粘性流体力学第三章

dp 2U 2 dx h
2、泊肃叶(Poiseuille)流动
(1) 平面Poiseuille流动
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在两个平行平板之间充满粘性流体，上下两板均 dp 静止不动，而顺压梯度 dx const ，坐标系仍如图3－1 所示。方程仍如（3－3）式，边界条件为：
u 0 u 0
2
y b y b
0 f 1 f 0
（3－15）
16
常微分方程的解为：
u U 0 erfc
erfc( ) 2
（3－16）



exp( 2 )d 1 erf ( )
1
2



0
exp( 2 )d
erfc称为补偿误差函数；erf为高斯误差函数，它 的数值可由有关手册中查到。
（2）当B>0， 0 ，压力顺流递减称为顺压梯度，在 dx 整个断面上流速为正值，当 B 值很大时，流动接近 Poiseuille流动的抛物线分布。
u y y y （3）当B＝－1时： U h h (1 h ) u * y 令 u , y* 则 * 2 * u u * *2 * U h u y 2y 2 * 2 * y y
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4、周期振动的平板引起的非定常 流动－Stokes第二问题
平板为无限长，平板在本身平面内作简谐振动，基 本方程为： u 2u 2 （3－18） t y
压力在整个空间为常数，因此其梯度为0，边界条件 和初始条件为：
y 0 u (0, t ) U 0 cost y u 0
o
U
图3－5 流体中突然起动的平板
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与热传导方程相似，在t＝0时壁面y＝0突然加热到 某一温度T0。因而引起整个空间的热传导的温度场。 现令量纲为1的坐标： y u U 0 f ( ) 2 t
1 y 2 t 1 t 2t
方程（3－14）变为： f 2f 0
（
8
可见 u* f ( y*)曲线为凹曲线，在 y* 0 时，曲线与 dp 2U y* 轴相切。 2 时为流动要产生回流的临界状态。
dx h
(4) 在 B 1 ， 流动在靠近下壁为负值 有回流出现。这就是说明由于流体的带动上壁的运动 速度传到下壁附近时，不足以抵抗逆压梯度的作用， 而产生反向回流。
2 t 4 t
壁面切应力的分布： u w
U 0 1
（3－17a）
y y 0
t
（3－17b）
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u U （3－17c） y t 平板突然加速瞬间，即t 0时，在平板壁面y＝0处趋
涡量分布：
24
第二节 驻点附近的平面流动 －Hiemenz流动

图3－8 驻点附近的平面流动
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驻点附近的流动，如图3－8所示，取直角坐标系。 由于粘性的作用在平面表面的一薄层中，流速梯度很 大，但在这一薄层之外，流动仍然看成是理想流体的 流动。 在有势流动中，驻点附近的流动可应用复变函数的 方法，得出有势流动的速度分布：
流动的解为：
2 b dp y u 1 2 dx b
（3－7）
可 以 看 出 ： 有 压 梯 度 的 Couette 流 动 是 简 单 Couette流动和Poiseuille流动的叠加。
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(2)充分发展的管流－圆管中的Poiseuille流动
1
第一节 平行流动
粘性流动的动量方程应包括粘性项，是二阶偏微 分方程，应采用物体表面上流速为零的边界条件。 平行流动是流动中最简单的一种。平行流动中， 所有的质点均沿同一方向流动，即只有一个速度分量 不等于零，令其为 x 方向，即 u≠0 ，而另外两个 y ， z 方向上速度分量v，w 均为零。 阶线性偏微分方程 )
h2 dp 令 B 2U dx
（3－6）
式中:
y y* h
u u* U
图3.2 两平行直壁之间的库埃特流动
7
B值不同，流动曲线不同 （1）B 0,
dp 0 顺流压力梯度为零时： dx u y U h
dp
流速为线性分布称为简单的Couette流动。
第三章 层流流动的精确解
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 平行流动 驻点附近的平面运动 旋转盘引起的流动 缓慢流动的N－S方程的近似解 滑动轴承内的流动
由于N－S方程的非线性，一般情况下在数学上寻 求其精确解有巨大的困难。大多数实际问题要引入不 同程度的物理或数学上的近似求近似解。随着计算机 的发展，数值求解越来越重要。
，距壁
y。 2
面为y的层流与边壁的振动相位滞后为

l

图3－7表示某时刻运 动的情况。两层相距为
2 2 2 k
的流动层的振 也称
动为同相位的。k称为波
2 数，波长L＝ k
为粘性波的穿透深度。
图3－7 振动平板附近的速度分布
f 2 ff a 2 f 1 2 ff a F f 2
（3－24）
（3－25）
（3－26）
（3－2）
式（3－2）为二阶线性偏微分方程。
3
1、库埃特(Couette)流动
两个平行壁面间的平行流动，一个壁面静止不动， 另一个壁面以速度U沿x轴运动（图3－1）。由于粘性， 运动壁面将带动流体运动。通过流体的内摩擦，这个运 动的影响传播到整个流动区域。设上下两个壁面的宽度 为无穷远，流动为二维定常平行流动，因而 u f ( y) ， 方程（3－2）将有以下形式
y2 e 4 t
于无穷大。 计算从y＝0到y＝区间内的涡通量： u I dA dA dA U A o o y
（3－17d）
可见，当 时单位长度平板上的半无限区域内涡通 量为常数，且等于平板速度U。如果区域内无新的的涡 原，单纯的涡量扩散不会改变无限大区域内总的涡通量。
（3－22）
y 0 u v 0 x y 0 p p0 y u U ax
（3－23）
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假设v只是y的函数，令：v f ( y ) 根据连续方程：u xf ( y ) 1 2 2 x F y 那么可令： p p0 a 2 得出f和F所满足的微分方程：
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被平板带动的流体层（以0.99 U0为限）称为边界层， 其厚度～ 。同样，平板壁面的切应力为：

w U 0
(cost sin t ) 2
（3－22）
不定常的平行流动还有很多例子，如：任意滑移 运动的平板引起的粘性流动，简单Couette流的起始过 程，以及圆管中Hage－Poiseuille流动的起动过程等 等。
积分时， 代入边界条件：
d 2 u du 1 dp r 2 r dr dx dr
（3－9）
du r0 dr u 0 r r0
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圆管中Poiseuille流动的速度分布：
1 dp 2 u r r02 4 dx
圆管中心处最大流速


（3－10）
17
图3－6 突然以匀速U0运动平板引起的速度分布
18
图3－6所示为量纲为1形式的速度分布图形，对于 不同的t值，速度的图形是一样的。这样情况称为对t 轴方程有“相似性解”。当 ＝2.0时，
u erfc(2.0) 0.01 U0
如果把流速为0.99的U0以内部分称为边界层，则边界 层的厚度为：
u max
断面平均速度
r02 dp 4 dx
（3－11） （3－12）
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r02 dp u 8 dx
断面的过流量
4 r dp 2 0 Q r0 u 8 dx
令
64 水头损失系数: Re
dp dx u2 1 2 d
u 从连续方程可以得出 0 ，因此对于平行流动(二 x
2
u u ( y , z , t ) v0 w0
（3－1）
p p 0, 0 ，压强p为P（x） 利用N－S方程可以得到 y z
2u 2u u p 2 2 t x y z
，代入平均速度公式，可得
（3－13）
图中1为式(313)的结果
图3－4 圆管中层流的损失系数的理论与试验的比较
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3、突然以匀速滑动平板引起的流动 －Stokes第一问题
基本方程： u 2u 2 （3－14） t y 边界条件：
t0 u0 t0 u U0 y 0 t0 u0 y
（3－19）
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利用分离变量法解为
u( y, t ) U 0 e ky cos(t ky)
其中
（3－20）
k 2
y则 2
令 ky
u( y, t ) U 0 e cos(t )
（3－21）
22
பைடு நூலகம்
这是个衰减的简谐振动，振幅 U 0 e
y
2
管道很长时，除了进口段，可以认为管流为二维 流动，采用圆柱坐标 (r , , z ) 系，连续方程为： u r r u u x 0 rr r x
其中， ur u 均 为0。只有 u x 不 为零，令 u = u x u 可以看出 0， x 即流速分布沿管的 轴线x是相同的。
p 2u 2 y x p 0 y
（3－3）
4
y
dp / dx 0
U
h
x
图3－1 平行平板间的流动
5
p p 只是y的函数，那么 x x
由于，p只是x的函数；又由于u只是y的函数，故
= 常数。
（3－4）
2u 2 C y
边界条件为：
u v 0 x y 2u 2u u 1 p u v 2 2 u y x y x x v 2v 2v v 1 p u v 2 2 y y x y x
U ax V ay
a为常数，U和V表示理想流体沿x和y方向的速度分量。 令驻点处的压力为p0，那么根据伯努利方程，求得驻 点附近的压力p： 1 2 2 p p 0 a x y 2 2
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在靠近平板的边界层中，流体的速度u，v，及压力 p满足N－S方程，连续方程和边界条件如下：
图3.3 圆管中泊肃叶流动
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N－S方程
1 p 0 r 1 1 p 0 r u 1 dp 2u 1 u u 0 2 dx r r r x
（3－8）
dp 由于 只能是常数 dx
式（3－8）为：
精确解本质上是层流解。从方程上看精确解尽管 在高雷诺数下其数学关系是正确的，但是在高雷诺数 时流体运动不稳定，在物理上数学解不存在。 精确解虽然简单，数量少，但却有重要的理论和 实践意义： 揭示粘性流动的一些本质特征； 应用于发展新的数值计算方法； 作为研究复杂问题初步估算和求解的基础； 探求新理论。
u 0 u U
y0 yh
（3－4）式积分并代入边界条件则得：
u y h2 dp y y 1 U h 2U dx h h
（3－5）
6
为量纲为1的压力梯度称为Brinkman 数。解(3-5)的量纲为1的形式为：
u y y y u* B 1 y * By * 1 y * U h h h