线性空间的性质

学院数学与信息科学学院

专业信息与计算科学

年级2011级

姓名魏云

论文题目线性空间的性质

指导教师韩英波职称副教授成绩

2013年3月16日

学年论文成绩评定表

目录

摘要 (1)

关键字 (1)

Abstract (1)

Key words (1)

前言 (1)

1 线性空间的概念 (2)

2 线性空间的相关理论 (3)

2.1 线性空间的一些简单性质 (3)

2.2 向量的线性关系 (3)

2.3 基、维数、坐标 (6)

3 两个特殊的子空间 (7)

3.1 欧几里得空间的定义与性质 (7)

3.2 酉空间的介绍 (8)

4 线性空间的同构 (8)

4.1 同构映射与线性空间同构的定义 (8)

4.2 同构映射的性质 (9)

参考文献 (10)

线性空间的性质

摘要：本文首先介绍了与线性空间相关的一系列基本概念，然后归纳总结了线性空间的一些相关性质，包括线性空间的维数、基及坐标；同构映射以及性质等，还包括了向量的线性关系，同时介绍了一些特殊的线性空间，以及它们的简单性质.

关键词：线性空间；基；维数；同构

The properties of linear vector space

Abstract: In thesis, we introduce a series of basic concepts of the linear vector space firstly, and then summarized some properties of the linear space, including linear vector space definition, linear vector space, the nature of the linear vector space dimension, base and coordinates, isomorphism mapping and judgments. The thesis also includes linear vector space relationship, some special linear spaces and their simple properties.

Key words: Linear space; Base ; Dimension; Isomorphism

前言：线性空间是线性代数最基本的数学概念之一，是线性代数的主要研究对象，它用公理化的方法引入了一个代数系统.同时线性空间与线性变换也是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念，线性空间的理论和方法在自然科学和工程技术领域中都有广泛的应用.下面我们主要研究线性空间及、向量的线性关系、基、维数、坐标、特殊的线性空间以及线性空间的同构问题.

1.线性空间的概念

定义：设V 是非空集合，F 是某一个数域：V 上定义了一个加法运算（也就是说，给出了一个对应法则，按照这个法则，V 中任意两个元素α与β，在V 中都有一个确定的元素γ与只对应，称为α与β的和，记法γ=α+β），同时也定义了一个用F 上的数乘以V 中元素，乘积保持为V 中元素的数乘运算（也就是说，给出了这样一个对应法则，对于F 上的任意一个数λ与V 中任意一个元素α，按照这个法则，V 中总有一个确定的元素δ与之对应，称为λ乘α的数乘积，记法δ=λα ）有关这两个运算还满足以下八条运算律： 设 ,,,,V F αβγλμ∈∈

(1) ;αββα+=+

(2) ()();αβγαβγ++=++

(3) V 中存在零元素，记它为0，对任何V 中元素α，都有α+0=α成立; (4) 对V 中的任何元素α，V 中一定还存在α的负元素，记为-α，使得α+（-α）=0;

(5) 1α=α; (6) ()();λμαλμα=

(7) ();λμαλαμα+=+

(8)().λαβλαλβ+=+

这时便称V 是数域F 上的一个线性空间.

注：实数域R 上的线性空间称为是线性空间；复数域C 上的线性空间称为复线性空间.

2线性空间的相关理论

2.1线性空间的一些简单性质 （1）零元素唯一； （2）α的负元素唯一； （3）000k k αα=⇔==或； （4）-（-α）=α； （5）()()();k k k ααα-=-=-

（6）();k k k αβαβ-=-

（7） ,V,V,+=.αβγαβγ∀∈∈存在唯一的使得

2.2向量的线性关系 2.2.1线性组合与线性表示

（1）设1,,n αα 是线性空间V 中的向量组，1,,n k k ∈F,称

1122n n k k k ααα++

为1,,n αα 的一个线性组合；

（2）零向量可由任一向量组线性表示；

（3）一个向量组中的每一个向量都可由这个向量组线性表示；

（4）如果向量α可由1,,n ββ 线性表示，而每个1,,i n βαα 又可由线性表示，则α

可由1,,n αα 线性表示.

2.2.2线性相关与线性无关

（1）设1,,n αα 是线性空间V 中的向量组，若有F 中不全为0的数1,,n k k ，使得

1122n n k k k ααα++ =0，

则称1,,n αα 线性相关；否则，称1,,n αα 线性无关，即若 1122n n k k k ααα++ =0，

则12...0n k k k ====.

(2)若1,,n αα 中有一零向量，则此向量必线性相关. (3)单个零向量线性相关，一个非零向量线性无关.

(4)n F 的m 个向量12(,,...,)'(1,...,)i i i ni a a a i m α==线性相关的充要条件是其次线性方程AX=0有非零解，其中A=,()ij m n a ⨯即r(A)

(5)将一个线性相关（无关）的向量组任意添加（减少）若干个非零向量所得的新向量组仍线性相关（无关）.

(6)将线性无关的r 维向量组中的每个向量均延长相同个数的分量而得到的n 维向量组仍线性无关.

(7)1,,r αα 线性无关，则β不能由1,,r αα 线性表示的充要条件是1,,r αα ，β线