线性空间的性质
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间是线性代数的一个重要概念，扮演着理解线性变换的基础角色。
本文将介绍线性空间的定义、性质以及线性变换的概念和特性。
一、线性空间的定义与性质线性空间，也被称为向量空间，是指一个集合，其中包含一些向量，满足特定的性质。
具体而言，线性空间需要满足以下几个条件：1. 封闭性：对于线性空间中的任意两个向量，它们的线性组合也属于该空间。
即，如果向量a和向量b属于线性空间V，那么对于任意标量α和β，αa + βb也属于V。
2. 加法封闭性：线性空间中的向量满足加法封闭性，即对于任意的向量a和b，它们的和a + b也属于该空间。
3. 数乘封闭性：线性空间中的向量满足数乘封闭性，即对于任意的向量a和标量α，它们的积αa也属于该空间。
4. 满足加法和数乘的运算性质：线性空间中的向量满足加法和数乘的交换律、结合律和分配律。
线性空间的性质还包括零向量、负向量和线性相关性。
零向量表示线性空间中存在一个使其与任何向量相加得到自身的向量，负向量表示线性空间中的向量存在一个加法逆元。
线性相关性指的是线性空间中存在一组向量线性组合为零向量的关系。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指在两个线性空间之间的映射，它保持了向量空间中的线性结构。
具体而言，线性变换需要满足以下几个条件：1. 保持加法运算：对于线性变换T，对任意的向量a和b，有T(a +b) = T(a) + T(b)。
2. 保持数乘运算：对于线性变换T和标量α，有T(αa) = αT(a)。
线性变换的性质还包括零变换、恒等变换和可逆性。
零变换表示线性变换将所有向量映射为零向量。
恒等变换表示线性变换将每个向量映射为其本身。
可逆性表示存在一个逆变换，使得两个线性变换进行复合后得到恒等变换。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换密切相关，线性变换本质上是线性空间之间的映射，它将一个线性空间中的向量映射到另一个线性空间中。
线性变换保持了向量空间的线性结构，在线性代数中起到了重要的作用。
线性空间的定义与性质
s1(x) = A1sin(x+B1)= (A1)sin(x+B1) S[x],
所以, S[x]是一个线性空间.
例5: 在区间[a, b]上全体实连续函数构成的集合 记为C[a, b], 对函数的加法和数与函数的数量乘法, 构 成实数域上的线性空间. (2) 一个集合, 如果定义的加法和乘数运算不是通 常的实数间的加, 乘运算, 则必需检验是否满足八条线 性运算规律. 例6: 正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘 数运算为: ab = ab, a = a, (R, a, bR+) 验证R+对上述加法与乘数运算构成(实数域R上的)线 性空间. 证明: 对任意a, bR+, R, ab = abR+, a = aR+, 所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.
说明2. 向量(线性)空间中的元素称为向量, 但不一 定是有序数组. 说明3. 判别线性空间的方法: 一个集合, 对于定义 的加法和数乘运算不封闭, 或者运算不满足八条性质 的任一条, 则此集合就不能构成线性空间. 线性空间的判定方法: (1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是 通常实数间的加, 乘运算, 则只需检验运算的封闭性. 例1: 实数域上的全体mn矩阵, 对矩阵的加法和 数乘运算构成实数域R上的线性空间, 记作Rmn. Rmn 中的向量(元素)是mn矩阵. 例2: 次数不超过n的多项式的全体记作P[x]n, 即 P[x]n ={ p(x)=a0+a1x+· · · +anxn | a0, a1, · · · , a n R } 对通常多项式加法, 数乘构成向量空间.
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的. 证明: 假设01, 02是线性空间V中的两个零元素. 则对任何V有, + 01 =, + 02 = , 由于01, 02V, 则有 02+01=02, 01+02=01. 所以 01=01+02 =02+01 =02.
线性空间的定义与性质(精)
例2 数域F上m行n列矩阵组成的典例：
设 Mm×n = {A：数域 P 上 m× n 矩阵}，显然
A, B Mm ×n , k P AB Mm ×n ， kA Mm ×n ,
即 Mm×n 对矩阵加法和数乘运算封闭； 易验证 8 条算律亦成立 →
M m? n 对矩阵加法和数乘运算构成数域 P 上的向量空间.
引入减法运算: ( ) 3.
( )) ( ) ( ) ( ) .
( ) (( ) ) 0 .
要证 ( 1) ,即证 ( 1) 是 的负向量. 事实上
( 1) 1 (1) (1 1)) 0 0 → ( 1) 成立.
8)
□
k( ) ( k) k .(即证 k( ), ( k) 是 k 的负 常用表达式为：
（统称为运算封闭性） ，且满足算律： ① ② ③ ④
＋ ＋ ；
(＋ )＋ ＋( ＋ ) ；
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
(ab)α a(bα) ；
1 ；
0 V , V , 0 ；
V , / V , / 0 ；
二. 基本性质
8条算律 ― 基本法律依据（公理），以2个运算、8 条算律为基础推导其它基本性质. 以下6条基本性质：
1. V 中零向量唯一.
算律 3) 证明： 设 0 1，0 2 是 V 中零向量
0 2＝0 2＋0 1＝0 1＋0 2＝0 1 . □
该性质是可以用 0 表示 V 中零向量的理论依据.
a( ) a a ； (a b) a b .
线性空间与子空间的性质
线性空间与子空间的性质线性空间是数学中的一个重要概念，广泛应用于线性代数、函数分析和其他相关领域。
线性空间由两个基本要素组成：一个域和一个向量集合。
在线性空间中，向量之间可以进行加法和数乘操作，并满足相应的性质。
子空间是线性空间的一个重要概念，它由线性空间中的一部分向量组成，同时满足线性空间的定义和运算规则。
本文将介绍线性空间和子空间的性质。
一、线性空间的性质1. 加法封闭性线性空间中的任意两个向量相加仍然属于该空间。
即对于任意的向量u和v，u+v仍然属于线性空间。
2. 数乘封闭性线性空间中的任意向量与一个标量相乘仍然属于该空间。
即对于任意的向量u和标量c，cu仍然属于线性空间。
3. 加法交换律线性空间中的向量加法满足交换律。
即对于任意的向量u和v，u+v=v+u。
4. 加法结合律线性空间中的向量加法满足结合律。
即对于任意的向量u、v和w，(u+v)+w=u+(v+w)。
5. 零向量的存在线性空间中存在一个特殊的向量，称为零向量，它与任意向量相加得到该向量本身。
即对于线性空间中的任意向量u，存在一个零向量0，使得u+0=u。
6. 加法逆元的存在线性空间中的任意向量都存在一个相反向量，使得它们相加等于零向量。
即对于线性空间中的任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0。
二、子空间的性质1. 非空性子空间中至少包含一个向量。
2. 加法封闭性子空间中的任意两个向量相加仍然属于该子空间。
即对于任意的子空间中的向量u和v，u+v仍然属于该子空间。
3. 数乘封闭性子空间中的任意向量与一个标量相乘仍然属于该子空间。
即对于任意的子空间中的向量u和标量c，cu仍然属于该子空间。
4. 包含零向量子空间中必须包含零向量。
5. 子空间的维数子空间的维数是指子空间中所含向量的最大线性无关组的向量个数。
6. 子空间的性质继承子空间继承了线性空间的所有性质。
总结：线性空间是由向量组成的数学结构，具有加法和数乘操作，并满足一系列性质，如加法封闭性和数乘封闭性。
§6-2线性空间的定义和性质(精)
§6-2线性空间的定义和性质一、定义：设V 是一个非空集合，P 是一个数域1、 在V 中定义一种加法运算，使对于V 中任意两个元βα,都有V 中唯一的元γ与之对应，称为α与β的和，记作βαγ+=，加法满足：① α+β=β+α；② α+（β+γ）=（α+β）+γ；③ V 中有一个元素θ，使对V 中任一元α，都有α+θ=α（θ叫做零元）； ④ 对于V 中每一个元α，都有V 中元β存在，使α+β=θ（β叫做α的负元）；2、 在P 中的数与V 中的元之间定义一种数量乘法运算，使P k ∈∀及V ∈∀α都有V 中唯一的元δ 与之对应，记作αδk =，且满足：⑤αα=∙1;⑥()()ααkl l k =;⑦()αααl k l k +=+;⑧()βαβαk k k +=+;满足以上运算的V ，称为数域P 上的线性空间。
例1 ：数域P 上的一元多项式环[]x P ，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间。
如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域P 上的一个线性空间，用[]n x P 表示。
例2：元素属于数域P 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的乘法，构成数域P 上的一个线性空间，用n m P ⨯表示。
例3： C[a,b]关于函数的加法和数与函数的乘法来说作成实数域R 上的向量空间。
)()()(x af x g x f +例4： R 为实数域，V 为全体正实数组成的集合，定义V 中两个元素的加法运算⊕为：V b a ab b a ∈=⊕,,定义V 中元素与R 中元素的数乘运算“ ”为p R v a a a k k ∈∈=,,下面验证V 对于这两种运算满足定义中的八条规则：1 a b ba ab b a ⊕===⊕；2 )()()()(c b a c ab c ab c b a ⊕⊕==⊕=⊕⊕；3 a a a =⋅=⊕11；4 a 的负元素是a -1, 111==⊕--aa a a ;5 a lk a a k a l k lk l ===)(;6 )()()(a l a k a a a a l k l k l k ⊕=⊕==++;7 k k k k k k b a b a ab b a b a k ⊕===⊕=⊕)()()(=)()(b k a k ⊕;8 a a a ='= 1;所以V 是实数域上的向量空间。
线性空间的定义与性质
对p(x)=a0+a1x+···+anxn Q[x]n, 0R, 0 p(x)=0(a0+a1x+···+anxn) = 0+0x+···+0xn = 0
所以Q[x]n对线性运算不封闭.
例4: 正弦函数的集合
S[x]={ s(x)=Asin(x+B) | A, BR}
封闭性. 例1: 实数域上的全体mn矩阵, 对矩阵的加 法和数乘运算构成实数域R上的线性空间, 记作Rmn. Rmn中的向量(元素)是mn矩阵.
例2: 次数不超过n的多项式的全体记作 P[x]n, 即
P[x]n ={ p(x)=a0+a1x+···+anxn | a0,
通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法两种运算
下面验证八条线性运算
规律:
对任意(1a),ab,b c=Ra+,bk=, blaR,= ba ; (2) (ab)c = (a b)c = (a b)c = a(b c) = a(b c) =a(bc) ; (3) 存在零元1R+, 对任意aR+, 有a1=a 1=a; (4) 对任一元素aR+, 存在负元素a-1R+, 有 aa–1= a a–1 =1; (5) 1a = a1 = a ; (6) k(l a) = kal = (al)k = ak l = (k l)a;
=a0+a1x+···+anPx[n x]n,
所以P[x]n对线性运算封闭. 例3: 次数等于n 的多项式的全体记作Q[x]n,
即
Q[x]n={ p(x)=a0+a1x+···+anxn | a0, a1, ···, anR, an 0 }
线性空间中的基本定义及性质
线性空间中的基本定义及性质线性空间是现今数学中的一个基础概念。
它在向量、矩阵、微积分、拓扑等多个数学分支中都有广泛的应用。
本文将简单介绍线性空间的基本定义及其性质。
一、线性空间的基本定义线性空间是一种包含数个元素的空间，其内部具有向量加法运算和数乘运算。
具体来说，设V为一个非空集合，其中的元素称为向量。
若V上有两种运算，一种为向量加法运算，用+表示，另一种为数乘运算，用·表示，则称(V, +, ·)为一个线性空间，满足以下条件：1.加法交换律：对任意u,v∈V，有u+v=v+u；2.加法结合律：对任意u,v,w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)；3.存在零向量：存在一个元素0∈V，使得对任意u∈V，有u+0=u；4.对任意向量u∈V，存在相反元素：对任意u∈V，存在一个元素-v∈V，使得u+(-v)=0；5.数乘结合律：对任意α,α∈R，u∈V，有(αα)u=α(αu)；6.分配律：对任意α∈R，u,v∈V，有α(u+v)=αu+αv，(α+α)u=αu+αu；7.标量乘法：对任意u∈V，有1u=u。
在以上定义中，R表示实数集合上的乘法运算。
二、线性空间的性质线性空间的定义虽然简单，但它带来了许多重要的性质。
以下是几个典型的例子：1. 零向量唯一性：线性空间中仅存在一个零向量，任何向量加上该零向量等于其本身。
2. 相反元素唯一性：线性空间中任一向量的相反元素是唯一的。
3. 线性组合性质：设{u1,u2,...,un}为V中的向量。
{a1,a2,...,an}为任意实数，则线性组合a1u1+a2u2+...+anun∈V。
其中，每个ai乘以ui叫做向量ui 的系数。
4. 子空间的定义：设V为一个线性空间，如果它的子集W满足：（1）对于任意向量u,v∈W，u+v∈W；（2）对于任意α∈R，u∈W，有αu∈W；则称W是V的一个子空间。
5. 线性无关性：设V为一个线性空间，{u1,u2,...,un}为其中的向量。
线性空间的性质
定 义 ： 设 是 一个 线性 空 间 ， ，是 中的 一 个 非 空 假 而 ． 子 集 ， 非 空 子 集 中所 定 义 的 加 法 运 算 和数 乘 运 算 ， 构 若 也
成 一 个 线 性 空 间 ， 么 就 称 ，是 的 子 空 间 ． 那 Ｊ 由 以上 可 以得 出 ： 性 空 间 的非 空 子 集 构 成 子 空 间 线
同 理可 证 明 ： 若 不 等 于 ０ 那 么 有 Ａ＝ ． ， ０
四、 总 结
构 ， 就是说维数相等 的线性 空间都 同构． 而 可得 出 ： 也 从 线 性 空 间 的结 构 完 全 由它 的 维 数 来决 定 ． 从 同构 的概 念 可 以 看 出 ， 个 线 性 空 间 同 构 除 了 它 们 两 的 元 素一 一 对 应 外 ， 要 还 看 它们 是 保 持 线 性 运 算 的 对 应 主 关 系． 以就 可 以把 所 中的抽象 的线性 运算 转化 为 Ｒ 中
域 中有 着 广 泛 的 应 用 ． 性 空 间 的 子 空 间 是 线 性 空 间 的 子 线 集 ， 性 子 空 间 巾 的 元 素 要 满 足 对 原 线 性 空 间 的 加 法 与 数 线 量 乘 法 封 闭性 ．
１ ．线 性 空 间的 定 义 线 性 空 间实 际 上 就 是 ｎ维 向 量 空 间 概 念 的 抽 象 和 推 广 ． 义 为 ： 果 是 一 个 非 空 集 合 ， 定 如 Ｆ是 一 个 数 域 ， 的 加 它 法 和 数 乘 是 封 闭运 算 ， ， 于 中任 意两 个 元 素 ， ， 有 即 对 ｙ总 唯 一 一 个 元 素 ｚ 之 对 应 ， ＝ ｙ 对 于 任 意 一 个 数 Ａ Ｆ， 与 ｚ ｘ＋ ； 是 中 任 意 一 个 元 素 ， 有 唯 一 一 个 元 素 ０ Ｖ与 之 对 总 ９
线性空间的定义与简单性质
注 ◆ 例 8 中集合 V 满足线性空间定义中的其 他七条公理, 可见第五条虽然比较简单, 但是不可 由其他七条推出.
◆ 在 8 条公理中只有第一条加法满足交换律不 是独立的.
证明 ∵ 2( )＝2 2 ＝(1＋1) ＋(1 ＋1) ＝(1 ＋1 )＋(1 ＋1 )＝(＋ )＋( ＋ )＝ ＋( ＋ )＋ ,
元素 与它们对应，称为 k 与 的数量乘积，记
= k . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那
么 V 称为数域 P 上的线性空间.
加法满足下面四条规则：
1) ；
2) ( ) ( )；
3) 在 V 中有一个元素 0，对于 V 中任一元素
都有
+ 0 =
(具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素) ；
7 §6.2 线性空间的定义与简单性质
例 1 在解析几何中， 平面或空间中一切向量 组成的集合 V, 对于向量的加法及实数与向量的乘 法, 构成实数域上的一个线性空间.
例 2 全体 n 维实向量组成的集合 V, 对于向 量的加法及实数与向量的乘法, 构成实数域上的 一个线性空间.
例 3 全体定义在区间 [a,b]上的连续函数组成 的集合V, 对于函数的加法及实数与连续函数的乘 法, 构成实数域上的一个线性空间. 用 C [a,b] 表示.
八条规则其中前四条是加法的运算律这时称v对加法做成一个加群第五六条是数量乘法算律后两条是分配律表示两种运算之间的联系
高等代数
第六章 线性空间 Linear Space
第二节 线性空间的定义与简单性质
2 §6.2 线性空间的定义与简单性质
一、线性空间的概念
定义 1 设 V 是一个非空集合 , P 是一个数域 . 在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做 加法； 这就是说，给出了一个法则，对于 V 中任
线性空间与子空间的性质与运算
线性空间与子空间的性质与运算线性空间（也称为向量空间）是数学中重要的概念之一，它是一种满足特定性质的集合。
任何一个线性空间都有一些性质和运算规则，而子空间则是线性空间的一个重要概念。
一、线性空间的性质1. 加法封闭性：对于线性空间V中的任意两个向量x和y，它们的和x+y也属于V。
2. 数乘封闭性：对于线性空间V中的任意向量x和数k，它们的乘积kx也属于V。
3. 加法交换律：对于线性空间V中的任意两个向量x和y，它们的和x+y与y+x相等。
4. 加法结合律：对于线性空间V中的任意三个向量x、y和z，它们的和满足(x+y)+z = x+(y+z)。
5. 零元素存在性：线性空间V中存在一个特殊的元素0，称为零向量，它满足对于任意向量x，x+0 = x。
6. 负元素存在性：对于线性空间V中的任意向量x，存在一个特殊的元素-x，使得x+(-x) = 0。
7. 乘法结合律：对于线性空间V中的任意数k1和k2以及任意向量x，满足(k1k2)x = k1(k2x)。
8. 分配律：对于线性空间V中的任意数k以及向量x和y，满足k(x+y) = kx+ky。
二、子空间的性质与运算子空间是线性空间的一个重要概念，它是指一个非空集合H，若H也是线性空间，且包含于另一线性空间V中，则称H为V的子空间。
1. 零子空间：零向量所在的所有子空间都称为零子空间，也记作{0}。
2. 平面子空间：当子空间H包含线性空间V中两个或多个线性无关的向量时，它们所张成的平面子空间称为V的平面子空间。
3. 线子空间：当子空间H中的向量都可以用一个非零向量来表示时，该子空间称为线子空间。
子空间的运算包括加法和数乘运算。
对于一个子空间H，对于任意两个向量x和y，以及任意数k，都有以下性质：1. 加法封闭性：如果向量x和y属于子空间H，则它们的和x+y也属于H。
2. 数乘封闭性：如果向量x属于子空间H，数k属于实数域R或复数域C，则kx也属于H。
注意，几个子空间的交集仍然是子空间，而子空间的并集不一定是子空间。
线性空间和其基础性质的定义及应用
线性空间和其基础性质的定义及应用线性代数是一门数学分支学科，主要研究向量空间及其上的运算。
线性空间的概念是线性代数的基础，而许多重要的数学分支学科，如微积分、偏微分方程和量子力学都是基于线性空间理论的。
本文将对线性空间及其基础性质的定义进行阐释，并探讨线性空间在不同领域中的应用。
一、线性空间的定义线性空间是一个向量空间，其基本性质是空间中的所有元素均具有标量乘法（scalar multiplication）和向量加法（vector addition）两种基本运算：1. 标量乘法：对于任何标量（即实数或复数）α和向量v，有唯一一个向量αv，2. 向量加法：对于任何两个向量u和v，有唯一一个向量u+v，3. 满足以下八条性质：（1）线性空间中的任意向量u和v都有一个和，称为它们的和u + v。
（2）+ 运算满足交换律，即 u + v = v + u（3）+ 运算满足结合律，即 (u + v) + w = u + (v + w)（4）存在零向量，即 u + 0 = u,对于所有的向量u;（5）对于每个向量u，存在一个与u相反的向量—u，使得 u + (-u)=0;（6）标量乘法满足结合律, 即α(βv) = (αβ)v。
（7）标量乘法对向量加法的分配律，即α(u+v)= αu + αv。
（8）标量乘法对标量加法的分配律，即(α + β)v= αv+ βv。
（其他一些基本术语）向量的线性组合 ( linear combination) 是指对向量进行加权求和v = c1 v1 + c2 v2 + ... + cn vn ,其中 ci 是标量。
向量空间的维数是指向量集合中，所需最小基的数量，记作dim(V)。
二、线性空间的应用线性空间是许多数学分支学科的基础，在多个应用场景中都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例。
1. 物理学中的线性空间：量子力学中有一个重要的概念是哈密顿算符（Hartniltonian Operator），它是线性空间中的一个算子，用于对系统的总能量进行量化。
§6.2 线性空间的定义
§6.2 线性空间的定义
线性空间是数学中一个非常重要的基础概念，也被称为向量空间。
它是由一组称作向量的元素所构成的集合，并且这个集合也需要满足一定的运算规则。
具体来说，线性空间必须满足以下条件：
1. 加法性质：对于任意的 a、b 属于线性空间 V，其和 a+b 也属于 V。
6. 存在零元素：线性空间中必须存在一个元素 0，使得对于任意的 a 属于 V，有a+0=0+a=a。
以上这些条件都是线性空间必须满足的性质，只有同时满足以上所有条件，才能称为线性空间。
线性空间不仅可以是实数域上的，也可以是复数域或其他的数域，只要满足上述条件就行。
此外，线性空间的向量元素也可以是多维的，相应地，加法和数量乘法也要进行多维的运算。
总之，线性空间是数学中的一个非常重要的概念，它是在广泛的应用领域中得到了广泛的应用，包括物理、经济、计算机科学等领域，是许多高等数学学科的基础，深入理解并掌握线性空间的性质和应用，对于建立和发展许多数学理论和应用具有重要的意义。
线性空间的定义和性质
又由于02也是零元素，由定义又应有
从而
01 02 01
01 01 02 02
这证明了零元素的唯一性；
(2) 设αV,β与γ都是 α的负元素，则
0 , 0 这样有
0 ( ) ( ) 0
从而α的负元素是唯一的；
(3) 因为
0 1 0 (1 0) 1
(1) ；
(2) ( ) ( ) ；
(3) V中存在元素0，使对任意αβ有
0 ；
(4) 对于V中任意α，存在V中元素β使
得
0；
(5) 1α=α ；
(6) k(l) (kl) ；
(7) (k l)α kα lα ；
(8) k( ) k k .
§7.1 线性空间的定义和性质 7.1.1 线性空间的定义 7.1.2 线性空间的初步性质
7.1.1 线性空间的定义 线性空间是本章遇到的第一个抽象概
念.前面遇到过的n维向量、n阶矩阵等都是 一些具体的对象. 为了引出线性空间的一 般概念，我们先仔细观察一下这两个具体
对象. 例7.1.1 实数域上n维向量全体作成
2 2 Q，从而在Q中用实数去进行的
数乘运算不是封闭的.
从这些例子可以知道，线性空间可以 在各种不同的集合上对于各种不同的
加法、数乘运算来定义，只要这个集合上 定义的加法、数乘运算满足封闭性及八条 算律，就可成P上的线性空间V，一般用
例7.1.5 全体有理数所成集合Q，按通 常有理数的加法和有理数对有理数的乘法， 构成一个有理数域上的线性空间. 注意
这个线性空间V及它所属的数域P是同一个 集合. 一般地，任何一个数域P都是P自身 上的线性空间. 但Q不构成实数域R上的线 性空间，因为用一个实数与Q中元素进行 数乘的结果未必是Q中的元素，如
线性空间定义及简单性质
线性空间注意要点：
1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 统称为线性运算．
2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．
向 量
线性空间注意要点：
线性空间的定义是公理化的定义。
引例 2
数域P上的一元多顶式环P[x]中，对于通常的多项式
的加法和数与多项式的乘法两种运算作成数域P上的 线性空间。
◇利用负元素，我们定义减法： ( )
3、0 0, k0 0, (1) , k( ) k k
证明：∵ 0 (0 1) ,
∴两边加上 即得 0 ＝0；
∵ k k( 0) k k0
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V，的负元素是唯一的，记为- ．
证明：假设 有两个负元素 β、γ ，则有
0, 0 0 ( ) ( ) ( ) 0
加法满足下列四条规则： , , V
① （交换律） ② ( ) ( ) （结合律）
③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0
（具有这个性质的元素0称为V的零元素）
④ 对 V , 都有V中的一个元素β，使得
0 ;（β称为 的负元素）
数量乘法满足下列两条规则 :
⑤ 1
⑥ k(l ) (kl)
数量乘法与加法满足下列两条规则：（分配律）
⑦ (k l) k l ⑧ k( ) k k
v
P
运
算
封
闭
性
八 大 定 律
线性空间与子空间的定义与性质
线性空间与子空间的定义与性质线性空间是线性代数中的基本概念之一，它是由一组元素及其对应的运算所构成的数学结构。
本文将介绍线性空间的定义和性质，并讨论其子空间的特点。
一、线性空间的定义线性空间也称为向量空间，它由定义在一个域上的元素所组成，这些元素称为向量。
一个线性空间必须满足以下条件：1. 封闭性：对于任意向量a和b，其线性组合a+b也是线性空间中的向量。
2. 可加性：对于任意向量a、b和c，满足(a+b)+c = a+(b+c)的结合律。
3. 零向量：存在一个零向量0，使得对于任意向量a，有a+0=a。
4. 负向量：对于每个向量a，存在一个负向量-b，使得a+b=0。
5. 数乘性：对于任意向量a和标量k，其标量倍数ka也是线性空间中的向量。
6. 数乘分法：对于任意标量k和l，以及向量a，满足(kl)a=k(la)的结合律。
7. 数乘加法混合性：对于任意向量a和标量k、l，满足(k+l)a=ka+la 的分配律。
8. 数加分法混合性：对于任意向量a、b和标量k，满足k(a+b)=ka+kb的分配律。
二、线性子空间的定义线性子空间是指线性空间中的一个子集，它也是一个线性空间。
对于给定的线性空间V，如果集合W是V的子集，并且满足以下条件：1. 零向量：零向量0属于W。
2. 封闭性：对于任意向量a和b，若a和b都属于W，则其线性组合a+b也属于W。
3. 数乘性：对于任意向量a和标量k，若a属于W，则其标量倍数ka也属于W。
三、子空间的性质线性子空间具有如下性质：1. 非空性：线性子空间不能是空集。
2. 零向量唯一性：线性子空间中的零向量是唯一的。
3. 维数性质：设V是一个线性空间，W是V的一个有限维子空间，如果W的一组基包含n个向量，则W的任意一组线性无关的向量组也包含不超过n个向量。
4. 直和性质：设V是一个线性空间，W是V的一个子空间。
如果存在一个子空间U，使得V是U和W的直和，即任意向量v∈V都可以唯一地表示成v=u+w，其中u∈U，w∈W，则称V是子空间U和W 的直和。
线性空间线性空间的定义及性质知识预备集合笼统的说
第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。
集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。
比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。
实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
1．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用zx,,等表示；K是一个数域，y其元素用m,等表示。
如果V满足[如下8条性质，分两类]:k,l（I）在V中定义一个“加法”运算，即当Vx∈，时，有唯一的和y+（封闭性），且加法运算满足下列性质:x∈yV（1）结合律z=+)()(；+y+zxyx+（2）交换律x+；=yyx+（3）零元律存在零元素O，使x+；x=O（4）负元律 对于任一元素V x ∈，存在一元素V y ∈，使O y x =+，且称y 为x 的负元素，记为)(x -。
则有O x x =-+)(。
（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当K k V x ∈∈,时，有唯一的V kx ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律 ky kx y x k +=+)(； （6）分配律 lx kx x l k +=+)(； （7）结合律 x kl lx k )()(=； （8）恒等律 x x =1； 则称V 为数域K 上的线性空间。
注意以下几点：1）线性空间是基于一定数域来的。
同一个集合，对于不同数域，就可能构成不同的线性空间，甚至对有的数域能构成线性空间，而对其他数域不能构成线性空间。
2）两种运算、八条性质。
数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则是抽象的、形式的。
3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性是否满足。
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它在数学和应用领域中都有广泛的应用。
本文将探讨线性空间的基与维数，以及它们在线性代数中的意义和应用。
一、线性空间的概念与性质线性空间是指一个具备了加法运算和数乘运算的集合，且满足以下性质：1. 封闭性：对于任意向量组成的集合S，如果对于任意向量a，b∈S和任意标量c∈F（其中F表示该线性空间定义域内的域），都有a + b和c·a仍然属于S，则称S是该线性空间的一个子空间；2. 零向量：对于线性空间V，存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v∈V，有v + 0 = v；3. 加法逆元：对于线性空间V中的任意向量v，存在一个逆元向量−v，使得v + (−v) = 0；4. 结合律和分配律：对于线性空间V中的任意向量a，b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)和c(a + b) = ca + cb。
二、线性空间的基在线性空间V中，如果存在一组向量{v1, v2, ..., vn}，满足：1. 这组向量线性无关；2. 任意向量v∈V都可以由这组向量线性表示。
那么，这组向量{v1, v2, ..., vn}被称为线性空间V的一个基。
基是线性空间中最重要的概念之一，它可以用来表示线性空间中的任意向量。
三、线性空间的维数线性空间的维数是指该线性空间的基所包含的向量个数。
记线性空间V的维数为dim(V)，则对于线性空间V的任意基，它所包含的向量个数都相同，即dim(V)是唯一确定的。
维数的概念在线性代数中具有重要的意义。
它可以用来衡量线性空间的大小以及其所能表示的向量的种类。
维数为1的线性空间只包含一个向量，而维数为n的线性空间可以表示任意n维向量。
四、线性空间的维数与基的关系线性空间的维数与其基是密切相关的。
根据线性代数的基本定理，任意线性空间中的所有基都包含相同数量的向量，即具有相同的维数。
设线性空间V的维数为n，则任意一个基包含n个线性无关的向量。
线性空间和子空间
线性空间和子空间线性空间是线性代数中的重要概念，它是指一个集合，在这个集合中定义了向量的相加和数乘两种运算，并且满足了一系列的性质。
而子空间是线性空间的一个重要概念，它是指线性空间中的一个子集，同时也是一个线性空间。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指一个空间，其中的元素可以进行向量的相加和数与向量的乘法运算。
它的定义如下：定义：设V是一个非空集合，如果在V中定义了两种运算：向量的相加和数与向量的乘法，使得V满足以下性质：1. 向量加法运算：对于任意的u、v∈V，有u+v也属于V，并且满足交换律，即u+v=v+u。
2. 数与向量的乘法：对于任意的k∈R（实数域）和v∈V，有kv 也属于V，并且满足分配律，即k(u+v)=ku+kv。
3. 存在零向量：存在一个元素0∈V，使得对于任意的v∈V，有v+0=v。
4. 对于任意的v∈V，存在一个元素w∈V，使得v+w=0。
根据以上的定义，线性空间V满足了一系列的性质，如交换律、结合律、分配律等。
在实际应用中，线性空间可以是多维的，例如欧几里得空间、函数空间、向量空间等。
二、子空间的定义和判定子空间是线性空间的一个重要概念，它是指线性空间V的一个子集U，同时也是一个线性空间。
子空间的定义如下：定义：设V是一个线性空间，U是V的一个子集。
如果U本身也是一个线性空间，那么U称为V的子空间。
判定一个集合是否是线性空间的子空间，可以通过以下三个步骤进行：1. 非空性：子空间U必须是非空的，即U中必须至少有一个元素。
2. 加法封闭性：对于任意的u、v∈U，必须有u+v∈U，即子空间U在向量的相加运算下封闭。
3. 数乘封闭性：对于任意的k∈R（实数域）和u∈U，必须有ku∈U，即子空间U在数与向量的乘法运算下封闭。
通过以上的判定方法，可以得出一个集合是否是线性空间的子空间。
三、子空间的例子1. 平面空间：设V是三维向量空间，平面P是其中一个过原点的平面。
则平面P是V的一个子空间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学院数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级2011级姓名魏云论文题目线性空间的性质指导教师韩英波职称副教授成绩2013年3月16日学年论文成绩评定表目录摘要 (1)关键字 (1)Abstract (1)Key words (1)前言 (1)1 线性空间的概念 (2)2 线性空间的相关理论 (3)2.1 线性空间的一些简单性质 (3)2.2 向量的线性关系 (3)2.3 基、维数、坐标 (6)3 两个特殊的子空间 (7)3.1 欧几里得空间的定义与性质 (7)3.2 酉空间的介绍 (8)4 线性空间的同构 (8)4.1 同构映射与线性空间同构的定义 (8)4.2 同构映射的性质 (9)参考文献 (10)线性空间的性质摘要：本文首先介绍了与线性空间相关的一系列基本概念，然后归纳总结了线性空间的一些相关性质，包括线性空间的维数、基及坐标；同构映射以及性质等，还包括了向量的线性关系，同时介绍了一些特殊的线性空间，以及它们的简单性质.关键词：线性空间；基；维数；同构The properties of linear vector spaceAbstract: In thesis, we introduce a series of basic concepts of the linear vector space firstly, and then summarized some properties of the linear space, including linear vector space definition, linear vector space, the nature of the linear vector space dimension, base and coordinates, isomorphism mapping and judgments. The thesis also includes linear vector space relationship, some special linear spaces and their simple properties.Key words: Linear space; Base ; Dimension; Isomorphism前言：线性空间是线性代数最基本的数学概念之一，是线性代数的主要研究对象，它用公理化的方法引入了一个代数系统.同时线性空间与线性变换也是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念，线性空间的理论和方法在自然科学和工程技术领域中都有广泛的应用.下面我们主要研究线性空间及、向量的线性关系、基、维数、坐标、特殊的线性空间以及线性空间的同构问题.1.线性空间的概念定义：设V 是非空集合，F 是某一个数域：V 上定义了一个加法运算（也就是说，给出了一个对应法则，按照这个法则，V 中任意两个元素α与β，在V 中都有一个确定的元素γ与只对应，称为α与β的和，记法γ=α+β），同时也定义了一个用F 上的数乘以V 中元素，乘积保持为V 中元素的数乘运算（也就是说，给出了这样一个对应法则，对于F 上的任意一个数λ与V 中任意一个元素α，按照这个法则，V 中总有一个确定的元素δ与之对应，称为λ乘α的数乘积，记法δ=λα ）有关这两个运算还满足以下八条运算律： 设 ,,,,V F αβγλμ∈∈(1) ;αββα+=+(2) ()();αβγαβγ++=++(3) V 中存在零元素，记它为0，对任何V 中元素α，都有α+0=α成立; (4) 对V 中的任何元素α，V 中一定还存在α的负元素，记为-α，使得α+（-α）=0;(5) 1α=α; (6) ()();λμαλμα=(7) ();λμαλαμα+=+(8)().λαβλαλβ+=+这时便称V 是数域F 上的一个线性空间.注：实数域R 上的线性空间称为是线性空间；复数域C 上的线性空间称为复线性空间.2线性空间的相关理论2.1线性空间的一些简单性质 （1）零元素唯一； （2）α的负元素唯一； （3）000k k αα=⇔==或； （4）-（-α）=α； （5）()()();k k k ααα-=-=-（6）();k k k αβαβ-=-（7） ,V,V,+=.αβγαβγ∀∈∈存在唯一的使得2.2向量的线性关系 2.2.1线性组合与线性表示（1）设1,,n αα 是线性空间V 中的向量组，1,,n k k ∈F,称1122n n k k k ααα++为1,,n αα 的一个线性组合；（2）零向量可由任一向量组线性表示；（3）一个向量组中的每一个向量都可由这个向量组线性表示；（4）如果向量α可由1,,n ββ 线性表示，而每个1,,i n βαα 又可由线性表示，则α可由1,,n αα 线性表示.2.2.2线性相关与线性无关（1）设1,,n αα 是线性空间V 中的向量组，若有F 中不全为0的数1,,n k k ，使得1122n n k k k ααα++ =0，则称1,,n αα 线性相关；否则，称1,,n αα 线性无关，即若 1122n n k k k ααα++ =0，则12...0n k k k ====.(2)若1,,n αα 中有一零向量，则此向量必线性相关. (3)单个零向量线性相关，一个非零向量线性无关.(4)n F 的m 个向量12(,,...,)'(1,...,)i i i ni a a a i m α==线性相关的充要条件是其次线性方程AX=0有非零解，其中A=,()ij m n a ⨯即r(A)<m.特别地，当m=n 时，1,,n αα 线性相关当且仅当0A =.(5)将一个线性相关（无关）的向量组任意添加（减少）若干个非零向量所得的新向量组仍线性相关（无关）.(6)将线性无关的r 维向量组中的每个向量均延长相同个数的分量而得到的n 维向量组仍线性无关.(7)1,,r αα 线性无关，则β不能由1,,r αα 线性表示的充要条件是1,,r αα ，β线性无关.(8) β可由1,,r αα 线性表示，则表示法唯一的充要条件是1,,r αα 线性无关. (9) 1,,n αα （2n ≥）线性相关的充要条件是其中某向量是其余向量的线性组合. (10)设m n A F ⨯∈，则对A 施行初等行变换不改变A 的列向量线性关系.2.2.3向量组的等价（1）I 和II 是线性空间V 中的两个向量组，若I 的每个向量都可由II 线性表示，II 中的每个向量都可由I 线性表出，即I 与II 可以相互线性表出，就说I 与II 等价. （2）向量组的等价关系具有反身性、传递性和对称性.（3）（Steinitz 替换定理）设向量组（I ）:12,,,r ααα 线性无关，并且可由向量组（II ）：1,,s ββ 线性表示，则（i ）;i s ≤(ii)必要时对（II ）中的向量重新编号，使得用12,,,r ααα 替换1,,r ββ 所得的向量组11,,,,,r r s ααββ+ 与（II ）等价.推论1 若向量组12,,,m ααα 可由1,,s ββ 线性表示且m>s ，则12,,,m ααα 线性相关.推论 2 等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量. 2.2.4极大线性无关组（1）向量组1,,n αα 中的部分向量1,,r ββ 称为一个极大线性无关组（简称为极大无关组），如果（i ）1,,r ββ 线性无关；（ii ）1,,n αα 中的任一向量都可由1,,r ββ 线性表示. （2）每一个不全由零向量组成的向量组都有极大无关组.（3）等价向量组的极大无关组含有相同个数的向量.特别地，一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.（4）一个向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩.（5）秩为r 的向量组中的任何r 个线性无关的向量为其一极大无关组，并且任何两个极大无关组都等价.（6）两个向量组等价必等秩，但反之不真.（7）设两个向量组1,,s αα 与1,,t ββ 的秩都为r ，并且1,,s αα 可由1,,t ββ 线性表示，则这两个向量组等价. 2.3基、维数、坐标定义：数域F 上的线性空间V 中的向量组12,,,n ααα 称为V 的一个基，如果 （1）12,,,n ααα 线性无关；（2）V α∀∈，α可由12,,,n ααα 线性表示.V 的一个基所含向量的个数称为V 的维数，记为dim V.注：（1）线性空间V 的一个基实际上就是V 中全体向量的一个极大无关组.（2）基向量是有序的，如果调换基中向量的次序，就会得到V 中的另一个基. （3）若找到V 中的一个基，则称V 为有限维的；否则，称为无限维的.定义：设V 是数域F 上的n 维线性空间，12,,,n ααα 为V 的一个基，对V α∀∈有 1122,n n k k k αααα=+++ 称（12,,,n k k k ）为α在12,,,n ααα 下的坐标，其中,1,...,i k F i n ∈=. 坐标有时也可以写成列向量的形式.3.两个特殊的线性空间3.1 欧几里得空间的定义与性质.3.1.1定义：设V 是实数域R 上的线性空间，对于V 中任二向量x 与y ，按某规则定义一个实数，用（x,y ）表示.则称该实数为x 与y 的内积，它满足下列四个条件： （1） 交换律 （x,y ）=(y,x);（2） 分配律 （x,y+z ）=(x,y)+(x,z); （3） 其次性 （kx,y ）=k(x,y), k R ∀∈（4）非负性 （x,x ）≥0,当且仅当x=0时才有，（x,x ）=0.则称V 为欧几里得空间，简称欧式空间或实内积空间. 3.1.2基本性质： （1）（x,ky ）=k(x,y);（2）(x,0)=(0,x)=0;（3）11,1(,)(,)n n ni i i i i j i ji j i j x y x y ξηξη====∑∑∑ 3.2酉空间介绍定义：设V 是负数域C 上的线性空间，对于V 中任意两个向量x,y ，按照规则有一复数（x,y ）与之对应，并称其为内积，它满足下列四个条件（1）交换律 （x,y ）=(,)y x 这里(,)y x 是（x,y ）的共轭复数； （2）分配律 （x,y+z ）=(x,y)+(x,z); （3）其次性 （kx,y ）=k(x,y), k C ∀∈; （4） 非负性 （x,x ）≥0,当且仅当x=0时才有，实数（x,x ）=0. 则称V 为一酉空间（或酉交空间，复内积空间）.4.线性空间的同构4.1同构映射与线性空间同构的定义定义1 设V,1V 是数域F 上的两个线性空间，若V 到1V 有一个双射σ满足（1）()()();σαβσασβ+==（2）()(),k k σασα=其中,αβ为V 中的任意向量，k 为F 中的任意数，则称σ为V 到1V 的一个同构映射. 若V 与1V 之间有一个同构映射，则称V 与1V 同构，记为1V V ≅.定义：设V 与1V 都是欧式空间，若V 与1V 存在同构映射σ，并且,V αβ∀∈有((),())(,),σασβαβ=则称欧式空间V 与1V 同构.注：若σ为由V 与V 的同构映射，则称V 有一个自同构.4.2同构映射的性质设σ为V 到1V 的一个同构映射，则（1）(0)0,()();σσασα=-=-（2）112211()()...();r r r r k k k k k σααασασα+++=++（3）V 中的向量组12,,,r ααα 线性相关的充要条件是1(),...,()r σασα线性相关.（4）1σ-是1V 到V 的一个同构映射；（5）数域F 上的两个有限维线性空间V ，1V 同构的充要条件是它们的维数相同；（6）若11212:,:V V V V σσ→→都是同构映射，则212:V V σσ→也是同构映射，并且1112112();σσσσ---=（7）同构的线性空间具有反身性、对称性和传递性，因而数域F 上的任意两个n 维线性空间都同构；（8）1V 与2V 是两个有限维欧式空间，则1V 与2V 同构当且仅当dim 1V =dim 2V .参考文献：[1] 杨茂信,陈璞华,庚镜波 .《线性代数（第三版）》[M].华南理工出版社，1987.[2] 刘慧,袁文燕,姜冬青 .《矩阵论及应用》（研究生应用数学丛书）[M].北京：化学化工出版社，2003.[3] 张肇炽 主编.《线性代数及其应用》（高等学校教材）[M].西北工业大学出版社，1992.[4] 王卿文 .《线性代数核心思想及应用》（大学数学科学丛书）[M].科学出版社，2012.[5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 ，王萼芳,石生明 修订.《高等代数（第三版）》（高等学校教材）[M].高等教育出版社，2003.[6] 程云鹏 .《矩阵论》（高等学校教材）[M].西北工业大学出版社，1989.。