大学物理讲义(第15章量子力学基础)第五节

§15.5 量子力学的基本概念和基本原理描述微观粒子运动的系统理论是量子力学,它是薛定谔、海森伯等人在1925～1926年期间初步建立起来的.本节介绍量子力学的基本概念和基本方程.一、波函数极其统计解释在经典力学中我们已经知道,一个被看作为质点的宏观物体的运动状态,是用它的位置矢量和动量来描述的.但是,对于微观粒子,由于它具有波动性,根据不确定关系,其位置和动量是不同时具有确定值的,所以我们就不可能仍然用位置、动量及轨道这样一些经典概念来描述它的运动状态.微观粒子的运动状态称为量子态,是用波函数来描述的,这个波函数所反映的微观粒子的波动性,就是德布罗意波.这是量子力学的一个基本假设.例如一个沿X 轴正方向运动的不受外力作用的自由粒子,由于能量E 和动量p都是恒量,由德布罗意关系式可知,其物质波的频率ν和波长λ也都不随时间变化,因此自由粒子的德布罗意波是一个单色平面波.对机械波和电磁波来说,一个单色平面波的波函数可用复数形式表示为)(2）x/λνt πi Ae t y(x,--=但实质是其实部.类似地,在量子力学中,自由粒子的德布罗意波的波函数可表示为η)/(0）(Px Et i e t x,--ψ=ψ式中0ψ是一个待定常数, η/0iPx e ψ相当于x 处波函数的复振幅,而ηiEt/e -则反映波函数随时间的变化.对于在各种外力场中运动的粒子,它们的波函数要随着外场的变化而变化.力场中粒子的波函数可通过下面要讲的薛定谔方程来求解.经典力学中的波函数总代表某一个物理量在空间的波动,然而量子力学中的波函数又代表着什么呢？对此,历史上提出了各种不同的看法,但都未能完善的解释微观粒子的波—粒二象性,直到1926年玻恩(M.Born,1882—1970)提出波函数的统计解释才完善的解释了微观粒子的波—粒二象性.玻恩认为：实物粒子的德布罗意波是一种几率波；t 时刻,粒子在空间 r 附近的体积元dV 中出现的几率dW与该处波函数的模方成正比,即V t r,Ψt r,ΨV t r,ΨW *d d d 2)()()(== (15.35)由式(15.35)可知,波函数的模方2)(t r,Ψ代表t 时刻粒子在空间r 处的单位体积中出现的几率,称为几率密度.这就是波函数的物理意义,波函数本身没有直接的物理意义.波函数的这种统计解释将量子概念下的波和粒子统一起来了.其量子概念中的粒子性表现为它们具有一定的能量、动量和质量等粒子的属性,同时某时刻,一个粒子总是作为整体出现在某处的,但粒子的运动不具有确定的轨道；量子概念中的波动性是指用波函数的模方表示在空间某处出现的几率密度,而波函数并不代表某个实在的物理量在空间的波动.由于用波函数的模方表示粒子在空间出现的几率密度分布,所以波函数允许包含一个任意常数因子,如)(t r,ΨA 和)(t r,Ψ表示相对几率密度相同的同一个量子态.既然波函数与粒子在空间出现的几率相联系,所以波函数必定是单值的、连续的和有限的.这是波函数的标准条件.又因为粒子必定要在空间中的某一点出现,因此粒子在空间各点出现的几率的总和应等于1,即应有1d 2=⎰⎰⎰V t r,Ψ)( (15.36)此式称为波函数的归一化条件,其中积分区域遍及粒子可能达到的所有空间.在经典力学中,曾经讨论过波动遵从的叠加原理,即各列波共同在某质点引起的振动,是各列波单独在该质点所引起的振动的合成.在量子力学中也有一个类似的原理,这个原理称为态叠加原理,是量子力学原理的又一个基本假设,适用于一切微观粒子的量子态.态叠加原理可以表述为：如果波函数, )(t r,Ψ1 ,)(t r,Ψ2，… ,都是描述系统的可能的量子态,那么它们的线性叠加Λϖϖϖ+ψ+ψ=ψ),(),(),(t r c t r c t r 2211 (15.37)也是这个系统的一个可能的量子态.式中c 1，c 2是任意的复数.二、薛定谔方程1薛定谔方程和算符薛定谔建立了适用于低速情况下的、描述微观粒子在力场中运动的波函数)(t r,Ψ所满足的微分方程,也就是物质波波函数所满足的方程,称为薛定谔方程.质量为m 的粒子在外力场中运动时,一般情况下,其势能V 可能是空间坐标和时间的函数,即),(t r V V ϖ=,而薛定谔方程为tt r i t r H ∂ψ∂=ψ),(),(ˆϖηϖ (15.38)式中 )],()([ˆt r V zy x m H ϖη+∂∂+∂∂+∂∂-=22222222 (15.39) 称为哈密顿算符.在量子力学中,一切力学量都要用算符来表示,这是量子力学的一个基本假设.算符代表对波函数的某种运算(即操作),如微分运算( d/dt)称为微分算符.一般情况下,一算符对某一量子态波函数的运算结果将得到另一个量子态波函数.若一算符作用在某波函数Ψ上的效果和Ψ与某一常数的乘积相当,即ψ=ψF Fˆ (15.40) 则F 称为Fˆ的本征值,Ψ称为算符F ˆ对应于本征值F 的本征函数,它所描述的状态称为F 的本征态,而上式称为本征值方程.对自由粒子波函数Ψ,由于r ˆϖΨ=r ϖΨ,所以坐标算符r r ϖϖ=ˆ (15.41)而 ψ=ψ∇-P i η ,所以动量算符为∇-=ηi Pˆ (15.42) 一般地说,在量子力学中,某力学量若在经典力学中有相应的力学量 ,则只需将力学量F(r ,P )中的r , P 换成其算符就得到该力学量的算符 ,即),(),(ˆ∇-=ηϖϖϖi r F P r F (15.43)在经典力学中,哈密顿量V mP H +=22,所以有式(15.39)所表示的哈密顿算符.在哈密顿算符中,前项是动能算符,后项是势能算符.薛定谔方程式(15.38)是一个关于r 和t 的线性偏微分方程,具有波动方程的形式.可以证明,自由粒子的波函数满足上述方程.它实际上是量子力学的一个基本假设,而不是由更基本的原理经过逻辑推理得到的.但将这个方程应用于分子、原子等微观体系所得到的大量结果和实验符合,这就说明了它的正确性.薛定谔因在创立量子理论方面的贡献而荣获1933年诺贝尔物理学奖.2 定态薛定谔方程在一般情况下,势能函数是空间和时间的函数,但在有些情况下,势能函数只与空间坐标有关,即V=V(r).在这种情况下,波函数可表示为)()(),(r t f t r ϖϖψ=ψ (15.44)将其代入薛定谔方程式 (15.38)可得如下两常微分方程ηη/)(iEt Ce t f Ef dtdf i -=−−→−=解得 (15.45) )()(ˆr E r Hϖϖψ=ψ (15.46) 其中C 为常数.这时波函数为ηϖϖ/)(),(iEt r t r -ψ=ψe (15.48)这种状态下,粒子的能量具有确定的值,把具有这种形式的波函数所描述的状态称为定态,这样的波函数称为定态波函数.显然定态下,几率密度分布22)()(),(r t ,r Ψt r ϖϖϖψ==ρ与时间无关,这是定态的一个重要特征.从这个意义上讲,可将Ψ(r )直接称为定态波函数或波函数.定态波函数Ψ(r )所满足的方程式 (15.46)称为定态薛定谔方程(或不含时薛定谔方程).在本课程中我们只处理定态问题.在关于微观粒子的各种定态问题中,把势能函数V(r)的具体形式))(,)((2202214x m r V r e r V ω=πε=对一维线性谐振子如对氢原子中的电子代入定态薛定谔方程(15.46)中即可求得定态波函数,同时也就确定了几率密度的分布以及能量和角动量等.我们将看到,如果粒子处于束缚态,即只能在有限区域中运动时,由于波函数必须满足单值、有限、连续的条件,解出微观粒子的能量、角动量等必定不连续,即它们是量子化的.三、一维无限深势阱作为量子力学一些概念和原理的具体应用,我们本节介绍最简单的一种情形——一维无限深势阱.在金属中自由电子、原子核中的质子等,它们的运动都被限制在一个很小的空间内,作为近似和简化,我们抽象出一维无限深势阱模型.它是解释金属物理性质等的基础.通过对这一模型的量子力学处理的学习,可以大致了解量子力学的基本概念和基本原理.一维无限深势阱的势能函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤∞<<=),()()(a x x a x r V 000 (15.49) 其曲线形如深井,如图15.10所示,故称为一维无限深势阱.因为势能V (x )与时间无关,所以属定态问题.在势阱内V (x ) =0,其定态薛定谔方程可写作02222=ψ+ψηmE dx d (15.50) 其中m 是势阱中粒子的质量,令ηmE k 2= 方程(15.50)变为0222=ψ+ψk dxd (15.52) 其通解为kx B kx A x cos sin )(+=ψ (15.53)式中A 和B 是积分常数,应通过边界条件和归一化条件确定.由于是无限深势阱,粒子不能穿越阱壁而到达阱外去,它只能限制在阱内的平底深谷中运动.所以在阱壁和阱外波函数应为零.据波函数的连续条件应有000=ψ==ψ)()(a ,将代入通解(15.53)式得00000=⇒=ψ=⇒=ψka A a B sin )(,)(此时不能取A=0 ,否则只能得到零解,那么只有),,,(sin Λ3210=π=⇒=n n ka ka (15.54)由式(15.51)和式(15.54)得粒子的能量为),,,(Ληη32122222222=π==n ma n m k E n (15.55) 由此可见,一维无限深势阱中粒子的能量是量子化的,n 称为量子数.当n=1时,粒子处于能量最低的基态,基态能量为022221≠π=maE η (15.56) 这一能量也称为零点能,零点能01≠E 表明束缚在势阱中的粒子不会静止,这也是不确定关系所要求的,因为x ∆有限, x P ∆不能为零,从而粒子动能也不可能为零.相应于量子数为n 的定态波函数为);,,,(sin )(a x n x an A x <<=π=ψ0321n n Λ (15.57)而归一化波函数为);,,,(sin )(a x n x an x <<=π=ψ0321a 2n Λ (15.58) 如图15.11所示画出了对应于能量本征值4321E E E E 和、、的波函数以及相应的几率密度.由图15.11(a)可以看出,波函数在阱内区域的分布与在弦线上形成的驻波情形很相似,这一结论与德布罗意关于粒子定态对应于驻波的概念是一致的.对基态波函数,整个阱区相当于半波长的驻波.显然,随着量子数n 的增大,波长在缩短,频率在增加,所以相应状态的能量在提高.图15.11(b)画出了对应于四个能级的粒子几率密度分布.可以看出,在不同的能级上粒子出现的几率密度是不同的.随着量子数n 的增大,几率密度起伏的越来越频繁.这与经典中粒子在阱内出现的几率相等的结论不一致,只有当量子数n 很大时,粒子在阱区内各处的几率才趋于均匀.例题15.4 一有限方势垒的势能函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<=),()()(a x x a x U r V 0000 试讨论粒子能量E<U 0情况下通过方势垒的透射问题.解：为方便,令 ηη)(,E U m k mE k -==02122 则在不同区域中,定态薛定谔方程分别为)(),(a x k dx d a x x k dxd <<=ψ+ψ≥≤=ψ+ψ000022222122解上述方程,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<<+<+=ψ---)(')(')(')(a x e C Ce a x e B Be x e A Ae x x ik x ik x k x k x ik x ik 11221100假定粒子由左方( x < 0)入射,由于势垒的存在,因而在x < 0的区域内,既有入射波,又有反射波；在x > a 的区域内,由于无势场作用,因而只有透射波 ,而无反射波,所以C' = 0 .容易理解,入射的粒子数与入射粒子的几率密度成正比,透射的粒子数与透射粒子的几率密度成正比.由波函数及其导数在x = 0和x= a 处连续的条件,可得四个方程,将它们联立求解则可求得透射系数.22212222212221224k k a k sh k k k k A C D ++===)(入射的粒子数透射的粒子数 2e :222/)(a k a k e a shk -+=其中按经典力学的观点,若E<U 0,则粒子不能穿透势垒,将全部被反弹(散射)回去.上述计算表明,在一般情况下,透射系数0D ≠ ,这说明粒子能够穿过比其能量更高的势垒,这种现象称为势垒贯穿,也叫隧道效应.它是一种量子效应,类似于光波在非均匀介质中的传播情况.我们知道,光波入射到不同介质界面时,既有反射的可能,也有折射透过第二种介质的可能.所以隧道效应被认为是微观粒子波动性的表现.作业(P225)：32、34。