大学物理讲义(第15章量子力学基础)第五节

§15.5 量子力学的基本概念和基本原理

描述微观粒子运动的系统理论是量子力学,它是薛定谔、海森伯等人在

1925～1926年期间初步建立起来的.本节介绍量子力学的基本概念和基本方程.

一、波函数极其统计解释

在经典力学中我们已经知道,一个被看作为质点的宏观物体的运动状态,是用

它的位置矢量和动量来描述的.但是,对于微观粒子,由于它具有波动性,根据不确

定关系,其位置和动量是不同时具有确定值的,所以我们就不可能仍然用位置、动

量及轨道这样一些经典概念来描述它的运动状态.微观粒子的运动状态称为量子

态,是用波函数来描述的,这个波函数所反映的微观粒子的波动性,就是德布罗意

波.这是量子力学的一个基本假设.

例如一个沿X 轴正方向运动的不受外力作用的自由粒子,由于能量E 和动量p

都是恒量,由德布罗意关系式可知,其物质波的频率ν和波长λ也都不随时间变化,因此自由粒子的德布罗意波是一个单色平面波.

对机械波和电磁波来说,一个单色平面波的波函数可用复数形式表示为

)(2）x/λνt πi Ae t y(x,--=

但实质是其实部.类似地,在量子力学中,自由粒子的德布罗意波的波函数可表示

为

η)/(0）(Px Et i e t x,--ψ=ψ

式中0ψ是一个待定常数, η/0iPx e ψ相当于x 处波函数的复振幅,而ηiEt/e -则反映波函

数随时间的变化.

对于在各种外力场中运动的粒子,它们的波函数要随着外场的变化而变化.力

场中粒子的波函数可通过下面要讲的薛定谔方程来求解.

经典力学中的波函数总代表某一个物理量在空间的波动,然而量子力学中的

波函数又代表着什么呢？对此,历史上提出了各种不同的看法,但都未能完善的解

释微观粒子的波—粒二象性,直到1926年玻恩(M.Born,1882—1970)提出波函数的

统计解释才完善的解释了微观粒子的波—粒二象性.玻恩认为：实物粒子的德布

罗意波是一种几率波；t 时刻,粒子在空间 r 附近的体积元dV 中出现的几率dW

与该处波函数的模方成正比,即

V t r,Ψt r,ΨV t r,ΨW *d d d 2

)()()(== (15.35)

由式(15.35)可知,波函数的模方2)(t r,Ψ代表t 时刻粒子在空间r 处的单位体积中

出现的几率,称为几率密度.这就是波函数的物理意义,波函数本身没有直接的物

理意义.

波函数的这种统计解释将量子概念下的波和粒子统一起来了.其量子概念中

的粒子性表现为它们具有一定的能量、动量和质量等粒子的属性,同时某时刻,一

个粒子总是作为整体出现在某处的,但粒子的运动不具有确定的轨道；量子概念

中的波动性是指用波函数的模方表示在空间某处出现的几率密度,而波函数并不

代表某个实在的物理量在空间的波动.

由于用波函数的模方表示粒子在空间出现的几率密度分布,所以波函数允许

包含一个任意常数因子,如)(t r,ΨA 和)(t r,Ψ表示相对几率密度相同的同一个量子

态.

既然波函数与粒子在空间出现的几率相联系,所以波函数必定是单值的、连

续的和有限的.这是波函数的标准条件.又因为粒子必定要在空间中的某一点出现,

因此粒子在空间各点出现的几率的总和应等于1,即应有

1d 2=⎰⎰⎰V t r,Ψ)( (15.36)

此式称为波函数的归一化条件,其中积分区域遍及粒子可能达到的所有空间.

在经典力学中,曾经讨论过波动遵从的叠加原理,即各列波共同在某质点引起

的振动,是各列波单独在该质点所引起的振动的合成.在量子力学中也有一个类似

的原理,这个原理称为态叠加原理,是量子力学原理的又一个基本假设,适用于一

切微观粒子的量子态.态叠加原理可以表述为：如果波函数, )(t r,Ψ1 ,

)(t r,Ψ2，… ,都是描述系统的可能的量子态,那么它们的线性叠加

Λϖϖϖ+ψ+ψ=ψ),(),(),(t r c t r c t r 2211 (15.37)

也是这个系统的一个可能的量子态.式中c 1，c 2是任意的复数.

二、薛定谔方程

1薛定谔方程和算符

薛定谔建立了适用于低速情况下的、描述微观粒子在力场中运动的波函数

)(t r,Ψ所满足的微分方程,也就是物质波波函数所满足的方程,称为薛定谔方程.

质量为m 的粒子在外力场中运动时,一般情况下,其势能V 可能是空间坐标和

时间的函数,即),(t r V V ϖ=,而薛定谔方程为

t

t r i t r H ∂ψ∂=ψ),(),(ˆϖηϖ (15.38)

式中 )],()([ˆt r V z

y x m H ϖη+∂∂+∂∂+∂∂-=22222222 (15.39) 称为哈密顿算符.

在量子力学中,一切力学量都要用算符来表示,这是量子力学的一个基本假设.

算符代表对波函数的某种运算(即操作),如微分运算( d/dt)称为微分算符.

一般情况下,一算符对某一量子态波函数的运算结果将得到另一个量子态波

函数.若一算符作用在某波函数Ψ上的效果和Ψ与某一常数的乘积相当,即

ψ=ψF F

ˆ (15.40) 则F 称为F

ˆ的本征值,Ψ称为算符F ˆ对应于本征值F 的本征函数,它所描述的状态称为F 的本征态,而上式称为本征值方程.

对自由粒子波函数Ψ,由于r ˆϖΨ=r ϖΨ,所以坐标算符

r r ϖϖ=ˆ (15.41)

而 ψ=ψ∇-P i η ,所以动量算符为

∇-=ηi P

ˆ (15.42) 一般地说,在量子力学中,某力学量若在经典力学中有相应的力学量 ,则只需

将力学量F(r ,P )中的r , P 换成其算符就得到该力学量的算符 ,即

),(),(ˆ∇-=ηϖϖϖi r F P r F (15.43)

在经典力学中,哈密顿量V m

P H +=22

,所以有式(15.39)所表示的哈密顿算符.在哈密顿算符中,前项是动能算符,后项是势能算符.

薛定谔方程式(15.38)是一个关于r 和t 的线性偏微分方程,具有波动方程的形

式.可以证明,自由粒子的波函数满足上述方程.它实际上是量子力学的一个基本

假设,而不是由更基本的原理经过逻辑推理得到的.但将这个方程应用于分子、原

子等微观体系所得到的大量结果和实验符合,这就说明了它的正确性.薛定谔因在

创立量子理论方面的贡献而荣获1933年诺贝尔物理学奖.

2 定态薛定谔方程

在一般情况下,势能函数是空间和时间的函数,但在有些情况下,势能函数只

与空间坐标有关,即V=V(r).在这种情况下,波函数可表示为

)()(),(r t f t r ϖϖψ=ψ (15.44)

将其代入薛定谔方程式 (15.38)可得如下两常微分方程