第五章傅里叶展开

− k)πx ⎤ l ⎥⎦
当k, n为整数时显然积分结果为0。
3
正交性的用处
利用正交性可直接导出展开系数的计算公式
∑ F (x) = ak fk (x)，若要求am，只需按如下步骤： k
∑ F (x) fm*(x) =
ak
fk
(x)
f
* m
(
x)
k
b
b
b
∫ ∫ ∑ ∑ ∫ F(x) fm*(x)dx =
−l
l
f (x) sin kπx dx l
dx
bk计算公式中的被积函数为奇函数，在[-l, l] 上积分值为0，因此所有bk均为0。此时傅立 叶级数可简化为
∑ f
(x)
=
a0
+
∞ k =1
ak
cos
kπx l
其中δ k
=
⎧2, ⎩⎨1,
k =0 k ≠0
∫ ∫ ak
=
1 δkl
l −l
f
(x) cos
l
∞
∞
∫ ∑ ∑ [ f (x)]2 dx = 2la02 + lak2 + lbk2
−l
k =1
k =1
或
∫ ∑( ) 1
l
l
[
−l
f
(x)]2 dx
=
2a02
+
∞ k =1
ak2 + bk2
此式又被称作帕塞法尔等式或傅立叶级数封闭性方程
4/23/2012
12
完备性的证明
∫[ ] ∑ ∑ ∫ ε 2
1l l −l
f
(x) cos
kπx l
dx，a0
=
1 2l
l −l
f
( x)dx，bk
=
1l l −l
f
(x) sin
kπx l
dx
∫ ∫ ∫ l
得：
−l
f
(x)
cos
kπx l
dx
=
lak，
l −l
f
( x)dx
=
2a0l，
l −l
f
(x) sin
kπx l
dx
=
bk l，因此
∫[ ] ∑ ∑ ∑ ∑ ε 2
−l
l
l
−l
l
l
∫l cos kπx sin nπx dx = 0
−l
l
l
∫l cos kπx cos nπx dx = 2l, k = n = 0
−l
l
l
正交性不难用积化和差公式证明。 (第9章有更一般的证明方法)
如cos
kπx l
sin
nπx l
=
1 2
⎢⎣⎡sin
(n
+ k)πx l
+
sin
(n
9
完备性的证明
证明的关键，把积分号内的乘积展开，共16项。 利用正交性可以消除6项，再合并3个同类项，剩余7项。
∑ ∑ ⎡
⎢ ⎣
f
(
x)
−
⎜⎛ ⎝
a0
+
n k =1
ak
cos
kπx l
+
n k =1
bk
sin
kπx l
⎟⎞⎥⎤ ⎠⎦
⋅
∑ ∑ ⎡
⎢ ⎣
f
(x)
−
⎜⎛ ⎝
a0
+
n k =1
ak
cos
kπx l
⎜⎛ ⎝
ak
cos
mπx l
cos
kπx l
+
bk
cos
mπx l
sin
kπx l
⎟⎠⎞⎥⎦⎤dx
由正交性，右边只有一项不为0：
∫ ∫ l
−l
f
(x) cos
mπxdx l
=
l −l
am
cos
mπx l
cos
mπxdx l
=
am
⋅l
∫ am
=
1l l −l
f
(x)
cos
mπx l
dx
∫ 同理，同乘 sin 4/23/2012
dx
ak计算公式中的被积函数为奇函数，在[-l, l] 上积分值为0，因此所有ak均为0。此时傅立 叶级数可简化为
∑ f
(x)
=
∞ k =1
bk
sin
kπx l
其中δ k
=
⎧2, ⎩⎨1,
k =0 k ≠0
∫ ∫ bk
=1 l l −l
f
(x) sin
kπx l
dx
=
2 l
l 0
f
(x) sin
kπx l
⎫ dx⎬
⎭
下面应该如何推导？课本P.70的(5.1.6)又是什么意思？
p.70的5.1.6
∫ ∑ ∑ l
[
−l
f
(x)]2 dx
=
∞ k =0
ak2
⎢⎣⎡cos
kπx ⎤2 l ⎥⎦
+
∞ k =1
bk2 ⎢⎣⎡sin
kπx ⎤2 l ⎥⎦
4/23/2012
11
正确的形式
p.70的5.1.6正确的表述应该是 :
kπx l
dx
=
2 δkl
l 0
f
(x) cos kπx l
dx
余弦级数和的导 数在x=0和x=l处 恒为0。
这种级数叫做傅立叶余弦级数 也就是说，周期偶函数可以用余弦函数完备展开
4/23/2012
19
4/23/2012
有限区间上函数的延拓
对于没有周期性的函数，我们无法直接用前面 的公式进行傅立叶展开。但如果函数只在有限 区间上有定义[如(0, l)上]，那么我们可以采用延 拓的方法，扩大其定义域，把它变成一个周期 函数。从而可以傅立叶级数展开。
化简后的结果
∫[ ] ∑ ∑ ∫ ε 2
=
1
⎧l ⎨
2l ⎩−l
n
n
l
f (x) 2 dx + 2la02 + lak2 + lbk2 − 2a0 f (x)dx
k =1
k =1
−l
∑ ∫ ∑ ∫ −
n
2
k =1
ak
l −l
f
(x) cos
kπx l
dx
−
n
2 bk
k =1
l −l
f
(x) sin
kπx l
mπx l
并积分可得bm
=
1l l −l
f
(x) sin
mπx l
dx
5
傅里叶系数计算
k = 0时，ak的形式略有不同：
∫ ∫ l kπx
cos
−l
l
f (x)dx
=
l
a0 ⋅1⋅1dx = 2a0l
−l
∫ ∫ 所以a0
=
1 2l
l 0πx
cos
−l
l
f
( x)dx
=1 2l
l −l
f
( x)dx
1/l因子也 是由正交 性确定的
=
1
⎧l ⎨
2l ⎩−l
n
n
n
n
f (x) 2 dx + 2la02 + lak2 + lbk2 − 2a0 ⋅ 2a0l − 2 ak ⋅ akl − 2 bk ⋅ bkl
k =1
k =1
k =1
k =1
∫[ ] ∑ ∑ =
1
⎧l ⎨
4/232/2l 0⎩12−l
f (x) 2 dx − 2la02 −
有些书上傅立叶级数写作
∑ f
(x)
=
a0 2
+
∞ k =1
⎜⎛ ⎝
ak
cos
kπx l
+ bk
sin
kπx l
⎟⎞ ⎠
这样的好处是ak的公式形式统一：
⎧
∫ ⎪ak
⎪ ⎨
∫ ⎪⎪⎩bk
= =
1l l −l 1l l −l
f f
(x) cos kπx dx l
(x) sin kπx dx l
我们仍然采用课本上的表示方法。
叶级数的基本函数族是正交函数族。
∫ ∫ l cos kπx cos nπx dx = 0, k ≠ n l cos kπx cos nπx dx = l, k = n ≠ 0
−l
l
l
−l
l
l
∫ ∫ l sin kπx sin nπx dx = 0, k ≠ n l sin kπx sin nπx dx = l, k = n
⎧ f (x),
(在连续点x)
级数和
=
⎪
⎨ ⎪⎩
1 2
{
f
(x
+ 0) +
f
(x
− 0),
(在间断点x)
4/23/2012
但是，在间断点的无穷小邻域可能出现奇特现象， 有所谓吉布斯现象。
14
吉布斯现象
可以看到，矩形脉冲函数的傅立叶级数在某 些点上并不收敛至f(x)。
4/23/2012
矩 形 脉 冲 的 傅 立 叶 变 换 结 果
7
基本函数族的图像
1 .0
k=1
0 .5
k=0
k=2
cos(w x) k
0 .0
-0 .5
k=3
-1 .0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
1 .0
sin(w x) k
0 .5 0 .0 -0 .5
k=1
k=2 k=3
-1 .0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
4/23/2012
8
傅立叶级数的完备性
这里需假设f(x) 为实函数。实 际上也可以是 实变复值函数.
4/23/2012
矩形脉冲函数的傅立叶级数，在边沿存在“毛刺”现 象，且无论n多大都存在。毛刺高度固定为矩形脉 冲高度的9%左右。
15
数值验证的结果
16
进一步的验证
是否因为矩形波函数不满足“在每个周期中 只有有限个极值点”的要求？
4/23/2012
周期函数f
(x)
=
⎧cos(x), ⎩⎨− cos(x),
综合起来，
⎧
∫ ⎪ak
⎪ ⎨
∫ ⎪⎪⎩bk
= 1 l f (x) cos kπx dx,
δkl −l
l
= 1 l f (x) sin kπx dx,
l −l
l
k = 0,1,2,... k = 1,2,3,...
4/23/2012
其中δ k
=
⎧2, ⎩⎨1,
k =0 k ≠0
6
4/23/2012
系数的其他表示方法
第五章 傅里叶变换
4/23/2012
1
傅立叶级数
周期函数的傅立叶级数展开
如果f (x)是一个周期函数(周期2l)，那么可以
用以下三角函数
系数计算公式
1, cos πx , cos 2πx ,..., cos kπx ,...
l
l
l
sin πx ,sin 2πx ,...,sin kπx ,...
=
1
⎧l ⎨
2l ⎩−l
n
n
l
f (x) 2 dx + 2la02 + lak2 + lbk2 − 2a0 f (x)dx
k =1
k =1
−l
∑ ∫ ∑ ∫ −
n
2
k =1
ak
l −l
f
(x) cos
kπx l
dx
−
n
2 bk
k =1
l −l
f
(x) sin
kπx l
⎫ dx⎬
⎭
∫ ∫ ∫ 由ak
=
l
l
l
作为基本函数族展开为级数 :
⎧
∫ ⎪ak
⎪ ⎨
∫ ⎪⎪⎩bk
=
1
l
kπx
f (x) cos
δkl −l
l
= 1 l f (x) sin kπx dx
l −l
l
dx
∑ f
(x)
=
a0
+
∞ k =1
⎜⎛ ⎝
ak
cos
kπx l
+
bk
sin
kπx l
⎟⎞ ⎠
其中δ k
=
⎧2, ⎩⎨1,
k =0 k ≠0
0 < x < l ，其中l = π −l < x<0
仍然存在明显的吉布斯现象
17
奇函数与傅立叶正弦级数
傅立叶系数公式：
若周期函数f(x)是一个奇函数，则cos项系数
⎧
∫ ⎪ak
⎪ ⎨
∫ ⎪⎪⎩bk
= =
1 δkl 1l l −l
l
kπx
f (x) cos
−l
l
f (x) sin kπx dx l
ak
cos
kπx l
⋅
n k =1
ak
cos
kπx , l
n k =1
bk
sin
kπx l
⋅
n k =1
bk
sin
kπx的积分不为0。 l
n
n
∑ ∑ 结果为2la02， lak2 , lbk2，此外还有f (x)2以及f (x)和括号相乘的项不为0。
4/23/2012
k =1
k =1
10
完备性的证明
∞
∑ 或f (x) = a0 + (ak cosωk x + bk sin ωk x) k =1
4其/23中/20ω12k = kπ / l，满足ωk ⋅ 2l = 2kπ，而k = 0、1、2分别对应于0、1、2...次谐波。 2
4/23/2012
函数族的正交性
如果两个函数f(x)和g(x)的乘积在[a,b]上积分等于0 (实变复值函数则改为f(x)和g(x)*乘积的积分)，则 称函数f(x)和g(x)在[a,b]上正交。如果函数族中的 每两个不同的函数都正交，则称函数族正交。傅立
n
lak2 −
n
lbk2
⎫ ⎬
=
0
k =1
k =1 ⎭
13
狄里希利定理
狄里希利定理给出了傅立叶级数的收敛性特点
第一类间断点： f(x)在x点不连续 ，但左右极限均 存在。
狄里希利定理 若函数f(x)满足条件：(1)处处连 续，或在每个周期只有有限个第一类间断点； (2)在每个周期中只有有限个极值点，则傅立叶 级数收敛，且
dx
正弦级数和在x=0 和x=l处恒为0。
4/23/2012
这种级数叫做傅立叶正弦级数 也就是说，周期奇函数可以用正弦函数完备展开
18
偶函数与傅立叶余弦级数
傅立叶系数公式：
若周期函数f(x)是一个偶函数，则sin项系数
⎧
∫ ⎪ak
⎪ ⎨
∫ ⎪⎪⎩bk
= =
1 δkl 1l l −l
l
kπx
f (x) cos
+
n k =1
bk
sin
kπx l
⎟⎞⎥⎤ ⎠⎦
பைடு நூலகம்
∑ ∑ ∑ ∑ 在⎜⎛
⎝
a0
+
n k =1
ak
cos
kπx l
+
n k =1
bk
sin
kπx l
⎟⎞ ⎠
⋅ ⎜⎛ ⎝
a0
+
n k =1
ak
cos
kπx l
+
n k =1
bk
sin
kπx l
⎟⎞项中 ⎠
所有交叉项积分均为0，只有
∑ ∑ ∑ ∑ a02,
n k =1
4/23/2012
设f (x)和傅里叶级数在x处之差为
∑ ∑ Δ(x)
=
f
(
x)
−
⎜⎛ ⎝
a0
+
n
ak
k =1
cos kπx l
+
n
bk
k =1
sin
kπx ⎟⎞ l⎠
∫ 平均误差平方为：ε 2 =
1
l
Δ(x)2 dx
2l −l
如果当n→∞时，平均误差的平方→0，那么 傅立叶级数展开就是完备的。
注意，可能存在某些例外点x，傅立叶级数 和在该点不收敛到f(x)!
a
a
4/23/2012
4
傅里叶系数计算
∑ 对于傅里叶级数：f
(x)
=
a0
+
∞ k =1
⎜⎛ ⎝
ak
cos
kπx l
+
bk
sin
kπx l
⎟⎞， ⎠
如要求am
(m
≠
0)，只需两边同乘
cos
mπx l
并积分，即：
∫ ∫ ∑ l
−l
f
(x) cos
mπxdx l
=
l −l
⎡ ⎢⎣a0
cos
mπx l
+
∞ k =1
ak
fk
(x)
f
* m
(
x)dx
=
ak
f
k
(
x)
f
* m
(
x)dx
a
ak
k
a
根据正交性定义，其中只有k = m项不为0。因此：
b
b
∫ ∫ F (x) fm*(x)dx = am
f
m
(
x)
f
* m
(
x)dx
a
a
从而得到系数计算公式am = b
1
b
∫F
(
x)
f
* m
(
x)dx
∫ fm(x)
f
* m
(
x)dx