5第五章一元线性回归的假设检验解析

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【计量经济学】第五章精选题与答案解析

第五章异方差二、简答题1．异方差的存在对下面各项有何影响？（1）OLS 估计量及其方差；（2）置信区间；（3）显著性t 检验和F 检验的使用。

2．产生异方差的经济背景是什么？检验异方差的方法思路是什么？3．从直观上解释，当存在异方差时，加权最小二乘法（WLS ）优于OLS 法。

4．下列异方差检查方法的逻辑关系是什么？（1）图示法（2）Park 检验（3）White 检验5．在一元线性回归函数中，假设误差方差有如下结构：()i i i x E 22σε=如何变换模型以达到同方差的目的？我们将如何估计变换后的模型？请列出估计步骤。

三、计算题1．考虑如下两个回归方程（根据1946—1975年美国数据）（括号中给出的是标准差）：t t t D GNP C 4398.0624.019.26-+=e s ：（2.73）（0.0060）（0.0736）R ²=0.999t t t GNP D GNP GNP C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4315.06246.0192.25 e s ：（2.22）（0.0068）（0.0597）R ²=0.875式中，C 为总私人消费支出；GNP 为国民生产总值；D 为国防支出；t 为时间。

研究的目的是确定国防支出对经济中其他支出的影响。

（1）将第一个方程变换为第二个方程的原因是什么？（2）如果变换的目的是为了消除或者减弱异方差，那么我们对误差项要做哪些假设？（3）如果存在异方差，是否已成功地消除异方差？请说明原因。

（4）变换后的回归方程是否一定要通过原点？为什么？（5）能否将两个回归方程中的R ²加以比较？为什么？2．1964年，对9966名经济学家的调查数据如下：资料来源：“The Structure of Economists’ Employment and Salaries”, Committee on the National Science Foundation Report on the Economics Profession, American Economics Review, vol.55, No.4, December 1965.（1）建立适当的模型解释平均工资与年龄间的关系。

线性回归模型的经典假定及检验修正

线性回归模型的经典假定及检验、修正一、线性回归模型的基本假定1、一元线性回归模型一元线性回归模型是最简单的计量经济学模型，在模型中只有一个解释变量，其一般形式是Y =β0+β1X 1+μ其中，Y 为被解释变量，X 为解释变量，β0与β1为待估参数，μ为随机干扰项。

回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）尽可能准确地估计总体回归函数（模型）。

为保证函数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。

假设1：回归模型是正确设定的。

模型的正确设定主要包括两个方面的内容：（1）模型选择了正确的变量，即未遗漏重要变量，也不含无关变量；（2）模型选择了正确的函数形式，即当被解释变量与解释变量间呈现某种函数形式时，我们所设定的总体回归方程恰为该函数形式。

假设2：解释变量X 是确定性变量，而不是随机变量，在重复抽样中取固定值。

这里假定解释变量为非随机的，可以简化对参数估计性质的讨论。

假设3：解释变量X 在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无限增加，解释变量X 的样本方差趋于一个非零的有限常数，即∑(X i −X ̅)2n i=1n→Q,n →∞ 在以因果关系为基础的回归分析中，往往就是通过解释变量X 的变化来解释被解释变量Y 的变化的，因此，解释变量X 要有足够的变异性。

对其样本方差的极限为非零有限常数的假设，旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往产生伪回归问题。

假设4：随机误差项μ具有给定X 条件下的零均值、同方差以及无序列相关性，即E(μi|X i)=0Var(μi|X i)=σ2Cov(μi,μj|X i,X j)=0, i≠j随机误差项μ的条件零均值假设意味着μ的期望不依赖于X的变化而变化，且总为常数零。

该假设表明μ与X不存在任何形式的相关性，因此该假设成立时也往往称X为外生性解释变量随机误差项μ的条件同方差假设意味着μ的方差不依赖于X的变化而变化，且总为常数σ2。

第五章线性回归模型的假设与检验

⎟⎟⎠⎞
于是
βˆ1 = ( X1′X1)−1 X1′y1 ， βˆ2 = ( X 2′ X 2 )−1 X 2′ y2
应用公式(8.1.9)，得到残差平方和
和外在因素.那么我们所要做的检验就是考察公司效益指标对诸因素的依赖关系在两个时间段上是否有了变化,也就是所谓经济结构的变化.又譬如,在生物学研究中,有很多试验花费时间比较长,而为了保证结论的可靠性,又必须做一定数量的试验.为此,很多试验要分配在几个试验室同时进行.这时,前面讨论的两批数据就可以看作是来自两个不同试验室的观测数据,而我们检验的目的是考察两个试验室所得结论有没有差异.类似的例字还可以举出很多.
而刻画拟合程度的残差平方和之差 RSSH − RSS 应该比较小.反过来,若真正的参数不满足
(5.1.2),则 RSSH − RSS 倾向于比较大.因此,当 RSSH − RSS 比较大时,我们就拒绝假设(5.1.2),
不然就接受它.在统计学上当我们谈到一个量大小时,往往有一个比较标准.对现在的情况,我
们把比较的标准取为 RSS .于是用统计量 (RSSH − RSS) RSS 的大小来决定是接受假设
(5.1.2),还是拒绝(5.1.2). 定理 5.1.1 对于正态线性回归模型(5.1.1)
(a )
RSS
σ2
~
χ2 n− p
(b )
若假设(8.1.2)成立,则 (RSSH
− RSS)
σ2
~
χ2 n− p
得愈好.现在在模型(5.1.1)上附加线性假设(5.1.2),再应用最小二乘法,获得约束最小二乘估计
βˆH = βˆ − ( X ′X )−1 A′( A( X ′X )−1 A′)−1 ( Aβˆ − b)

5第五章一元线性回归的假设检验

经典线性回归模型：classical liner regression model ,CLRM 一、9个假定二、优良估计量应当具备的性质三、假定的意义返回
一、9个假定
1、零均值假定 2、同方差假定 3、无自相关假定 4、随机误差项和解释变量不相关假定 5、正态性假定 6、样本容量N>待估参数个数 7、解释变量 X值有变异性 8、无多重共线性假定 9、参数线性假定
1
注 : Var (Yi ) Var (b0 b1 X i i ) Var ( i ) 2
ˆ 证：Var (b1 ) Var (K i Y） i K i2Var Yi） 2 K i2 （（
2
xi x xi2
2 i
）（
xi x
2 i
）
X
散点图
同方差假定
假定2：随机误差项方差相同
VAR ( i ) , 随机误差项的方差俱为
2
2
即与给定X相对应的Y值以相同方差分布在其条件均值周围。如果不满足这个假定，即为“异方差” 异方差的图示
异方差的图示
X=1000时，Y的分布更靠拢均值。即方差相对较小。
线性估计值
所有的估计值
返回
1、线性性：参数估计量是被解释变量Yi的线性组合：
ˆ ˆ b1、b0都是Yi的线性函数
ˆ xi yi xi (Yi Y ) xiYi (xi ) Y xi Y b1 i 2 2 xi2 xi2 xi2 xi xi
第五章：一元线性回归模型的假设检验
目录
第一节经典线性回归模型的基本假定第二节 OLS估计量的性质：高斯-马尔可夫定理第三节一元线性回归模型的假设检验第四节预测第五节 eviews软件入门和综合案例考核要求和作业

计量经济学5一元线性回归：假设检验和置信区间

Chapter 5Regression with a Single Regressor: Hypothesis Tests andConfidence Intervals 一元线性回归：假设检验和置信区间假设检验和置信区间概述 • 当知道 OLS 估计量的样本分布，就可以对β1 进行假设检验，以及求取其置信区间。

本章内容将涉及以下问题： Also, we will cover some loose ends about regression: • 当 X 是二元回归变量情形 • 异方差(Heteroskedasticity)和同方差( homoskedasticity) • OLS 估计量的有效性 • t 统计量在假设检验中的应用2回顾z 根据样本数据了解总体回归线斜率的有关信息的步骤如下：1. 界定关注研究对象。

2. 在一定假设为前提，得到估计量的样本分布。

3. 估计样本分布的离散程度，即计算出 OLS 估计量的标准误差(SE)。

4. 用估计量βˆ1得到点估计，结合标准误差进行假设检验和构造置信区间。

3研究对象：β1Yi = β0 + β1Xi + ui, i = 1,…, n β1 = ΔY/ΔX最小二乘假设：1. E(u|X = x) = 0.2. (Xi,Yi), i =1,…,n, 为 i.i.d.3. 不大可能存在异常值 (E(X4) < ∞, E(Y4) < ∞.βˆ1 的抽样分布为: 当上述最小二乘假设成立时，若 n 为大样本， βˆ1近似服从：βˆ1~N⎛ ⎜β1,⎝σ2 vnσ4 X⎞ ⎟,其中vi=(Xi–μX)ui⎠4关于某个回归系数的检验要根据样本数据检验一个关于斜率真值的假设，例如β1 = 0，步骤为： z 原假设对应双边备择假设为：H0: β1 = β1,0 ；. H1: β1 ≠ β1,0 原假设含义为假设总体斜率β1 的真值为某个具体值β1,0z 原假设对应单边备择假设为： H0: β1 = β1,0 ； H1: β1 < β1,05一般方法:计算 t 统计量，计算 p 值（或者与 N(0,1)的临界值进行比较）• 一般形式:t=估计量 -假设值估计量的标准误差• 对于检验 Y 的均值 :t = Y − μY ,0 sY / n• 对于检验 β1,t=βˆ1 − β1,0 SE ( βˆ1 ),其中 SE(βˆ1)为βˆ1的标准误差σ βˆ1 的估计值，是βˆ1抽样分布的标准差。

一元线性回归假设检验与预测

第五章双变量回归:区间估计与假设检验5.1 引言我们首先简要复习概率统计中关于假设检验的内容.1.假定随机变量X 有概率密度函数（PDF ）θθ),,(x f 为分布参数。

从总体中抽取样本可得到参数估计为θˆ（如0.5，或1.2等），这是通过样本所得到的是参数的点估计，而真正的θ 一般是未知的，问题在于：估计量θˆ是否与总体真值或某个特定的或假设的*θ相等即*ˆθθ=，如假定*θ为总体真值，而样本是从总体中随机抽取，由此，接受*ˆθθ=就意味着我们的样本是来自于对应的总体，于是检验假设*θθ=，就是回答这一类问题。

用术语表示，对于原假设H 0：*θθ=，与之相对立的称为备选假设，记为H A ：*θθ≠，显然，这种原假设和备选假设为简单的相等和不相等，称为复合（备）假设，因为拒绝原假设不能回答是*θθ>还是*θθ<，而类似于*θθ=对*θθ>称为简单假设。

于是对于所得到的估计量，我们以上的假设表述为H 0：*θθ= H A ：*θθ≠ （5.1）要检验这种原对备选假设，必须使用样本信息，构造一个合适的统计量，并且原假设下这种统计量的抽样分布必须已知。

最后，为检验H 0对H A ，我们首先应所选定一个显著性水平，根据统计量的抽样分布而查对应的临界值表而得到相应的临界值，若所计算的统计量值小于这一临界值，或者说统计量值落入接受（原假设）域，则不拒绝H 0，否则拒绝H 0而倾向于接受备选假设H A 。

2.置信区间法。

思想: 对于样本X i ，，i =1，2，…，n ，来自于正态总体),(2σμN ，且相互独立，构造一个基于样本信息的区间，使总体分布参数(以均值为例)以较大的可能性落入这一区间. 则这一区间为置信区间. 根据中心极限定理，有)/,(~2n N X σμ 置信区间构造的思想是，对于X 的正态分布，建立它的一个100（1－α）的置信区间，使这一区间包含了μ的置信水平（概率）为100（1－α）。

第五章一元线性回归

这三个准则也称作估计量的小样本性质。
拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（best liner unbiased estimator, BLUE）。当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的大样本或渐近性质：（4）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的均值序列趋于总体真值；（5）一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率收敛于总体的真值；（6）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。
i
X )
1 n

ei
可得
ˆ ˆ yi 1xi
Hale Waihona Puke (**)（**）式也称为样本回归函数的离差形式。
三、参数估计的最大或然法(ML)
最大或然法(Maximum Likelihood,简称ML)，也称最大似然法，是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大或然原理出发发展起来的其它估计方法的基础。基本原理：对于最大或然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。
ˆ ˆ 0 Y 0 X 1567
0 . 777 2150
103 . 172
因此，由该样本估计的回归方程为：
ˆ Y i 103 . 172 0 . 777 X
i
四、最小二乘估计量的性质
当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性：（1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数；（2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；（3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。

一元线性回归分析

一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。

本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。

1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。

通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。

1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。

2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。

2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。

- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。

- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。

- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。

3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。

3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。

根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。

3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。

通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。

3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。

常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。

4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。

5.2一元线性回归中的假设检验和预测

§5.2 一元线性回归中的假设检验和预测一元线性回归中的假设检验（1）假设检验的必要性①上一节推导出的回归系数的最小二乘估计（5.1-8）式，对Y x ,的任何一组数据),21(),(n ,,i y ,x i i =均适用，即使Y x ,之间毫无关系。

如果这样，求得的回归直线方程就没有任何意义。

因此，求得回归直线后还需要检验Y x ,之间是否真的有统计线性相关关系——一元线性回归的模型检验。

②回归系数10β,β的最小二乘估计∧∧10β,β只是由Y x ,的n 对观测值),21(),(n ,,i y ,x i i =求得的，此估计值到底在什么程度上适于Y x ,之间的真正关系？因此，需对参数是否取为其估计值作假设检验——一元线性回归的参数检验。

（2）一元线性回归的模型检验为对Y x ,之间满足一元正态线性回归模型：⎩⎨⎧++=)(~210ζ0,N εx ββY ε )315(-.这一假设的合理性进行严格的检验，需要检验三点:①在x 的各取值点处，Y 都服从正态分布，期望值依赖于x ，且方差都相同；②在x 的各取值点处，Y 的期望是x 的线性函数；③在x 的各取值点处，相应的Y 是相互独立的。

可见，进行完全的严格检验并不容易。

而引起线性回归不显著的原因主要有以下三点：①除变量x 外，还有其它重要变量影响Y 的取值，故当x 取定时，Y 不能服从正态分布；②Y x ,之间不是线性相关关系，而是某种非线性相关关系；③Y 的取值根本与x 的取值无关。

在上述情况之一出现时，若对Y x ,配以线性回归模型，均会有0β1=，即ε+=0βY . 因此，对线性回归模型显著性的检验可以简化处理为对 0β:H 10=是否成立的检验。

方法如下：①作假设0β:H 0β:H 1110≠↔= ②检验统计量及其分布由定理 5.1.3知：)2(~--∧∧n t L ζββxx *11 ，故当 0H 成立时有)2(0-=∧∧n t ~L ζβT H xx *1以此为检验统计量，且由Y x ,的一组观测值),21(),(n ,,i y ,x i i =可以求得T的观测值。

计量经济学一元线性回归模型的基本假设

• 正态性假设。The μ’s follow the normal distribution.
i ~ N (0, 2 ) i ~ NID(0, 2 )
5、CLRM 和 CNLRM
• 以上假设（正态性假设除外）也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。 • 同时满足正态性假设的线性回归模型，称为经典正态线性回归模型（Classical Normal Linear Regression Model, CNLRM）。
由模型设定正确假设推断。
• 同方差假设。The conditional variances of μi are identical.(Homoscedasticity)
Var(i X i ) , i 1, 2,, n
2
是否满足需要检验。
• 序列不相关假设。The correlation between any two μi and μj is zero.
2、关于解释变量的假设
• 确定性假设。X values are fixed in repeated sampling. More technically, X is assumed to be nonstochastic.
• 与随机项不相关假设。The covariances between Xi and μi are zero.
1、关于模型关系的假设
• 模型设定正确假设。The regression model is correctly specified. • 线性回归假设。The regression model is linear in the parameters。

一元线性回归方程回归系数的假设检验方法

一元线性回归方程回归系数的假设检验方法
一元线性回归方程是一种统计学方法，用于研究两个变量之间的关系。

它可以
用来预测一个变量（被解释变量）的值，另一个变量（解释变量）的值已知。

回归系数是一元线性回归方程的重要参数，它可以用来衡量解释变量对被解释变量的影响程度。

回归系数的假设检验是一种统计学方法，用于检验回归系数是否具有统计学意义。

它的基本思想是，如果回归系数的值不是0，则表明解释变量对被解释变量有
显著的影响，反之则表明解释变量对被解释变量没有显著的影响。

回归系数的假设检验一般采用t检验或F检验。

t检验是检验单个回归系数是
否具有统计学意义的方法，而F检验是检验多个回归系数是否具有统计学意义的方法。

在进行回归系数的假设检验时，首先要确定检验的显著性水平，一般为0.05
或0.01。

然后，根据检验的类型，计算t值或F值，并与检验的显著性水平比较，如果t值或F值大于显著性水平，则拒绝原假设，即认为回归系数具有统计学意义；反之，则接受原假设，即认为回归系数没有统计学意义。

回归系数的假设检验是一种重要的统计学方法，它可以用来检验回归系数是否
具有统计学意义，从而更好地理解解释变量对被解释变量的影响程度。

一元线性回归假设检验

Y1 0 1X11 2 X12 m X1m 1 Y2 0 1X 21 2 X 22 m X 2m 2 Yn 0 1X n1 2 X n2 mX nm n
Y X
Y1
Y
Y2 Yn
,
1
X
1 1
X11 X 21
X n1
X1m
X 2m
X nm
3
31
32
0
0
0
3
3
1
3
4 41 42 43 0 04 4 4
5
0
0
0
54
0
5
0
5
观测方程组
结构方程组
B
K (t)
t t j xt j xt j 1
xt t t xt
t 1, , k t 1, , k
L(i)
i i j yi j yi i 1, , m j 1
模型最小二乘
Y 0 1X
n
(Yi 0 1X i )2 min
i1
~ N (0, 2 )
参考文献1
2020/6/24
2
一、回归常识
1、一元线性回归（参数估计）
2020/6/24
n
S(0 , 1) (Yi 0 1X i )2
i1
S
0
n
2 (Yi
i1
0 1X i ) 0
潜变量的效应分析与循环效应及应用论文写作
一、回归常识与结构方程模型
二、交互效应调节效应中介效应：原理、检验与复合
目录
三、一般效应分析的DASC计算四、循环效应：原理、图示、DASC计算
五、效应分析的应用与论文写作
六、附录：联立方程模型与二阶段LSE

一元线性回归：假设检验和置信区间

将标准误差置于相应的回归系数估计值下面，并用括号括起. TestScore = 698.9 – 2.28STR, R2 = .05, SER = 18.6 (10.4) (0.52) 这一表述给出了很多信息回归线估计为 TestScore = 698.9 – 2.28STR ˆ 的标准误差为 10.4
置信区间: （以1 为例）
ˆ ±1.96×SE( ˆ )} 1 的 95% 置信区间为 { 1 1 这是在 5%水平下不能被拒绝的1 取值集合在所有样本中有 95%样本构造的 95% CI 包含了真实的1 取值.
15
5.3 X为二元变量时的回归
有时候回归变量是二元的（只取两个值）
2 ˆ
1 n 2 ˆi v n 2 i 1
1
1
1
这个公式看着令人有些讨厌，但: 事实上并没有看上去的那样复杂，其中分子估计的是 var(v), 分母估计的是 var(X). 为什么自由度调整为 n – 2? 因为有两个系数 (0 和 1)是估计的. ˆ )是由回归软件计算的 SE(
1
首先纵观全局（和复习）
我们想利用样本数据（故存在抽样不确定性）了解总体回归线的斜率. 要完成这个目的可以分以下四步: 1. 准确描述感兴趣的总体对象 2. 导出估计量的抽样分布 (这需要作某些假设) 3. 仅利用手头的样本信息估计抽样分布的方差 ( CLT 告诉我们当 n 较大时我们想要了解的一切) ，即找出估计量的标准误差 (SE) ˆ )得到点估计及其 SE, 假设检验和置信 4. 利用估计量 ( 1 区间.
18
置信区间、假设检验
总结: 当 Xi 为二元变量(0/1)时的回归
Yi = 0 + 1Xi + ui 0 = 当 X = 0 时 Y 的均值 0 + 1 = 当 X = 1 时 Y 的均值 1 =组均值之差, 即 X =1 的组均值- X = 0 的组均值 ˆ ) 的解释同前 SE(

简述一元线性回归模型的基本假定

简述一元线性回归模型的基本假定一元线性回归模型是一种有效的统计分析方法，用于分析自变量与因变量之间存在的关系。

它是为了识别变量之间的规律，以便作出相应的决策而建立的，它也是经济学的基本模型之一。

一元线性回归模型的基本假定有5点，分别是：线性性假设，独立性假设、正态分布性假设、常数方差假设、自变量的足够性假设。

首先，线性性假设即因变量与自变量之间有线性关系，即可以表示为Y=α+βX+ε，ε表示模型中不可避免的噪声项，α和β分别是截距和斜率参数，X表示解释变量。

其次，独立性假设即解释变量与因变量之间不存在线性联系，也就是说，两个变量之间不存在多重共线性或共线关系，即不存在复共变量情况。

第三，正态分布性假设即变量的残差项ε服从正态分布，其均值为0，方差为σ^2。

，残差的分布也和X无关。

第四，常数方差假设即残差的方差σ^2不依赖于解释变量X，且为一个常数值。

最后，自变量的足够性假设即模型解释变量足够，即只用剩下的解释变量X来解释因变量Y，而不需要额外添加其他解释变量。

以上为一元线性回归模型的基本假定，在进行统计分析时必须确保这些假定才能得到有意义的结果。

一元线性回归模型的基本假定受到各种因素的影响，比如模型的复杂度、模型的容量、解释变量的数量、解释变量的组合等。

因此，模型假定的确定是一件费时费力的事情，但只有当假定满足时，才能推出有效的统计结论。

一元线性回归模型拥有许多基本假设，它们是模型结果有效性的基础。

满足这些假定意味着模型结果有效，而不满足这些假定意味着模型结果无效。

因此，在使用一元线性回归模型进行分析前，必须确保这些假定满足，否则将得不到有效的结果。

因此，一元线性回归模型的基本假定有线性性、独立性、正态分布性、常数方差、自变量的足够性，一元线性回归模型的统计分析结果的有效性取决于这些假定的满足情况，因此，在使用一元线性回归模型时，必须确保这些假定满足，以得到准确的结果。

线性回归分析

这里着重讨论简单而又最一般的线性回归问题，这是因为许多非线性的情形可以化为线性回归来做。多元线性回归分析的原理与一元线性回归分析完全相同，但在计算上却要复杂得多。
第五节多元线性回归分析
一、多元线性回归分析概述
多元线性回归模型
y 0 1x1 2x2 L mxm
式中β0 β1 β2 … βm 为〔偏〕回归系数多元线性回归方程
由x预测y时，y有一定的误差，其标准误差为：
sy se
1 1 x x 2
n SSx
因此由x预测y时，y 的95%置信区间为：
yˆ t0.05 sy
实例：由x预测y的预测区间
第一步：计算当x=2500时， y 的点估计值：
yˆ 190.955 0.094868 2500 428.125
实例：t 检验
dfe n 2 10 2 8， t0.05 2.306，t0.01 3.355 | t | 18.14 t0.01 3.355
结论：回归关系极显著，可得线性回归方程
yˆ 190.955 0.094868x
用光照强度来预测净光合强度是合理的。
第四节预测值的置信区间
C(i+1)(i+1)为矩阵(X’X)-1的(i+1)(i+1)元素 Q 为误差平方和，自由度：df=n-m-1
第五节多元线性回归分析
2、回归系数的假设检验
2〕F检验原假设 H0 ：βi＝0
统计量为： F
Ui
bi2 / c(i1)(i1)
Q / n m 1 Q / n m 1
其中：Ui 为xi对y的回归平方和，Q 为误差平方和 C(i+1)(i+1)为矩阵(X’X)-1的(i+1)(i+1)元素自由度：df1 = 1 df2 = n-m-1

一元线性回归方程检验

一元线性回归方程检验
回归方程的概念是在统计学中被广泛使用的概念，它用于预测和解释变量之间的关系。
一元线性回归方程的定义
回归方程
一元线性回归方程是描述两个变量之间线性关系的数学模型。
变量关系
它表示一个变量如何随着另一个变量的变化而变化。
斜率和截距
通过回归方程的斜率和截距可以计算两个变量之间的线性关系。
归方程是否显著。
3
计算F统计量
通过计算F统计量，可以评估整个回归方程的显著性。
拒绝或接受
根据F统计量的大小和显著性水平，可以拒绝或接受回归方程的显著性。
使用t检验进行回归方程的参数估计
t检验
t检验可用于估计回归方程的参数，并检验这些参数的显著性。
参数估计
通过t检验可以得到一元线性回归方程的截距和斜率的估计值。
回归方程的假设检验
1 零假设
回归方程的假设检验需要建立一个零假设，来测试回归方程参数的显著性。
2 显著性水平
根据显著性水平确定的临界值，可以判断回归方程的参数估计是否符合显著性要求。
3 统计检验
使用统计检验方法，如t检验，对回归方程进行显著性检验。
检验回归方程的显著性

1
F分布
2
将F统计量与F分布进行比较，以确定回
数据分析
通过数据分析，计算回归方程的参数估计和回归方程的显著性。
假设检验
使用假设检验方法，对回归方程的参数进行显著性检验。
对一元线性回归方程做显著性检验
假设检验
使用t检验对回归方程的截距和斜率进行显著性检验，以确定其是否显著。
计算标准误差
通过计算标准误差，可以评估回归方程的参数估计的可靠性。

一元线性回归方程的计算和检验

一元线性回归方程的计算和检验一元线性回归方程的计算和检验（1）从键盘输入一组数据（x i ，y i ），i=1,2,…n 。

（2）计算一元线性回归方程y=ax+b 的系数a 和b ，用两种方法计算：一是公式：x a y b x x y y x x a iii -=---=∑∑,)())((2；二是用最小二乘法的公式求出最小值点（a,b ）,使∑--=2)(min },(b ax y b a Q i i .（3）检验回归方程是否有效（用F 分布检验）。

（4）把散列点（x i ，y i ）和回归曲线y=ax+b 画在一个图上。

（5）每种计算法都要有计算框图，且每种计算法都要编成一个自定义函数。

程序：function yiyuanhuiguiclc;disp('从键盘输入一组数据:');x=input('X 的数(以向量形式输入)：');y=input('Y 的数(以向量形式输入)：');disp('一元线性回归方程的计算和检验：');disp('1、公式法');disp('2、最小二乘法');disp('3、检验并画图');disp('0、退出');global a0 b0;while 3num=input('选择求解一元回归方程的方法：');switch numcase 1[a0,b0]=huigui(x,y)case 2[a0,b0]=zxec(x,y)case 3break;case 0return;otherwisedisp('输入错误，请重新输入!');endendX=x';Y=y';X=[ones(size(X)),X];alpha=0.5;%输出向量b ，bint 为回归系数估计值和它们的置信区间；%r1，rint 为残差及其置信区间，stats 是用于检验回归模型的统计量,第一个是R^2，其中R %是相关系数，第二个是F 统计量值，第三个是与统计量F 对应的概率P ，第四个是估计误差方差[b,bint,e,rint,stats]=regress(Y,X)if stats(3)<α时拒绝h0，回归模型成立disp('一元回归方程有效！');<="" p="">endn=[min(x):0.1:max(x)];f=a0*n+b0;plot(x,y,'b.',n,f,'r'),grid on,hold on; %画出散列点和一元线性回归图像xlabel('x');ylabel('y');legend('散列点','一元线性回归图像');title('散列点和一元线性回归图像');end%*****************************公式法function [a0,b0]=huigui(x,y)n=length(x);x1=0;y1=0;for i=1:nx1=x1+x(i);y1=y1+y(i);endx0=x1/n; %求得平均y0=y1/n;a1=0;a2=0;for j=1:na1=a1+(x(j)-x0)*(y(j)-y0);a2=a2+(x(j)-x0)*(x(j)-x0);enda0=a1/a2;b0=y0-a0*x0;x2=min(x):0.05:max(x);y2=a0*x2+b0;end%***************************** 最小二乘法function [a0,b0]=zxec(x,y)m=length(x);R=[x' ones(m,1)];a=R\y';a0=a(1);b0=a(2);end。

一元线性回归的基本假设有哪些

一元线性回归的基本假设有哪些，数学表达式如何1回归模型是正确设定的2解释变量X是确定性变量，不是随机变量，在重复抽样中取固定值E(μi)=0 i=1,2, …,nVar (μi)=σμ2 i=1,2, …,nCov(μi, μj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n3解释变量X在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无限增加，解释变量X 的样本方差趋于一个非零的有限常数Cov(X i, μi)=0 i=1,2, …,n4随机误差项μ具有给定X条件下的零均值，同方差以及不序列相关性μi~N(0, σμ2) i=1,2, …,n5随机误差项与解释变量之间不相关6随机误差项服从零均值，同方差的正态分布回归分析主要内容：1根据样本观察值对计量经济学模型参数进行估计，求得回归方程2对回归方程，参数估计值进行显著性检验3利用回归方程进行分析，评价及预测虚拟变量的设置原则，引入方法和模型具体形式写出1）如果一个定性因素有m方面的特征，则在模型中引入m-1个虚拟变量（2）如果模型中有m个定性因素，而每个定性因素只有两方面的属性或特征，则在模型中引入m个虚拟变量；如果定性因素有两个及以上个属性，则参照“一个因素多个属性”的设置虚拟变量。

（3）虚拟变量取值应从分析问题的目的出发予以界定；（4）虚拟变量在单一方程中可以作为解释变量也可以作为被解释变量。

）（1）加法方式：其作用是改变了模型的截距水平；（2）乘法方式：其作用在于两个模型间的比较、因素间的交互影响分析和提高模型的描述精度；（3）一般方式：即影响模型的截距有影响模型的斜率。

计量经济学建模步骤答：建立与应用计量经济学模型的主要步骤包括：①设定理论模型，包括选择模型所包含的变量，确定变量之间的数学关系和拟定模型中待估参数的数值范围；②收集样本数据，要考虑样本数据的完整性、准确性、可比性和一致性；③估计模型参数；④检验模型，包括经济意义检验、统计检验、计量经济学检验和模型预测检验。

一元线性回归模型及其假设条件

§4.2 一元线性回归模型及其假设条件 1．理论模型 y=a+bx+εX 是解释变量，又称为自变量，它是确定性变量，是可以控制的。

是已知的。

Y 是被解释变量，又称因变量，它是一个随机性变量。

是已知的。

A,b 是待定的参数。

是未知的。

2．实际中应用的模型x b a yˆˆˆ+= aˆ，b ˆ，x 是已知的，y ˆ是未知的。

回归预测方程：x b a y += a ,b称为回归系数。

若已知自变量x 的值，则通过预测方程可以预测出因变量y 的值，并给出预测值的置信区间。

3．假设条件ε满足条件：（1）E （ε）=0；（2）D （εi ）=σ2；（3）Cov (εi ,εj )=0,i ≠j ; (4) Cov (εi ,εj )=0 。

条件（1）表示平均干扰为0；条件（2）表示随机干扰项等方差；条件（3）表示随机干扰项不存在序列相关；条件（4）表示干扰项与解释变量无关。

在假定条件（4）成立的情况下，随机变量y ～N （a+bx ，σ2）。

一般情况下，ε～N （0，σ2）。

4．需要得到的结果aˆ，b ˆ，σ2§4.3 模型参数的估计 1．估计原理回归系数的精确求估方法有最小二乘法、最大似然法等多种，我们这里介绍最小二乘法。

估计误差或残差：y y e iii-=，x b a yi+=，e e y y iiiix b a ++=+=（5.3—1）误差e i 的大小，是衡量a 、b好坏的重要标志，换句话讲，模型拟合是否成功，就看残差是否达到要求。

可以看出，同一组数据，对于不同的a 、b有不同的e i ，所以，我们的问题是如何选取a 、b使所有的e i 都尽可能地小，通常用总误差来衡量。

衡量总误差的准则有：最大绝对误差最小、绝对误差的总和最小、误差的平方和最小等。

我们的准则取：误差的平方和最小。

最小二乘法：令 ()()∑∑---∑======ni ni ni ix b a y y y e i ii i Q 112212（5.3—2）使Q 达到最小以估计出a、b的方法称为最小二乘法。