空间直角坐标系与空间向量及其运算

2 2 2 x ＋ y ＋ z 1 1 1 (2)求向量的模：|a|＝__________. a· b |a||b| (3)求向量夹角：cos〈a，b〉＝_____.
1．在空间直角坐标系中， 点P(1,2,3)关于x轴对称 的点的坐标为 ( ) A．(－1,2,3) B．(1，－2，－3) C．(－1, －2, 3) D．(－1 ,2, －3) 解析：点P(x，y，z)关于x轴对称的点的坐标为(x， －y，－z)． 答案：B
答案：C
3．若向量 a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且 a 与 b 的 8 夹角余弦值为 ，则 λ 等于 ( ) 9 A．2 B．－2
2 D．2 或－ 55 6－λ a· b 8 解析：cos〈a，b〉＝ ＝ ＝ ， 2 |a ||b | 3 λ ＋5 9
2 则 λ＝－2 或 . 55 答案：C
2．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是 ( 1 A. ，1，1 B．(－1，－3,2) 3
1 3 C.－ ， ，－1 2 2
)
D．( 2，－3，－2 2 )
解析：若 a∥b，则 a＝λb，
1 3 1 有 － ， ，－1 ＝－ (1，－3,2)． 2 2 2
→ 答案：BD1
1．建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住“相交于 同一点的两两垂直的三条直线”，要在题目中找出或构 造出这样的三条直线，因此，要充分利用题目中所给的 垂直关系(即线线垂直、线面垂直、面面垂直)，同时要 注意，所建立的坐标系必须是右手空间直角坐标系． 在右手空间直角坐标系下，点的坐标既可根据图 中有关线段的长度，也可根据向量的坐标写出．
一、空间直角Hale Waihona Puke Baidu标系
1．空间直角坐标系中的两点 P1、P2 间的距离
2 2 2 | P P | ＝ x － x ＋ y － y ＋ z － z 1 2 1 2 1 2 1 2 公式：__________________________________.
2．已知空间一点M的坐标为(x，y，z)； (x，－y，－z) ； (1)与M点关于x轴对称的点的坐标为_____________ (－x，y，－z)； (2)与M点关于y轴对称的点的坐标为_____________
二、空间向量及其运算 1．空间向量及其加减与数乘运算 大小和____ (1)在空间中，具有____ 方向的量叫做向量．____ 方向相 模 相等的有向线段表示同一向量或相等向_____ 与a 同且___ 长度相等而方向相反的向量 ________________________称为a的相反向量． (2)空间向量的有关知识实质上是平面向量对应的知识 的推广，如有关的概念、运算法则、运算律等等． 不共面， 2．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、______ 那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、 p＝xa＋yb＋ zc y、z，使______________ ，其中 {a，b，c}叫做空间的 基底 一个_____ ，a、b、c都叫做基向量．
2．已知空间一点M的坐标为(x，y，z)； (x，－y，－z) ； (1)与M点关于x轴对称的点的坐标为_____________ (2)与M点关于y轴对称的点的坐标为_____________ (－x，y，－z) ； (－x，－y，z) ； (3)与M点关于z轴对称的点的坐标为_____________ (x，y，－z)； (4)与M点关于面xOy对称的点的坐标为__________ (5)与M点关于面xOz对称的点的坐标为__________ (x，－y，z)； (－x，y，z)； (6)与M点关于面yOz对称的点的坐标为__________ (－x，－ (7)与M点关于坐标原点O对称的点的坐标为________ y，－z) ． ________
2．空间向量的知识和内容是在平面向量知识的基础 上产生和推广的，因此，可以利用类比平面向量的方法解 决本节的很多内容． (1)零向量是一个特殊向量，在解决问题时要特别注 意零向量，避免对零向量的遗漏． (2)λa是一个向量，若λ＝0，则λa＝0；若λ≠0，a＝0， 则λa＝0. (3)讨论向量的共线、共面问题时，注意零向量与任 意向量平行，共线与共面向量均不具有传递性． (4)①数量积运算不满足消去律，即a· b＝b· c⇒ a＝c. ②数量积的运算不适合乘法结合律，即(a· b)· c不一定
2 C．－2 或 55
→ → 4． 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 化简式子： DA－DB＋ → → → → B1C－B1B＋A1B1－A1B＝________.
→ → → → → → → → → 解析：DA－DB＋B1C－B1B＋A1B1－A1B＝BA ＋BC ＋BB 1 → → → → → ＝BD＋BB1＝BD＋DD1＝BD1.
三、空间向量的坐标运算 [0，π] ． 〈 a，b〉 1． 向量 a 与 b 的夹角记作 ______ ， 其范围是_______ 如 π 果夹角〈a，b〉＝__ 2 ，称向量 a 与 b 垂直． |a||b|cos〈a，b〉 2．已知空间两个向量a、b，则a· b＝______________ x1x2＋y1y2＋z1z2 (坐标表示)． (向量表示)＝______________ 3．空间向量数量积公式的变形及应用． 已知a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， (1)判断垂直： 0 a⊥b⇔a· b＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝__.
等于a· (b· c)．这是由于(a· b)· c表示一个与c共线的向量，而 a· (b· c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． ③空间向量没有除法运算． (5)借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直、夹角、 距离等问题转化为向量的坐标运算，如：①判断线线平行 或诸点共线，转化为“a∥b(b≠0)⇔a＝λb”；②证明线线垂直， 转化为“a⊥b⇔a· b＝0”，若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2， b3)，则转化为计算a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；③在计算异面直线 所成的角(或线面角、二面角)时，转化为求向量的 a· b 夹角，利用公式 cos θ＝ ；④在求立体几何中线段的长 |a||b| 度时，转化为求 a· a＝|a|2，或利用空间两点间的距离公式．