6.4.2 第二课时 余弦定理、正弦定理(解析版)高一数学同步备课系列(人教A版2019第二册)
【教案】余弦定理、正弦定理(第2课时)教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.4.3余弦定理、正弦定理(第2课时）一、内容和内容解析内容：正弦定理．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第4节的内容．本节课主要学习正弦定理，用正弦定理来解三角形.《正弦定理》是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系.在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数、余弦定理,知识储备已足够.它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具.因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际应用中灵活变通.二、目标和目标解析目标：（1）能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理，培养数学抽象的核心素养．（2）能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素养．目标解析：（1）用向量的方法证明正弦定理，或者其他方法证明，在证明中培养学生的逻辑思维能力，特别是外接圆法和分类讨论的方法，推导出比值为外接圆直径和三角形的面积公式．（2）结合正弦定理的结构特点可以发现正弦定理的变形形式比较多，拆分式、连比式、分体式，每种形式都有着广泛的应用，这也为学生选择合适的形式解决问题增加了难度．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在正弦定理的教学中，从特殊的三角形的边角特点即勾股定理归纳概括一般三角形的特点是进行数学抽象教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：怎样证明正弦定理是本节课的第一个教学问题．是本节课的重点．解决方案：利用向量法证明，体现向量的工具作用，关键在于阐明“过点A作与AC垂直的单位向量j”的思维过程．2．教学问题二：利用正弦定理解决解三角形的问题是本节的第二个教学问题．．解决方案：类比全等三角形的证明条件，说明方程解得个数，根据大边对大角或内角和为π进行解得个数的取舍，从而解决问题．基于上述情况，本节课的教学难点定为：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到正弦定理，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中通过学生分组探究，合作交流的教学方式，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视正弦定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境生成问题古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.古埃及人是如何利用这些数据计算的呢？通过实际问题，激发学生的研究兴趣探索交流获得结论[问题1]如图，在Rt△ABC中，asin A，bsin B，csin C各自等于什么？[问题2]对于一般的三角形，CcBbAasinsinsin==仍然成立吗？教师1：提出问题1．学生1：asin A＝bsin B＝csin C＝c．教师2：提出问题2．学生2：分锐角三角形、钝角三角形证明.（1）在锐角三角形ABC∆中.过点A 作单位向量j垂直于AC.由ABCBAC=+，两边同乘以单位向量j得，通过探究，由直角三角形得一结论，提高学生的解决问题、分析问题的能力.通过思考，分析在锐角三[问题3]这个比值是多少？如何求解？ABjCBACj⋅=+⋅)(，则ABjCBjACj⋅=⋅+⋅，所以||||cos90||||cos(90)j AC j CB C︒︒+-||||cos(90)j AB A︒=-整理得CcAaAcaisnCsinsinsin=∴=同理，过点C作与CB垂直的单位向量j，可得CcBbsinsin=所以CcBbAasinsinsin==.（2）在钝角三角形ABC∆中，不妨设A为钝角，如图.过点A作与AC垂直的单位向量j.同理可得CcBbAasinsinsin==.教师3：总结正弦定理．(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，（2）符号语言：asin A＝bsin B＝csin C.教师4：提出问题3.学生3：该比值为该三角形外接圆的直径.作锐角三角形ABC的外接圆直径CD，连结DB．根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得，∠A=∠D, ∠DBC=90°,2CD R=（R为⊿ABC的角形、钝角三角形该式子成立，得正弦定理.提高学生分析问题、概括能力.[问题4]利用正弦定理可以解决一些怎么样的解三角形问题呢？[问题5]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C对吗？外接圆半径）．所以sin sin2CB aA DCD R===，所以2sinaRA=．同理2,sinbRB=2sincRC=．因此2sin sin sina b cRA B C===．师生共同总结：正弦定理的变形形式设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.(4)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C.教师5：提出问题4．学生4：正弦定理可用于两类：（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角；（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边.教师6：提出问题5．学生5：不对.根据正弦定理，a＝2R sin A，b＝2R sinB，c＝2R sin C.所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.通过思考，进一步理解正弦定理的运用，提高学生分析问题的能力.1.已知两角及一边解三角形例1.已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B. 教师7：完成例1.学生6：根据正弦定理，得a＝c sin Asin C＝10×sin 45°sin 30°＝10 2.又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.所以b＝c sin Bsin C＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°＝20×6＋24＝5(6＋2).通过例题的讲解，让典例分析巩固落实2.已知两边及一边的对角解三角形例2.在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A，C和c.3.判断三角形形状例3.已知在△ABC中，b sin B＝c sin C，且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状．[课堂练习]1.已知在△ABC中，A＝45°，c＝6，a＝2，解此三角形.2. (1)若a cos B＝b cos A，则△ABC是________三角形；(2)若a cos A＝b cos B，则△ABC是________三角形.教师8：完成例2．学生7：由正弦定理asin A＝bsin B，知sin A＝a sin Bb＝32，∵b<a，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝b sin Csin B＝2sin 75°sin 45°＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝b sin Csin B＝2sin 15°sin 45°＝6－22.故当A＝60°时，C＝75°，c＝6＋22；当A＝120°时，C＝15°，c＝6－22.教师9：完成例3．学生8：由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R得sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.∵b sin B＝c sin C，∴b·b2R＝c·c2R，∴b2＝c2，∴b＝c.∵sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，∴(a2R)2＝(b2R)2＋(c2R)2，∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形．教师10：布置课堂练习1、2．学生9：完成课堂练习，并核对答案．学生进一步理解正弦定理，提高学生解决与分析问题的能力.课堂小结升华认知[问题6]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝()A.15 B.59 C.53 D.12.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝()A.43B.2 3C. 3D.323.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形4.在△ABC中，a＝5，b＝53，A＝30°，则B＝________.教师11：提出问题6．学生10：学生11：学生课后进行思考，并完成课后练习．1.B；2.B；3. A ；4.60°或120°.师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
余弦定理、正弦定理课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
，c＝2，C＝30°，那么此三角形 B.有两解 D.解的个数不确定
C 解析 由正弦定理和已知条件，得s4in 3B＝sin230°， ∴sin B＝ 3>1，
∴此三角形无解.故选C.
高中数学 必修第二册 RJ·A
5.在△ABC中，a＝5，b＝5 3，A＝30°，则B＝____6_0_°或__1_2_0_°_.
二 已知两边及其中一边的对角解三角形
例 2 在△ABC 中，已知 c＝ 6，A＝45°，a＝2，解三角形.
解
∵sina A＝sinc C，∴sin C＝csian A＝
6sin 2
45°＝
23，
∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°，b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3－1，B＝15°，C＝120°.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
(1)正弦定理实际上是三个等式：
a ＝b ，b ＝ c ，a ＝ c sin A sin B sin B sin C sin A sin C
，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
知识点 正弦定理
条件
结论
文字叙述
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
a＝b＝c sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦 的比相等
6.4.3余弦定理正弦定理第2课时课件高一下学期数学人教A版
D.30°
1
2
3
4
5
新知导学·素养启迪
课堂探究·素养培育
解析:由题知 a= ,b= ,B=45°,在△ABC 中,由正弦定理
可得,
=
=
°
=
=2=
,
解得 sin A= ,
因为 a= >b= ,所以 45°<A<180°,
所以 A=60°或 120°.故选 C.
素养启迪
新知导学·素养启迪
课堂探究·素养培育
1.正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
=
.
2.正弦定理的拓展
设 R 是△ABC 外接圆的半径,则Biblioteka ==
=2R.
=
新知导学·素养启迪
思考:正弦定理
=
=
=
°
,
解得 sin A= ,所以 A=30°或 A=150°.
又因为 b>a,所以 B>A,则 A=30°.
新知导学·素养启迪
(2)在△ABC 中,a=1,b= ,A=30°,求边 c 的长.
(2)解:由
=
,得 sin B=
= .
(
)
A.
√
B.
C.
解析:由正弦定理
=
正弦定理和余弦定理ppt课件
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第二册)专题05 余弦定理、正弦定理(知识精讲)(解析版)
专题五余弦定理、正弦定理知识精讲一知识结构图二.学法指导1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型(1)已知三边解三角形．(2)已知两边及一角解三角形．3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍．4.适用正弦定理的两种情形：(1)已知三角形的任意两角与一边．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角5.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．6．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如ab＝sin Asin B等.7.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.8.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解． (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．三.知识点贯通知识点1 已知两边与一角或已知三边，利用余弦定理解三角形余弦定理及其推论例1.（1）在△ABC 中，已知b ＝60 cm ，c ＝60 3 cm ，A ＝π6，则a ＝________cm ；【答案】60【解析】由余弦定理得： a ＝602＋(603)2－2×60×603×cos π6＝60(cm)．（2） 在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C . 【解析】根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(6＋23)2＋(43)2－(26)22×(6＋23)×43＝32.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(26)2＋(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23)＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝712π，∴A ＝π6，B ＝712π，C ＝π4.知识点二 余弦定理的综合应用余弦定理及其推论例题2：在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状. 【解析】 ∵(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ， ∴由余弦定理可得：⎝⎛⎭⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝⎛⎭⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2， 即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2. ∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .故△ABC 为直角三角形或等腰三角形 知识点三 用正弦定理解三角形1在△ABC 中，.a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R .（R 为△ABC 外接圆的半径）变形：sin A ＝a 2R ，a ＝2R sin A ；sin B ＝b 2R ，b ＝2R sin B ；sin C ＝c2R ，c ＝2R sin C ．例题3 .已知△ABC 中，a ＝10，A ＝30°，C ＝45°，求角B ，边b ，c .【答案】B ＝105°，b ＝5(6＋2)，c ＝10 2. 【解析】 ∵A ＝30°，C ＝45°， ∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°， 又由正弦定理得：c ＝a sin Csin A＝10 2.b ＝a sin B sin A ＝10·sin 105°sin 30°＝20sin(60°＋45°)＝5(6＋2)．∴B ＝105°，b ＝5(6＋2)，c ＝10 2. 知识点四 三角形的面积三角形的面积公式为S ＝12ab ·sin C ＝12ac ·sin B ＝12bc ·sin A .例题4．在△ABC 中，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .【答案】87【解析】 ∵cos B 2＝255，∴cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35.∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin B ＝45. ∵C ＝π4，∴sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝7210.∵a sin A ＝c sin C， ∴c ＝a sin C sin A ＝27210×22＝107.∴S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.知识点五 测量距离问题三角形中与距离有关问题的求解策略：(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．例题5. 海上有A ，B 两个小岛相距10 海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离是( )A ．10 3 海里 B.1063 海里C ．5 2 海里D ．5 6 海里【答案】D【解析】根据题意，可得如图．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，AB ＝10，∴C ＝45°.由正弦定理可得AB sin C ＝BC sin A ，即1022＝BC32，∴BC ＝56(海里)．知识点六 测量高度问题解决测量高度问题的一般步骤： (1)画图：根据已知条件画出示意图． (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用.例题6.济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)【解析】 如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端． 依题意，∠BAD ＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ， 则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°. 在△ABD 中，根据正弦定理，BD sin 60°＝ABsin ∠ADB .∴BD ＝AB sin 60°sin 20°＝15.2×sin 60°sin 20°≈38.5(m)．在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°＝38.5×sin 80°≈38(m)， 即泉城广场上泉标的高约为38 m. 知识点七 角度问题解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．例题7.如图，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C 处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)【解析】设用t 小时，甲船追上乙船，且在C 处相遇， 则在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9， ∠ABC ＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，(28t )2＝81＋(20t )2－2×9×20t ×⎝⎛⎭⎫－12， 即128t 2－60t －27＝0， 解得t ＝34或t ＝－932(舍去)，∴AC ＝21(海里)，BC ＝15(海里)． 根据正弦定理，得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝5314，则cos ∠BAC ＝1－75142＝1114. 又∠ABC ＝120°，∠BAC 为锐角，∴θ＝45°－∠BAC ，sin θ＝sin(45°－∠BAC )＝sin 45°cos ∠BAC －cos 45°sin ∠BAC ＝112－5628.五 易错点分析易错一 三角形形状的判断例题8.在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状.【解析】 ∵(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ， ∴由余弦定理可得：⎝⎛⎭⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝⎛⎭⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2， 即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2. ∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .故△ABC 为直角三角形或等腰三角形． ． 误区警示判断三角形的形状，一种方法，把条件转化成边的关系，然后利用因式分解，整理，找边的关系，进而判断三角形的形状；另一种方法，把条件转化成角的关系，然后利用三角函数公式，化简变形，求角的值或范围，进而判断形状。
高一数学正弦定理、余弦定理人教实验版(A)知识精讲.doc(可编辑修改word版)
高一数学正弦定理、余弦定理人教实验版（A ）【本讲教育信息】一. 教学内容：正弦定理、余弦定理二. 重点、难点：（1） 正弦定理asin A = b sin B = c sin C= 2R （2） 余弦定理a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos Ab 2 +c 2 - a 2 cos A =2bc1（3） 面积公式 S = ab ⋅ sin C2【典型例题】[例1] △ABC中，∠A=30°， b = 6① a = 2 ，求边c ② a = 3 ，求边c ③ a = 4 ，求边c ④ a = 6 ，求边c ⑤ a = 9 ，求边c解：（1）（法一）asin A = b sin B ⇒ sin B = 3 > 1 无解 2（法二） a 2 = b 2 + c 2 - 2bc ⋅ cos A c 2 - 6 ∆ < 0 3c + 32 = 0 无解（2）（法一） sin B = 1B = 90 c = 3 （法二） c 2 - 6 3c + 27 = 0 3(c - 3 3)2 = 0 ∴ c = 3 （3）（法一） sin B =4① B锐角cos B = 4∴ sin C = sin( A + B ) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B =83 373 3 + 73 3 3 2 6 3 ± 2883 23 a sin A =c sin Cc = 3 +② B为锐角cos B = - 4 sin C = sin( A + B ) = 1(3 8- 7 )a sin A = c sin C∴ c = 3 - （法二） c 2 -6 3c + 20 = 0 c =6 3 ± 228= 3 ± 1（4）（法一）① B为锐角 sin B =2 B = 30C = 120∴ C = 6 ② B为钝角 B = 150 舍 （法二） c 2 - 6 3c = 01c = 6 （5）（法一） sin B =① B为锐角 cos B =3sin C = 2 2 + 36c = 6 + 3 ② B为钝角sin B = 1 < 13 2∴ B ∈ (150 ,180 ) 舍（法二） c 2 - 6 3c - 45 = 0c == 3 ± 6 ∴ c = 3 + 6 分析 a = 3 a ∈ (0,3) 无解 1解a ∈ (3,6) 两解 a ∈[6,+∞) 1解 总结，三角形有三边，三角六个基本量知其三（至少一个为边）可求其余的量（1） 三边（可用余弦定理） （2） 两边一夹角（可用余弦定理） （3） 两边一对角（为例1情况最复杂） （4） 一边两角即一边三角（可用正弦定理）[例2] △ABC 中，三边长为 a , b , c ，且三边上高线长为2cm ，3cm ，4cm ，求 S ∆ABC 。
余弦定理、正弦定理(第二课时) 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版必修第二册
探究新知
下面先研究锐角三角形的情形. 证明：
由分配律，得 即 也即 所以
探究新知Байду номын сангаас
由分配律，得 即 也即 所以
探究新知
探究新知
证明：
由分配律，得 即 也即 所以 同理可得，
探究新知
文字语言
符号语言
正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一 个定量关系.利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题， 还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
探究新知
探究1：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间 的联系.
1
c
思考1：那么对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式是否仍然成立？ 猜 想：对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式仍然成立.
探究新知
思考2：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦.如何实现 转化？
课堂小结
正弦定理
文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的的正弦的比相等
课
已知两角和一边，解三角形
堂 小
定理应用
结
已知两边和其中一边的对角，解三角形（注意多解问题）
思想方法
数形结合 分类讨论
作业
近测高塔远看山， 量天度海只等闲； 古有九章勾股法， 今看三角正余弦。
感谢观看！
课后思考:探索和证明这个定理的方法很多，有些方法甚至比向量法更加简洁. 你还能想到其他方法证明正弦定理吗？
巩固练习
解：由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得
跟踪训练
题型一：已知两角及一边解三角形
6.4.3余弦定理、 正弦定理 余弦定理(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
cos B
3 ,所以B 30,因此C 105
2ac
4( 3 1)
2
3. 在△ABC中,已知b 5, c 2, 锐角A满足 sin A 231 ,求C(精确到1) 20
因为sin A 231 , 且A为锐角,所以cos A= 1 sin2 A 13 ,
20
20
由余弦定理, 得a2 b2 c2 2bc cos A 16, 所以a 4;
而勾股定理是余弦定理的特例.
一般地, 三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c b
c
叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他
元素的过程叫做解三角形.
C
a
B
环节五：课堂练习，巩固运用
例5 在△ABC中,已知b 60 cm, c 34 cm, A 41, 解这个三角形 (角度精确到1, 边长精确到1 cm).
余弦定理(law of cosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边
平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即
a2 b2 c2 2bc cos A
你能用其他方法
b2 a2 c2 2ac cosB
证明余弦定理吗？
c2 a2 b2 2abcosC
问题：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？
所以cos C a2 b2 c2 37 ,利用计算器可得C 22
2ab
40
所以C 180 ( A B) 180 (41 106) 33
例6 在△ABC中, a 7, b 8, 锐角C满足 sin C 3 3 , 求B(精确到1). 14
分析：由条件可求cosC, 再利用余弦定理及其推论可求出B的值.
因为sin C 3 3 , 且C为锐角,所以cos C 1 sin2 C 1 ( 3 3 )2 13 ,
高一数学正弦定理、余弦定理教案第二课时 人教版 教案
高一数学正弦定理、余弦定理教案第二课时（第二课时）一、教学目标1．掌握正弦定理在求解三角形中的应用；2．能够判定利用正弦定理求三角形解情况，灵活运用正弦定理解决实际问题．二、教学重点利用正弦定理求解三角形已知两角和一边以及已知两边和其中一边的对角的两种情况．教学难点利用正弦定理求解三角形时解的个数的判定．三、教学具准备投影仪四、教学过程1．设置情境师：请同学们回想正弦定理的形式，并用文字叙述.师：三角形的基本性质是什么？生：三角形的三内角和为180°；三角形中大角对大边.2．探索研究及例题分析师：利用正弦定理求角时为什么会出现一解、两解、无解的情况呢？下面我们看例题.例1 在中，已知，求B（精确到1°）和c边（保留两个有效数字）师：本题给出的条件是两边和其一边的对角，你能确定解题顺序吗？生：先由正弦定理求出，再由正弦定理求出c边.解：师：一定是锐角吗？生：不一定，因为，所以在中，可能是锐角也可能是钝角.师：本题中因为或都合题意∴有两解或我们在解题之前可以先根据大角对大边的性质对已知条件进行分析，判断解的个数，从而优化解题过程.练习：（投影）你能根据各已知条件，判定的解的个数吗？（1），求B；（2），求B；（3），求B；（4），求B.（参考答案：（1），B只能是锐角，仅有一解：（2），B只能是锐角，仅有一解；（3），只有一解；（4）有两解.）例2 在中，已知，求B（精确到1°）和c（保留两个有效数字）.解：已知，所以也是锐角.3．演练反馈（投影）在中，已知，解这个三角形.（角度精确到1°，边长保留两位有效数字.）略解：（计算器程序见附1）∴当时，∴（附2）当时，∴ .注：在复杂计算中可以使用计算器，本题附1、附2程序如下.附1附24．总结提炼（1）中，因，故由的值，一般可有两个角、一个角之分，即解不一定惟一.（2）已知a、b及A作三角形，其解的情况如下：①A为锐角时若，则可用一个三角形如图（1）若，则可作一解，如图（2）.若，则可作两解，如图（3）.②若A为直角或钝角时若，则可作一解，如图（4）③解三角时可使用计算器.五、板书设计课题1．复习2．例题分析例1例2例3 演练反馈总结提炼。
高一数学最新课件-正弦定理、余弦定理人教版 精品
怎j 样( A建C立 C三B角) 形j中 A边B和角间的关系？ A
j AB cos(90 A)
a sinC csin A
即 ac sin A sinC
同理，过C作单位向量j
垂直于CB
，可得
b sin
B
c sinC
a b c sin A sin B sinC
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 a b c sin A sin B sinC
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两 边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
例题讲解
例1 在 ABC 中，已知 c 10, A 45,C 30 ，求b（保
∵ 在 ABC 中 a b
∴ A 为锐角
A 30
例题讲解
例3 在 ABC 中，B 45,C 60,a 2( 3 1) ，求
ABC的面积S．
解： A 180 (B C ) 75
A
∴由正弦定理得 三角形面积公式
b
a sin B sin A
2( B
3
1)(
2 h2
)
6 2
4
C
4
SABC
5.9 正弦定理、余弦定理
A 回忆一下直角三角形的边角关系?
a2 b2 c2 a tan A A B 90 b
c
b
a csin A b csin B 两等式间有联系吗？ Ba C
a b c sin A sin B
sinC 1
abc sin A sin B sinC
即正弦定理，定理对任意三角形均成立．
（2）在 ABC中，若
a cos
高一数学(人教版)复习知识点专题讲义课件17---余弦定理、正弦定理的应用
BC
a sin
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
2021/12/9
于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两
点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos .
a2 sin
sin2 ( 2(
)）
s
in
a2 s
2 (
in2
）
s
2a2
in(
在 Rt△ABC 中，AB＝ACsin 60°＝50 3米．
2021/12/9
3．一艘船上午 9：30 在 A 处，测得灯塔 S 在它的北偏东 30°的 方向，且与它相距 8 2海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°的方向，此船 的航速是( )
因此此船的航速为8
6－ 1
2＝16(
6－
2)(海里/小时)．
2
2021/12/9
3．一艘船上午 9：30 在 A 处，测得灯塔 S 在它的北偏东 30°的 方向，且与它相距 8 2海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°的方向，此船
A．8( 6＋ 2)海里/时 B．8( 6－ 2)海里/时 C．16( 6＋ 2)海里/时 D．16( 6－ 2)海里/时
2021/12/9
【解析】由题意得在△SAB 中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝
105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得sinS1A05°＝sinAB45°，
即sin81025°＝sinAB45°，得 AB＝8( 6－ 2)，
AC = asinβ sin（α-β）
正弦定理第2课时+正弦定理和余弦定理的综合问题课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版
课中探究
方法二（利用角的互补关系）：根据正弦定理，得 a = b = c，
sin A sin B sin C
∵ sin2A = sin2B + sin2C，∴ a2 = b2 + c2，∴ A是直角． ∵ A = 180∘ − (B + C)，sin A = 2sin Bcos C，
∴ sin(B + C) = sin Bcos C + cos Bsin C = 2sin Bcos C， ∴ sin(B − C) = 0，∴ B = C，∴△ ABC是等腰直角三角形．
sin Acos C = 2sin Ccos A，且a2 − c2 = 3b，则b =(
)
√A.9
B.6
C.3
D.18
[解析] 在△ ABC中，由sin Acos C = 2sin Ccos A及正弦定理得
acos C = 2ccos A，
又由余弦定理得a ⋅ a2+b2−c2 = 2c ⋅ b2+c2−a2，即a2 + b2 − c2 =
课中探究
变式（1） 在△ ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
c = 2acos B,则△ ABC一定是(
)
√ A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
[解析] 方法一:∵ c = 2acos B,∴ 根据正弦定理可知sin C = 2sin Acos B.
∵ A + B + C = π ,∴ sin C = sin(A + B),
∴△ ABC一定是等腰三角形, 故选B.
课中探究
（2）[2024·江苏盐城五校高一期中]已知△ ABC中，内角A,B,C的对
高一数学人教A版必修二《6.4.3余弦定理、正弦定理》完整课件(78页)
6.4.3 余弦定理、正弦定理 (完整课件78页)
高一数学人教A版必修2精品课件
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3.1余弦定理
高一数学人教A版必修2精品课件
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．
(× )
2．在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b 等于
【学透用活】 1．已知边 a，b 和角 C.
2．已知边 a，b 和角 A.
[典例 1] 在△ABC 中，
(1)若 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，求 b 及 A.
(2)若 A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求 b，c.
[解] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－
()
A．4
B． 15
C．3
D. 17
解析：cos C＝－cos(A＋B)＝－13. 又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以 c＝ 17.故选 D.
答案：D
2．若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a. 解：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×33×332－362＝0，可得 A＝90°，C ＝60°.当 a＝3 时，同理得 A＝30°，C＝120°.
人教版数学必修第二册6_4_3余弦定理、正弦定理课件
跟踪训练
4．在△ABC中，已知3b＝2 3asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，
则△ABC的形状是( D )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
由3b＝2 3asin
2 3
所以
＝
sin
3
2 3
B，得
＝
sin
3
，即sin A＝
，根据正弦定理，得
又∵
sin
∴b＝
=
sin
sin
＝20×
sin
＝
，
10×sin105°
sin30°
2+ 6
＝5(
4
＝20sin 75°
2 + 6).
题型二
已知两边及一边的对角解三角形
3
[例2] 在△ABC中，已知a＝2，c＝ 6 ，C＝ ，求A，B，b.
∵
sin
=
sin
解得sin A＝
，∴
2
[例4] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
bsin A＝ 3acos B.
(1)求角B的大小；
∵bsin A＝ 3acos B，
由正弦定理得sin Bsin A＝ 3 sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝ 3 ，
∴B＝
.
3
[例4] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)第一由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，
高一数学同步备课系列课件：余弦定理、正弦定理应用举例
答：这艘船可以继续沿正北方向航行
2.如图, 在山脚A测得山顶P的仰角为 ,沿倾斜角为的斜坡向上走a米 到B, 在B处测得山顶P的仰角为 ,求证 :山高h a sin sin( )
sin( ) 在△ABP中,ABP 180 BPA 180 ( ) ABP 180 ( ) (180 )
30
C
环节六:归纳总结，反思提升
(1)学会将实际问题转化为数学问题，进而利用数学方法解决， 注意体会正、余弦定理的综合使用；
(2)明确应用题中常见的概念，如方位角、俯角、仰角等； (3)在解决存在多个三角形的问题时，需注意观察，在不同的 三角形中运用正、余弦定理，构建边角关系.
12
环节七：目标检测，作业布置
设此人游泳的方向和与水流垂直的方向的夹角为 ,
则sin 4 3 , 35.5.
43 3
所以此人游泳的方向与水流方向的夹角约为125时, 才能沿与水流垂直的方向前进.
7. 在△ABC中, 分别根据下列条件解三角形(角度精确到1, 边长精确到1 cm) (1) A 70, C 30, c 20 cm; (2) b 26 cm, c 15 cm, C 23.
解：如图, 选择一条水平基线HG, 使H ,G, B三点在同一条直线上. 在G, H
两点用测角仪器测得A的仰角分别是 , , CD a, 测角仪器的高是h.
那么, 在△ACD中,由正弦定理, 得AC a sin . sin( )
所以, 这座建筑物的高度为AB AE h AC sin h a sin sin h sin( )
在实际操作时，使H，G，B三
点共线不是一件容易的事情，你 有什么替代方案吗？
环节五：课堂练习，巩固运用
例11 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔 船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏 西30°，且与甲船相距7n mile的C处的乙船．那么乙船前往营救遇险渔船时的 目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到1°)? 需要 航行的距离是多少海里(精确到1 n mile)?
6.4.3.2正弦定理高一数学课件(人教A版必修第二册)
sinC sinB 也有 a b c sin A sin B sin C
在钝角三角形中
B
设A 900
过点A作与AC垂直
的
单位向量
A 90
j,
则 j与AB的夹角为
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
立刻完成!
正弦定理:
sin C 1
abc sin A sin B sin C
在其他三角形中是否也存在这样的等量关系吗？
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
abc sin A sin B sin C
探
究 若三角形是锐角三角形, 如图1,
C
一 过点C作CD⊥AB于D,
a
b
此时有
sin
B
CD a
, sin
A
CD b
B
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
例4在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
A B
B
B
B
变式训练
三种情况：
(1)在ABC中，已知a 2 2,b 2 3，A 450,
则B 60。或120。 有两解
正弦定理(二)课件-高一下学期数学人教A版
用正弦定理的解题思路
1.画出图形
能不能使用 正弦定理呢？
A
2.由正弦定理求角C的正弦值
3.分情况讨论角C是锐角还是钝角
C
30° B
C
30°
A
B
例1 在△ABC中，已知b＝3，c＝3 3，B＝30°，解三角形.
解 方法二 由正弦定理sinb B＝sinc C，
得 3 ＝3 sin 30° sin
3C，解得
正 弦 定 理 (二)
学习目标
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系. 2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状. 3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
知识梳理
1.余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， a2＝b2＋c2－2bccos A， c2＝a2＋b2－2abcos C，
2.正弦定理sina A＝sinb B＝sinc C＝2R
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
即 A＝B 或 A＋B＝π， 2
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
注意角范围 和分类讨论
反思感悟
判断三角形形状的方法及技巧
余弦定理 用余弦定理求解，在△ABC中，已知 a ， b 和 A ， 由 余 弦 定 理 a2 ＝ b2 ＋ c2 － 2bccos A，求出c，此时c的个数即为 三角形解的个数.
3
正弦、余弦定理的综合应用
例3 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ 3 acos B. (1)求B的大小；
1.正弦定理边化角得 2.由角的范围求得
tan B＝ 3
由 B∈(0，π)，∴B＝π3.
例3 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ 3 acos B. (1)求B的大小；
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6.4.2第二课时余弦定理、正弦定理【课时分层练】 2020-2021学年高一数学同步备课系列【基础题】一、单选题1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若45A =︒，60B =︒，2a =，则b =（ ） ABCD．【答案】A 【分析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】因为45A =︒，60B =︒，2a =，所以由正弦定理可得sin sin a bA B=， 则b=2sin 2sin 60sin sin 45a B A ===， 故选：A.2．ABC 的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a =，c =6B π=，则ABC 的面积为（ ）ABCD 【答案】B 【分析】用面积公式1sin 2ABC S ac B =△即可. 【详解】由已知1a =，c =6B π=，则11sin 1sin 2264ABCSac B π==⨯=故选: B.3．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1a =，c =6B π=，则ABC 的面积为（ ）A ．32B ．34C ．2D ．4【答案】D 【分析】利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】在ABC 中，由1a =，c =6B π=，则111sin 1222ABCSac B ==⨯=． 故选：D ．4．在ABC 中，已知3,60a c C ︒===，则ABC 的面积为（ ）A B C D 【答案】B 【分析】先利用余弦定理求出b 的值，再利用三角形的面积公式可求得面积【详解】由余弦定理得222323cos 60b b ︒=+-⨯，解得1b =或2，所以ABC 的面积11sin 122S ab C ==⨯⨯3=或123222S =⨯⨯⨯=. 故选：B5．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果sin sin sin A b cB C b a+=--，那么cos C 的值为（ ）A ．12B C ．23D 【答案】A 【分析】先由正弦定理得到a 、b 、c 的关系，构造余弦定理求cos C . 【详解】∵sin sin sin A b c B C b a +=--，由正弦定理可得a b cb c b a+=-- 即：()()()a b a b c b c -=+-，整理得：222c a b ab =+-对照余弦定理可得1cos 2C = 故选：A ． 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择．6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin sin b B c C a A +=，则ABC 的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】C 【分析】由正弦定理得出2222b c a +=，再由余弦定理得出2cos 02c A bc-=<，从而判断A 为钝角得出ABC 的形状. 【详解】因为2222b c a +=，所以2222cos 022b c a c A bc bc+--==<，所以90A >︒，所以ABC 的形状为钝角三角形. 故选：C7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，5b =，2cos c a A =，则cos A =（ ）A ．13B ．4C ．3D ．3【答案】D 【分析】先用余弦定理求出边长c ，利用2cos c a A =，求出cos A . 【详解】因为2cos c a A =，由余弦定理可得22222b c a c a bc+-=⋅，将3a =，5b =代入整理得c =cos 23c A a ==. 故选:D. 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a ac c b -+=，则角B 为（ ） A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 【答案】B 【分析】根据余弦定理结合题中已知条件，可得222122c a c b osB ac +-==，结合三角形内角的范围，即可得出结果.【详解】∵222a ac c b -+=,∵由余弦定理，得222122c a c b osB ac +-==，结合()0,B π∈ ，可得3B π=. 故选:B ．9．在ABC 中，若3a =，cos 2A =，则ABC 外接圆的半径为（ ）A ．6 B．C ．3D【答案】C 【分析】利用正弦定理可得ABC 外接圆的半径． 【详解】在ABC 中，若3a =，cos A =1sin 2A =，由正弦定理2sin a R A=，所以33122R ==⨯．故选：C 二、多选题10．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ 【答案】ABC【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD. 【详解】A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a bA B=，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-<⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性. 三、填空题11．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为5,4==c A π，则b =_____【答案】4 【分析】由三角形面积公式计算， 【详解】由题意1sin 2S bc A =，即15sin 24b π⨯=4b =， 故答案为：4．12．在ABC 中，已知B ＝45°，c ＝，b ＝3，则A ＝________. 【答案】512π或12π. 【分析】利用正弦定理求出C ，进而求出A . 【详解】在ABC 中，B ＝45°，c ＝b ，由正弦定理可得sin sin b c B C =，即23sin 45sin C=，解得sin 2C =， 因为c b >，所以3C π=或23π，所以53412A ππππ=--=或23412A ππππ=--=.故答案为：512π或12π. 13．若ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为____．【分析】由余弦定理求出第三边c ，再由正弦定理求出三角形外接圆的直径． 【详解】设ABC 中，2a =，3b =，且1cos 3C =， 由余弦定理可知22212cos 131293c a b ab C =+-=-⨯=,3c ∴=又sin C ==由正弦定理可知外接圆直径为：2sin c R C ===故答案为：4【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平； 在ABC 中，2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为三角形外接圆的半径,常用来求三角形外接圆的半径（直径）.14．已知a ，b ，c 为ABC 的三边，120B =︒，则222a c ac b ++-=______. 【答案】0 【分析】由B 角利用余弦定理列式计算即得结果. 【详解】120B =︒，则2222cos120a c b ac ac +-=︒=-，故2220a c ac b ++-=.故答案为：0. 四、解答题15．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，已知a =b =60B =，求角C ．【答案】75 【分析】先通过正弦定理求出A ，再根据三角形的内角和为180求出C . 【详解】解：由正弦定理得sin sin a b A B =，即sin 60A =，解得sin A =， 因为b a >，则A 必为锐角，45A ∴=，180180607545C A B ---=∴-==.【点睛】本题考查正弦定理的应用，是基础题.16．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =2b =，60A =︒.（1）求sin B 的值； （2）求c 的值.【答案】（1）sin 7B =；（2）3c =. 【分析】由正弦定理求出sin B ，由余弦定理列出关于c 的方程，然后求出c ． 【详解】解：（1）因为a =2b =，60A =︒.由正弦定理sin sin a b A B =2sin B =，所以sin B =；（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-22222cos60c c =+-⨯︒，3c =，1c =-（舍），所以3c =. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知8b =，3c =，3A π=. （1）求a ；（2）求ABC 的面积.【答案】（1）7a =；（2）【分析】（1）由余弦定理即可求得a 的值；（2）利用面积公式即可求解.【详解】（1）由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-， 即22283283cos 7324493a π=+-⨯⨯=-=，所以7a =，（2）ABC 的面积为11sin 3822S bc A ==⨯⨯= 18．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且22(2)(2)a b c b c b c =-+-．（∵）求角A 的大小；（∵）若2cos b c A =，试判断ABC 的形状．【答案】（∵）60A =︒；（∵）等边三角形.【分析】（1）由已知三边关系，结合余弦定理即可求角A ；（2）由正弦定理的边角互化，应用两角和正弦公式可得sin()0A C -=，结合（1）的结论即可知ABC 的形状．【详解】（∵）∵22(2)(2)a b c b c b c =-+-，整理得222bc b c a =+-， ∵2221cos 22b c a A bc +-==，∵60A =︒． （∵）由正弦定理，得sin 2sin cos B C A =，而()B A C π=-+，∵sin()2sin cos sin cos cos sin A C C A A C A C +==+，即sin cos cos sin 0A C A C -=，∵sin()0,A C A C -==，∵60A B C ===︒，∵ABC 为等边三角形．【点睛】本题考查了正余弦定理，根据三边关系应用余弦定理求角，由正弦定理的边角互化、两角和正弦公式判断三角形形状，属于基础题.。