与圆有关的角
探究与圆有关的角
探究与圆有关的角随着新课程改革的不断深入，各地中考命题都发生了很大的变化，尤其对于圆的考查，难度、内容与形式都有很大的改变，并且多数省、市都以计算或者简单探究解答题的形式来考查圆的知识，其中大多涉及到与圆有关的角：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．主要考查同学们的观察、分析、推理及运用知识、发现创新能力。
现就以精选几个与圆有关的角为例进行分析与说明，希望能给同学们带来启示与帮助。
例1：如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝1000，点P 在△ABC 的外部，并且PC ＝BC ，求∠APB 的度数。
思路点拨：由题中的条件AC ＝BC ＝PC ，联想到圆的定义，画出以点C 为圆心，AC 为半径的圆，使此题得以突破与解决。
例2：.如图，BC 为半圆O 的直径，点F 是弧BC 上一动点（点F 不与B 、C 重合），A 是弧BF 上的中点，设∠FBC=α, ∠ACB=β.⑴当α＝50°时，求β的度数。
⑵猜想α与β之间的关系，并给与证明。
思路点拨：解此题的关键是把握圆周角与所对弧的度数之间的关系。
例3：如图，点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O-C-D-O 的路线作匀速运动.设运动时间为t 秒, ∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是().例4：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交弧BC 于D ．(1)请写出四个不同类型的正确结论； (2)若BC =8，ED ＝2，求⊙O 的半径．（3）连CD ，设∠BDC=α，∠ABC=β，探究α与β之间的关系式，并给给予适当的说明。
思路点拨：根据垂径定理及推论可得出线段相等、角相等=线段平等、三角形全等或相似等结论；同时利用构造勾股定理列出方程求出圆的半径；利用直径所对的圆周角为直角及及圆内接四边形对角互补等进行分析与探究。
第27讲：与圆有关的角
Ｂ Ｏ ４。
Ｄ． ０ ７。
２ 如图 ５ＡＢ是ｏ０的直径 ， Ｄ是 Ｏ０的弦 ， ． ， Ｃ 连 结 Ａ 、 Ｄ， Ｃ Ａ 若￣Ｃ Ｂ ５， Ａ ＝３￣则 ＡＤ Ｃ的度数为
—
．
—
（ ０ ８， 原 ） ２０ 太
图９
图 １ Ｏ
数 学ｚ Ｇ Ｉ Ｘ Ｌ Ｅ Ｕ ￣ ＥＫ
７ 如图 １， Ｂ Ｃ、 ． ０Ａ、 、 Ｄ为ｏ０的四等分点， 动点 Ｐ从 圆心 Ｏ出发， （— Ｌ 一０路线作匀速运动． 沿 ）Ｃ Ｌ 设运动 时间为 ￡ｓ， （） ）一． 度）则下列图象中表示 Ｙ与 ｔ Ｂ ） ， ， （
‘ ．
‘ Ｅ／ Ｍ／Ｂ Ａ ／Ｏ ／ Ｆ，
？
．
图 １ １
一、
图 １ ２
Ｍ Ｅ— Ｍ Ｆ．
０
９ 已知 ： ． 如图 １ ， 是 ＡＢ 的中点 ， ２Ｍ 过点 Ｍ 的弦
Ｍ Ｎ 交 ＡＢ 于点 ｃ， ④ ０的 半 径 为 ４ｃ Ｍ Ｎ＝ ４ 设 ｍ， ｃ （ ） 圆心 ０ 到 弦 ＭＮ 的 距 离 ； ２ 求 ＡＣ 的 ｍ＋ １求 （） Ｍ 度数． （０ ８ 南通 ） ２０ ，
１。 Ｂ Ｏ ， ＡＣ＝６ 。则 Ｂ Ｃ一 （ ０， Ｅ
Ａ． ５ ３。
Ｃ． Ｏ ６。
１ 如 图 ４ 在 ｏ０ 中 ， ． ， ＺＡＯ 的 度 数 为 ｍ ， 是 Ｂ Ｃ
， 、
） ．
Ａ Ｂ上一点 ， Ｅ是 ＡＢ上不 同的两 点 （ 与 Ａ、 Ｃ Ｄ、 不 Ｂ 两点重合）则 Ｄ＋ Ｅ的度数为 （ ， ） ．
５ ’． ．
４
． 一
④Ｅ Ａ
５如 图 ８ Ｎ Ｎ ￣ ｂ Ｎ Ａ ， Ｎ
．
人教版-数学-九年级上册-知识归纳：圆
知识归纳：圆本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．10．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．重点、热点垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. 运用圆内接四边形的性质解有关计算和证明题.。
圆(全)知识点习题及答案
圆一、本章知识框架二、本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．圆和圆的位置关系：设的半径为R、r(R>r)，圆心距．(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<R－r(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．(5)有两个公共点相交R－r<d<R＋r．10．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．11．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R 的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l 的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l 的圆柱的体积为，侧面积为2πRl ，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．一、知识点1、与圆有关的角——圆心角、圆周角（1）图中的圆心角；圆周角；（2）如图，已知∠AOB=50度，则∠ACB= 度；（3）在上图中，若AB是圆O的直径，则∠AOB= 度；OA B3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆；例：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，（1）当d=2厘米时，有d r，点在圆（2）当d=7厘米时，有d r，点在圆（3）当d=5厘米时，有d r，点在圆4、直线和圆的位置关系有三种：相、相、相．例：已知圆的半径r等于12厘米，圆心到直线l的距离为d，（1）当d=10厘米时，有d r，直线l与圆（2）当d=12厘米时，有d r，直线l与圆（3）当d=15厘米时，有d r，直线l与圆5、圆与圆的位置关系：例：已知⊙O1的半径为6厘米，⊙O2的半径为8厘米，圆心距为 d，则：R+r= ， R－r= ；（1）当d=14厘米时，因为d R+r，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（2）当d=2厘米时，因为d R－r，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（3）当d=15厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（4）当d=7厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（5）当d=1厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：6、切线性质：例：（1）如图，PA是⊙O的切线，点A是切点，则∠PAO= 度（2）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B是切点，则 = ，∠ =∠；7、圆中的有关计算（1）弧长的计算公式：例：若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少？ 解：因为扇形的弧长=()180所以l =()180= (答案保留π)（2）扇形的面积：例6：①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少？ （3）圆锥：例：圆锥的母线长为5cm ，半径为4cm ，则圆锥的侧面积是多少？解：∵圆锥的侧面展开图是 形，展开图的弧长等于 ∴圆锥的侧面积=8、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的 交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的 交点；基础练习一。
初中数学-与圆有关的角
与圆有关的角阅读与思考与圆有关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角.特别的，直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形提供相等的角、互补的角，在理解与圆有关的角的概念时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系.角在解题中经常发挥重要的作用，是证明角平分线、两线平行、两线垂直，判定全等三角形、相似三角形的主要条件，而圆的特点又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素.熟悉以下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，则△CDE的面积为___________.C例1题图例2题图解题思路：作DF⊥BC于F，需求出CE，DF的长.由AB为⊙O的直径作出相关辅助线.【例2】如图，△ABC内接于⊙O，M是中点，AM交BC于点D，若AD＝3，DM＝1，则MB的长是（）A．4 B．2 C．3 D． 3解题思路：图中隐含许多相等的角，利用比例线段计算.【例3】如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中，∠DCE是直角，点D在线段AC上.(1) 证明：B，C，E三点共线；(2) 若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝2OM；(3) 将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D1CE1(如图2).若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由.解题思路：对于(2)，充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系与位置关系.【例4】如图所示，ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠DAC. 求证：(1)△ABE∽△ACD；(2) AB·DC＋AD·BC＝AC·BD.解题思路：由(1)可类比猜想，为(2)非常规问题的证明铺平道路.【例5】如图1，已知⊙M与x轴交于点A，D，与y轴正半轴交于点B，C是⊙M上一点，且A（－2,0），B（0，4），AB＝BC.(1) 求圆心M的坐标；(2) 求四边形ABCD的面积；(3) 如图2，过C点作弦CF交BD于点E，当BC＝BE时，求CF的长.解题思路：作出基本辅助线（如连接BM或AC），这是解(1)、(2)的基础；对于(3)，由BC＝BE，得∠BEC＝∠BCE，连接AC，将与圆无关的∠BEC转化为与圆有关角，导出CF平分∠ACD，这是解题的关键.E1图1 图2【例6】如图，AB，AC，AD是⊙O中的三条弦，点E在AD上，且AB＝AC＝AE.求证：(1) ∠CAD＝2∠DBE；(2) AD2－AB2＝BD·DC.解题思路：对于（2），AD2－AB2＝(AD＋AB)(AD－AB)＝(AD＋AE)(AD－AE)＝(AD＋AE) ·DE，需证(AD＋AE) ·DE＝BD·DC，从构造相似三角形入手.。
圆中有关的角
年 级 初三 学 科 数学 编稿老师 田一鹏 课程标题 圆中有关的角一校 张琦锋二校林卉审核孙永涛一、考点突破1. 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角的定义及其度量。
2. 掌握圆内接四边形的性质定理。
3. 了解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。
二、重难点提示重点：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系。
难点：圆周角定理的应用和分类讨论的思想在解题中的应用。
一、圆中有关的角⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩圆心角圆周角圆中有关的角圆内角圆外角弦切角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
OCB把整个圆周等分成360份，每一等份弧是1°的弧，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们相对应的其余各组量都相等。
2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
OBCA一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之也成立。
直径所对的圆周角是直角。
BCAO3. 圆内角：顶点在圆内（两边自然和圆相交）的角叫圆内角。
P OBA圆内角的度数等于它所对的弧的度数与它的对顶角所对的弧的度数的和的一半。
DPB COA4. 圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交（或相切）的角叫圆外角。
DPBCAO圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差（较大弧的度数减去较小弧的度数）的一半。
5. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论①弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
推论②如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
二、圆的内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
角与圆的关系
已知：如图直线ABP和CDP是自点P 引的⊙O的两条割线 求证：PA·PB=PC·PD
证明：连接AD、BC∵∠A和∠C都 对弧BD ∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C 又∵∠P=∠P ∴△ADP∽△CBP （如果一个三角 形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相 似。）
对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC
的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角 形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
图2
∠COD=∠CAD+）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+
∠CAD)=2∠BAC
情况3：
角与圆的关系
顶点在圆内，由两 条弦在圆内相交所 成的角叫圆内角
顶点在圆周上，并 且两边都和圆相交 的角叫圆周角
顶点在圆外，由 圆的两条割线组 成的角叫圆外角
如右图，已知在⊙O中，弦AB、CD 交于点P。
连OA、OB、OC、OD和BC。 在⊙O中，∠BCD= 12∠BOD（圆周角 定理）； 同理，∠ABC= 12∠AOC。 ∵∠APC是△PCB的外角，
即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
图1
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2, 当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边
的外角等于两个不相邻两个内角的和）
新人教版九年级数学(上)——与圆有关的角(圆周角、圆心角)
OA BE FCD课前回顾1、垂径定理的概念及其推论：2、回顾练习：如图：AB 是的直径，CD 是弦，过A 、B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB=10，AE=3，BF=5，求EC 的长。
知识点一、圆心角1、圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4、圆心角定理推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量相等，其余各组量都相等。
例题讲练例题一、概念理解1．______________的______________叫做圆心角． 2．如图，若长为⊙O 周长的nm，则∠AOB =____________．与圆有关的角——圆心角、圆周角3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _____________________．4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．5. 求证：在同圆或等圆中，两条弦相等，那么它们的弦心距也相等。
例题二、基础应用6．已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．7．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB 相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．例题三：综合应用9．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AMC．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定10．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．11．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．CAB1、圆周角的定义：顶点在圆上，两条边与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；都等于这条弧所对的圆心角的一半。
1与圆有关的角导纲6
九年级 时间2011.12、15编号 26编制人 秦绍杰 审核人 审批人《与圆有关的角》导学提纲班级 姓名 小组 组内评价 老师评价一、学习目标 1、记住圆心角、圆周角定义及定理以及其它与圆有关的角的重要结论，并能灵活运用于计算和证明。
2、学会从表象中抽象出本质规律，提高逻辑思维能力与推理能力。
学会一题多解、一题多变，达到举一反三的目的。
3、极度热情、全力以赴，在小组活动中，积极参与，勇于展示自己。
二、学习过程 （一）知识梳理 （二）基础练习 1、判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等。
( ) (2)等弧所对的圆周角相等。
( ) (3) 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。
( ) (4)在同圆或等圆中, 同一条弦所对的圆周角相等。
( ) 2、如图：⊙O 中，∠AOB=60°，半径OA=5cm, 则弦AB= _____。
3、如图：△ABC 内接于⊙O ，∠C= 30°，AB=5cm, 则⊙O 半径的长为____。
4、四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，点E 在DC 的延长线上，如果∠BOD= 120°，则∠BCE=________。
5. 如图,A,D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径， 若∠D=350，则∠OAC 的度数是 。
（三）、拓展提高： 1. 如图，三角形的内切圆与边AB 、BC 、CA 分别相切于D 、E 、F ，直线GH 切圆O 于点N ，分别交AB 、 AC 于点G 、H 、点M 在圆上。
若∠A=50°， ∠BOC=_______∠DMF=________ ∠GOH=____。
感受目标，有的放矢。
自学要求：认真思考，小组内详细梳理。
独立思考完成基础练习；然后全班交流答案找出不足，进行改正。
认真分析，独立完成后，小组交流，注意梳理题目中的知识点和运用的数学思想方法2、如图：AB 为半圆O 的直径，弦AD,BC 相交于点P ，若CD=3， 小组内大胆质，AB=4，求sin ∠APC 的值。
与圆有关的角7---圆周角
你能提出一个什么问题？
同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.
这个命题正确吗？如何证明？
问题探知
观察圆周角APB与圆心O的位置，有几种情况？
1圆心在圆周角的内部；2圆心在圆周角的一边上； P '' 3圆心在圆周角的外部.
A
A
A
B
B
A B
O
P P' B
O
O
PO
图1PΒιβλιοθήκη P 图2图3第1中情况：如图1 OA OB P B
A
B
顶点在 圆上 ，两边 都与圆相交 . 你们能给他起个名称吗？
判断下列图形中的是不是圆周角
C
E D
O
O
O
O
A
B
C
D
问题探知
活动一
A B
1.在 O中，作出AB所对的圆心角AOB和圆周角APB O
2.用量角器测量出AOB和APB的度数；
P
3.比较AOB和APB的度数，你发现了什么? AOB=2APB
1.如图1，在 O中，ABC 500，则AOC等于
O
A、50 0
B、80 0
C、90 0
D、1000
C 图1
2.如图2，ABC是等边三角形，动点P在劣弧 AB上，且
C
不与A、B重合，则AOC等于
A、30 0
B、60 0
C、90 0
D、450
O
A
B
P 图2
延伸拓张
A
3.如图，找出图中所有相等的圆周角.
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等吗？
反思小结
作直径PC，由第1种情况得
B
AOC 2APC BOC 2BPC
与圆有关的角
一、与圆有关的角1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角． 圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2．圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角． 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半． 3．圆心角与圆周角的关系．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．13．（茂名2008）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AO ∥BC ，∠AOB = 50°，则∠OAC 的度数是 ．1】如图1－3－8，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上．如果∠P ＝50○，那么∠ACB 等于（ ）A ．40○B ．50○C ．65○D ．130○2．如图7，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC 的大小是________.3. 如图，点O 是⊙O 的圆心，点A 、B 、C ，在⊙O 上，AO ∥BC ，∠AOB =38°，则∠OAC 的度数是 .4】如图1－3－2，在⊙O 中，弦AB=1．8。
m ，圆周角∠ACB=30º，则 ⊙O 的直径等于=_________cm ．5.如图A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，AB=2, ∠ACB=30°,那么⊙O 的半径等于 。
8．如图4所示，在⊙O 中，∠ACB ＝∠D ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长为_________ ．6．如图1－3－7，AB 是⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=( )A.100ºB. 110ºC. 120ºD.135º第5OC B A （第3题图）OCBA（第13题图）A D 图4图1-3-710.如图所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB 是（ ）A ．正方形 B.长方形 C ．菱形 D ．以上答案都不对6．如图，1∠的正切值等于 ．二、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧3．（3分）（2012•茂名）如图，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E ，若CD=6，则DE=（ ）A ． 31.如图8，CD 为⊙O 的直径， “弦AB ⊥CD 于点E ，CE =1，AB =10，求CD 的长”．2.如图1，⊙O 中弦AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ，则⊙O 的半径长为：（ ）3.如图2：在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，则圆心O 到AB 的距离是 cm.4.如图所示，AB 、AC 是圆的两条弦，AD 是圆的一条直径，且AD 平分∠BAC ，下列结论中不一定成立的是：（ ）A.AB=DBB.BD=CDC.BC ⊥ADD . ∠B=∠C5．下列命题正确的是（ ）图1图2第4题图图第10题6题图 第9题A ．相等的圆心角所对的弦相等B ．等弦所对的弧相等C ．等弧所对的弦相等D ．垂直于弦的直线平分弦6．有4个命题：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最大的弧是过圆心的弧；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧． 其中真命题是（A ）①③ （B ）①③④ （C ）①④ （D ）①7．如图1－3－6，如图，在⊙O 中,AB 是弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若AB=16，OC=6，则⊙O 的半径OA 等于（ ）A 、16B 、12C 、10D 、88．如图l-3-3，已知⊙O 中，MN 是直径，AB 是弦，MN ⊥BC ，垂足为C ，由这些条件可推出结论 （不添加辅助线，只写出1个结论）．9、等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝1200，BC ＝10 cm ，则△ABC 的外接圆半径为 。
2.2(1)(2)与圆有关的角(圆周角)
︵
︵
E
A
O B D
一 、这节课主要学习了两个知识点： 1、圆周角定义。
2、圆周角定理及其定理应用。
二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了
“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。
2.2（2）圆周角
例2. 如图，⊙O 的两条弦 AB与CD 相交于圆内 的一点 P，求证：∠ APC 等于 AC 所对圆周角 1 所对圆周角的和 与 BD . 2
2.2（1）圆周角
一. 复习引入:
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角
O
.
2.与圆心角相关的定理有哪些？
B
C
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、 弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对 应的其余两个量都分别相等。
二、圆周角
图中∠ACB、∠ADB、∠AEB这样的角 叫做圆周角． D 特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交.
.O
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 1 即 ∠ACB = ∠AOB 2
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆 心角的一半.
推论1 同弧 (或等弧) 所对的圆周角相等；同圆或 等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
想一想：半圆（或直径）所对的圆周角是多少？ 如图，AB是⊙O直径，
E
C O· B
A
∠ACB、∠ADB、∠AEB所对的弧都是AB ∴ 一条弧所对的圆周角有无数个
练习：
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
图１
图２
图３同一条弧所对的圆周角和圆心角
之间的关系 ？
C
D
O B A
圆周角和圆心角的关系
圆心角、弦、弧、圆周角之间的推导
圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系是几何学中常见的概念。
在此文档中，我们将推导这些概念之间的关系，并解释它们在圆的几何中的重要性。
首先，让我们定义这些概念：•圆心角：圆心角指的是以圆心为顶点的角。
•弦：弦是连接圆上两点的线段。
•弧：弧是圆上两点之间的曲线部分。
•圆周角：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。
接下来，我们将探讨这些概念之间的关系。
1.弧和圆心角的关系：当我们考虑一个圆上的弧时，圆心角是与该弧相对应的角度，两者是一一对应关系。
换句话说，一个弧唯一对应一个圆心角，一个圆心角也唯一对应一个弧。
例如，如果给定一个半径为r的圆，圆心角为θ度，那么对应的弧长可以通过以下公式计算：弧长= (θ/360) × 2πr。
2.弦、弧和圆心角的关系：在圆上，如果一个弦和圆心角相等，那么它所对应的弧的长度也是相等的。
这表明弦、弧和圆心角之间存在着等量关系。
换句话说，如果两个弦所对应的圆心角相等，那么它们所对应的弧的长度也是相等的。
这个关系可以通过圆心角的定义进行证明。
由于圆心角是以圆心为顶点的角，所以它们的两条边与圆上的两条弦相等，因此对应的弧长也相等。
3.圆周角和圆心角的关系：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。
当一个圆周角的两个角点分别在圆上的两条弧的端点时，这两条弧所对应的圆心角恰好等于圆周角的大小。
这个关系可以通过对圆心角和圆周角的定义进行证明。
圆周角的两个角点分别位于圆上的两条弧的端点，因此对应的圆周角的大小就等于这两个圆心角之和。
通过上述推导，我们可以看出圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系密切相关。
它们在圆的几何中起到重要的作用，帮助我们研究和解决各种与圆相关的问题。
这些概念的理解不仅对于数学学习具有重要意义，而且在实际应用中也有广泛的应用，例如建筑、工程和物理学等领域。
总结起来，圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系可以通过定义和几何推导来解释。
这些概念在圆的几何中相互关联，为我们理解和研究圆提供了重要的工具和观点。
初三数学圆的有关性质及有关的角(含答案)
第三讲圆的有关性质及有关的角一、知识要点：1、圆是平面上到的距离等于的点的集合。
2、的三点确定一个圆；任何一个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的心，它是三角形的的交点。
3、圆是以为轴的轴对称图形，又是以为中心的中心对称图形。
4、垂径定理的条件是，结论是。
5、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都。
重、难点：圆的基本性质，垂径定理。
基础知识圆的有关性质和计算①垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．②弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.④圆内接四边形的性质: 圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.1、圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的；半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是。
2、弦切角它所夹的弧对的圆周角。
3、圆内接四边形的对角；任何一个外角都等于它的。
二、例题讲解（1）圆的认识1、（2005•扬州）下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、下列命题中，正确的是（）A．圆只有一条对称轴B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴3、过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（）A．1条B．2条C．3条D．无数条4、下列命题中，正确的个数是（）（1）不同的圆中不可能有相等的弦；（2）优弧一定大于劣弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．A．1个B．2个C．3个D．4个（2）垂径定理及推论例1、1．（2012•新疆）如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE=4，AC=6，求DE．练习1、（2019•南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O 位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．变式题1：（2010•襄阳）圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求两弦AB、CD的距离。
圆周角与圆心角
圆周角与圆心角圆周角和圆心角是圆的两个重要角度概念。
在几何学中，圆是一个由一条曲线围成的形状，其每一点与中心点的距离相等。
圆周角和圆心角是与圆相关的两种角度测量方式。
一. 圆周角圆周角是指圆上的一小部分所对应的角度。
可以想象圆周角是由圆的弧所围成的角度。
圆周角的度数范围是0度到360度，它是以圆心为顶点的角度。
二. 圆心角圆心角是以圆心为顶点的角度，它的两条边分别是两条射线，一条从圆心指向圆上的一点，另一条则是从圆心指向圆上的另一点。
圆心角可以被认为是由圆周角所围成的角度。
圆心角的度数范围是0度到360度。
三. 圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角之间存在以下关系：1. 当两个角度互为半周角时，即一个角度的度数是180度，另一个角度的度数是360度，它们所对应的弧长长度相等。
2. 当一个角度等于90度时，它所对应的弧长长度是1/4圆周的长度。
3. 当一个角度等于30度时，它所对应的弧长长度是1/12圆周的长度。
四. 应用举例1. 圆周角和圆心角在测量弧长和曲线长度方面有广泛应用。
通过测量圆心角的大小，可以计算出弧长的长度。
2. 圆周角和圆心角也被用于计算扇形的面积。
扇形的面积可以通过圆心角的度数来计算，面积等于圆周角所对应的弧长与半径的乘积再除以2。
结论：圆周角和圆心角是与圆相关的两个重要角度概念。
圆周角是由圆的弧所围成的角度，度数范围为0度到360度。
圆心角以圆心为顶点，度数范围也为0度到360度。
圆周角和圆心角之间有一定的关系，可以通过它们的度数计算弧长和扇形的面积。
在几何学中，理解圆周角和圆心角的概念对于解决与圆相关的问题非常重要。
圆周角
圆周角主要内容：（一）圆周角1. 定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫圆周角。
如图，∠BAC强调圆周角与圆心角的区别。
2. 圆周角的性质：定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
强调：（1）定理的证明思路和方法，强调分类、归纳的数学思想。
（2）圆周角和圆心角存在关系的前提是它们对着同一条弧。
推论：（1）在同一圆（或相等的圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等。
（2）直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径。
说明：（1）圆周角的性质定理和推论是圆中证明两角相等、两条线段相等、两条弦相等的重要依据，还能确定直径，在计算和作图中应用较广。
（2）若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不成立，如果一条弦所对的圆周角有两种情况：相等或互补。
如图中，∠ACB＝∠ADB∠ACB＋∠AEB＝180°∠ADB＋∠AEB＝180°（二）圆的确定1. 过一点的圆有无数个。
2. 过两点的圆有无数个。
3. 过不在同一直线上的三点确定一个圆。
4. 三角形的外接圆和圆的内接三角形。
5. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点。
它到三角形三个顶点的距离相等。
锐角三角形的外心在三角形内部。
直角三角形的外心是斜边中点。
钝角三角形的外心在三角形的外部。
【典型例题】例1.分析：则∠C＝∠D，易解。
解：作直径AD，连结BD则∠ABD＝90°，∠D＝∠C即⊙O的半径长为10例2. 如图，已知在⊙O中，弦AB⊥CD，连结AD、BC，OE⊥BC于点E。
分析：略证明：作直径BF，连结FA、FC则∠BCF＝∠BAF＝90°∵OE⊥BC，∴CE＝BE又OB＝OF，∴OE为△BCF的中位线又AB⊥CD，FA⊥AB∴FA∥CD例3.且DG⊥AB于点G。
分析：略（1）证明：如图∴∠1＝∠A又∠ADB＝∠BDE，∴△BDE∽△ADB又AB为直径，∴∠ADB＝90°例4.分析：略解：（1）当点A在弦BC所对的优弧上时，如图（1）连OB、OC，过O作OD⊥BC于D（2）当点A在弦BC所对的劣弧上时，如图（2）求∠BOC＝120°的方法同前。
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与圆有关的角
【教学目标】1、熟练求圆中角的度数
2、熟练判断角与角的关系
3、正确推理及书写思维过程
4、培养学生的观察和分析能力
【教学重点】圆中角的有关性质的运用
【教学难点】转化角的关系，构造基本图形
一、知识回顾
1、如图，直线MN∥QC，则∠ABC=
∠ABC+ =180
2、n边形的内角和等于，正n边形的每个内角等于，
正n边形的中心角等于。
3、等腰三角形底边上的高平分
4平行四边形的对角
5、在同圆或等圆中，所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半。
6、的圆周角是直角。
7、同弧或等弧所对的相等。
8、圆内接四边形的互补。
9、圆的切线垂直于的半径。
10、如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，则平分∠APB。
二、例题
例1、如图，⊙O中A B⊥直径CD于点E，
∠BOD=50度，则∠ACD=
例2、如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，C为ACB上
一点，已知∠BCA=50度，则∠APB=
例3、如图，直线a∥b，直线c交a、b于点A、B，且直线a、b都于⊙O相切
①∠AOB=
②若∠1=50度，则∠2=
例4、如图，半径为2的⊙O中，弦AB=2，则弦AB所对的圆周角等于
例5、如图，AB是⊙O的直径，BC、CD切⊙O于B、D两点，连AD、OC，OC交⊙O 于点E，交BD于点F。
①若∠BCD=80度，求∠ABD的度数。
②求证：E是△BCD的内心。