多种微分方程数值计算方法分析
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
要求 方程 解 具有 良好 的光 滑性 质 。反 之 ， 果解 的光 如
ห้องสมุดไป่ตู้
库塔方 法 （ ｕ ｇ— ｕｔ） Ｒ ｎｅ Ｋ ｔ 等 。 是 单 步 法 的典 型 代 表 ， ａ
线性多步 法是 多步法 的典型代 表 ， 于一些 特别 的数 值 对
微分方程使用 这些方法 效果很差 。微 分方程 的数 值
中图分类号 ： ７ Ｏ１５
文献标识码 ： Ａ
多种 微 分 方 程 数 值 计算 方 法 分 析
王 建 强 ， 愉乐 沈
（ ．武 汉 大 学 测 绘 学 院 ， １ 湖北 武 汉 ４０７ ； ２ 吴 江市建设房产测量有限公司 ， 苏 吴 江 ３０ ２ ． 江 ２ ５０ ） １２０
摘
要： 数值微 分方程 的数 值解法是计算方法、 数值 分析 理论 中非 常重要 的 内容 ， 数值微 分方法也是 解决 实际计 算 问
题 的重要方法。本文对几种 常用 的数值微 分方法进行 了简要 的分析 ， 并用这 几种方法对具 有光滑性质 的被积 函数进 行数值计算 ， 龙格 一 库塔方法和 ４阶阿达姆斯方 法的数值计 算稳 定性 和计算精度 都比较好 。
关键 词 ： 分 方程 ； 算 方 法 ； 值 分 析 ； 值 实验 微 计 数 数
解法有显式解 和隐 式解 法 ， 一般 来 说 ， 隐式 解 要优 于 显
滑性 差 ， 使用 ４阶龙格 一 库塔 方 法 求 得 的数 值 解 ， 精 其
度 可能不 如 ２阶改 进 的欧拉 方法 。
Ｋ ＝ ｆ ｋＹ ） １ ｈ（ ，ｋ
＝
式解 Ｊ 。欧拉 方法 是一 种最 简单 的单 步 法 ， 计算 量 小 ， 但精度 比较低 。一般 的初值 问题 ， 多采 用改进 的欧拉 方
Ｙ＝ ＋ ｋｙ ｋ ， Ｊ ＿ Ｙ＿） 】 ｋ （） Ｉ
２ｋ ｙ ２ ［ 一 Ｙ ２＋厂 ｋ ， 一 Ｙ＝ ｋ＋ 厂 ｋ ，一 哇（ 一 Ｙ １ 一 （ ２ ｋ ） １ ｋ）
【 ＋ （ ， ］ ３ 厂 Ｙ ） ／
（） ５
如果 只计 算一 次 ， 这是 一个 预报 一 正方法 。实 际 校 计算 时 可 以进 行 多次 迭代 ， 迭代 次数 不宜 过 多 ， 文 迭 本 代计 算 两次 。在线 性 多 步法 的应 用 中 ， 目前 最 常用 的
Ｊ ＹＩ ｋ， Ｉ ｋ＋ ＿ｙ － ｌ
【 ＝ ｋ ＋ ．ｈｆ 一，ｋ ） 厂 ｋＹ） Ｙ ｙ～ ０５ ［（ ｋ Ｙ一 ｔ（ ，ｋ ］ ｋ １ １ １
（） ３
在性 和稳定 性 取决 于 被积 函数 的特 性 和初 值 。求 初 值
问题 的数 值解法 可区分为两 大类 ： 步法 和多 步法 。常 单 用 的方法 中欧拉 （ ｕｅ） 法 、 进 的 欧拉 方 法 、 格 一 Ｅ ｌｒ 方 改 龙
１ 引 言
在科 学研究和工程 应用 中 ， 建立 的数 学模 型多是 所
式 （） ， １ 中 ｋ为节 点序 列 ， 步长 ，（ ｙ 为 已知 ｈ为 ｆ ， ） 函数 。两 步欧拉 方法 具有 ２阶代 数精 度 ：
Ｙ＋＝ ｋ ＋ ｈ（ ｋＹ ） ｋ ｙ一 ２ｆ ，ｋ １ １ （） ２
改进 的欧拉方 法 是一个 预报 ～ 正 的公 式 ， 的稳 校 它
定性 要有 余 两步 欧拉 方 法 。龙 格 一 塔 方 法 有 多种 形 库
式， 并且 有 多种 阶数 ， 常用 的是标 准 ４阶龙 格一 塔法 。 库 龙格 一 库塔 方 法 的推 导 基 于泰 勒 （ ａｌ ） 数 展开 ， Ｔｙｏ 级 ｒ 它
常微 分方程或微 分方程组 ， 是除 了少数 特殊类 型 的微 但 分方 程能用解析 方法求得其 精确 解外 ， 多数情 况 下要 大 得 出解 的解析 表达 式 是极 其 困 难 的 ， 因此 ， 需要 用 数 就
值逼 近方 法求 得其 近 似解 。微 分方 程 组 的数 值解 的存
改 进 的欧拉方 法 ， 即欧拉方 法 的隐式 公式 ：
递推 公式 为 ：
ｒ Ｙ－＋ （ ｋ 一 ｋ ） ｚ ｋ ３ ｙ一 ｙ一 ｋ ３ １ ２
２ 数值 计算方法
本 文直 接给 出 这几 种 方法 的公 式 ， 体 推 导 过 程 具 见 文献 。 欧拉 方 法是 常微 分方 程初 值 问题解 中最 简 单 的方 法 。欧拉 折 线公式 具 有 １阶代 数精 度及 其 改进形 式 ：
的微 分方程做 了数值试验 。
以上 ４种 方法 都 是 单 步法 ， 由于线 性 多 步法 需 要
利用 前 面 的若 于个 点 ， 以初 始 计 算 时 使 用 单 步法 计 所 算得 到若 干个 点 ， 利 用多 步法进 行 计算 ， 般 使 用龙 再 一 格一 库塔作 为初 始 计 算 方法 。利 用 辛 普 森 公 式 建立 的
＝
Ｋ ＝ 厂 ｋ ，＋ ） ４ （ ＋ ，ｋ ， ｙ ＝ ｋ （ ＋ ＋ ＋ ）６ … ｙ＋ Ｋｌ２ ２ ／
到很 高的精度 。 常微分 方 程 的初 值对 计 算 方法 的收 敛 是有影响 的 Ｊ 。为 了更好地 比较这 几种 常用 的方法 ， 本 文采用这几种数 值方法对 被积 函数光 滑连 续 ， 初值 精确
２１ ００年 ８月 第 ４期
城
市
勘
测
Ａｕ ２０１ ｇ． ０
Ｕｒ ｎ Ｇｅ ｔｃ ｉａ ｎ ｅ ｔ ａｉ ｎ ＆ Ｓ ｖ ｙ ｎ ｂａ ｏｅ ｈｎｃ ｌＩ ｖ ｓｉ ｔｏ ｇ ｕｒｅ ｉ ｇ
Ｎｏ ４ ．
文章编号 ：６２ ８６ （ ０ ０ ０ — １ — ３ １７ — ２ ２ ２ １ ）４ １７ ０
法， 因为它 的数 值稳定性 和计算 精度都 比一 般 的欧拉 方 法好 。龙格 一 塔 方 法 是 一类 应 用 较 广 的高 精 度 单 步 库 法， 当解充分光 滑 时 的 ４阶龙格 一 塔 方法 一般 可 以达 库
７ ｋ ０ ５ ＋ ．Ｋ１ ＋ ． ，ｋ Ｏ ５ ） ｋ Ｏ ５ ，ｋ Ｏ ５ ） ＋ ． ｈ ） ＋ ． ， （） ４
ห้องสมุดไป่ตู้
库塔方 法 （ ｕ ｇ— ｕｔ） Ｒ ｎｅ Ｋ ｔ 等 。 是 单 步 法 的典 型 代 表 ， ａ
线性多步 法是 多步法 的典型代 表 ， 于一些 特别 的数 值 对
微分方程使用 这些方法 效果很差 。微 分方程 的数 值
中图分类号 ： ７ Ｏ１５
文献标识码 ： Ａ
多种 微 分 方 程 数 值 计算 方 法 分 析
王 建 强 ， 愉乐 沈
（ ．武 汉 大 学 测 绘 学 院 ， １ 湖北 武 汉 ４０７ ； ２ 吴 江市建设房产测量有限公司 ， 苏 吴 江 ３０ ２ ． 江 ２ ５０ ） １２０
摘
要： 数值微 分方程 的数 值解法是计算方法、 数值 分析 理论 中非 常重要 的 内容 ， 数值微 分方法也是 解决 实际计 算 问
题 的重要方法。本文对几种 常用 的数值微 分方法进行 了简要 的分析 ， 并用这 几种方法对具 有光滑性质 的被积 函数进 行数值计算 ， 龙格 一 库塔方法和 ４阶阿达姆斯方 法的数值计 算稳 定性 和计算精度 都比较好 。
关键 词 ： 分 方程 ； 算 方 法 ； 值 分 析 ； 值 实验 微 计 数 数
解法有显式解 和隐 式解 法 ， 一般 来 说 ， 隐式 解 要优 于 显
滑性 差 ， 使用 ４阶龙格 一 库塔 方 法 求 得 的数 值 解 ， 精 其
度 可能不 如 ２阶改 进 的欧拉 方法 。
Ｋ ＝ ｆ ｋＹ ） １ ｈ（ ，ｋ
＝
式解 Ｊ 。欧拉 方法 是一 种最 简单 的单 步 法 ， 计算 量 小 ， 但精度 比较低 。一般 的初值 问题 ， 多采 用改进 的欧拉 方
Ｙ＝ ＋ ｋｙ ｋ ， Ｊ ＿ Ｙ＿） 】 ｋ （） Ｉ
２ｋ ｙ ２ ［ 一 Ｙ ２＋厂 ｋ ， 一 Ｙ＝ ｋ＋ 厂 ｋ ，一 哇（ 一 Ｙ １ 一 （ ２ ｋ ） １ ｋ）
【 ＋ （ ， ］ ３ 厂 Ｙ ） ／
（） ５
如果 只计 算一 次 ， 这是 一个 预报 一 正方法 。实 际 校 计算 时 可 以进 行 多次 迭代 ， 迭代 次数 不宜 过 多 ， 文 迭 本 代计 算 两次 。在线 性 多 步法 的应 用 中 ， 目前 最 常用 的
Ｊ ＹＩ ｋ， Ｉ ｋ＋ ＿ｙ － ｌ
【 ＝ ｋ ＋ ．ｈｆ 一，ｋ ） 厂 ｋＹ） Ｙ ｙ～ ０５ ［（ ｋ Ｙ一 ｔ（ ，ｋ ］ ｋ １ １ １
（） ３
在性 和稳定 性 取决 于 被积 函数 的特 性 和初 值 。求 初 值
问题 的数 值解法 可区分为两 大类 ： 步法 和多 步法 。常 单 用 的方法 中欧拉 （ ｕｅ） 法 、 进 的 欧拉 方 法 、 格 一 Ｅ ｌｒ 方 改 龙
１ 引 言
在科 学研究和工程 应用 中 ， 建立 的数 学模 型多是 所
式 （） ， １ 中 ｋ为节 点序 列 ， 步长 ，（ ｙ 为 已知 ｈ为 ｆ ， ） 函数 。两 步欧拉 方法 具有 ２阶代 数精 度 ：
Ｙ＋＝ ｋ ＋ ｈ（ ｋＹ ） ｋ ｙ一 ２ｆ ，ｋ １ １ （） ２
改进 的欧拉方 法 是一个 预报 ～ 正 的公 式 ， 的稳 校 它
定性 要有 余 两步 欧拉 方 法 。龙 格 一 塔 方 法 有 多种 形 库
式， 并且 有 多种 阶数 ， 常用 的是标 准 ４阶龙 格一 塔法 。 库 龙格 一 库塔 方 法 的推 导 基 于泰 勒 （ ａｌ ） 数 展开 ， Ｔｙｏ 级 ｒ 它
常微 分方程或微 分方程组 ， 是除 了少数 特殊类 型 的微 但 分方 程能用解析 方法求得其 精确 解外 ， 多数情 况 下要 大 得 出解 的解析 表达 式 是极 其 困 难 的 ， 因此 ， 需要 用 数 就
值逼 近方 法求 得其 近 似解 。微 分方 程 组 的数 值解 的存
改 进 的欧拉方 法 ， 即欧拉方 法 的隐式 公式 ：
递推 公式 为 ：
ｒ Ｙ－＋ （ ｋ 一 ｋ ） ｚ ｋ ３ ｙ一 ｙ一 ｋ ３ １ ２
２ 数值 计算方法
本 文直 接给 出 这几 种 方法 的公 式 ， 体 推 导 过 程 具 见 文献 。 欧拉 方 法是 常微 分方 程初 值 问题解 中最 简 单 的方 法 。欧拉 折 线公式 具 有 １阶代 数精 度及 其 改进形 式 ：
的微 分方程做 了数值试验 。
以上 ４种 方法 都 是 单 步法 ， 由于线 性 多 步法 需 要
利用 前 面 的若 于个 点 ， 以初 始 计 算 时 使 用 单 步法 计 所 算得 到若 干个 点 ， 利 用多 步法进 行 计算 ， 般 使 用龙 再 一 格一 库塔作 为初 始 计 算 方法 。利 用 辛 普 森 公 式 建立 的
＝
Ｋ ＝ 厂 ｋ ，＋ ） ４ （ ＋ ，ｋ ， ｙ ＝ ｋ （ ＋ ＋ ＋ ）６ … ｙ＋ Ｋｌ２ ２ ／
到很 高的精度 。 常微分 方 程 的初 值对 计 算 方法 的收 敛 是有影响 的 Ｊ 。为 了更好地 比较这 几种 常用 的方法 ， 本 文采用这几种数 值方法对 被积 函数光 滑连 续 ， 初值 精确
２１ ００年 ８月 第 ４期
城
市
勘
测
Ａｕ ２０１ ｇ． ０
Ｕｒ ｎ Ｇｅ ｔｃ ｉａ ｎ ｅ ｔ ａｉ ｎ ＆ Ｓ ｖ ｙ ｎ ｂａ ｏｅ ｈｎｃ ｌＩ ｖ ｓｉ ｔｏ ｇ ｕｒｅ ｉ ｇ
Ｎｏ ４ ．
文章编号 ：６２ ８６ （ ０ ０ ０ — １ — ３ １７ — ２ ２ ２ １ ）４ １７ ０
法， 因为它 的数 值稳定性 和计算 精度都 比一 般 的欧拉 方 法好 。龙格 一 塔 方 法 是 一类 应 用 较 广 的高 精 度 单 步 库 法， 当解充分光 滑 时 的 ４阶龙格 一 塔 方法 一般 可 以达 库
７ ｋ ０ ５ ＋ ．Ｋ１ ＋ ． ，ｋ Ｏ ５ ） ｋ Ｏ ５ ，ｋ Ｏ ５ ） ＋ ． ｈ ） ＋ ． ， （） ４