正弦函数和余弦函数的图像与性质教案

6.1课题：正弦函数和余弦函数的图像与性质（2）教案 教学目的：1、理解正、余弦函数的值域、最值、周期性、奇偶性的意义；

2、会求简单函数的值域、最小正周期和单调区间；

3、掌握正弦函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期及求法。

教学重点：正、余弦函数的性质。

教学过程：

（一）、引入

回顾三角函数的图像：

函数y=sinx ，x ∈[0，2π]和y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象，

（二）、新课

1．定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，

分别记作：

y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R

2．值域

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x ｜≤1， ｜cos x ｜≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1

也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］

其中正弦函数y =sin x ，x ∈R

①当且仅当x ＝

2

π＋2k π，k ∈Z 时， 取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R

①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1

②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1

3．周期性

由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cosx (k ∈Z )知：

正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。

一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期

对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期。

注意：

（1）周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无

下界；

（2）“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）

（3）T 往往是多值的（如y=sinx ，2π，4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数

叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。

4．奇偶性

由sin(－x)＝－sinx ， cos(－x)＝cosx

可知：y ＝sinx 为奇函数， y ＝cosx 为偶函数

∴正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称

5．单调性

从y ＝sin x ，x ∈［－

23,2ππ］的图象上可看出： 当x ∈［－2π，2

π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1 当x ∈［2

π，23π］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－

2π＋2k π，2

π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1。

余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1

（三）典型例题（3个，基础的或中等难度）

例1：求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么。

（1）y ＝cosx ＋1，x ∈R ； （2）y ＝sin2x ，x ∈R

解：（1）使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取

得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝。

∴函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2。

（2）令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且使函数y ＝sinZ ，Z ∈R 取得最大值

的Z 的集合是｛Z ｜Z ＝

2

π＋2k π，k ∈Z ｝ 由2x ＝Z ＝2π＋2k π，得x ＝4π＋k π 即 使函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝

4π＋k π，k ∈Z ｝ ∴函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1。

例2：求下列函数的单调区间

（1）y ＝－cosx （2）y=41sin(4x -3

π) （3）y=3sin(3π-2x) 解：（1）由y ＝－cosx 的图象可知：

单调增区间为［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )

单调减区间为［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )

（2）当2k π-2

π≤4x-3π≤2k π+2π， ∴函数的递增区间是[2πk -24π，2πk +24

5π](k ∈Z ) 当2k π+2π≤4x-3π≤2k π+2

3π ∴函数的递减区间是[2πk +245π,2πk +24

11π](k ∈Z ) （3）当2k π-2π≤3π-2x ≤2k π+2

π时，函数单调递减， ∴ 函数单调递减区间是[k π-12π，k π+12

5π](k ∈Z ) 当2k π+2π≤3π-2x ≤2k π+2

3π时，函数单调递增， ∴ 函数单调递减区间是[k π+125π，k π+12

11π](k ∈Z ) 例3：求下列三角函数的周期： (1) y=sin(x+

3π) (2) y=cos2x (3) y=3sin(2x +5π) 解：(1) 令z= x+3

π 而 sin(2π+z)=sinz 即：f (2π+z)= f (z) f [(x+2π)+

3π]=f (x+3π) ∴周期T=2π. (2)令z=2x ∴f (x )=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+π)]

即：f (x +π)=f (x ) ∴周期T=π。

(3)令z=2x +5

π 则 f (x )=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(

2x +5π+2π)=3sin(524ππ++x )=f (x +4π)