所以g(x)−1<m<g(x)+1，∵|g(x)−m|<1成立的充分条件是0≤x≤5π12，∴当x∈[0,5π12]时，g(x)−1<m<g(x)+1恒成立，所以只需[g(x)−1]max<m<[g(x)+1]min，转化为求g(x)的最大值与最小值当x∈[0,5π12]时，2x+5π6∈[5π6,5π3]，所以g(x)max=g(0)=12+2=52，g(x)min=g(π3)=−1+2=1，从而[g(x)−1]max=32，[g(x)+1]min=2，即32<m<2，所以m的取值范围是(32,2)选择条件 ②解答如下：(1)由己知A=32−(−12)2=1，k=32+(−12)2=12，∵T2=π3−π12=π4，∴T=π2，∴ω=2πT=4，∴f(x)=sin(4x+φ)+12，过点(π12,32)，且|φ|<π2，∴4×π12+φ=π2，∴φ=π6，∴f(x)=sin(4x+π6)+12因为x∈[−π12,7π24]，所以−π64x+π6≤4π3，≤sin(4x+π6)+12≤32，即函数f(x)在x∈[−π12,7π24](2)将f(x)图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得y=sin(2x+π6)+12，纵坐标不变，再向左平移π3个单位，得y=sin[2(x+π3)+π6]+12=sin(2x+5π6)+12，最后将整个函数图象向上平移32个单位后，得到g(x)=sin(2x+5π6)+12+32=sin(2x+5π6)+2，因为|g(x)−m|<1，所以g(x)−1<m<g(x)+1∵|g(x)−m|<1成立的充分条件是0≤x≤5π12，∴当x∈[0,5π12]时，g(x)−1<m<g(x)+1恒成立，所以只需[g(x)−1]max<m<[g(x)+1]min，转化为求g(x)的最大值与最小值当x∈[0,5π12]时，2x+5π6∈[5π6,5π3]，所以g(x)max=g(0)=12+2=52，g(x)min=g(π3)=−1+2=1，从而[g(x)−1]max=32，[g(x)+1]min=2，即32<m<2所以m的取值范围是(32,2)。
指数函数的图像及性质的应用
例4.讨论函数 的单调性,并求其值域.
任取x1,x2∈(-∞,1],且x1< x2 ,
∵f(x1)>0, f(x2)>0,
解:
则
复合函数的单调性
所以 f( x ) 在 (-∞,1]上为增函数.
又 x2 - 2x =(x -1)2 -1≥-1,
解：
例7.求证函数 是奇函数
证明：函数的定义域为R,
所以f(x)在R上是奇函数.
01
02
03
指数形式的复合函数的奇偶性
利用 f(0)= 0
1
解:若 f ( x ) 为奇函数,则 f(-x )=-f (x),
2
设a是实数, (2)试确定a的值,使f(x)为奇函数.
02
复合函数：
复合函数的单调性
内u=g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
外y=f(u)
增函数
减函数
减函数
增函数
复y=f[g(x)]
规律： 当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 当内外函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数 “同增异减”
增函数
增函数
减函数
减函数
“异”“同” 指内外函数单调性的异同
3
∴ a = 1.
4
变式练习
练习：
的定义域均为R
变式 1 、 函数 的单调增区间是
2、函数 的增区间为 ________. 值域为_________.
(－∞,1]
(0,81]
B
指数形式的复合函数的定义域与值域
2
O
x
y
7
6
5
4
3
2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数第6节 函数的图像及应用
1.（优质试题浙江文3）函数2sin y x =的图像是（ ）.
A. B. C. D.
2．(2013福建文5）函数()()
2ln 1f x x =+的图像大致是（ ）.
3（2013山东文9） 函数cos sin y x x x =+的图象大致为（ ）.
4（优质试题全国1文8）函数sin 21cos x
y x
=
-的部分图像大致为（ ）.
5.（优质试题全国3文7）函数2
sin 1x
y x x =++
的部分图像大致为（ ）. A ． B ． C ． D ．
6（优质试题全国乙文9）函数
22e
x
y x =-在
[]2,2-的图像大致为（ ）.
A. B. C. D.
7（2014北京文6）已知函数()26
log f x x x
=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间
是（ ）.
A.
()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞
8. (2013湖南文6）函数()f x x =l n 的图像与函数()2
44g x x x =-+的图像的交点个数为
（ ）.
A.0
B.1
C.2
D.3
9（优质试题湖南文14）若函数()22x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是 .
D
C B A
函数第6节 函数的图像及应用答案
1. D 解析 易知2sin y x =为偶函数，所以它的图像关于y 轴对称，排除A ，C 选项；当2
π
2
x =
，
即x =max 1y =，排除B 选项，故选D. 2.分析 根据函数图象上的特殊点及奇偶性，利用排除法判断.
解析 ()()
2
ln +1f x x x =∈R ，，当0x =时，()0ln10f ==，即()f x 过点()0,0，排除B,D.
因为()()()
()2
2ln 1ln 1f x x x f x ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦
，所以()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，
故选A.
3.分析 结合给出的函数图象，代入特殊值，利用排除法求解. 解析 当x π
=2
时，10y =>，排除C. 当x π
=-2
时，1y =-，排除B ；或利用cos sin y x x x =+为奇函数，图象关于原点对称， 排除B.
当x =π时，0y =-π<，排除A.故选D.
4.解析 由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图像关于直线1x = 对称，
选项C 正确，选项D 错误，又()112(1)
(02)2(2)
x f x x x x x x -'=-=<<--，在(0,1)上单调递增，
在[
)1,2上单调递减，选项A ，B 错误.故选C.
5.解析 令1x =，则有()111sin12f =++>，所以排选项A ，C ；又当x →+∞时，
sin 0x
x
→，y →+∞，所以排除选项B.故选D. 评注 函数的解析式与图形表示问题是高考的一个必考点，此类问题大多围绕函数的性质来考查，只要方法正确，一般不太会出错.解题时一般用特例+排除法可以快速求解. 6. D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.
解析 设()22e x
f x x =-，由()(
)2
28e 0,1f =-∈，
可排除A （小于0），B （从趋势上超过1）； 又()0,2x ∈时，()4e x
f x x '=-，()()()014e 0f f ''⋅=--<，所以()f x 在()0,1上不是
单调函数，排除C.故选D.
评注 排除B 选项的完整论述，设()g x =()f x '，则()4e x g x '=-.由()10g '>，()20g '<，可知存在()01,2x ∈使得()00g x '=且()0,2x x ∈时()0g x '<，所以()f x '在()0,2x 是减函数，即()0,2x x ∈时()f x 切线斜率随x 的增大而减小，排除B.
7. 解析 因为()216log 160f =-=>，()223log 220f =-=>，()232log 30f =->，
()263
4log 42042
f =
-=-<，所以包含()f x 零点的区间是()2,4，故选C. 8. 分析 作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解. 解析 ()()2
2
4
42g x x x x =
-+=
-，在同一平面直角坐标系内画出函数()ln f x x =与
()()2
2g x x =-的图象（如图所示）.由图可得两个函数的图象有2个交点.故选C.
9. 解析 由函数()2
x f x =从而可得函数22x y =-与函数y b =的图像有两个交点，函数22x
y =-的图像如图所示，结合函数的图像可得，当02b <<时符合条件.
2。