简单旋转体
高中数学 同步教学 简单旋转体
分析:圆柱中挖去圆锥后的几何体被平行于底面的平面所截得的
截面是一个圆环面,它由圆柱被截得的圆面去掉圆锥被截得的同心
圆面得到,故先作出轴截面再求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:该几何体的轴截面如图所示,被平行于下底面的平面所截得
的圆柱的截面圆的半径O1C=R.
∵OA=AB=R,
(2)特殊的旋转体:球、圆柱、圆锥、圆台.
名师点拨如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么
由这些物体抽象出来的空间图形叫作空间几何体.旋转体是特殊的
空间几何体.
【做一做1】 以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周,所形成的旋转
体为(
)
A.圆台
B.圆锥
C.圆柱
D.球
答案:A
2.几种简单几何体的比较
柱的母线;②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;
③在圆台上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的
母线;④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
其中正确的是(
)
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
答案:D
【做一做2-2】 有下列说法:
①球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段;②球的直径是
名称 定义
球
相关概念
图形表示
球心:半圆的圆心
以半圆的直径
叫作球心;
所在的直线为
半径:连接球心和
旋转轴,将半
球面上任意一点
圆旋转所形成
的线段叫作球的
的曲面叫作球
半径;
面.球面所围
直径:连接球面上
成的几何体叫
的两点并且过球
作球体,简称
简单旋转体的表面积和体积关系教学案
简单旋转体的表面积和体积关系教学案一、引言旋转体是数学中的一种非常重要的几何体，在现实生活中也有很多应用。
比如我们日常生活中听到的“圆柱形”、“圆锥形”、“球形”等，这些都属于旋转体。
旋转体的表面积和体积关系是数学中一个基础又实用的概念，而且对于那些想深入研究数学的人来说，这是必学的一部分。
二、旋转体的概念旋转体是由一个基本形状，绕某一条轴线旋转而生成的几何体，比如圆形绕着轴线旋转，就可以生成一个圆柱形；三角形绕着轴线旋转，可以生成一个圆锥形。
旋转体有许多种类，比如圆柱体、圆锥体、球体，甚至我们平时看到的各种像眼镜、奖杯、水瓶等等，都可以看成是由某一基本形状旋转而成的。
三、旋转体的表面积和体积旋转体的表面积和体积是我们最为关心的问题，因为在很多实际问题中，我们需要通过表面积和体积来计算物体的质量、重量、密度等等一系列问题。
1、旋转体的表面积旋转体的表面积就是它的侧面积与底面积的和。
比如一个圆柱体，它的表面积等于其侧面积与两个底面积之和，即：S=2πrh+2πr²其中r为圆柱体的半径，h为圆柱体的高度。
对于其他类型的旋转体，我们也可以采用类似的方法来计算它的表面积。
2、旋转体的体积旋转体的体积就是其所包含的空间体积。
对于圆柱体、圆锥体、球体等等，它们的体积计算公式分别为：圆柱体的体积：V=πr²h圆锥体的体积：V=13πr²h球体的体积：V=43πr³其中r为基本形状的半径，h为由基本形状绕轴线旋转得到的旋转体的高度。
四、旋转体的表面积和体积关系一个简单的旋转体，它的表面积和体积之间并没有什么直接关系。
但是在实际应用中，我们通常会遇到一些需要计算其表面积和体积之比的问题。
比如我们需要制作一个密度为1克/立方厘米的铁球体，在保证铁球体积不变的条件下，如果我们要增加铁球体的质量，我们应该怎样做？答案是，这时我们需要将铁球表面加厚，因为铁球的密度不变，增加表面积就等于增加了总质量。
直观理解简单旋转体的教学案例
直观理解简单旋转体的教学案例旋转体是我们数学中非常重要的一个概念，学生们需要通过练习来加深对旋转体的理解。
本文将介绍一些简单的旋转体练习案例，帮助学生更好地理解旋转体的概念。
一、绕x轴旋转我们先来看一个简单的情况，即绕x轴旋转。
假设有一个圆形，其半径为r，以x轴为轴心旋转，那么它所形成的旋转体就是一个圆柱体。
我们可以用公式来计算圆柱体的体积：V=πr²h，其中h为圆柱体的高度。
如果我们想要求得圆柱体的表面积，可以使用公式：A=2πrh+2πr²。
接下来，我们可以练习一些其他的绕x轴旋转的案例。
例如，如果我们用y=x²下面的部分绕x轴旋转，将会得到一个抛物面。
为了求解抛物面的体积，我们可以用定积分方法：V=π∫[0,1] x² dx，也可以使用旋转体体积公式：V=πr²h。
二、绕y轴旋转接下来，我们来说明绕y轴旋转的情况。
假设有一个函数y=f(x)，我们想要将它绕y轴旋转，那么它所形成的旋转体就是一个柱体。
我们可以使用类似之前的计算方法来求解旋转体的体积和表面积。
例如，如果我们将y=√x从0到4绕y轴旋转，会形成一个旋转体，可以使用定积分或者旋转体体积公式来求解其体积。
三、未知轴旋转我们来看一个稍微复杂一点的情况，即未知轴旋转。
假设我们有一个复杂的函数y=f(x)，我们不知道它绕哪个轴旋转后会形成什么样的旋转体，那么我们该如何求解旋转体的体积和表面积呢？一种方法是使用割线法。
我们可以在函数上选择两个x值，假设它们分别为x1和x2，然后通过连接这两个点，得到一条割线。
我们可以将这条割线绕一个轴旋转，形成一个已知的旋转体，然后通过压缩方法逐渐靠近原函数y=f(x)，最后计算出原函数的旋转体体积和表面积。
另一种方法是使用代数方法。
我们可以通过分析函数的性质，选择一个合适的方法来计算旋转体的体积和表面积。
例如，如果函数是可分解的，我们可以将其分解成多个简单函数，然后用加法原理来计算旋转体的体积和表面积。
简单旋转体
简单旋转体【学习目标】1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程，理解旋转体、旋转面的概念；2.认识并识记圆柱、圆锥、圆台、球的结构特点；3.培养空间想象能力。
【学习重点】旋转体结构特征【学习难点】旋转体结构特征【课前预习案】1.两个平面平行及直线与平面垂直的概念。
⑴两个平面平行：称_______的两个平面是平行平面。
⑵直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都_______，称为直线与平面垂直。
2.旋转体概念。
⑴旋转面：一条_______绕着它所在的平面内的一条_______旋转所形成的曲面。
⑵旋转体：_______旋转面围成的几何体。
【课堂探究案】学法指导：通过学习小组内思考交流，合作探究，动手实践等方法完成下列问题探究1：这些几何体能否由平面中的平面图形绕着一条直线（轴）旋转而成？画画看？依据学习目标认真阅读课本3-5页的内容，完成并理解下面的问题，试着用这些知识去解决问题。
几种简单旋转体的比较.AC D名称定义相关概念图形表示球以半圆的_______为旋转轴，将半圆旋转所形成的_______叫作球面，_______所围成的几何体叫作球体，简称球球心：半圆的___球的半径：连接球心和_____________的线段.球的直径：连接_____上两点并且过____的线段.圆柱圆锥圆台以________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的_____所围成的几何体叫作圆柱.以直角三角形的______所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的_____所围成的几何体叫作圆锥.以直角梯形_________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的_________所围成的几何体叫作圆台.底面：垂直于_____的边旋转而成的______；侧面：_______________的边旋转而成的曲面；母线：____的边，无论转到什么位置都叫作侧面的母线.探究2：如图，直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，请你画出由此形成几何体，并思考它是由哪些简单的几何体构成？【课后检测案】1.判断题（1）在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线．（2）圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形．（3）与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形．（4）球面作为旋转面，只有一条旋转轴，没有母线.2.下列说法中错误的是（）A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D.圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形3．填空题：（1）用一张６×８的矩形纸卷成一个圆柱，其轴截面的面积_______．（2）圆台的上下底面的直径分别为2c m，10cm，高为3cm，则圆台母线长为_______.。
北师大版高中数学必修二教师用书：1-1-1 简单旋转体
1．1简单旋转体1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．()(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．()(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ()(4)圆柱的任意两条母线相互平行．()(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．()[★答案☆](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√题型一旋转体的结构特征【典例1】给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中说法正确的是________．[思路导引]根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．[解析]①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[★答案☆]①②③⑤(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[针对训练1]下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3[解析]②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.[★答案☆]C题型二旋转体的有关计算【典例2】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．[思路导引]圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．[解]如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)，于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，故这个圆台的母线长为6 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．[针对训练2]用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.[解析]如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.[★答案☆]91．关于下列几何体，说法正确的是()A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[解析]图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．[★答案☆]D2．下列命题正确的个数为()①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1 B．2 C．3 D．4[解析]3．球的直径有()A．一条B．两条C．三条D．无数[解析]经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．[★答案☆]D4．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．[解析]圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．[★答案☆]②③④课后作业(一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以★答案☆选B.[★答案☆] B2．下列说法不正确的是( )A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形B ．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C ．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D ．圆台平行于底面的截面是圆面[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C 错．[★答案☆] C3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.[★答案☆] B4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°.[★答案☆] C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( )A ．8 B.8π C.4π D.2π[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.[★答案☆] B6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．[解析]作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13，∴r＝1.[★答案☆]17．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________．[解析]设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1.设球的半径为R，则R＝d2＋r2＝2，故球的直径为2 2.[★答案☆]228．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体；②球的半径是球面上任意一点与球心的连线；③球的直径是球面上任意两点间的连线；④用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确的序号是________．[解析]球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确．[★答案☆]①②9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径.[解]设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q 2. 所以此圆柱的底面半径为Q 2.10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，∴圆锥的底面圆的直径为12，∴半径R ＝6，∴圆锥的底面圆的面积S ＝πR 2＝36π，圆锥的高h ＝122－62＝6 3.应试能力等级练(时间25分钟)11．下面说法正确的是( )A ．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B ．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C ．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D ．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A 错误，C 正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B 、D 都不正确．故选C.[★答案☆] C12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )[解析]截面图形应为图C所示的圆环面．[★答案☆]C13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[解析]外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．[★答案☆]B14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm2.[解析] 如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .由球的性质，OO 1⊥CD .在Rt △OO 1C 中，R ＝OC ＝5，OO 1＝4，则O 1C ＝3， 所以截面圆的面积S ＝π·r 2＝π·(O 1C )2＝9π.[★答案☆] 9π15．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x 为何值时，S 最大？[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r＝6－x 3，∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。
简单常用的旋转体
r =R × cosθ
Cr
A
θ
R
θ
O
B
例1. 在半径是13cm的球面上有A,B,C三点, AB=BC=CA=12cm,求球心到经过这 三点的截面的距离.
解:由题AB=BC=CA=12cm
△ABC是正三角形
则截面圆是△ABC的
外接圆,故截面圆半径
O
r
=
1
2
AB
§1 简单旋转体
观察上面的图片，这些图片中的物体具有什么几 何结构特征？你能对它们进行分类吗？
1.1简单旋转体
一、球
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半 圆旋转所形成的曲面叫作球面。球面所围成 的几何体叫做球体，简称球.
A
半
O
径
球心
B
用一个平面去截一个球,所得截面是什么图形？
圆面
PC = OP 2-OC 2
= R2 - d 2 O
Rd rC
P
α
O1 A
O
令OA = R,O1A = r 则OO12 = R2 - r2
球面被经过球心的
平面所截得的圆叫
做大圆
o
球面被不经过球心
dO
的截面所截得的圆
叫做小圆
C
某点纬度— 经过该点的球半径与 赤道面所成的角的度 数等于球半径和纬线 圈所在平面的半径的 夹角。
1.2简单多面体
我们把 若干个平面多边形围成的几何体 叫多面体。 其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体
几何体的分类
柱体
锥体
台体
球
多面体
旋转体
各个简单旋转体的轴截面：
S
D
(完整版)§1.1简单旋转体(教案)
§1。
1 简单旋转体一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.（3）会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法(1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
(2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感、态度与价值观(1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力.二、教材分析重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.难点:圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的概括。
三、教学方法探析讨论法四、教学过程（一)、新课导入在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间的一部分。
如果我们只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就称为空间几何体。
观察下面几个几何体，说说它们有何共同特征？容易看出，组成几何体的每个面不都是平面图形.像这样的几何 体称为旋转体。
这节课，我们就来学习简单的旋转体.(二)、研探新知1.旋转体首先，我们来看旋转体的概念.一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面 称为旋转面；封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.绕之旋转的 定直线称为旋转体的轴,如图直线OO ′。
2.简单的旋转体 (1)球人类赖以生存的地球，天体中的月亮，太阳，体育比赛中的足球、篮球等,都给我们球的形象.那么，球的定义是什么呢？ ①定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转所形成的曲面称为球面。
球面所围成的几何体 称为球体，简称球。
半圆的圆心称为球心。
连接 球心和球面上任意一点的线段称为球的半径。
连接球面上两点且过球心的线段称为球的直径. ②表示球用表示球心的字母表示，右图中球表示为球O 。
简单旋转体高一数学总结练习含答案解析A
1.1 简单旋转体1.球的概念以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转所形成的曲面叫作①,球面所围成的几何体叫作②,半圆的圆心叫作③,连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的④.2.三种旋转体的概念分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作⑤、⑥、⑦.轴截面及其应用1.(2014山西太原期末,★☆☆)下列说法中,正确的个数是( )①平行于圆锥轴线的平面截该圆锥,所得截面图形为等腰三角形;②过圆柱两底面的中心的一平面截该圆柱,所得截面就是轴截面;③空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面;④经过球面上不同的两点只能作一个大圆.A.1B.2C.3D.4思路点拨抓住基本概念,逐个分析.2.(2013江苏徐州期中,★★☆)一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,则截面的图形不可能是( )思路点拨过球心的截面逐渐旋转.3.(2014安徽阜阳阶段测试,★★☆)现有甲球内切于某正方体的各个面,乙球内切于该正方体的各条棱,丙球外接于该正方体,求这三个球的半径之比.一、选择题1.下列几何体是圆柱的是( )2.等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是( )A.圆台B.圆锥C.圆柱D.球3.截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( )A.圆柱B.圆锥C.球体D.圆台4.如图所示的几何体是台体的是( )A.①②B.①③C.④D.①④5.下列说法正确的是( )A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心6.过球面上两点可能作出球的大圆的个数有( )A.0个或1个B.有且仅有1个C.无数个D.1个或无数个7.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )8.如图阴影部分所示的平面图形绕轴旋转180°所形成的几何体为( )A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体二、填空题9.圆台的两底面半径分别为2 cm和5 cm,母线长为3√10 cm,则它的轴截面面积为cm2.10.图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是.(填序号)三、解答题11.将一张长为8 cm、宽为4 cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,求轴截面的面积(接头忽略不计).12.如图,圆柱侧面上有两点B、D,在D处有一只蜘蛛,在B处有一只苍蝇,蜘蛛在侧面上沿怎样的路线爬行才能以最短的路程抓住苍蝇?最短路程是多少?一、选择题1.(2015山西太原段考,★★☆)下列说法中正确的是( )A.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D.圆锥侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径2.(2014江西南昌模拟,★☆☆)将下列各选项中的三角形绕直线l旋转一周,可以得到如图所示的几何体的是( )3.(2013江西景德镇期中,★☆☆)下图是由下面哪个图形旋转而得到的( )二、解答题4.(2013吉林长春期中,★★★)已知圆台的上、下底面的半径和高的比为1∶4∶4,母线的长为10 cm,求此圆台的高及截得这个圆台的圆锥的底面半径.知识清单①球面②球体③球心④半径⑤圆柱⑥圆锥⑦圆台链接高考1.B 只有过圆锥顶点的截面图形是等腰三角形,其余的都不是三角形,故①错误.②③正确.经过球面上不同的两点,可以作一个或无数个大圆,故④错误.2.D 过球心及正方体的对角面时为B;过球心及正方体一组平行棱的中点时为C;过球心及一组平行棱的位于顶点和中点之间的某个分点时为A;不可能为D.3.解析设正方体的棱长为a,①正方体的内切球与正方体的六个面有六个公共点,点的位置分别在正方体六个面的中心,经过四个切点的球的轴截面是正方体的截面ABCD的内切圆(如图(1)所示),∴r1=a2 .②球与正方体各棱的切点在每条棱的中点,经过四个切点的球的轴截面(大圆)是正方形ABCD的外接圆(如图(2)所示),∴r2=√22a.③正方体各个顶点在球面上,轴截面(大圆)是矩形ABCD的外接圆(如图(3)所示),∴r3=√32a.综上可知这三个球的半径之比为r1∶r2∶r3=1∶√2∶√3.基础过关一、选择题1.B 由圆柱的结构特征,可知选B.2.B 中线AD⊥BC,左右两侧对称,旋转体为圆锥.3.C 只有球体的所有截面都是圆面.4.C 台体包括圆台和棱台,台体上、下底面平行且圆台母线的延长线相交于一点,棱台侧棱的延长线相交于一点.5.D 圆锥的母线长与底面圆的直径不一定相等,圆柱的母线与轴平行,圆台的母线与轴不平行,球的直径必过球心,故选D.6.D 当已知两点是直径的两个端点时,过这两个点可作无数个大圆;当已知两点不是直径的两个端点时,这两点和球心不共线,可确定一个平面,因此可作一个大圆.7.C 圆锥可以看作是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转而形成的.圆台可以看作是由一个直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转而形成的.因为已知的几何体为一个圆锥和一个圆台的组合体,因此平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成的,故排除A、D,又由题图知台体上大下小,故排除B.8.B 外面圆旋转形成球体,中间矩形旋转形成一个圆柱.故选B.二、填空题9.答案63解析圆台的轴截面为等腰梯形,由题意知等腰梯形上底长为4 cm,下底长为10 cm,腰长为3√10 cm,则高为√(3√10)2-32=9 cm,所以面积为12×(4+10)×9=63 cm2.10.答案①⑤解析若平面过轴,则截面形状为①,若不过轴,则截面形状为⑤.三、解答题11.解析①以矩形8 cm长的边为母线,把矩形硬纸卷成圆柱侧面,如下图所示,设轴截面为矩形A1ABB1,根据题意可知底面圆的周长为2π·OA=4 cm,则OA=2π cm,于是AB=4πcm.轴截面的面积为S=A1A·AB=8×4π=32πcm2;②以矩形4 cm长的边为母线,把矩形硬纸卷成圆柱侧面,如下图所示,设轴截面为矩形C1CDD1,根据题意可知底面圆的周长为2π·OC=8 cm,则OC=4π cm,于是CD=8πcm.轴截面的面积为S=C1C·CD=4×8π=32πcm2.综上可得,轴截面的面积为32πcm2.12.解析将圆柱的侧面沿母线AB展开即得矩形AA'B'B,其中D、C分别为AA'、BB'的中点.在矩形ADCB中,AB=CD=l,AD=BC=12×2πr=πr,连接BD,则BD=√AB2+AD2=√l2+π2r2.可知蜘蛛沿着DB爬行时路程最短,最短路程为√l2+π2r2.三年模拟一、选择题1.C A中,旋转轴如果是斜边所在直线,则不成立;B中,如果旋转轴不是直角腰所在直线,则不成立;D中侧面展开图所在圆的半径是圆锥的母线长.2.B 选项A、C中的三角形旋转后形成圆锥;选项D中的三角形旋转后形成去掉一个圆锥的圆柱;只有选项B合适.3.C 只有选项C中的三角形能旋转成题中的几何体.二、解答题4.解析设下图是圆台的轴截面.过点B作BA⊥AC,垂足为A.设上底面的半径长为a(a>0),则下底面的半径长为4a,高AB=4a.则AC=4a-a=3a.∴BC=√AB2+AC2=5a.又∵BC=10 cm,∴a=2 cm,∴AB=4a=8 cm,圆台的底面半径为4a=8 cm,∴圆台的高AB=8 cm,截得这个圆台的圆锥的底面半径,即圆台的下底面半径为8 cm.。
2020-2021学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1 简单几何体 1.1.1 简单旋转体课件 北师大版必修2
所围成的几何体 侧面：不垂直于旋转
叫作圆柱
轴的边旋转而成的 ____曲__面_____；
名 称
定义
相关概念
圆 锥
以直角三角形的 __一__条__直__角__边___ 所在的直线为旋 转轴，其余各边 旋转而形成的曲 面所围成的几何 体叫作圆锥
高：在旋转轴上这 条边的长度； 底面：垂直于旋转 轴的边旋转而成的 ____圆__面_____； 侧面：不垂直于旋 转轴的边旋转而成 的__曲__面_______；
步
§1 简单几何体
1．1 简单旋转体
1．问题导航 (1)连接圆柱(圆台)两底面的圆心的连线与其底面有怎样的位 置关系？ (2)有同学说：“直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周所 形成的几何体是圆锥．”这种说法对吗？ (3)圆台中，上底面半径r、下底面半径R、高h与母线l之间有 怎样的关系？
图形表示
名
定义
相关概念
称
以_直__角__梯__形__垂_直___ _于__底__边__的__腰___所
母线：无 论转到什
在的直线为旋转
圆
么位置，
轴，其余各边旋
台
这条边都
转而形成的曲面
叫作侧面
所围成的几何体
的母线
叫作圆台
图形表示
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何 体是圆柱．( √ ) (2)直角三角形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成 的几何体是圆锥．( × ) (3)直角梯形绕其腰所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几 何体是圆台．( × ) (4)圆以一条直径所在的直线为轴，旋转180°围成的几何体是 球．( √ )
1.1简单旋转体
《简单旋转体》一、教学目标：1、通过直观图形演示认识圆柱、圆锥、圆台的生成过程，感受从平面到立体的延伸过程；2、通过具体的练习，加深学生对圆柱、圆锥、圆台的结构特点及基本性质的理解；3、培养学生作图解题的习惯；4、体会解决立体几何问题的基本思想：将立体图形问题转化平面图形问题。
二、教学重点、难点：重点是圆柱、圆锥、圆台的性质；难点是转化思想的运用。
三、教学过程：1、基础回顾：2、基础训练：1）如果圆锥的底面半径为，高为2，则它的母线长是（）A、1B、C、D、22）以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；其中正确命题的个数为（）A、0B、1C、2D、33）底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为（）A、B、2 C、3 D、43、巩固训练：4）一个圆台的底面面积分别为4 和25 ，且母线与底面半径的夹角为45°，求圆台的高及截得该圆台的圆锥的母线长。
解：作图：分析：5）一个正方体内接于高为4，底面半径为3的圆锥，求正方体的棱长。
解：作图：分析：6）圆锥的底面半径为1，母线长为4，从圆锥底面圆周上一点A拉一条绳子绕圆锥侧面一周再回到A，求 1）所需绳子的最短长度；2）在绳子最短时，底面圆周上的点到绳子的最大距离。
解：作图：分析：4、课后作业：1、下列命题：①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是母线；其中正确的个数为（）A、0B、1C、2D、32、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的直径为________________.3、圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，求这个圆台的高，以及母线与下底面半径的夹角。
高中数学第1章立体几何初步1_1_1简单旋转体学案北师大版必修2
1．1 简单旋转体1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．( )(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．( )(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ( )(4)圆柱的任意两条母线相互平行．( )(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√(5)√题型一旋转体的结构特征【典例1】给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中说法正确的是________．[思路导引] 根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．[解析] ①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[答案] ①②③⑤(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[针对训练1] 下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析] ②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.[答案] C题型二旋转体的有关计算【典例2】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．[思路导引] 圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．[解] 如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)，于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，故这个圆台的母线长为6 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．[针对训练2] 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.[解析] 如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.[答案] 91．关于下列几何体，说法正确的是( )A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[解析] 图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．[答案] D2．下列命题正确的个数为( )①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1 B．2 C．3 D．4[解析]3．球的直径有( )A．一条 B．两条 C．三条 D．无数[解析] 经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．[答案] D4．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．[解析] 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．[答案] ②③④课后作业(一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以答案选B.[答案] B2．下列说法不正确的是( )A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．[答案] C3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.[答案] B4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r ＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°. [答案] C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( ) A ．8 B.8π C.4π D.2π[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.[答案] B6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．[解析] 作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13， ∴r ＝1. [答案] 17．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________． [解析] 设球心到平面的距离为d ，截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，∴r ＝1.设球的半径为R ，则R ＝d 2＋r 2＝2，故球的直径为2 2.[答案] 2 2 8．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体； ②球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ③球的直径是球面上任意两点间的连线； ④用一个平面截一个球，得到的是一个圆． 其中正确的序号是________．[解析] 球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确． [答案] ①②9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径. [解] 设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q2.所以此圆柱的底面半径为Q2.10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，∴圆锥的底面圆的直径为12，∴半径R＝6，∴圆锥的底面圆的面积S＝πR2＝36π，圆锥的高h＝122－62＝6 3.应试能力等级练(时间25分钟)11．下面说法正确的是( )A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A错误，C正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B、D都不正确．故选C.[答案] C12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )[解析] 截面图形应为图C所示的圆环面．[答案] C13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[解析] 外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．[答案] B14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm 2.[解析] 如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .由球的性质，OO 1⊥CD .在Rt △OO 1C 中，R ＝OC ＝5，OO 1＝4，则O 1C ＝3，所以截面圆的面积S ＝π·r 2＝π·(O 1C )2＝9π.[答案] 9π15．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x 为何值时，S 最大？[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r ＝6－x 3， ∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6， ∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。
简单旋转体
转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做
圆锥,记作圆锥SO。
顶点
S
轴
S
侧
高
面 母
线
O
A
底面
O
A
4、圆台的定义1：以直角梯形的一腰(垂直于底边)所在 直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几 何体叫做圆台，记作圆台OO ' 。
O' 轴
高
侧
面
母
O
线
圆台的定义2：用一个平行于圆锥底面 的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分， 这样的几何体叫做圆台。
• 思考题：1．用平行于圆柱，圆锥，圆台的底面的平
面去截它们，那么所得的截面是什么图形？ 性质1：平行于圆柱，圆锥，圆台底面的截面都是 圆。 ２．过圆柱，圆锥，圆台的旋转轴的截面是什么图形？ 性质2：过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形，等
腰三角形，等腰梯形。 3．用一个平面去截球体得到的截面是什么图形？ 性质3：用一个平面去截球体得到的截面是一个圆面。
抽象概括
一条平面曲线绕它所在平面内的一定直线 旋转形成的曲面叫旋转面。
封闭的旋转面围成的几何体叫旋转体。
旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其 一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其 一条直角边所在 直线 旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等 腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由 平行于圆锥底面 的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕其 直径 旋转得到.
3、
O
球被经过球心的平面截得的圆面叫做球的大圆面。 球被不过球心的截面截得的圆面叫球的小圆面。
2、圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴， 其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆 柱，记作圆柱OO1．
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5.1.1简单旋转体
【学习目标】
1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程，理解旋转体、旋转面的概念；
2.认识并识记圆柱、圆锥、圆台、球的结构特点；
3.培养空间想象能力。
【学习重点】
旋转体结构特征
【学习难点】
旋转体结构特征
【课前预习案】
1.两个平面平行及直线与平面垂直的概念。
⑴两个平面平行：称_______的两个平面是平行平面。
⑵直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都_______，称为直线
与平面垂直。
2.旋转体概念。
⑴旋转面：一条_______绕着它所在的平面内的一条_______旋转所形成的曲面。
⑵旋转体：_______旋转面围成的几何体。
【课堂探究案】
学法指导：通过学习小组内思考交流，合作探究，动手实践等方法完成下列问题
探究1：这些几何体能否由平面中的平面图形绕着一条直线（轴）旋转而成？画画看？
依据学习目标认真阅读课本3-5页的内容，完成并理解下面的问题，试着用这些知识去解决问题。
几种简单旋转体的比较.
A B C D 名称
定义 相关概念 图形表示
球 以半圆的_______ 为旋转轴，将半圆旋转所形成的_______叫作球面，_______所围成的几何体叫作球体，简
称球 球心：半圆的___ 球的半径：连接球心和_____________的线段. 球的直径：
连接_____
上
两点并且过____
的线段.
圆
柱
圆
锥
圆
台 以________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的_____所围成的几何体叫作圆柱. 以直角三角形的______所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的_____所围成的几何体叫作圆锥. 以直角梯形_________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的_________所围成的几何体叫作圆台. 底面：垂直于_____ 的边旋转而成的______；侧面：______ _________的边旋转而成的曲面； 母线：____的边，无论转到什么位置都叫作侧面的母线.
探究2：如图，直角梯形ABCD 绕边AB 所在的直线旋转
一周，请你画出由此形成几何体，并思考它是由哪
些简单的几何体构成？ 【课后检测案】
1. 判断题
（1）在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线．
（2）圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形．
（3）与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形．
（4）球面作为旋转面，只有一条旋转轴，没有母线.
2. 下列说法中错误的是 （ ）
A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形
3．填空题：
（1）用一张６×８的矩形纸卷成一个圆柱，其轴截面的面积_______．
（2）圆台的上下底面的直径分别为2c m ，10cm ，高为3cm ，则圆台母线长为_______.。