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圆周角定理及其运用课件

已知:△ABC 中,CO为AB边上的中线,且CO= 1 AB
2 求证: △ABC 为直角三角形.
C
证明: 以AB为直径作⊙O, 1
∵AO=BO, CO= 2 AB,
A
·
B
O
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB=
1 2
×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
•圆周角定理及其运用
D
A1
87
2
3 4
B
6
5
C
•圆周角定理及其运用
探究与思考:
问题1:如图,AB是⊙O的直径,请问: ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90°。
C1 C2
C3
问题2: 若∠C1、∠C2、∠C3是
直角,那么∠AOB是
。
180°
A
O
B 推论:半圆(或直径)所对的 圆周角是直角;90°的圆周 角所对的弦是直径。
A
则∠AOC等于( )
A、50°;
B、D 80°;
C、90°;
D、100°
BO
C
2、如图,△ABC是等边三角形,
C
动点P在圆周的劣弧AB上,且不
与A、B重合,则∠BPC等于( B)
A、30°;
B、60°;
A
B
C、90°;
D、45°
P
•圆周角定理及其运用
练一练
3、如图,∠A=50°, ∠AOC=60 °
A C
●O
B
A C
A C
●O
●O
B
B
•圆周角定理及其运用
圆周角定理的证明
• H:\第24章圆.课件\圆周角定理的证明.gsp • 结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆
圆周角定理 课件

AD=BD=5
3 2 cm.
在 Rt△AOD 中,OD=
OA2-AD2
=
5 2
cm,所以
∠OAD=30°,
所以∠AOD=60°.
所
以
∠AOB
=
2∠AOD
=
120
°
,
所
以
∠ACB
=
1 2
∠AOB=60°.因为∠AOB=120°,所以劣弧A︵EB的度数为
︵ 120°,优弧ACB的度数为 240°.
所以∠AEB=12×240°=120°. 所以此弦所对的圆周角为 60°或 120°.
所以 OG∥CF.所以∠AOB=∠FCB,(2 分) 所以∠DAO=90°-∠AOB, ∠FBC=90°-∠FCB,(4 分) 所以∠DAO=∠FBC.(6 分)
(2)连接 AB,AC, 因为 BC 为直径, 所以∠BAC=π2, 又因为 AD⊥BC, 所以∠BAD=∠BCA,(8 分)
︵︵ 又因为AB=AF, 所以∠ABF=∠BCA,(9 分) 所以∠ABF=∠BAD, 所以 AE=BE.(10 分)
类型 2 利用定理及推论进行证明(规范解答)
[典例 2] 如图所示,BC 是半圆 O 的直径,AD⊥BC, ︵︵
垂足为 D,AB=AF,BF 与 AD、AO 分别交于点 E、G. (1)证明:∠DAO=∠FBC; (2)证明:AE=BE.
︵︵ [规范解答] (1)连接 FC,OF,因为AB=AF,OB =OF, 所以点 G 是 BF 的中点, OG⊥BF. 因为 BC 是⊙O 的直径, 所以 CF⊥BF.(1 分)
反过来,弧的度数相等,它们所对圆心角的度数也相 等.2.由于圆心角的度数与它所对弧的度数相等,所以圆周 角的度数等于它所对弧的度数的一半.
圆周角-PPT课件

E
20°
30°
∴∠ABF=∠D=20°,∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
A F
C
下列说法是否正确,为什么?
拓展巩固
“在同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角相等”.
一条弦所对应的圆周角有两类.
D
如图所示,连接BO、EO. 显然,∠C与∠D所对应的圆心角和为 ,
O.
所以36根0°据圆周角定理可知∠C+∠D = . 180°
通过积极引导,帮助学生有意识地积累活动经验,获得成功的 体验.
知识回顾
O
1.圆心角的定义?
顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点?
C
考考你:你能仿照圆心角的定义,给下
图中象∠ACB 这样的角下个定义吗?
O
A
B
探索新知
顶点在圆上,并且两边都和圆相交 的角叫圆周角.(两个条件必须同时具备,缺一不可)
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学目标
【知识目标】 理解圆周角的概念。探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关
系,并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【能力目标】
经历探索圆周角定理的过程,初步体会分类讨论的数学思想, 渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法,提高学生的发散思维能 力. 【情感目标】
意两点,连接AB,AC,BD,CD.∠A与∠D相等吗? 请说明理由.
D
同弧所对的圆周角相等.
问题2 如图,若
,那么 ∠A与∠B相等吗?
想一想: 反过来,若∠A=∠B,那么
成立吗?
AB E
O
C
圆周角定理 课件

3.关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中,注意:“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了,因为一条弦所对的圆周角有两种可 能,在一般情况下是不相等的.
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并不是 “圆心角等于它所对的弧”.
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在 同圆或等圆中”.
【示例2】 如图,D,E分别为△ABC边AB,AC 的中点,直 线DE交△ABC的外接圆于F,G两点,若CF∥AB,证明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD.
证明 (1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又 已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD = AD. 而 CF∥AD , 连 接 AF , 所 以 ADCF 是 平 行 四 边 形 , 故 CD=AF.
证明 连结 CE、CF、EF,∵BC 为⊙O 的直径,∴∠BFC =90°,∠BEC=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠BCE=∠A. 又∵∠BFE=∠BCE,∴∠BFE=∠A.又∵∠EBF=∠DBA, ∴△BEF∽△BDA.∴EBFE=ABDD. ∵∠BFC=∠BCA,∠CBD=∠CBD, ∴△CBF∽△DBC.∴CBCF=CBDD. 又∵AD=CD,∴EBFE=CBCF,∴BBCE=CEFF.
(4)在同圆或等圆中,由弦相等⇒弧相等时,这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧,一般选劣弧.
题型一 圆中相关角度数的求解
【例 1】 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦 AB,求此弦
所对的圆周角.
[思维启迪] 对于弦所对的圆周角要考虑全面.
解 如图所示,过 O 点作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB,OD
反思感悟 弦所对的圆周角有两个,易丢掉120°导致错误,另外求圆周角时易应用到解三角形的知识.
圆周角定理 课件

先由三角形相似得线段成比例,再求其长度.
解:(1)∵AE平分∠BAC,
∴∠BAD=∠EAC.
又∵∠B=∠E,∴△ABD∽△AEC.
∵∠B=∠E,∠BAE=∠BCE,
C,
∴
=CE2.=ED·
∴
AE,
∴16=2AE,∴AE=8.
圆周角定理
题型一
求线段的长
【例1】 如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,∠BAC的平分线与
BC边和☉O分别交于点D,E.
(1)指出图中相似的三角形,并说明理由;
(2)若EC=4,DE=2,求AD的长.
分析:(1)本题证明两个三角形相似,要用三角形相似的判定定理,
而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出;(2)要求线段长度,
又∵AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC.
∴∠BAD=∠ACB.
∵ = , ∴∠FBA=∠ACB,
∴∠BAD=∠FBA.
∴△ABE为等腰三角形.
∴AE=BE.
题型三
易错辨析
易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错
【例3】 如图,若∠BAD=75°,则∠BCD=
错解:∵∠BAD和∠BCD所对的弦都是BD,
∴AD=AE-DE=6.
反思求圆中线段长时,常先利用圆周角定理及其推论得到相似三
角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长.
题型二
证明线段相等
【例 2】 如图,BC 为圆 O 的直径,AD⊥BC, =
, 和相交于. 求证: = .
证明:∵BC是☉O的直径,
∴∠BAC为直角.
上,同弦或等弦所对的圆周角相等;若一个圆周角的顶点在优弧上,
另一个圆周角的顶点在劣弧上,则同弦或等弦所对的圆周角不相等,
解:(1)∵AE平分∠BAC,
∴∠BAD=∠EAC.
又∵∠B=∠E,∴△ABD∽△AEC.
∵∠B=∠E,∠BAE=∠BCE,
C,
∴
=CE2.=ED·
∴
AE,
∴16=2AE,∴AE=8.
圆周角定理
题型一
求线段的长
【例1】 如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,∠BAC的平分线与
BC边和☉O分别交于点D,E.
(1)指出图中相似的三角形,并说明理由;
(2)若EC=4,DE=2,求AD的长.
分析:(1)本题证明两个三角形相似,要用三角形相似的判定定理,
而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出;(2)要求线段长度,
又∵AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC.
∴∠BAD=∠ACB.
∵ = , ∴∠FBA=∠ACB,
∴∠BAD=∠FBA.
∴△ABE为等腰三角形.
∴AE=BE.
题型三
易错辨析
易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错
【例3】 如图,若∠BAD=75°,则∠BCD=
错解:∵∠BAD和∠BCD所对的弦都是BD,
∴AD=AE-DE=6.
反思求圆中线段长时,常先利用圆周角定理及其推论得到相似三
角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长.
题型二
证明线段相等
【例 2】 如图,BC 为圆 O 的直径,AD⊥BC, =
, 和相交于. 求证: = .
证明:∵BC是☉O的直径,
∴∠BAC为直角.
上,同弦或等弦所对的圆周角相等;若一个圆周角的顶点在优弧上,
另一个圆周角的顶点在劣弧上,则同弦或等弦所对的圆周角不相等,
人教版数学《圆周角》_精品课件

【获奖课件ppt】人教版数学《圆周角 》_精 品课件1 -课件 分析下 载
尝试运用
2、如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠BOD =110°,则∠BAD= 55 ° ,∠BCD=125 °.
A
.O
B
D
C
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3、利用第2题的图形,分别证明图a、图b、图c中的 ∠BOC=2∠BAC.
总结:圆周角定理的证明就是反复的利用三角形的一个外角等于不相邻的两个 内角的和来证的
4、用自己的语言说出圆周角定理的内容是什么?
5、利用上面的结论,完成下列问题:
如图,在⊙O中,
(1)∠C与∠D相等吗?为什么?
(2)若AB是直径,则∠C= ,∠D=
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探究三 1、什么是圆的内接多边形?什么是多边形的外接圆?
2、画一个圆内接四边形ABCD,它有什么性质,你是如何 得到的?与同学交流一下
探究三2.gsp
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24.1.4 圆周角定理
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自主探究
探究一
作一个圆,并在圆中画出两个圆周角,根据你画出的角,
(1)说出圆周角的顶点的位置,两边与圆的关系是什么?
圆周角定理ppt课件

∴∠A=∠C .
o
又 ∠AOB=∠A+∠C,
B A
∴∠AOB=2∠C. 即
类比转化 考虑两种一般情况:
2.圆心O在圆周角的内部: C
.O
3.圆心O在圆周角的外部:
.C
O
A
B
D
c o
D AB
B A
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半.
符号表示:
∵ A⌒B 所对的圆周角为∠ACB
A⌒B 所对的圆心角为∠AOB
圆周角和圆心O的位置关系:
①圆心在圆周角 ②圆心在圆周 的一条边上; 角的内部;
C
O·
A
B
C
O·
A
B
③圆心在圆 周角的外部.
C
O·
B A
证 明 1.圆心在圆周角的一条边上:
(
已知:在⊙O中,AB 所对的圆周角是 ∠C,圆心
角是 ∠AOB. 求证: ∠C = 1 ∠AOB. 2
c
证明: ∵OA=OC ,
如图, 足球课上,教练在球门前画了一个圆圈进行无人防 守的射门训练,甲,乙,丙三名同学分别在B,D,E三处,他 们都说在自己所在位置所对球门AC的张角大,你认为他们 谁说的对?
回顾圆心角的定义,给下图中像∠ACB这样的角下定义.
1.顶点在圆心的角叫 圆心角 ;
2.顶点在圆上,并且两边都和 圆相交的角叫做 圆周角 .
辨一辨 下列各图中,哪些是圆周角?
探 究 同弧(弧AB)所对的圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的关系
1.画一画,量一量
C
在⊙O上任取一条弧,作
出这条弧所对的圆周角和
圆心角, 测量它们的度数,
圆周角定理PPT课件

关系?
n 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和 圆心角之间有的关系.
你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?
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5
探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1、分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两 个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在 圆周上的位置,看看圆周角的 度数有没有变化. 你发 现其中有什么规律吗?
C
O.
A
B
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
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3
问题探讨:
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角?并说明理
由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上, 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
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不是 有一边和圆 不相交。
4
类比圆心角 探知 圆周角
• 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. • 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么
B
n老师提示:能否转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得:
AD C
n∠ABD
=
∠1 AOD,∠CBD
2
=
∠1 COD,
2
●O
∴ ∠ABC = ∠1 AOC.
2
B
同弧所对的圆周角等于它所对
你能写出这个命题吗?
的圆心角的一半.
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11
圆周角和圆心角的关系 A
C
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样?
四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,
这些角中哪些是相等的角?
n 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和 圆心角之间有的关系.
你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?
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5
探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1、分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两 个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在 圆周上的位置,看看圆周角的 度数有没有变化. 你发 现其中有什么规律吗?
C
O.
A
B
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
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3
问题探讨:
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角?并说明理
由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上, 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
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不是 有一边和圆 不相交。
4
类比圆心角 探知 圆周角
• 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. • 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么
B
n老师提示:能否转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得:
AD C
n∠ABD
=
∠1 AOD,∠CBD
2
=
∠1 COD,
2
●O
∴ ∠ABC = ∠1 AOC.
2
B
同弧所对的圆周角等于它所对
你能写出这个命题吗?
的圆心角的一半.
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11
圆周角和圆心角的关系 A
C
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样?
四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,
这些角中哪些是相等的角?
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观察图③,圆周角∠BAC=90° ,弦BC经过圆心吗? 为什么?
B 答:弦BC经过圆心O.因为连接OC、OB,由 ∠BAC=90° 可得圆心角∠BOC=180° .即B、O、C 三点在同一直线,也就是BC是⊙O的一条直径.
由以上我们可得到:直径所对的圆周角是直角; 2021/3/1
90° 的圆周角所对的弦是直径.
2.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
AD
提示:能否转化为1的情况?
C
过点B作直径B1 D.由1可得:
●O
∵∠ABD = 2 ∠AOD,
∠CBD = 1 ∠COD,
21
B
∴ ∠ABC = 2 ∠AOC.
20你21/3能/1 写出这个命题吗?
21
∴ ∠ABC = 2 ∠AOC.
●O B
20你21/3能/1 写出这个命题吗?
11
综上,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即∠ABC
=
1 2
∠AOC.
A
A
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
圆周角
图中的∠ABC的顶点B在圆的什么位置?
∠ABC的两边和圆是什么关系?
2021/3/1
3
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
顶点在圆上, 并且两边都和圆相交的角 叫圆周角.
A
.
O
B
C
2021/3/1
4
思考题:
1. 判别下列各图形中的角是不是圆周角,并说明理由.
图1 不是
图2
不是
图4
2. 指出图中的圆周角.
问题:若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”,
结论成立吗?请同学们互相议一议. 答:结论不成立.请看图.
2021/3/1
1
A2
B 14
五、圆周角的推论定理2
观察图②,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角是
锐角、直角、还是钝角?你是如何判断的?
B
答:直径BC所对的圆周角是直角.因为一条直径
将圆分成了两个半圆,而半圆所对的圆心角是 ∠BOC=180° ,所以 ∠BAC=90° .
A C
A C
A C
●O
●O
●O
B
B B
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角
和圆心角之间有的关系.
2021/3/1
7
如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC, 它们的大小有什么关系?
A C
●O
B
A C
●O
B
A C
●O B
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
2021/3/1
8
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
不是
是
图3
不是
图5
2021/3/1
5
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对 球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC, ∠AEC.这三个角的大小有什么关系?
A
E
●O
C
B
D
A
E B
C D
2021/3/1
6
二、圆周角与圆心角的关系
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系?
A
O
C
图② A
O
C
图③
15
六、圆周角的推论定理3
如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,且
∠BCD=100°,求∠BOD(BC⌒D所对的圆心角)和
∠BAD的大小.
可以推广:圆内接四边形的对角互补.
2021/3/1
16
七、形成练习
1.判断
(1)等弦对等弧(× ) (2)等弧对等弦(√ ) (3)长度相等的两条弧是等弧(× ) (4)平分弦的直径垂直于弦(× ) (5)顶点在圆上的角叫圆周角(× ) (6)圆周角的度数等于所对弧的度数的一半(√ )
1.首先考虑一种特殊情况:
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
A
∵∠AOC是△ABO的外角,
C
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB,
●O
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
B
即
∠ABC =
1 2
∠AOC.
你能写出这个命题吗?
2021/3/1
9
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2021/3/1
17
2.求圆中∠1的度数
D
.O
C
70° 1
C 120°
O.
1 BA
O B
A
BA
C
3.如图,圆心角∠AOB=100°,则∠ACB=_1_3_0°.
4.如图,在直径为AB的半圆中,O为圆心,C、D为半圆 上的两点,∠COD=500,则∠CAD=_2_5_°.
2021/3/1
18
5.如图,⊙O的直径AB=10 cm,C为⊙O 上的一点, ∠ABC=30° ,求AC的长.
由此你得到什么结论?
2021/3/1
13
A
C
结论是: 在同圆中,同弧所对的圆周角相等.
B
O
E
如果把上面的同弧改成等弧,结论成立吗?
D
答:成立.因为等弧所对的圆心角相等,而圆周角等于圆心角的 一半,所以这些圆周角也相等.
对于等圆,情况也一样.因此,我们可以得到:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.
解:∵AB为⊙O的直径.
∴∠ACB=90° .
又∵∠ABC=30° ,
∴AC=
1 2
AB=
1 2
×10=5
(cm).
B
O C
A
2021/3/1
2021/3/1
12
四、圆周角的推论定理1
A
观察图①,∠ABC, ∠ADC和∠AEC各是什么角?
它们有什么共同的特征?它们的大小有什么关系?
为什么?
B
答: ∠ABC, ∠ADC和∠AEC都是圆周角.
它们的共同特征是:它们都对着AC
这三个角是相等的.
理由是:
C
O
E
D 图①
根 据 圆 周 角 定 理 , ∠ ABC , ∠ ADC , ∠ AEC 都 等 于 圆心角∠AOC的一半. 所以这三个角是相等的.
10
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
A
提示:能否也转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
∵∠ABD =
1 2
∠AOD,
∠CBD = 1 ∠COD,
XUSUHUA
第二十七章 圆
27.4 圆周角定理
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1
一、问题引入
圆心角顶点发生变化时,.我们得到几种情况?
A
A.
A.
.
O
.
O
.
O
B
B C
C
B
C
三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置? 角的两边和圆是什么关系?
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2
在罚点球中(如图),球员射中球门的难易程度与他 所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.
B 答:弦BC经过圆心O.因为连接OC、OB,由 ∠BAC=90° 可得圆心角∠BOC=180° .即B、O、C 三点在同一直线,也就是BC是⊙O的一条直径.
由以上我们可得到:直径所对的圆周角是直角; 2021/3/1
90° 的圆周角所对的弦是直径.
2.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
AD
提示:能否转化为1的情况?
C
过点B作直径B1 D.由1可得:
●O
∵∠ABD = 2 ∠AOD,
∠CBD = 1 ∠COD,
21
B
∴ ∠ABC = 2 ∠AOC.
20你21/3能/1 写出这个命题吗?
21
∴ ∠ABC = 2 ∠AOC.
●O B
20你21/3能/1 写出这个命题吗?
11
综上,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即∠ABC
=
1 2
∠AOC.
A
A
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
圆周角
图中的∠ABC的顶点B在圆的什么位置?
∠ABC的两边和圆是什么关系?
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3
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
顶点在圆上, 并且两边都和圆相交的角 叫圆周角.
A
.
O
B
C
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4
思考题:
1. 判别下列各图形中的角是不是圆周角,并说明理由.
图1 不是
图2
不是
图4
2. 指出图中的圆周角.
问题:若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”,
结论成立吗?请同学们互相议一议. 答:结论不成立.请看图.
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1
A2
B 14
五、圆周角的推论定理2
观察图②,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角是
锐角、直角、还是钝角?你是如何判断的?
B
答:直径BC所对的圆周角是直角.因为一条直径
将圆分成了两个半圆,而半圆所对的圆心角是 ∠BOC=180° ,所以 ∠BAC=90° .
A C
A C
A C
●O
●O
●O
B
B B
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角
和圆心角之间有的关系.
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7
如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC, 它们的大小有什么关系?
A C
●O
B
A C
●O
B
A C
●O B
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
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8
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
不是
是
图3
不是
图5
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5
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对 球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC, ∠AEC.这三个角的大小有什么关系?
A
E
●O
C
B
D
A
E B
C D
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二、圆周角与圆心角的关系
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系?
A
O
C
图② A
O
C
图③
15
六、圆周角的推论定理3
如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,且
∠BCD=100°,求∠BOD(BC⌒D所对的圆心角)和
∠BAD的大小.
可以推广:圆内接四边形的对角互补.
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七、形成练习
1.判断
(1)等弦对等弧(× ) (2)等弧对等弦(√ ) (3)长度相等的两条弧是等弧(× ) (4)平分弦的直径垂直于弦(× ) (5)顶点在圆上的角叫圆周角(× ) (6)圆周角的度数等于所对弧的度数的一半(√ )
1.首先考虑一种特殊情况:
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
A
∵∠AOC是△ABO的外角,
C
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB,
●O
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
B
即
∠ABC =
1 2
∠AOC.
你能写出这个命题吗?
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一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
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2.求圆中∠1的度数
D
.O
C
70° 1
C 120°
O.
1 BA
O B
A
BA
C
3.如图,圆心角∠AOB=100°,则∠ACB=_1_3_0°.
4.如图,在直径为AB的半圆中,O为圆心,C、D为半圆 上的两点,∠COD=500,则∠CAD=_2_5_°.
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5.如图,⊙O的直径AB=10 cm,C为⊙O 上的一点, ∠ABC=30° ,求AC的长.
由此你得到什么结论?
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A
C
结论是: 在同圆中,同弧所对的圆周角相等.
B
O
E
如果把上面的同弧改成等弧,结论成立吗?
D
答:成立.因为等弧所对的圆心角相等,而圆周角等于圆心角的 一半,所以这些圆周角也相等.
对于等圆,情况也一样.因此,我们可以得到:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.
解:∵AB为⊙O的直径.
∴∠ACB=90° .
又∵∠ABC=30° ,
∴AC=
1 2
AB=
1 2
×10=5
(cm).
B
O C
A
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四、圆周角的推论定理1
A
观察图①,∠ABC, ∠ADC和∠AEC各是什么角?
它们有什么共同的特征?它们的大小有什么关系?
为什么?
B
答: ∠ABC, ∠ADC和∠AEC都是圆周角.
它们的共同特征是:它们都对着AC
这三个角是相等的.
理由是:
C
O
E
D 图①
根 据 圆 周 角 定 理 , ∠ ABC , ∠ ADC , ∠ AEC 都 等 于 圆心角∠AOC的一半. 所以这三个角是相等的.
10
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
A
提示:能否也转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
∵∠ABD =
1 2
∠AOD,
∠CBD = 1 ∠COD,
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第二十七章 圆
27.4 圆周角定理
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一、问题引入
圆心角顶点发生变化时,.我们得到几种情况?
A
A.
A.
.
O
.
O
.
O
B
B C
C
B
C
三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置? 角的两边和圆是什么关系?
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在罚点球中(如图),球员射中球门的难易程度与他 所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.