北京市2021年中考数学复习课件28课时 与圆有关的位置关系
中考数学 第二十八讲 与圆有关的位置关系配套课件 北师大版
【解析】连接(liánjiē)OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD.则∠CDO =90°.又∵∠C=18°，则∠BOD=90°－18°=72°.OD=OA， 则∠A=∠ODA=1 ∠BOD=36°，∠CDA=∠CDO＋∠ODA=126°.
2
答案：126
第三十一页，共46页。
6.(2012·扬州中考)如图，PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A,B两 点，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么(nà me)∠P的度数是 ________.
点为A，
3 23
3
∴OA⊥PA，∵∠APO=30°，PA= ，∴OA＝ PA=2,即
⊙O的半径为2.
第二十九页，共46页。
5.(2012·万宁中考(zhōnɡ kǎo)) 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延 长线上，CD与⊙O相切于点D.若∠C =18°，则∠CDA =_____°.
第三十页，共46页。
第七页，共46页。
2.如图所示，等边三角形ABC的边长为6，以点A为圆心，以3 为半径作⊙A，则⊙A与直线BC的位置(wèi zhi)关系是相：离_____.
第八页，共46页。
3.如图，从⊙O外一点(yī diǎn)A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延
长交圆于点C，连接BC.若∠A＝26°，则∠ACB的度数为_____.32°
第三十二页，共46页。
【解析( jiě xī)】连接OA，OB，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=140°，在四边 形APBO中，∠P =360°-90°-90°-140°=40°. 答案：40°
第三十三页，共46页。
圆与圆的位置(wèi zhi)关系
◆中考指数：★★★★☆
两圆的五种位置关系按公共点的个数可分为三大类：
北京市中考数学总复习第七单元圆第29课时与圆有关的位置关系课件
高频考向探究
[方法模型] 切线的两种常用证明方法 (1)有交点,连半径,证垂直.已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.(2)无交
点,作垂直,证半径.当此线与圆无交点时,过圆心向此线作垂线段,证明此垂线段等于半径.
高频考向探究
拓考向
1.[2018·丰台期末] 如图 29-11,AB 是☉O 的直径,点 C 是������������的中点,连接 AC 并延长至点 D,使 CD=AC,点 E 是 OB 上一点,且������������������������=23,CE 的延长线交 DB 的延长线于点 F,AF 交☉O 于点 H,连接 BH. (1)求证:BD 是☉O 的切线; (2)当 OB=2 时,求 BH 的长.
(1)PA=PB;
基本图形 (2)∠APO=∠BPO=∠OAC=∠OBC, ∠AOP=∠BOP=∠CAP=∠CBP;
(3)AB⊥OP 且 AC=BC
课前双基巩固
考点五 三角形的内切圆
三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,这个三角形叫做圆的外切三角形
三角形 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.它是三角形三条① 角平分线 的交点,三角
置关系是
,☉O 与直线 y=x-1 的位置关系是
.
7.点 P 是☉O 外一点,过点 P 作☉O 的切线,切点分别为 A 和
B,写出由切线长定理能够直接得到的结论
.
高频考向探究 探究一 切线的性质
例 1 [2017·朝阳一模] 如图 29-6,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,点 D 在 AB 上,以 BD 为直径的☉O 切 AC 于点 E,连接 DE 并延长,交 BC 的延长线于点 F. (1)求证:△ BDF 是等边三角形; (2)连接 AF,DC,若 BC=3,写出求四边形 AFCD 面积的思路.
最新北师大版数学中考复习之——与圆有关的位置关系(共18张PPT)
（１）求证：PD是⊙O的切线；
C
（２）若PD= 4，cosA= 3 ,求⊙O的半径长.
E
5
D
2
13
PB
O
A
有交点，连半径，证垂直
1 5
常见基本模型
切线
y
O圆心
A 切点
l
l
切线 直径 三线合一
直角
O
x
“等腰+平行=平 分”
1 6
等角重叠
品鉴经典
例5 如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上， C是 ⊙O外一点，AD∥OC ．若直线BC与⊙O 相相切交，， 判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
角为45o，以点A为圆心，r 为半径作⊙A．
（1）若r = 0.7，⊙A与直线 l 相离 ； y
（2）若r = 1，⊙A与相直交 线 ld （圆3）的半若径⊙为Ar与，直圆心线 l相相切交，d
相切 ；
<r =r >r1
．两惟个一交交点点A
到直线的距离为d.
45o
B
l
相离 d > r 没有交点 O
x
5
变式二 如图，在△OAB中，OA=OB ，
C是底边AB的中点， OA切⊙C 于点D ．
求证：OB是⊙O的切线．
O
D
E
A
B
C
距离法：无交点，作垂直，证半径
1 4
考点四：切线的判定
例4 在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，
过点D作DE⊥AC于点E，延长ED与AB的延长线交于点P.
点一：点与圆的位置关系
【常见命题角度】 d、r 比较法判定点与圆的位置关系．
中考数学总复习 第六单元 圆 第28课时 与圆有关的位置关系数学课件
内切圆,切点分别为 D,E,F,∠B=60°,∠C=70°,
则∠EDF 的度数为
.
在△ABC 中,∠A=180°-(∠B+∠C)=180°-(60°+70°)=50°.
∵☉O 是△ABC 的内切圆,∴AB⊥OF,AC⊥OE,
图 28-3
∴∠AFO=∠AEO=90°.
在四边形 AFOE 中,∠EOF=360°-(∠A+∠AFO+∠AEO)
;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必过③ 圆心
(1)和圆有④ 唯一 公共点的直线是圆的切线;
(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的⑤ 半径
,那么这条直线是圆的切线;
(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
常添辅助线 连接圆心和切点
课前双基巩固
考点四 切线长及切线长定理
切线长
切线长定理
个点到直线 AB 的距离为 3.
[答案] 3
[解析] 画图,在 AB 两侧作直线 CD∥AB,EF∥AB,且 CD,EF 与 AB 的距离为 3.由于圆心 O 到直线 AB 的距离为
2,所以圆心 O 到直线 CD 的距离为 5,等于☉O 的半径 5.故直线 CD 与☉O 相切,二者有且只有一个交点 C.显然
=360°-(50°+90°+90°)=130°,
1
∴∠EDF= ∠EOF=65°.
2
课前双基巩固
题组二
易错题
[答案] 44
【失分点】切线的性质和判定依据理不清,不能灵活运用.
[解析] 连接 OB.
5. [2018·连云港] 如图 28-4,AB 是☉O 的弦,点 C 在过点 B 的切线上,
∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=22°,
第28课 与圆有关的位置关系(45张PPT) 备战2021年中考数学复习加餐课件
(1)求∠ACB的度数；(2)若DE＝2，求⊙O的半径. 解：(1)如图，连接OA. ∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°. 又∵OB＝OA，∴∠1＝∠2. ∵AB＝AE，∴∠1＝∠E，∴∠AOE＝2∠1＝2∠E. 又∵在Rt△AOE中，∠AOE＋∠E＝90°，
∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
(2)解：连接BD， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD＝ 1 AB＝3，
2
∴AD＝ 62 32 ＝3 3 .
2021/10/3
考点4 切线长定理 10.(2020·湘潭)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 ⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E. (1)求证：△ABD≌△ACD； (2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由.
∴3∠E＝90°.∴∠E＝30°. ∴∠AOB＝120°.∴∠ACB＝∠AOB＝60°.
(2)设⊙O的半径为r， 在Rt△OAE中，∵∠E＝30°， ∴OE＝2OA， ∴OD＋DE＝2OA. ∴r＋2＝2r. ∴r＝2， ∴⊙O的半径是2.
8.(2020·深圳)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过 点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长 线于点E. (1)求证：AE＝AB； (2)若AB＝10，BC＝6，求CD的长.
16．(泰安中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，
BC＝4，则⊙O的直径为___4__2___．
17．(2020·无锡)如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B， DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC＝ 3. (1)求证：△BOC∽△BCD；(2)求△BCD的周长． (1)证明：∵DC是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°， ∵∠D＝30°，∴∠BOC＝∠D＋∠OCD＝30°＋90°＝120°， ∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°， ∴∠DCB＝120°＝∠BOC， 又∵∠B＝∠D＝30°， ∴△BOC∽△BCD；
与圆有关的位置关系课件 数学中考专题复习
摘要
图示
确定圆 的条件
不 __在_一_同_个_一_圆定义
确定 方法
性质
三角 形的 外心
_外__接__圆__ 的圆心
三角形三 边__垂__直__ _平__分__线___ 的交点
到三个_顶__点__ 的距离等
图示
【微点警示】 1.同一平面内只有三点不在同一直线上 时,才能确定一个圆. 2.一个三角形只有一个外接圆,而一个圆有无数个内接 三角形.
中考数学专题复习 与圆有关的位置关系
考点一 点与圆的位置关系及三角形外接圆
【主干必备】
1.点与圆的位置关系
知识点
摘要
点与圆 的位置
关系
点 __P_d在_>_r圆__外_.⇔
图示
知识点
摘要
点与圆 的位置
关系
点 __P_d在_=_r圆__上_.⇔ 点 __P_d在_<_r圆__内_.⇔
图示
知识点
【主干必备】
直线与圆的 位置关系
相离
相切
图形
相交
直线与圆的位置关 系
相离
相切
相交
公共点个数
___0___ ___1___ ___2___
d与r的关系
___d_>_r___ ___d_=_r___ ___d_<_r__
【微点警示】 当一条直线从已知圆的圆心出发,向圆 外运动时,该直线与圆心的距离d是一个变量,d的变化 在一定程度上会导致直线与圆的位置关系的变化,应注 意“相切”这一特殊位置.
【题组过关】
1.(2019·湘西州模拟)已知点A在半径为r的☉O内,点A
与点O的距离为6,则r的取值范围是 ( B )
A.r<6
专题6.2 与圆有关的位置关系-2021年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
真 2.在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=3,AC=4,点P
题 在以C为圆心,5为半径的圆上,连接
P2
B
P1
精 PA,PB.若PB=4,则PA的长为_3_或___7_3_ 练
C
A
提 升
01
OPTION
目录
考点 1 点与圆的位置关系 考点2 直线与圆的位置关系 考点3 圆的切线的性质及判定 考点4 切线长定理 考点5 三角形的内切圆、外接圆
点
真 题
PO
精
练
C
B
提 升
考点4 切线长定理
检 4.如图,AB是⊙O的直径,AC为弦,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过
测 点D的切线交AC的延长线于点E.
E
考 点 求证：(1)DE⊥AE；
C
D
真
(2)AE+CE=AB.
题
精 练
A
OF B
提 升
05
OPTION
目录
考点 1 点与圆的位置关系 考点2 直线与圆的位置关系 考点3 圆的切线的性质及判定 考点4 切线长定理 考点5 三角形的内切圆、外接圆
B D
C
精 PD的延长线于点C,若⊙O的半径为4,BC=6,
练 则PA的长为( A )
提 升
A.4 B.2 3 C.3
D.2.5
P
A
O
B
考点4 切线长定理
检 测
3.如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB
考 于点P,已知∠OAB=22º,则∠OCB=__4_4_º_.
A
A
题
精
练
DO MF
提 升
2021年北京市中考数学总复习考点28：圆的有关概念
2021年北京市中考数学总复习考点28：圆的有关概念一．选择题（共26小题）1．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选：C．2．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°﹣60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°故选：D．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，∴CE=CD=4cm．在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，∴OE==3cm，∴AE=AO+OE=5+3=8cm．故选：A．4．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64°B．58°C．32°D．26°【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．【解答】解：如图，由OC⊥AB，得=，∠OEB=90°．∴∠2=∠3．∵∠2=2∠1=2×32°=64°．∴∠3=64°，在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，故选：D．5．如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A 上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．【解答】解：连接DC，∵C（，0），D（0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，故选：B．6．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2 C．D．2【分析】根据垂径定理得到CH=BH，=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．【解答】解：∵OA⊥BC，∴CH=BH，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB•sin∠AOB=，∴BC=2BH=2，故选：D．7．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，故选：D．8.已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求角度即可．【解答】解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=，∴tan∠1=，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°．故选：D．9．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（）A．58°B．60°C．64°D．68°【分析】根据半径相等，得出OC=OA，进而得出∠C=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．【解答】解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°﹣32°=58°，故选：A．10．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）A．55°B．110°C．120° D．125°【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【解答】解：根据圆周角定理，得∠ACB=（360°﹣∠AOB）=×250°=125°．故选：D．11．如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）A．B．C．D．【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．【解答】解：设OA与BC相交于D点．∵AB=OA=OB=6∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD==3所以BC=6．故选：A．12．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（）A．24°B．28°C．33°D．48°【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数，再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，进而可得答案．【解答】解：∵∠A=66°，∴∠COB=132°，∵CO=BO，∴∠OCB=∠OBC=（180°﹣132°）=24°，故选：A．13．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB 的长为（）A．B．5 C．D．5【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．【解答】解：连接OC、OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB为弦，点C为的中点，∴OC⊥AB，在Rt△OAE中，AE=，∴AB=，故选：D．14．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC=35°，∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°，故选：C．15．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）A．70°B．80°C．110° D．140°【分析】作对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．【解答】解：作对的圆周角∠APC，如图，∵∠P=∠AOC=×140°=70°∵∠P+∠B=180°，∴∠B=180°﹣70°=110°，故选：C．16．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．5 D．5【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AB===8，故选：B．17．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．35°【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∵∠ACB=35°，∴∠AOB=2∠ACB=70°．故选：B．18．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°【分析】直接利用圆周角定理即可得出答案．【解答】解：∵∠B与∠C所对的弧都是，∴∠C=∠B=24°，故选：D．19．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100° D．90°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故选：B．20．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）A．100°B．110°C．120° D．130°【分析】根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠BOC=40°，∴∠AOC=180°﹣40°=140°，∴∠D=，故选：B．21．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L 通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）A．﹣2B．﹣2C．﹣8 D．﹣7【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC，根据勾股定理求出OA，得到答案．【解答】解：连接AC，由题意得，BC=OB+OC=9，∵直线L通过P点且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC=9，在Rt△AOC中，AO==2，∵a＜0，∴a=﹣2，故选：A．22．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm，在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8，在Rt△EBC中，BC=，∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°，∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=，故选：D．23．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC，再根据圆周角定理解答．【解答】解：连接OB，∵点B是的中点，∴∠AOB=∠AOC=70°，由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，故选：D．24．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．50°C．70°D．80°【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=40°，进而利用垂径定理得出∠AOB=80°即可．【解答】解：∵∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°，故选：D．25．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=AB=，在Rt△AOD中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即OA2=（OA﹣1）2+（）2，解得，OA=4∴OD=OC﹣CD=3，∵AO=OE，AD=DB，∴BE=2OD=6，故选：B．26．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（）A．70°B．35°C．45°D．60°【分析】欲求∠ADC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．【解答】解：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，∴弧AC=弧AB （垂径定理），∴∠ADC=∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；又∠AOB=70°，∴∠ADC=35°．故选：B．二．填空题（共13小题）27．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF﹣OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．28．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= n°．【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB=180°，又∵∠DCE+∠DCB=180°∴∠DCE=∠A=n°故答案为：n29．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC 于点D，则OD的长为2．【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．故答案为2．30．如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=70°．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵=，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．故答案为：70°．31．如图，AB是⊙O的直轻，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA=30°．【分析】利用垂径定理和三角函数得出∠CDO=30°，进而得出∠DOA=60°，利用圆周角定理得出∠DFA=30°即可．【解答】解：∵点C是半径OA的中点，∴OC=OD，∵DE⊥AB，∴∠CDO=30°，∴∠DOA=60°，∴∠DFA=30°，故答案为：30°32．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC= 29度．【分析】根据∠BDC=∠BOC求解即可；【解答】解：连接OC．∵=，∴∠AOB=∠BOC=58°，∴∠BDC=∠BOC=29°，故答案为29．33．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2）．【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD═DB=DA=，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2），34．如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC=15°．【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可．【解答】解：∵OA=OB，OA=AB，∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵OC⊥OB，∴∠COB=90°，∴∠COA=90°﹣60°=30°，∴∠ABC=15°，故答案为：15°35．同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°．【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．故答案为50°．36．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为5．【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．37．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少B走了15步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A=30°，则OC=10，AC=10，所以AB≈69（步），然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=（180°﹣∠AOB）=（180°﹣120°）=30°，在Rt△AOC中，OC=OA=10，AC=OC=10，∴AB=2AC=20≈69（步）；而的长=≈84（步），的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少B走了15步．故答案为15．38．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=60度．【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：如图，连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=20°，∴∠OAB=60°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=60°，故答案为：60．39.如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为10﹣10cm．【分析】（1）如图1中，连接B1C1交DD1于H．解直角三角形求出B1H，再根据垂径定理即可解决问题；（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题；【解答】解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．∵D1A=D1B1=30∴D1是的圆心，∵AD1⊥B1C1，∴B1H=C1H=30×sin60°=15，∴B1C1=30∴弓臂两端B1，C1的距离为30（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．设半圆的半径为r，则πr=，∴r=20，∴AG=GB2=20，GD1=30﹣20=10，在Rt△GB2D2中，GD2==10∴D1D2=10﹣10．故答案为30，10﹣10，三．解答题（共1小题）40．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，=8．∴S菱形ABFC•π•42=8π．∴S半圆=。
中考数学一轮教材梳理复习课件：第28课与圆有关的位置关系
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∵∠BOD＝120°， ∴∠BOF＝∠DOF＝60°.
OB＝OD， 在△BOF 和△DOF 中，∠BOF＝∠DOF，
OF＝OF，
∴△BOF≌△DOF(SAS). ∴∠OBF＝∠ODF＝90°. ∴DF 与⊙O 相切．
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12．(2019·桂林)如图，BM 是以 AB 为直径的⊙O 的切线，B 为切点，BC 平分∠ABM，弦 CD 交 AB 于点 E，DE＝OE.
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证明：连接 OD，如图所示． ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA. ∵AD 平分∠EAF， ∴∠DAE＝∠DAO. ∴∠DAE＝∠ADO. ∴OD∥AE. ∵AE⊥EF，∴OD⊥EF. ∴EF 是⊙O 的切线．
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◆(类型 2)作垂线证相等 8．(2018·安顺)如图，在△ABC 中，AB＝AC，O 为 BC 的中点，AC 与半圆 O 相切于点 D. 求证：AB 是半圆 O 所在圆的切线．
圆 O 于 A，B 两点，若 PA＝3，则 PB＝( B )
A．2
B．3
C．4
D．5
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5.三角形的内心与外心
(1)三角形的内心：
①定义：三角形内切圆的圆心；
②性质：内心到三边的距离相等；
③作法：作三角形两条角平分线，其交点为内切圆的
圆心．
(2)三角形的外心：
①定义：三角形外接圆的圆心；
②性质：外心到三个顶点的距离相等；
③作法：作三角形两边的垂直平分线，其交点为外接
圆的圆心．
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5.(1)(2019·娄底)如图，边长为 2 3 的等边△ABC 的
内切圆的半径为( A )
人教版九年级下期数学中考复习：和圆有关的位置关系 课件(共13张PPT)
切线判定：
例3、如图，已知直线AB经过⊙O上的点C， 并且OA=OB，CA=CB，那么直线AB 是⊙O的切线吗?为什么
有切点，连半径，证垂直
例4、如图，△ABC为等腰三角形， O是底边BC的中点，腰AB与O相切 于点D. 求证：AC是O的切线。
无切点，作垂直，证半径
检测：1、如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的 切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
检测题：1.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm, 则圆的半径为( )
(A)16cm或6cm (B)3cm或8cm (C)3cm （D）8cm
2、RtΔABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则斜边上的高等 于（ ）；若以点C为圆心作与AB相切的圆，则该圆的半径 为r＝（ ）；若以C为圆心，以5为半径作圆，则该圆与AB 的位置关系是（ ）。
中考复习 与圆有关的位置关系
复习目标
1. 回顾与圆有关的几种位置关系（点与圆， 直线与圆），巩固对几种位置关系特点的理 解，加强对各种位置关系的认识.
2. 巩固对切线的判定与性质的理解和应用， 并了解切线长定理.在解决问题的过程中体会 对比，分类思想.
知识网络
根据知识网络的提示，复习课本中 相关知识点。（课上提问）
(1)若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长； (2)若D为AP的中点，求证：直线CD 是⊙O的切线．
2、如图，BC是圆O的直径，点D是圆上一点，点A在BC 的延长线上，连接CD，BD，且 ADC DBC
（1）求证：AD是圆O的切线； （2）若A 30，AC 2，求BD的长.
检测3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC 交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的 外接圆 （1）求证：AC是⊙O的切线；
京改版九年级下册《24.3圆和圆的位置关系》课件
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24.3圆和圆的位置关系（二）
例：如图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点， OP=8cm。求1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的 半径是多少？
2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？
解:设⊙O与⊙P外切于点A,则,
PA=OP-OA ∴PA=3cm
3x-2x=8
x=8 ∴R=24cmr=16cm ∵两圆相交R-r<d<R+r ∴8cm<d<40cm
例
已知⊙01和⊙02的半径分别为R和r(R>r), 圆心距为d,若两圆相交,试判定关于x的方 程x2-2(d-R)x+r2=0的根的情况。
解∵两圆相交∴R-r<d<R+r △=b2-4ac=[-2(d-R)]2-4r2 =4(d-R)2-4r2 =4(d-R+r)(d-R-r) =4[d-(R-r)][d-(R+r)] ∵d-(R-r)>0d-(R+r)<0 ∴4[d-(R-r)][d-(R+r)]<0 ∴方程没有实数根
❖例：已知，如图，⊙０１和⊙０２相 交于Ａ、Ｂ两点。ＣＤ分别交两圆 于Ｃ、Ｅ、Ｆ、Ｄ。若∠ＥＡＦ＝ ３９°，Z.x.x.K 求∠ＣＢＤ的度数。
❖例：⊙０１和⊙０２外切于Ｐ点，过 Ｐ作直线交⊙０１和⊙０２于Ａ、Ｂ， 联结Ｏ１Ａ、Ｏ２Ｂ。
❖（1）试问Ｏ１Ａ、Ｏ２Ｂ有怎样的 位置关系？证明你的结论。
❖（2）若将⊙０１和⊙０２外切于Ｐ 点改为内切于P点，（１）中的结 论是否仍成立？证明你的结论。
P PP
P
P
P
PP
2)设⊙O与⊙P内切于点B,则, PB O
中考数学精品课件第28讲与圆有关的位置关系(77张)
2019/4/15
1.(2011·成都中考)已知⊙O的面积为9π cm2,若点O到直线l
的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )
(A)相交
(C)相离
(B)相切
(D)无法确定
【解析】选C.由题知圆的半径为3，∵3<π，所以直线和圆相 离.
2019/4/15
2.(2011·杭州中考)在平面直角坐标系xOy中以点(-3,4)为圆
2019/4/15
(3)直线FA与⊙O相切.理由如下： 连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，
BD AB2 AD 2 12 2 4 4 3，
2
1 BF BO BD 2 3， 2 AB 2 3， ∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，
【解析】选B.由题意知S阴影＝π×92-π×(9-2)2=81π-49π =32π.
2019/4/15
12.(2010·益阳中考)如图，分别以A、B 为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交
于C、D两点，则∠CAD的度数为_____.
【解析】连接BC、BD,由题意得△ABC和△ABD都是等边三角形，
答பைடு நூலகம்：相离
2019/4/15
切线的性质
圆的切线的性质有：(1)位置关系：圆的切线垂直于过切点的 半径，从圆外一点引圆的两条切线，这点与圆心的连线平分 这两条切线的夹角；(2)数量关系：从圆外一点引圆的两条切 线，切线长相等.
2019/4/15
【例2】(2011·滨州中考)如图，
直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O
2019/4/15
2019/4/15
2019/4/15
第27讲 与圆有关的位置关系(课件)中考数学一轮复习(全国通用)
1. 点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
位置关系
图形
半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可
以确定该点与圆的位置关系．
定义
性质及判定
点在圆的外部
d > r 点P在圆外
点在圆周上
d = r 点P在圆上
点在圆的内部
内切
内含
O2
d
性质及判定
无
> + ⇔两圆外离
1个切点
= + ⇔两圆外切
两个交点
− < < + ⇔两圆相交
1个切点
= − ⇔两圆内切
R
r
O1
O2
d
r
相交
公共点个数
O1
R
d
O2
rd R
O1 O2
R
r d
O1 O2
无
0 ≤ < − ⇔两圆内含
∴圆A与圆C外切，圆B与圆C相交，圆A与圆B外离，
故选：D．
）
考点二 切线的性质与判定
1.切线的性质与判定
定义
线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．）
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
）
考点二 切线的性质与判定
题型02 利用切线的性质求线段长