高斯定理(精)
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用 d 表示，仿照度量平面角的方法，即
ds d 2 r
ds
(球面度 ) (sr)
r
o d
ds’
r’
整个球面对球心所张的立体角
4r 2 0 2 4 r
(球面度)
对于两个同心球面，随着半径r增大，面积ds也增 大，但对应的立体角不变，即
ds ds d 2 2 r r
q 0
d e E ds Eds
q 2 ds 4 0 r
1
因此通过整个闭合球面的电通量为：
q 1 q 1 q q 2 e 2 ds 2 ds 2 4r 4 0 r 4 0 r s 4 0 r 0 s 1
如图所示，在流速场中（在流体力学中，速度v
是一个矢量函数，整个流体是一个速度场） ，取一
微小面元Δ s,n为面元Δ s的法线方向的单位矢量.
vn
S
ˆ n
v
单位时间内流过Δ S的流体体积叫做Δ S的通量，由于 Δ S很小，可以认为其上各点的流速v处处相等。单位时间 内通过Δ S的流体体积，它在数值上等于以Δ S为底以v为 母线的柱体体积，即
二、 高斯定理
如何实际地计算电场中任一曲面，尤其是闭合曲 面的电通量呢？1839年，德国科学家高斯在这方面作 了重要工作，高斯定理可以表述为：静电场中任意闭 合曲面s的电通量φ e，等于该曲面所包围的电荷的代 数和Σ qi除以ε 0，与闭合面外的电荷无关。这里s通 常是一个假象的闭合曲面，习惯上叫高斯面。其数学 形式为：
例如当 90 , cos 0, 为正
0
（2）电通量是场强 E 在曲面上的积分量，它不仅与
场强有关，还与曲面的大小、方向有关，因此，它不 是点函数，只能说某曲面的电通量，不能讲某点的电 通量。
（3）如果是有限曲面S，则面上各点场强大小和 方向一般是不同的，这时可以把此曲面分成无限 多个面元ds,整个曲面S的电通量 E 就是所有面 上的电通量的代数和，即面积分为
E d E E dS
s s
如果是封闭曲面，则其电通量为
E E dS
s
式中
s
表示沿整个闭合曲面积分。这里要注
意一个曲面的法线式两有正、反两种取法，对于 非闭合曲面来讲，可取其中任意一个为法线矢量 的正方向；但对于闭合曲面来讲，它把空间划分 为内外两部分，其法线矢量的两种取向就有了特 定的意义，通常规定外法线矢量为正。
v vn S v S
将上面通量的定义推广到任意矢量场 A ，则
A A S
（称为矢量 A 对面元 S 的通量）
电场强度矢量的通量称为电通量。设电场中某一点p的 场强为E，包含P点取一面元 S ，n 为面元法线方向的单 位矢， 为E 和 n 之间的夹角。我们定义：面元 S 的电通量为
当点电荷为负时（q<0），球面上各点场强方向与 该点所在面元法线方向相反，整个球面的电通量为负， 所以上式仍然成立。这一结果的重要性在于，电通量 φ e与球面半径r无关。 （2）包围点电荷q的任意闭合曲面的电通量都等于
q 0
需补充一点数学知识—立体角
平面角:一个园，其半径为r，弧长为 l
那么平面角为：
E ds
S
q
i 1
n
i
0
高斯定理的证明：（根据库仑定律和场强叠加原
理从特殊到一般，分几步来证明这个定理。） （1）包围点电荷 q 的同心球面的电通量都等于 以正点电荷q所在处为中心，任意半径r作一球 面，根据库仑定律，球面上场强具有球对称性，在 球面上任取一小面元ds，其外法线矢量n也是沿半 径方向向外的，即n与E 的夹角为0，
E E S ES cos
即场强 E 与面元 S 在场强方向的投影的乘积就是面 S
元的电通量。
n
S
S
E
S
. P
E
n
下面，我们对电通量作进一步的讨论 （1）电通量是代数量。场强 E 和面元矢量 S 的 夹角θ 之不同，电通量有正、负。
l r
(弧度)
r
o
l
l
r’
整个圆周所张的角：
2r 0 2 (弧度 ) r
对于两个同心圆，半径不同，弧长也不同， 但可对应同一个平面角，即
l l r r
（与半径r的选择无关）
立体角： 一个球面上的面元 ds，对球心所张的角，在空间
包围一定的范围，可想象为一个锥体的“ 顶角 ”，
（与半径r的选择无关）
任意面元 ds 对一点P 所张的立体角
n r
ds
r
d P
若由P点到面元的矢径 r 与面元法线方向相 ds 同，则 d 2 r 若 r 与面元不垂直，即 r 与面元法线有夹角
θ ，则
ˆ dsn ds cos ds r d 2 2 2 r r r
第三节 高斯定理
高斯定理是静电场的一个重要定理，它是关于电
场中闭合曲面电通量的定理，在讨论这个定理之前先
介绍电通量的概念。
一、矢量场与电通量
由矢量描述的物理场，称为矢量场；用标量描 述的物理场，则称为标量场。 通量是描述矢量场性质的一个物理量，流体力学 中流量的概念是大家熟知的，我们就从流量来引入通 量的概念，
ˆ n 2
S1
d
ˆ n 2
S2
P
de E ds Edscos
E
ds q S P
d
ˆ n
而 E
q 4 0 r
2
ˆ r
ˆ ˆ cos r n 从而得到:
d e
wenku.baidu.com
q 4 0 r
2
ds cos
由此可见，立体角也有正、负之分：
当
2
d 0 ;
当
2
d 0
任意曲面对一点所张的立体角为： ˆ ds r d 2 r s 主要结论： 第一个结论：任意闭合曲面，对面内一点所 张的立体角等于4π
dΩ P
这是因为它和一个球面对球心所张的立体角相同。 第二个结论：任意闭合曲面对面外一点所张 的立体角为零。
ds d 2 r
ds
(球面度 ) (sr)
r
o d
ds’
r’
整个球面对球心所张的立体角
4r 2 0 2 4 r
(球面度)
对于两个同心球面，随着半径r增大，面积ds也增 大，但对应的立体角不变，即
ds ds d 2 2 r r
q 0
d e E ds Eds
q 2 ds 4 0 r
1
因此通过整个闭合球面的电通量为：
q 1 q 1 q q 2 e 2 ds 2 ds 2 4r 4 0 r 4 0 r s 4 0 r 0 s 1
如图所示，在流速场中（在流体力学中，速度v
是一个矢量函数，整个流体是一个速度场） ，取一
微小面元Δ s,n为面元Δ s的法线方向的单位矢量.
vn
S
ˆ n
v
单位时间内流过Δ S的流体体积叫做Δ S的通量，由于 Δ S很小，可以认为其上各点的流速v处处相等。单位时间 内通过Δ S的流体体积，它在数值上等于以Δ S为底以v为 母线的柱体体积，即
二、 高斯定理
如何实际地计算电场中任一曲面，尤其是闭合曲 面的电通量呢？1839年，德国科学家高斯在这方面作 了重要工作，高斯定理可以表述为：静电场中任意闭 合曲面s的电通量φ e，等于该曲面所包围的电荷的代 数和Σ qi除以ε 0，与闭合面外的电荷无关。这里s通 常是一个假象的闭合曲面，习惯上叫高斯面。其数学 形式为：
例如当 90 , cos 0, 为正
0
（2）电通量是场强 E 在曲面上的积分量，它不仅与
场强有关，还与曲面的大小、方向有关，因此，它不 是点函数，只能说某曲面的电通量，不能讲某点的电 通量。
（3）如果是有限曲面S，则面上各点场强大小和 方向一般是不同的，这时可以把此曲面分成无限 多个面元ds,整个曲面S的电通量 E 就是所有面 上的电通量的代数和，即面积分为
E d E E dS
s s
如果是封闭曲面，则其电通量为
E E dS
s
式中
s
表示沿整个闭合曲面积分。这里要注
意一个曲面的法线式两有正、反两种取法，对于 非闭合曲面来讲，可取其中任意一个为法线矢量 的正方向；但对于闭合曲面来讲，它把空间划分 为内外两部分，其法线矢量的两种取向就有了特 定的意义，通常规定外法线矢量为正。
v vn S v S
将上面通量的定义推广到任意矢量场 A ，则
A A S
（称为矢量 A 对面元 S 的通量）
电场强度矢量的通量称为电通量。设电场中某一点p的 场强为E，包含P点取一面元 S ，n 为面元法线方向的单 位矢， 为E 和 n 之间的夹角。我们定义：面元 S 的电通量为
当点电荷为负时（q<0），球面上各点场强方向与 该点所在面元法线方向相反，整个球面的电通量为负， 所以上式仍然成立。这一结果的重要性在于，电通量 φ e与球面半径r无关。 （2）包围点电荷q的任意闭合曲面的电通量都等于
q 0
需补充一点数学知识—立体角
平面角:一个园，其半径为r，弧长为 l
那么平面角为：
E ds
S
q
i 1
n
i
0
高斯定理的证明：（根据库仑定律和场强叠加原
理从特殊到一般，分几步来证明这个定理。） （1）包围点电荷 q 的同心球面的电通量都等于 以正点电荷q所在处为中心，任意半径r作一球 面，根据库仑定律，球面上场强具有球对称性，在 球面上任取一小面元ds，其外法线矢量n也是沿半 径方向向外的，即n与E 的夹角为0，
E E S ES cos
即场强 E 与面元 S 在场强方向的投影的乘积就是面 S
元的电通量。
n
S
S
E
S
. P
E
n
下面，我们对电通量作进一步的讨论 （1）电通量是代数量。场强 E 和面元矢量 S 的 夹角θ 之不同，电通量有正、负。
l r
(弧度)
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o
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整个圆周所张的角：
2r 0 2 (弧度 ) r
对于两个同心圆，半径不同，弧长也不同， 但可对应同一个平面角，即
l l r r
（与半径r的选择无关）
立体角： 一个球面上的面元 ds，对球心所张的角，在空间
包围一定的范围，可想象为一个锥体的“ 顶角 ”，
（与半径r的选择无关）
任意面元 ds 对一点P 所张的立体角
n r
ds
r
d P
若由P点到面元的矢径 r 与面元法线方向相 ds 同，则 d 2 r 若 r 与面元不垂直，即 r 与面元法线有夹角
θ ，则
ˆ dsn ds cos ds r d 2 2 2 r r r
第三节 高斯定理
高斯定理是静电场的一个重要定理，它是关于电
场中闭合曲面电通量的定理，在讨论这个定理之前先
介绍电通量的概念。
一、矢量场与电通量
由矢量描述的物理场，称为矢量场；用标量描 述的物理场，则称为标量场。 通量是描述矢量场性质的一个物理量，流体力学 中流量的概念是大家熟知的，我们就从流量来引入通 量的概念，
ˆ n 2
S1
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S2
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由此可见，立体角也有正、负之分：
当
2
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任意曲面对一点所张的立体角为： ˆ ds r d 2 r s 主要结论： 第一个结论：任意闭合曲面，对面内一点所 张的立体角等于4π
dΩ P
这是因为它和一个球面对球心所张的立体角相同。 第二个结论：任意闭合曲面对面外一点所张 的立体角为零。