微积分复习

第二章经济变化趋势的数学描述

一、极限的计算 1、代入法

【适用形式】x 0在初等函数f (x )的定义区间内。

【方法】计算极限)(lim 0

x f x x →时，可以把x 0代入f (x )以得到极限的结果：

)()(lim 00

x f x f x x =→。

【例】计算极限：①11lim 223-+→x x x ；②1

30)211(lim -→-+x x x

x 。

2、初等方法

⑴消零法

【适用形式】函数为分式，分子、分母都是多项式且都是无穷小量。 【方法】将分子、分母分解因式，再消去公因式，直至可直接代入。

【例】计算极限：①4

6

5lim 222-+-→x x x x ；②423lim 4-+-→x x x x 。 ⑵消极大公因子法

【适用形式】函数为分式，分子、分母都是多项式或含有根式、指数、正(余)弦，且分子、分母都为无穷大量。

【方法】分子、分母都是多项式或含有根式时把分子、分母同除以变量最高次

数，然后利用01

lim =∞→x

x 、极限的四则运算计算极限；分子、分母含有指数时除以底

数较大(指数为无穷大量)或较小(指数为无穷小量)的指数形式然后利用

)10(0lim <<=+∞

→a a x x (或)1(0lim <=+∞

→q q n n )、极限的四则运算计算极限。

【例】计算极限：①)14()13()12()1(lim 423324++++∞→x x x x x ；②1

1

2lim -+∞→n n n ；③1154255232lim ++∞→++⋅⋅++x x x x x x x 。

⑶有理化法

【适用形式】函数为分式，分子或分母含有根号且根式阻碍了极限的计算(特别是有根式相减)。

【方法】将根式有理化。 【例】计算极限：)2)(1(lim 2+-+∞

→n n n n 。

⑷通分法

【适用形式】函数为两个分式相减或分式与其他形式相减，且都不能直接代入(即两个无穷大量相减)。 【方法】通分。

【例】计算极限：)1

1

411(lim 30----→x x x x 。

⑸其他公式或技巧

【适用形式】一般极限的计算过程中。

【方法】等差、等比数列的求和，三角公式，中学的其他技巧。

【例】计算极限：)2

1

2121(lim 2n n +++∞→Λ。

3、夹逼定理

【适用形式】较为复杂而通过放缩可以简化的形式。

【方法】利用不等式放缩使已知函数夹在两函数之间，且两函数的极限相等。

【例】计算极限：①!2lim n n n ∞→；②][1

lim x x

x ∞→。

4、两个重要极限

【适用形式】幂值函数(1∞型)；正弦、正切的内部为无穷小量。 【方法】凑成两个重要极限之一。

【例】计算极限：n n

n n n n 1

sin )1(lim 1+∞→+。 5、无穷小量的性质

【适用形式】无穷小量乘以有界变量(尤其是正弦、余弦的内部不是无穷小量时)。

【方法】无穷小量乘以有界变量的极限为零。

【例】计算极限：)cos `1(1

sin lim 2n n n n

n n ---+∞→。

6、等价无穷小量代换

【适用形式】乘除因子中有常见的无穷小量形式。 【方法】把无穷小量用换成与其等价的幂的形式。

【例】计算极限：①1)1(1)1(lim 11100-+-+→x x x ；②x x x 3tan 1cos lim 23

0-→；③1

1

lim 0--→x x x x 。

7、左、右极限

【适用形式】分段函数；出现指数、根式、反正(余)切的极限。

【方法】分别极限左、右极限或时的极限，只有二者相等时极限才存在。

【例】计算极限：①)1arccot 1(arctan lim 30x x x +→；②2

)1(1

lim 22-+++∞→x x x x x 。

二、极限的运用

1、无穷小量的比较

【方法】利用无穷小量比较的定义，通过计算极限进行比较。

【例】若x →0时)(1

sin x o x

x k =，求k 的变化范围。

2、连续性的判断

【方法】分别计算)(lim 0

x f x x -→、)(lim 0

x f x x +→和)(0x f ，判断三者是否都相等。

【例】若函数⎪⎩⎪⎨

⎧

+<<-

-=其他

b

ax x x x f 53

541)(2

连续，求a 、b 。 3、间断点的分类

【方法】利用各类间断点的定义，通过计算极限进行判断。

【例】求函数)

21()

1ln()(2x x x x f --=的间断点及其及其类型。

4、闭区间上连续函数的性质

【方法】根据方程构造函数，验证此函数满足零值定理的条件，根据零值定理证明根的存在性。

【例】证明方程sin x +x +1=0至少有一个实根。

第三章经济变量的变化率

一元函数的导数与微分

一、基本概念 1、定义

【适用对象】分段函数在分段区间端点处的导数。 【公式】0

0000

0)

()(lim )()(lim

)(0x x x f x f x x f x x f x f x x x --=∆-∆+='→→∆ 【例】已知①⎪

⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧>-+=<-=0

11000

cos 1)(2x x x x x x x

x f ，求)0(f '。 ②)99100()23)(12()(+++=x x x x x f Λ，求)0(f '。

③1)0()0(='=f f ，求x

x f x f x )

2()3(lim 220-→。

2、几何意义

【公式】切线方程：))(()(000x x x f x f y -'=-，法线方程：

)()

(1

)(000x x x f x f y -'-

=- 【例】求曲线1ln =+y ye x 在)1,0(处的切线方程。 3、与连续的关系

【结论】可导必定连续，但连续不一定可导。