解析几何中的必备结论

b2 cot=θ 2
12 cot 60=0 2
=3
1 2
PF1
PF2 sin 60=0
1 2 PF1 PF2
3 2
| PF1 || PF2 |= 4
【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以 有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】.由余弦定理得
.
2, 120° ：用的中间结论要优于余弦定理
；∠F1PF2
|Biblioteka Baidu
PF1
||
PF2
|=
2b2 1+ cosθ
,∵| PF1 |= 4 ,| PF2 |= 2，∴代入求解非常方便，这是自己所没有想到的！
S ∠F1PF2
=
1 2
|
PF1
||
PF2
|
sin θ
=
b2
tan
θ 2
⇒ 1 × 4× 2sinθ =2 tan θ
坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）
33 A. 4
B.
93 8
C.
63 32
D.
9 4
法二：利用 S ∆AOB
=
p2 2 sin α
【答案】 D
设点A、B分别在第一和第四象限，AF = 2m, BF = 2n，则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，
3
3
3
2m = 2• + 3m,2n = 2• - 3n，解得m = (2+
5 ，故选 B．
直接用中间结论就可。
x2 y2 2.(2013 年新课标Ⅰ卷理 10) 已知椭圆 a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两
点。若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为
(
x2 y2 A、45＋36＝1
x2 y2 B、36＋27＝1
x2 y2 C、27＋18＝1
) x2 y2
D、18＋ 9 ＝1
【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.
【解析】设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则 x1 + x2 =2， y1 + y2 =－2，
x12 a2
+
y12 b2
= 1
①
x22 a2
+
y22 b2
= 1
②
①－②得
3
【答案】
2
1
【解析】设 ∠AFx= θ (0 < θ < π ) 及 BF = m ；则点 A 到准线 l : x = −1的距离为 3 ，
得： 3 = 2 + 3cosθ ⇔ cosθ = 1 又 m =2 + m cos(π −θ ) ⇔ m = 2 =3 。
3
1+ cosθ 2
方法一:在用统一的极坐标方程
解析几何中必备的结论
一．抛物线 1.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为 AB，A（x1,y1）、B(x2,y2)，则有如下结论：
（1） AB ＝x1+x2+p；
（2）y1y2=－p2，x1x2= p 2 ； 4
（3） 1 + 1 = 2 ； | AF | | BF | p
（4）以 AB 为直径的圆与准线相切；
2，点
P
为椭圆上任意一点 ∠F1PF2
= γ ，则椭圆的焦
点三角形的面积为(1)
S∆F1PF2
= b2
tan γ 2
.
x2 设 P 点是双曲线 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ∠F1PF2
= θ ，则
S = ∆PF1F2
b2 θ.
tan
2
练习题：
（A）y2 = 4x 或 y2 = 8x
（B）y2 = 2x 或 y2 = 8x
（C）y2 = 4x 或 y2 = 16x
（D）y2 = 2x 或 y2 = 16x
答案：C
【解】设 M(x0, y0)，由| MF |=5
⇒
p
x0 + 2
=5
⇒
p
x0 = 5 − 2
圆心
x0
N( 2
p +4
y0
,2
)到
1.（2010 全国卷 1 文数）（8）已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x2 − y2 = 1的左、右焦点，点 P 在 C 上，
∠ F1 P F2 = 600 ，则 | PF1 || PF2 |= （ B ）
(A)2 (B)4
(C) 6
(D) 8
【解析 2】由焦点三角形面积公式得：
S = ∆F1PF2
2.【2012 重庆文 14】设 P 为直线
y
=
b 3a
x 与双曲线
x2 a2
−
y2 b2
=
1(a
> 0,b
>
0)
左支的交点， F1 是左焦点，
PF1 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率 e =
【解析】由
y
=
b 3a
x
x
2
a 2
−
y2 b2
=1
得
x
y
= =
−3 2 a 4
− 2b 4
，又
PF1
方法二：小题大做，求得 A 点坐标得直线 AF 的方程，从而求坐标而得之；
方法三：用中间结论
1 n
+
1 m
=2p ，其中
m,n
是焦点弦被焦点所分得的两线段长，p
就是焦准距。
3. (2014 新课标 II 理).设 F 为抛物线 C: y2 = 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点，O 为
，则有
x1 2 a2
−
x2 2 a2
−
y12 b2
= 1
，
两
式
相
减
并
结
合
y22 b2
= 1
x1 + x2 =−24, y1 + y2 =−30
得，
y1 − y2 x 1 − x2
=
4b2 5a2
4b2
，从而
5a2
= 1，即 4b2
= 5a2 ，又 a2
+ b2
= 9 ，解得= a2
4= , b2
【解析 2】由焦点三角形面积公式得：
S = ∆F1PF2
b2 cot=θ 2
12 cot 60=0 2
=3
1 2
PF1
PF2 sin 60=0
1 2 PF1 PF2
3 2
| PF1 || PF2 |= 4
法三：：
|
PF1
||
PF2
|=
1
2b2 − cosθ
2.(2009 年上海理 9)已知 F1 、 F2 是椭圆 C :
两点， AB 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为( )
A． 2
B． 3
C．2
D．3
x2 y2 B 【解析】 设双曲线方程为 a2－b2＝1(a>0，b>0)，
直线过右焦点 F，且垂直于 x 轴交双曲线于 A，B 两点，则 |AB|＝2ab2＝4a，所以 b2＝2a2，所以双曲线
b2 的离心率 e＝ 1＋a2＝ 3.
答 案 ： y=x 解 析 ： 抛 物 线 的 方 程 为 y2 = 4x
，
A( x1,
y1 ),
B ( x2,
y2
) , 则有x1
≠
x2，
y12 y22
= =
4 x1 4 x2
两式相减得，y12 − y22 =
4
(
x1
−
x2
)，∴
y1 x1
− −
y2 x2
=
∴直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
4 =1 y1 + y2
p
法二：用上结论 K= =1，点斜式即刻可得方程
y0
2p
抛物线焦点弦长公式：|AB|=
曾经把这个公式分母中的平方给丢失了
sin2 θ
5.(2009 年福建理 13)过抛物= 线 y2 2 px( p > 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两点，若
(D) x = −2
答案：B
5
K=
p y0
,
y0
是弦中点的纵标，于是有
K=
p y0
=
p 2
=1，∴p=2，故准线方程为
x=
-
1
4.（2009 年海南理 13）设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，
B 两点。若 AB 的中点为（2，2），则直线ι 的方程为_____________.
(A) x2 − y2 = 1 (B) x2 − y2 = 1
36
45
(C) x2 − y2 = 1 63
(D) x2 − y2 = 1 54
B
解析：由已知条件易得直线 l 的斜率为=k
k= FN
1 ，设双曲线方程为
x2 a2
−
y2 b2
=
1(a
>
0, b
> 0)
，
A(x1, y1), B(x2 , y2 )
cos∠
F1
P
F2
=
|
PF1
|2 + 2|
| PF2 PF1 ||
|2 − | F1F2 PF2 |
|2
⇒ cos 600
( ) ( ) PF1 − P= F2 2 + 2 PF1 PF2 − F1F2 2 ⇒ 1
22 + 2 PF1 PF2 − 2
2
2
2 PF1 PF2
2
2 PF1 PF2
| PF1 || PF2 |= 4
4
4
2
13
9
∴ SΔOAB = 2 • 4 • (m+ n) = 4 .故选D.
3 3), n = (2 -
2
3),∴ m+n = 6.
4.(13 课标二卷理 11) 设抛物线 C：y2 =2px ( p > 0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，| MF |=5，若以 MF 为直径的
圆过点(0, 2)，则 C 的方程为
( x1
+
x2 )(x1 a2
−
x2
)
+
(
y1
+
y2 )( y1 b2
−
y2
)
= 0 ，
∴ kAB =
y1 − y2 x1 − x2
=
−
b2 (x1 a2 ( y1
+ +
x2 ) y2 )
=
b2 a2
0+1 1 ，又 kAB = 3 −1 = 2
b2
，∴
a2
1
=
2
，又 9= c2 = a2
− b2 ，解得 b2 =9，a2 =18，
x2 a2
+
y2 b2
= 1（ a ＞ b ＞0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，
PF ⊥ PF ∆PF F b 且 1
2 .若
的面积为 9，则 =____________. 1 2
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3
【答案】3【解析】依题意，有
| |
PF1 PF1
| |
+| •|
PF2 PF2
垂直于
x
轴
，所
以
32 4
a
=
c
，即离心率为
4
e= c =3
2
。
a4
四、中点弦
弦的斜率:
椭圆与双曲线相反数的关系， 抛物线是 p/y0
1.（2010 年全国理 12）已知双曲线 E 的中心为原点，F（3，0）是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，
B 两点，且 AB 的中点为 N (−12, −15) ,则 E 的方程式为( )
2
2
(x1, y1 ), (x2 , y2 ) ， 则 x1x2
=
p2 4
=1 4
，设
AF
= m, BF
=n ，则
x1
=
m
−
1 2
,
x2
=n−1 2
，所以有
(m
−
1 2
)(n
−
1) 2
=
m
+
n
=
25 12
1 4 ，解得 m =
5或n = 6
5
，所以
4
AF
=
5
.
6
2.【2012 安徽文 14】过抛物线 y2 = 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点，若 | AF |= 3 ，则 | BF | =______。
（5）以 AF（或 BF）为直径的圆与 y 轴相切；
（6）若
AB 的倾斜角为α
，则
AB
=
2p sin2 α
； S ∆AOB
=
p2 2 sin α
；
2.抛物线 y2=2px(p>0)内接直角三角形 OAB（OA⊥OB）的性质：
（1） x1x2 = 4P 2 , y1 y2 = −4P 2 ；
（2） l AB 恒过定点 (2 p,0) ；
y
轴的距离|
NK
|
=
x0
2
p +4
1 =2
| MF |，则圆 N 与 y 轴相切，切点即为 K(0, 2)，且 NK 与 y 轴垂直⇒
y0 = 4
p ⇒2p(5 − 2 ) = 16 ⇒ p = 2 或 8 .
二、焦三角形面积公式
2
椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为
F1，F
∴椭圆方程为 x2 + y2 = 1，故选 D. 18 9
3.（2010 山东文数）（9）已知抛物= 线 y2 2 px( p > 0) ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A 、 B 两
点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为
（A） x = 1
(B) x = −1
(C) x = 2
2
2
⇒ 2sinθ = tan θ 2
∴cos θ = 1 θ = 1200 22
30°
三．通径
⇒ cos2 θ = 1 24
x2 椭圆 a2
+
y2 b2
= 1 (a＞b＞0)
x2 与双曲线 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）的通径都是 2ab2,
抛物线的为 2p
1. 2011 全国新课标理 7．设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A,B
1.【2012 重庆理 14】过抛物线 y2 = 2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点，
= 若 AB 25 , AF < BF , 则 AF = 12
5
. 【答案】
6
设 AF=m,BF=n,
则有
mm1
n 25 12
1 2 nP
p 1
解得 m = 5 或 m = 5 (舍)
6
4
【 解 析 】 抛 物 线 y2 = 2x 的 焦 点 坐 标 为 ( 1 ,0) ， 准 线 方 程 为 x = − 1 ， 设 A,B 的 坐 标 分 别 为 的
|= 2a |= 18
，可得 4c2＋36＝4a2，即 a2－c2＝9，故有 b＝3。
| PF1 |2 + | PF2 |2 = 4c2
方法二:利用中间结论口算.
3、（09 京文 13）椭圆
x2 9
+
y2 2
= 1的焦点为 F1, F2 ，点 P 在椭圆上，若|
PF1
|=
4 ，则| PF2
|=
的大小为