矩阵的三种等价关系
矩阵的三种等价关系
矩阵的三种等价关系摘要本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。
同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。
关键字矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系A matrix of three equivalence relationsAbstractThis paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge.Key wordsmatrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix.0 引言在线性方程组的讨论中我们知道，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象.我们的目的是讨论矩阵的一些基本性质.另外，新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通过中学的选修课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识.这也凸显出矩阵在中学数学中的重要性.为了满足中学生对矩阵知识的渴望和矩阵初学者对矩阵基本性质的需求，我们研究了矩阵的三种基本关系即等价关系、合同关系、相似关系.首先，我们给出矩阵三种等价关系的定义及相关知识；其次，我们探究了矩阵三种等价关系所具有的性质、它们之间的联系以及满足这些关系所保持的量的不变性.同时，我们也提出了矩阵相似的几种等价定义，这可以使初学者更好的判断矩阵的相似性.1 矩阵的三种等价关系的定义1.1 矩阵的三种等价关系定义1.1.1 设矩阵A 、B 是数域P 上的矩阵，矩阵A 与B 称为等价的，如果B 可以由A 经过一系列的初等变换得到。
矩阵等价条件
矩阵等价条件1. 行等价：如果两个矩阵A和B从一个经过有限次的行变换可以相互转换，则它们是行等价的，记作A≌B。
$A=\left(\begin{array}{ccc}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 &2 &3 \\0 & -3 & -6 \\-7 & -14 & -21\end{array}\right)$$\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{R}_{2}=-4 \boldsymbol{R}_{1}+\boldsymbol{R}_{2} \\\boldsymbol{R}_{3}=-6 \boldsymbol{R}_{1}+\boldsymbol{R}_{3}\end{array}\right)$矩阵等价的充分必要条件是它们具有相同的秩和相同的行列式。
即，如果两个矩阵A和B满足A≌B，则它们具有相同的秩和相同的行列式。
反之亦然。
对于任意矩阵A，它可以使用一定的行变换或列变换，化为行最简形式或列最简形式。
行最简形式指的是一个矩阵在经过有限次行变换后，化为一个以0为分界线，上半部分全部为0的矩阵，下半部分为任意元素的矩阵。
列最简形式类似。
行最简形式和列最简形式都是唯一的，并且它们具有相同的秩和行列式。
由此可知，任意两个矩阵都可以通过一定的行变换和列变换得到它们的行最简形式或列最简形式。
在研究两个矩阵是否等价时，可以将它们化为最简形式进行比较。
矩阵等价是一种很重要的矩阵性质，它在矩阵运算和矩阵应用中有着广泛的应用。
矩阵等价在线性代数中有着重要的应用。
在解线性方程组时，通常会考虑对矩阵进行某种变换，使得它变为某种特殊的形式，从而更容易求解。
这种变换包括行变换、列变换和相似变换等。
矩阵的等价关系与分类
矩阵的等价关系与分类作者：谢晓华来源：《科技视界》2014年第21期【摘要】本文对矩阵的相抵、相似、合同三种等价关系及它们之间的联系和区别做了总结，并利用等价关系和分类的知识对矩阵进行等价分类，最后通过一个简单的例子说明了这种分类的意义。
可以加深非数学专业学生对矩阵知识的了解。
【关键词】相抵；相似；合同；等价类1 预备知识2 矩阵的等价关系2.1 矩阵的相抵关系定义2.1：如果矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B，那么称A与B是相抵的。
定理2.1：任意两个矩阵A、B相抵的充分必要条件是：1）A、B同型且秩相等；2）存在可逆阵P和Q使得PAQ=B。
2.2 矩阵的相似关系定义2.2：对于n阶方阵A、B，若存在一个可逆阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似。
由定义可得A通过相似变换变为B需要很强的约束条件：两边乘的矩阵要互逆，所以要通过引入λ-矩阵除去其约束条件，将A与 B的相似转换为λI-A与λI-B的相抵来研究，即通过相抵标准型来研究数字矩阵A与B的相似。
定理2.2（1）A与B相似？圳矩阵A能够经过相似变换变成矩阵B？圳，A与B是同阶方阵且它们有相同的不变因子组即矩阵相似关系下的全系不变量是不变因子组。
也就是说秩相等是矩阵相似的必要条件，两个同阶方阵相似的本质是它们有相同的不变因子组。
相似矩阵的性质：矩阵相似，则它们的秩相等，迹相等，行列式相等，特征值相等，特征多项式也相等；它们还有相同的可逆性，且可逆时它们的逆矩阵也相似。
注意，两个同阶方阵如果它们可以对角化（例如实对称矩阵），则它们相似就等价于它们有完全相同的特征值（或特征多项式相等）；否则，同阶方阵的特征值完全相同只是它们相似的必要条件。
2.3 矩阵的合同关系定义2.3：对于n阶方阵A、B，若存在可逆阵P，使得PTAP=B，则称 A与B合同。
两个矩阵合同的概念是不需要矩阵必须是实对称矩阵的。
如果 A是实对称矩阵，则它一定能与对角矩阵合同。
矩阵的等价关系题目
矩阵的等价关系题目摘要：1.矩阵等价关系的定义与性质2.矩阵等价关系的判断方法3.矩阵等价关系的应用举例正文：一、矩阵等价关系的定义与性质矩阵等价关系是指两个矩阵之间存在一系列的基本行变换（或基本列变换），使得其中一个矩阵可以变为另一个矩阵。
矩阵等价关系具有以下性质：1.反身性：任何矩阵与自身都是等价的。
2.对称性：如果矩阵A 与矩阵B 等价，那么矩阵B 与矩阵A 也是等价的。
3.传递性：如果矩阵A 与矩阵B 等价，矩阵B 与矩阵C 等价，那么矩阵A 与矩阵C 也是等价的。
二、矩阵等价关系的判断方法判断两个矩阵是否等价，可以通过以下两种方法：1.基本行变换法：如果一个矩阵可以通过基本行变换变为另一个矩阵，那么这两个矩阵就是等价的。
2.矩阵秩相等法：设矩阵A 和矩阵B，如果它们的秩相等，则矩阵A 和矩阵B 是等价的。
三、矩阵等价关系的应用举例矩阵等价关系在线性代数中具有广泛的应用，以下举两个例子：例1：求解线性方程组已知矩阵A 和矩阵B：A = [[2, -1], [1, 0]]B = [[3, 2], [0, 1]]矩阵A 和矩阵B 是等价的，因为它们可以通过基本行变换相互转化。
通过高斯消元法求解线性方程组，可以得到矩阵A 的解为x = [3, -2]。
由于矩阵A 和矩阵B 等价，所以矩阵B 的解也是x = [3, -2]。
例2：简化矩阵计算矩阵A = [[a, b], [c, d]]矩阵B = [[a, d], [b, c]]矩阵A 和矩阵B 是等价的，因为它们可以通过基本列变换相互转化。
利用矩阵的等价关系，可以将矩阵A 的运算简化为矩阵B 的运算，从而降低计算复杂度。
等价矩阵 (自动保存的)
矩阵的三种等价关系及其一些应用姓名：郭长琦学号200740510208 指导教师：刘敏摘要：高等代数范围内,有关矩阵等价关系的计算是一个具有普遍重要的基本问题，在有限维线性空间中，矩阵的等价关系运算往往用到线性变换，由于线性变换在高等代数中的重要性，使得矩阵等价关系在高等代数中占有重要的地位。
本文主要简单地讨论了矩阵等价、矩阵合同、矩阵相似的条件及其应用，给出了这三种矩阵关系间的联系，即合同阵、相似阵必是等价阵;反之，不一定成立；正交相似与正交合同是一致的，并给出说明．关键词：等价矩阵相似矩阵合同矩阵Ｔhree kinds equivalence relation of the matrix and some applicationsAbstract: matrix equivalence relation in higher algebra occupies an important position. This paper briefly discusses matrix equivalent, matrix contract, matrix similar conditions and its application, give the relation between these three matrix of contact, namely contract array, similar array is equivalent array; Conversely, not necessarily to be formed; Orthogonal similarity and orthogonal contract is consistent, and give instructions.Keywords: rotation matrix similar matrix contract matrix矩阵是高等代数中最重要的知识点，贯穿于高等代数中，矩阵等价、矩阵合同、矩阵相似则是矩阵的三种基本关系，故首先给出其基本定义。
矩阵的合同,等价与相似
矩阵的合同,等价与相似
矩阵的合同、等价和相似是三种不同的关系。
合同关系是指对于两个矩阵A和B，存在一个可逆矩阵P，使得PAP^{-1} = B。
也就是说，两个矩阵可以通过一个可逆矩
阵的相似变换，得到一个相同的矩阵。
等价关系是指对于两个矩阵A和B，存在两个可逆矩阵P和Q，使得PABQ = I，其中I为单位矩阵。
等价关系是合同关
系的一个特殊情况，即当P = Q时，合同关系变为等价关系。
相似关系是指对于两个矩阵A和B，存在一个可逆矩阵P，使得PAP^{-1} = B。
相似关系不要求被相似变换的矩阵是方阵，因此相似关系是合同关系的推广。
综上所述，矩阵的合同关系是最强的，矩阵的等价关系是合同关系的特殊情况，矩阵的相似关系不要求矩阵是方阵，是合同关系的推广。
矩阵等价相似合同的关系
矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。
合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。
相似是指两个矩阵特征值一样。
相似必等价，合同必等价。
1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。
2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。
原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。
对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。
可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。
首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。
相似合同和等价都具有反身性。
对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。
而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。
相似必合同，合同必等价。
等价就是矩阵拥有相同的r。
矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。
同理两矩阵相似一定等价。
矩阵的等价,规定合同,相似的联系与区别
证明：设 与 的特征根均为 因为 与 阶实对称矩阵，则一定存在一个 阶正交矩阵Q使得 同理，一定能找到一个正交矩阵 使得 从而有
将上式两边左乘 和右乘 ,得
由于 , ,
有 ,所以， 是正交矩阵，由定理8知 与 相似．
定理10若 阶矩阵 与 中只要有一个正交矩阵，则 与 相似且合同．
反过来，对于矩阵 , 等价，但是 与 并不相似，即等价矩阵未必相似．
定理6对于 阶方阵 ，若存在 阶可逆矩阵 使 ,(即 与 等价)，且 ( 为 阶单位矩阵)，则 与 相似．
证明：设对于 阶方阵 与 ,若存在 阶可逆矩阵 ,使 ,即 与 等价．又知 ,若记 ,那么 ,也即 ,则矩阵 也相似．
定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
(1) 矩阵 与 不仅为同型矩阵，而且是方阵.
(2) 存在数域 上的 阶矩阵 ,
性质2
（1）反身性：任意矩阵 都与自身合同.
（2）对称性：如果 与 合同，那么 也与 合同.
（3）传递性：如果 与 合同， 又与 合同，那么 与 合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果 为满秩矩阵，那么 .
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.
(8）相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果 ，则有：
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设 ，若 可逆，则 从而 可逆.且 与 相似.
若 不可逆，则 不可逆，即 也不可逆.
证明：不妨设 是正交矩阵，则 可逆，取 ,有 ，则 与 相似，又知 是正交阵，所以 与 既相似又合同．
矩阵的等价关系与分类
渊1冤相抵关系最弱遥合同与相似是特殊的相抵关系袁若两个矩阵相 似或合同袁则这两个矩阵一定相抵袁反之不成立遥相似与合同不能互相 推导袁但如果相似矩阵为正交相似袁合同阵为正交合同袁则相似与合同 一致遥
渊圆冤对于实对称矩阵袁特征值是相似的不变量袁秩和正惯性指数是 合同关系下的全系不变量袁因此实对称矩阵相似则一定合同遥
分类的必要性在于袁让人们用最简便的方法来掌控概念群袁尽量 不借助于外部施加的条件袁把这些概念分门别类的贮藏于各个亚系统
中袁仅仅起到了一种图书馆标签的作用袁概念之间的交叉袁重合与创新 构成了我们所能知道的人类思想史遥 但是袁在福柯这里袁人可能仅仅是 概念的承载物之一袁从表面上看袁语词承载着概念为思想和表达服务袁 毋宁说袁人类是语词的载体袁他用自己的活动所积累的经验性事实来 为语词提供思想的基础遥 没有这些经验性事实袁或者由这些经验性事 实沉积的习惯袁语词只会有空洞的外壳袁成为语言史上的化石遥
学校体育是学生终生体育锻炼意识形成的一个重要阶段袁也是学 生掌握体育锻炼知识尧运动技能和安全卫生知识的一个重要时期遥 因 此袁体育课程内容的设置应完成学校体育教育与社会体育教育的有机 衔接上袁从面向健康生活尧学校环境尧终身受益的角度多维度的设计体 育课程内容袁启发学生积极主动的尝试体育锻炼的意识袁并能让学生 从锻炼中掌握体育健康的乐趣袁既要有一定的运动技术含量袁还要有 一定的知识性曰既要重视学生的个性发展袁还要重视终身体育意识的 培养曰既要开展适合青少年时期身体锻炼的节奏性强尧运动强度大的 运动项目袁还要开展适合成年时期以后的可接受性强尧突出健身性与 娱乐性相结合的终身体育运动项目曰同时还要兼顾城市学生与农村学 生身体机能差异的运动项目遥 从所授学生身体机能调查统计表中可以 显示袁城市学生身体的灵敏性尧柔韧性尧协调性相对高于农村袁而农村 学校学生的力量性和爆发性相对优于城市学生袁这和城市学校和农村 学校开设的体育课程内容有很大的关系遥 因此袁要培养高职生终身体 育锻炼的意识袁课程内容的设置应突出多样性和终身性兼顾发展的原 则遥 4.3 师资队伍建设应突出终身体育职业化的发展目标
矩阵合同的定义
编号：_______________本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载矩阵合同的定义甲方：___________________乙方：___________________日期：___________________篇一：矩阵的合同，等价与相似的联系与区另U矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质(一)等价：1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A 与B等价，记为ABO2、矩阵等价的充要条件：AB(同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=E^立3、向虽组等价，两向虽组等价是指两向虽组可相互表出，有此可知：两向虽组的秩相同，但两向虽组各自的线性相关性却不相同。
(二)合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P,使得A成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则ABBPAPBT二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
(三)相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~&2、矩阵相似的性质：A~B,A~B,AA~BTTkkl~B(前提，A,B均可逆)1|E-A||EB|即A,B有相同的特征值(反之不成立)r(A)=r(B)tr(A)tr(B) 即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B(EA)(EB)二、矩阵相等、合同、相似的关系(一)、矩阵相等与向H组等价的关系：设矩阵A(1,2,,n) , B(1,2,,m)1、若向虽组(1,2,,m )是向虽组(1,2,,n )的极大线性无关组，则有mn,即有两向虽等价，而两向H组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。
矩阵等价相似合同
矩阵等价相似合同引言矩阵是现代数学中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。
当我们研究矩阵时，经常会遇到矩阵的等价和相似这两个概念。
本文将介绍矩阵等价和矩阵相似的定义、性质以及它们在实际应用中的意义。
矩阵等价矩阵等价是指两个矩阵具有相同的秩、行列式以及特征值。
具体来说，对于两个n阶方阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP = B，那么我们就称矩阵A和B是等价的。
矩阵等价的主要性质包括：•矩阵等价是一种等价关系，即它具有自反性、对称性和传递性。
•矩阵等价保持了矩阵的很多重要性质，比如秩、行列式和特征值等。
矩阵等价在线性代数中有着广泛的应用。
比如，当我们求解线性方程组时，我们可以通过矩阵等价的变换来简化计算。
此外，在图论、网络分析等领域中，矩阵等价也有着重要的应用。
矩阵相似矩阵相似是指两个矩阵具有相同的特征值和Jordan标准型。
具体来说，对于两个n阶方阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP = B，那么我们称矩阵A和B是相似的。
矩阵相似的主要性质包括：•矩阵相似是一种等价关系，即它具有自反性、对称性和传递性。
•相似矩阵具有相同的特征值和Jordan标准型，因此它们在矩阵的特征值分析和对角化方面具有重要意义。
矩阵相似在线性代数和数值计算中有着广泛的应用。
比如，在求解微分方程、特征值问题和矩阵对角化等领域，矩阵相似都扮演着重要的角色。
矩阵等价与矩阵相似的关系矩阵等价和矩阵相似在定义上有些相似，但它们之间存在一些细微的差别。
具体来说，矩阵等价关注的是矩阵的秩、行列式和特征值，而矩阵相似关注的是特征值和Jordan标准型。
简单来说，矩阵等价更侧重于矩阵的代数性质，而矩阵相似更侧重于矩阵的几何性质。
然而，矩阵等价和矩阵相似之间存在一定的联系。
具体来说，如果两个矩阵是相似的，那么它们一定是等价的，但反之不一定成立。
这是因为相似矩阵具有相同的特征值和Jordan标准型，而等价矩阵只需要具有相同的秩、行列式和特征值。
矩阵的等价,合同,相似的联系与区别
目录摘要 (I)引言 (1)1矩阵间的三种关系 (1)1.1 矩阵的等价关系 (1)1.2 矩阵的合同关系 (1)1.3. 矩阵的相似关系 (2)2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3)3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (5)结束语 (6)参考文献 (6)摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.1矩阵间的三种关系1.1 矩阵的等价关系定义1 两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ =由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.性质1（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅定理1 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000r m nI PAQ B ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =.1.2 矩阵的合同关系定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件：(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =性质2（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理3 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：22212r f y y y =++ 1.3. 矩阵的相似关系定义3 设,A B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使得B AP P =-1,则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似，必须同时具备两个条件(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵(2) 在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1性质3(1)反身性 T A E AE = ;(2)对称性 由T B C AC =即得()11T A C BC --=;（3）传递性 111T A C AC =和2212T A C AC =即得 ()()21212T A C C A C C总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4) 11111221122()P k A k A P k P A P k P A P ---+=+（其中12,k k 是任意常数）； (5）1111212()()()P A A P P A P P A P ---=；(6）若A 与B 相似，则m A 与m B 相似（m 为正整数）；(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果1B P AP -=为满秩矩阵，那么11111()B P AP P A P -----==.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；因为如果1B P AP -=，则有：11B P AP P A P A --===(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设1B P AP -=，若B 可逆，则11111()B P AP PA P -----==从而A 可逆.且1B -与1A -相似.若B 不可逆，则1()P AP -不可逆，即A 也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4 相似矩阵的特征值相同.推论3 相似矩阵有相同的迹.2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系（1） 由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．证明： 设n 阶方阵,A B 相似，由定义3知存在n 阶可逆矩阵1P ，使得111P AP B -=，此时若记11P P -=,1Q P = ,则有PAQ B =,因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价反过来，对于矩阵100010A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,121010B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并不相似，即等价矩阵未必相似．定理 6 对于n 阶方阵,A B ，若存在n 阶可逆矩阵,P Q 使PAQ B =,(即A 与B等价)，且PQ E = (E 为n 阶单位矩阵)，则A 与B 相似．证明： 设对于n 阶方阵A 与B ,若存在n 阶可逆矩阵,P Q ,使PAQ B =,即A 与B 等价．又知PQ E =,若记11P P -= ,那么1Q P =,也即111P AP B -=,则矩阵,A B 也相似．定理7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．证明： 设n 阶方阵,A B 合同，由定义2有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得11TP AP B =，若记1TP P =,1Q P =,则有PAQ B =因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价反过来对于矩阵1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．定理8 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．证明：若存在一个正交矩阵P ,即T P P E =使得1P AP B -=即~A B ，则有1T B P AP P AP -==，即A 与B 合同.同理，若存在一个正交矩阵P ，即T P P E =使得T P AP B =即A 与B 合同，则有1~T B P AP P AP A B -==⇒由此可得1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.（2）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系．另外，在一定条件下，两者是等价的．若矩阵A 与B 正交相似，则它们既是相似也是合同的．对于相似与合同矩阵之等价条件有以下定理，定理9 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A 与B 既相似又合同．证明：设A 与B 的特征根均为n λλλ ,,21因为A 与n 阶实对称矩阵，则一定存在一个n 阶正交矩阵 Q 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AQ Q λλλ..211同理，一定能找到一个正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n BP P λλλ..211从而有BP P AQ Q 11--= 将上式两边左乘P 和右乘1-P ,得()()()1111111-------===QP A QP QP AQP PQ B 由于T Q Q E =,T P P E =,1P P E -=有()()()()1111111T T T T QP QP P Q QP P EP PP E -------====,所以，1-P Q 是正交矩阵，由定理8知A 与B 相似．定理10 若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同． 证明：不妨设A 是正交矩阵，则A 可逆，取U A =,有()()111U ABU A ABA A A BA BA ---===，则AB 与BA 相似，又知A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同．定理11 若A 与B 相似且又合同，C 与D 相似也合同，则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00 既相似又合同． 证明: 因为A 与B ,C 与D 相似，故存在可逆矩阵1P ,2P ，使111122,P AP B P CP D --==,令1200P P P ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则1111200P P P ---⎛⎫= ⎪⎝⎭且10000A B P P C D -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00相似． 又因为A 与B 合同，C 与D 合同,故存在可逆矩阵12,Q Q , 122,T T Q AQ B Q CQ D ==令1200Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭而1200T T T Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭11112222000000000000T T T T T Q Q A A Q Q A Q Q Q Q C C Q Q C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11220000T T B Q AQ D Q CQ ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00合同． 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别1、矩阵等价：a.同型矩阵而言b.一般与初等变换有关c.秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：a.针对方阵而言b.秩相等是必要条件c.本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：a.针对方阵而言，一般是对称矩阵b.秩相等是必需条件c.本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关系最弱、合同与相似是特殊的等价关系.由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立.相似与合同不可互推，需要一定的条件.而且等价是经过有限次初等变换变得；相似不一定会都与对角阵相似，相似矩阵可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；合同可以通过二次型的非退化的线性替换来理解.结束语：矩阵中的这三种关系，在高等代数中是至关重要的，他们既包含着联系，又蕴涵着差别.相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵也不一定是合同矩阵；相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致；秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量，特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量.参考文献：[1]张禾瑞.高等代数[M].北京：高等教育出版社,1983.[2]姚慕生.高等代数学[M].复旦：复旦大学出版社,1999.[3]北大数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1988 .[4]李志惠，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社，2006.[5]同济大学教研室. 线性代数[M].北京：高等教育出版社.，2001.[6]阎家灏.线性代数[M].重庆：重庆大学出版社.，1994.。
两个矩阵等价的条件
两个矩阵等价的条件两个矩阵等价的条件简介在数学中，矩阵是一种非常重要的数学工具，被广泛应用于各个领域，包括线性代数、概率论、统计学等。
在矩阵的应用过程中，判断两个矩阵是否等价是一个常见的问题。
本文将介绍两个矩阵等价的条件。
条件一：维度相同首先，两个矩阵等价的最基本条件是它们的维度相同。
矩阵的维度由其行数和列数决定，只有行数和列数都相等的矩阵才能够进行等价的比较。
条件二：对应元素相等除了维度相同外，两个矩阵等价的另一个重要条件是它们对应位置上的元素相等。
具体而言，对于两个维度相同的矩阵A和B，当且仅当它们的所有对应元素均相等时，才能够被认为是等价的。
这可以表示为以下等式：A(i, j) = B(i, j)其中，A(i, j)代表矩阵A的第i行第j列的元素，B(i, j)代表矩阵B的第i行第j列的元素。
条件三：满足可逆变换除了维度和元素相等外，两个矩阵等价的最重要条件是它们之间存在一种可逆变换关系。
换句话说，如果我们可以通过一系列的基本变换操作，将矩阵A变换成矩阵B，同时又可以通过相同的变换操作将矩阵B变换回矩阵A，那么这两个矩阵就是等价的。
常见的可逆变换操作包括矩阵的加法、减法、乘法、转置等。
通过这些变换操作，我们可以改变矩阵的排列顺序、元素的值，但是不能改变矩阵的维度。
只有当这些变换操作可以互相转换，同时保持矩阵的维度和元素不变时，才能够满足等价的条件。
结论判断两个矩阵是否等价需要满足以下条件： 1. 维度相同； 2. 对应元素相等； 3. 满足可逆变换。
只有当两个矩阵同时满足以上三个条件时，我们才能够认为它们是等价的。
矩阵的等价性在数学和应用中具有重要的意义，在线性代数、图像处理、数据分析等领域都得到广泛应用。
通过判断矩阵的等价性，我们能够进行矩阵的转换、计算和分析，为解决实际问题提供了有力的工具。
总而言之，通过维度、元素相等和可逆变换三个条件，我们能够判断两个矩阵是否等价，进而进行相应的计算和推导。
矩阵的合同-等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。
2、矩阵等价的充要条件：3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
2、矩阵相似的性质：3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。
2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）≅（12,,,m βββ）则有矩阵A,B同型且()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅r()()A r B A B =⇒≅。
3、若r()()A B A r B ≅⇒=⇒两向量组秩相同，⇐两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ≅≠>≅综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
【精编范文】矩阵的合同与相似-范文word版 (18页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==矩阵的合同与相似篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别201X09113 李娟娟一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A?B。
2、矩阵等价的充要条件：A?B?{A.B同型，且人r(A)=r(B) 存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A?BPTAP=B成立，则称A,B合同，记作A?B该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A?B?二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B=P-1AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：AT~BT,Ak~Bk,A-1~B-1(前提，A,B均可逆)|λE-A|=|λE-B|即A,B有相同的特征值（反之不成立）A~B?r(A)=r(B)tr(A)=tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B?(λE-A)?(λE-B)二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A=(λ1,λ2, ,λn)，B=(β1,β2, ,βm)1、若向量组（β1,β2, ,βm）是向量组（λ1,λ2, ,λn）的极大线性无关组,则有m≤n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
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矩阵的三种等价关系摘要本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。
同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。
关键字矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系A matrix of three equivalence relationsAbstractThis paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge.Key wordsmatrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix.0 引言在线性方程组的讨论中我们知道，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象.我们的目的是讨论矩阵的一些基本性质.另外，新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通过中学的选修课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识.这也凸显出矩阵在中学数学中的重要性.为了满足中学生对矩阵知识的渴望和矩阵初学者对矩阵基本性质的需求，我们研究了矩阵的三种基本关系即等价关系、合同关系、相似关系.首先，我们给出矩阵三种等价关系的定义及相关知识；其次，我们探究了矩阵三种等价关系所具有的性质、它们之间的联系以及满足这些关系所保持的量的不变性.同时，我们也提出了矩阵相似的几种等价定义，这可以使初学者更好的判断矩阵的相似性.1 矩阵的三种等价关系的定义1.1 矩阵的三种等价关系定义1.1.1 设矩阵A 、B 是数域P 上的矩阵，矩阵A 与B 称为等价的，如果B 可以由A 经过一系列的初等变换得到。
等价是矩阵之间的一种关系。
不难证明，它具有反身性、对称性与传递性。
定义1.1.2 数域P 上n ×n 矩阵A ，B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n ×n 矩阵C,使AC C B '=合同是矩阵之间的一个关系。
不难看出，合同一定等价，同时合同关系具有 （1）反身性：AE E A '=;（2）对称性：由AC C B '=即得BC C A )'(1-=; （3）传递性：由1111AC C A -=和21'22C A C A =即得 )()'(21212C C A C C A =.定义1.1.3 设A,B 为数域P 山两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级矩阵X ，使得B=X1-AX,就说A 相似于B,记作A ～B.由相似的定义易知相似一定等价.相似作为矩阵之间的一种关系，具有下面三个性质： （1）反身性：A ～A.这是因为AE E A 1-=. （2）对称性：如果A ～B,那么B ～A. 如果A ～B ，那么有X 使AX XB 1-=.令1-=X Y ,就有BY Y XBX A 11--==,所以B ～A.（3）传递性：如果A ～B, B ～C,那么A ～C.已知有X,Y 使AX X B 1-=，BY Y C 1-=.令XY Z =,就有AZ Z AXY X Y C 111---==,因而A ～C综上可知，矩阵的等价、合同、相似是矩阵的三种等价关系。
定义1.1.4 设函数f 定义在矩阵集合M 上，若对于任意两个相似的矩阵A 、B ∈M ，有()(),f A f B =则称f 为相似不变量.1.2 λ—矩阵相关知识为了探究矩阵相似更多的判断方法，我们需要了解一些λ—矩阵的知识.定义1.2 如果λ—矩阵A(λ)中有一个r （r ≥1）级子式不为零，而所有r+1级子式（如果有的话）全为零，则称A(λ)的秩为r.特别的，零矩阵的秩规定为零.定义1.2.2 λ—矩阵A(λ)称为与B(λ)等价，如果可以经过一系列的初等变换将A(λ)化为B(λ).定义1.2.3 设λ—矩阵A(λ)的秩为r ，对于正整数k, 1k r ≤≤,A(λ)中必有非零的k 级子式的首项系数为1的最大公因式()k D λ称为A(λ)的k 级行列式因子.定义1.2.4 标准形的主对角线上非零元素12(),(),,()r d d d λλλ称为λ—矩阵A(λ)的不变因子.定义1.2.5 把复数域上的矩阵A 的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A 的初等因子.定理 1.2.1 两个λ-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.定理1.2.2 矩阵()A λ可逆的充要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积.推论 两个s n ⨯的λ-矩阵()A λ与()B λ等价的充要条件是，有一个s s ⨯可逆的矩阵()P λ与一个n n ⨯可逆的()Q λ，使()()()()B P A Q λλλλ=引理1.2.1 如果有n n ⨯数字矩阵0P ，0Q 使00()E A P E B Q λλ-=-，则A 与B 相似. 证明 因000000()P E B Q P Q P BQ λλ-=-,它又与E A λ-相等，进行比较后应有0000,P Q E P BQ A ==.由此100Q P -=，而100A P BP -=.故A 与B 相似.引理1.2.2 对于任何不为零的n n ⨯数字矩阵A 和λ—矩阵()U λ与()V λ，一定存在λ—矩阵()Q λ与()R λ以及数字矩阵0U 与0V 使0()()()U E A Q U λλλ=-+ （1） 0()()().V R E A V λλλ=-+证明 把()U λ改写成1011()m m m m U D D D D λλλλ--=++++这里都01,,,m D D D 是n n ⨯数字矩阵，而且00.D ≠如0,m =则令()0Q λ=及00,U D =它们显然满足引理2的要求. 设0,m >令120121()m m m m Q Q Q Q Q λλλλ----=++++这里j Q 都是待定的数字矩阵.于是1010112 1.()()()()()m m m k k k m m m E A Q Q Q AQ Q AQ Q AQ AQ λλλλλλ-------=+-++-++--要想使(1)式成立，只需取00110221111201,,,,,.k k k m m m m m Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ -----==+=+=+=+=+就行了.用完全相同的办法可以求得和.引理证毕.2 三种等价关系的性质性质2.1 A 等价于B 的充要条件是秩（A ）=秩（B ） 性质2.2 设A 为m ×n 矩阵，秩（A ）=r ，则A 等价于⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE ，即存在m 级可逆矩阵P ，n 级可逆矩阵Q ，使⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000rE PAQ . 性质 2.3 (Schur 定理) 任何n 级复方阵A 必相似于上三角形矩阵，即A 相似于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλ0*1其中n λλ,,1 为矩阵A 的特征值.证明 （数学归纳法）当n=1时，结论显然成立。
假设对于n-1级复矩阵，结论成立。
对于n 级复方阵A 的情形：设1λ是A 的一个特征值，1α是相应的特征向量，则111αλα=A . 把1α扩充为nC 的一组基n ααα,,,21 ，令P=(n ααα,,,21 ),则P 可逆. 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====---001111111111 λλαλαe P A P APe P从而，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-111A AP P βλ,其中β为n-1维行向量，1A 为n-1级复方阵. 对1A 由归纳假设可得存在可逆矩阵1P 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n P A P λλ0*21111 ，其中n λλ,,2 为1A 的特征值. 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A Q ,则Q 可逆且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n Q A Q λλβλ0*01111 ， 令,PQ T =则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n AT T λλ0*11由数学归纳法知，对于任意的n 级复方阵A 必相似于上三角形矩阵.□ 注a 设矩阵A ∈nn R⨯，A 的特征值全是实数，则存在实n 级可逆矩阵P 使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n AP P λλ0*11 .注b 若A ∈nn R ⨯,A A =',则A ～⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλ 1. 性质2.4 设A 、B ∈nn C ⨯，AB=BA,则存在n 级可逆矩阵T ，使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n AT T λλ0*11 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n BT T μμ *11，其中n λλ,,1 为矩阵A 的特征值，n μμ,,1 为矩阵B 的特征值. 证明 （数学归纳法）当n=1时，结论显然成立.只需令T=E 即可.假设对n-1级复方阵，结论成立. 对于n 级方阵A 、B 的情形：因为AB=BA ，则A 、B 有公共的特征向量1α，并且111111,αμααλα==B A . 由扩基原理把1α扩充为nC 的一组基n ααα,,,21 . 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11121210),,(),,(A A n n βλαααααα ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12121210),,(),,(B B n n βμαααααα 其中21,ββ为n-1维行向量，11,B A 为n-1级复方阵. 令P=(n ααα,,,21 )，则P 可逆且⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1111A AP P βλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-12110B BP P βμ. 因为AB=BA ，所以1111A B B A =.由归纳假设，存在n-1级可逆矩阵1P ，使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n P A P λλ0*21111 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n P B P μμ0*21111 .令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001P Q ,则Q 可逆.则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n Q A Q APQ P Q λλβλ0*01111111 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---n Q B Q BPQ P Q μμβμ0*01121111 .令T=PQ,则T 可逆并且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n AT T λλ0*11 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n BT T μμ0*11性质2.5 设A 、B 都是n 级方阵，则以下条件等价：①A ～B ；②E A λ-等价于E B λ-； ③A 、B 有相同的不变因子；④A 、B 是n 维线性空间中同一线性变换在不同基下所对应的矩阵； ⑤E A λ-与E B λ-有相同的标准形； ⑥A 、B 有相同的初等因子.性质2.6 设A ～B ，则有以下结论成立： ①A B =； ②()()tr A tr B =； ③秩(A)=秩(B)； ④E A E B λλ-=-;⑤A 等价于B ；⑥f(A)=f(B),f(x)为多项式； ⑦A 、B 的最小多项式相同.性质2.7 对称矩阵A 、B 合同的充要条件是二次型'()f x X AX =与()'g y Y BY =等价，即()f x 可经非退化的线性替换X CY =化为()g y ，而()g y 可经1Y C X -=化为()f x 。