积分表

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常 用 积 分 公 式
(一)含有ax b +的积分(0a ≠)
1.d x ax b +⎰=1ln ax b C a ++
2.()d ax b x μ+⎰=11()(1)
ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +⎰=21(ln )ax b b ax b C a +-++
4.2d x x ax b +⎰=22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦
5.d ()x x ax b +⎰=1ln ax b C b x +-+
6.2d ()
x x ax b +⎰=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +⎰=21(ln )b ax b C a ax b
++++ 8.22d ()x x ax b +⎰=2
31(2ln )b ax b b ax b C a ax b
+-+-++ 9.2d ()x x ax b +⎰=2
11ln ()ax b C b ax b b x +-++
的积分
10.x C +
11.x ⎰=22(3215ax b C a
-
12.x x ⎰=22232(15128105a x abx b C a -+
13.x
⎰=22(23ax b C a -
14.
2x
⎰=22232(34815a x abx b C a -+
15
.⎰
(0)(0)C b C b ⎧+>< 16
.⎰
2a bx b -- 17
.x ⎰
=b ⎰18.2d x x ⎰
=2a + (三)含有22x a ±的积分
19.22d x x a +⎰=1arctan x C a a
+ 20.22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+⎰
21.22d x x a -⎰=1ln 2x a C a x a -++
(四)含有2(0)ax b a +>的积分
22.2d x ax b +⎰
=(0)(0)C b C b ⎧+>+< 23.2d x x ax b +⎰=21ln 2ax b C a
++ 24.22d x x ax b +⎰=2d x b x a a ax b
-+⎰ 25.2d ()x x ax b +⎰=2
21ln 2x C b ax b
++ 26.22d ()x x ax b +⎰=21d a x bx b ax b --+⎰
27.32d ()x x ax b +⎰=22221
ln 22ax b a C b x bx +-+
28.22d ()x ax b +⎰=221d 2()2x
x
b ax b b ax b +++⎰
(五)含有2ax bx c ++(0)a >的积分
29.2d x ax bx c ++⎰
=22(4)(4)C
b a
c C
b a
c +<+> 30.2
d x
x ax bx c ++⎰=221
d ln 22b x
ax bx c a a ax bx c
++-++⎰
(0)a >的积分
31
.⎰=1arsh x C a +
=ln(x C ++
32

C +
33
.x ⎰
C
34
.x
=C +
35
.2x
2
ln(2a
x C +
36
.2x
=ln(x C +++
37
.⎰
1ln a
C a x -+
38
.⎰
C +
39
.x
2
ln(2a x C ++
40.
x =2243(25ln(88
x x a a x C ++
41.x ⎰C +
42.x x ⎰=4
22(2ln(88x a x a x C +++
43.x ⎰a C +
44.
x ⎰=ln(x C +++
(0)a >的积分
45.
⎰=1arch x x C x a
+=ln x C + 46.
C +
47.
x ⎰C
48.
x =C +
49.2
x 2ln 2a x C +++
50.2
x =ln x C +++ 51.
⎰1arccos a C a x +
52.
⎰C +
53.x 2
ln 2
a x C -++
54.
x =2243(25ln 88
x x a a x C -++
55.x ⎰C
56.x x ⎰=422(2ln 88x a x a x C -+
57.x ⎰arccos a a C x -+
58.x ⎰=ln x C +++
(0)a >的积分
59.
⎰=arcsin x C a
+ 60.
C +
61.
x ⎰=C +
62.
x C +
63.2
x =2arcsin 2a x C a + 64.2
x arcsin x C a -+
65.
⎰1C a +
66.
⎰2C a x -+
67.x 2arcsin 2a x C a +
68.
x =2243(52arcsin 88x x a x a C a
-+
69.x ⎰=C
70.x x ⎰=422(2arcsin 88x a x x a C a -+
71.x ⎰a C ++
72.
x ⎰=arcsin x C a -+
(0)a >的积分
73.
⎰2ax b C +++
74.x
2
2ax b C +
+++
75.
x ⎰
2ax b C -
+++ 76.
⎰=C +
77.x 2
C +
78.
x ⎰=C ++
79.x ⎰=((x b b a C --+
80.x ⎰=((x b b a C -+-
81.
⎰=C ()a b <
82.
x 2()arcsin 4b a C -+
()a b < (十一)含有三角函数的积分
83.sin d x x ⎰=cos x C -+
84.cos d x x ⎰=sin x C +
85.tan d x x ⎰=ln cos x C -+
86.cot d x x ⎰=ln sin x C +
87.sec d x x ⎰=ln tan()42x C π++=ln sec tan x x C ++ 88.csc d x x ⎰=ln tan 2
x C +=ln csc cot x x C -+ 89.2sec d x x ⎰=tan x C +
90.2csc d x x ⎰=cot x C -+
91.sec tan d x x x ⎰=sec x C +
92.csc cot d x x x ⎰
=csc x C -+ 93.2
sin d x x ⎰=1sin 224
x x C -+ 94.2cos d x x ⎰=1sin 224
x x C ++ 95.sin d n x x ⎰=1211sin cos sin d n n n x x x x n n
----+⎰ 96.cos d n x x ⎰=1211cos sin cos d n n n x x x x n n
---+⎰ 97.d sin n x x ⎰=121cos 2d 1sin 1sin n n x n x n x n x
----⋅+--⎰ 98.d cos n x x ⎰=121sin 2d 1cos 1cos n n x n x n x n x
---⋅+--⎰ 99.cos sin d m n x x x ⎰=11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n
-+--+++⎰ =11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n +----+++⎰ 100.sin cos d ax bx x ⎰=11cos()cos()2()2()
a b x a b x C a b a b -+--++-
101.sin sin d ax bx x ⎰=11sin()sin()2()2()
a b x a b x C a b a b -++-++- 102.cos cos d ax bx x ⎰=11sin()sin()2()2()
a b x a b x C a b a b ++-++- 103.d sin x a b x +⎰
tan x a b C ++22()a b >
104.d sin x a b x +⎰
C +22()a b < 105.d cos x a b x +⎰
)2x C +22()a b >
106.d cos x a b x +⎰
C +22()a b < 107.2222d cos sin x a x b x +⎰=1arctan(tan )b x C ab a
+ 108.
2222d cos sin x a x b x -⎰=1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++- 109.sin d x ax x ⎰=
211sin cos ax x ax C a a
-+ 110.2sin d x ax x ⎰=223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a
-+++ 111.cos d x ax x ⎰=211cos sin ax x ax C a a
++ 112.2cos d x ax x ⎰=223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a
+-+ (十二)含有反三角函数的积分(其中0a >)
113.arcsin d x x a ⎰
=arcsin x x C a ++ 114.arcsin d x x x a

=22()arcsin 24x a x C a -+ 115.2
arcsin d x x x a ⎰
=3221arcsin (239x x x a C a ++ 116.arccos d x x a ⎰
=arccos
x x C a
117.arccos d x x x a
⎰=22()arccos 24x a x C a -
118.2
arccos d x x x a ⎰=3221arccos (239x x x a C a -+ 119.arctan
d x x a ⎰=22arctan ln()2
x a x a x C a -++ 120.arctan d x x x a ⎰=221()arctan 22x a a x x C a +-+ 121.2
arctan d x x x a ⎰=33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ (十三)含有指数函数的积分
122.d x
a x ⎰=1ln x a C a
+ 123.e d ax x ⎰=1e ax C a
+ 124.e d ax x x ⎰=21(1)e ax ax C a
-+ 125.e d n ax x x ⎰=11e e d n ax n ax n x x x a a --⎰ 126.d x xa x ⎰=
21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127.d n x x a x ⎰=
11d ln ln n x n x n x a x a x a a
--⎰ 128.e sin d ax bx x ⎰=221e (sin cos )ax a bx b bx C a b
-++ 129.e cos d ax bx x ⎰=221e (sin cos )ax b bx a bx C a b
+++ 130.e sin d ax n bx x ⎰=12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n --+ 2
2222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n
--++⎰ 131.e cos d ax n bx x ⎰=12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n
-++ 2
2222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n
--++⎰ (十四)含有对数函数的积分
132.ln d x x ⎰=ln x x x C -+
133.
d ln x x x ⎰=ln ln x C +
134.ln d n x x x ⎰=111(ln )11n x x C n n +-+++ 135.(ln )d n x x ⎰=1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰ 136.(ln )d m n x x x ⎰=111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ (十五)含有双曲函数的积分 137.sh d x x ⎰=ch x C +
138.ch d x x ⎰=sh x C +
139.th d x x ⎰
=lnch x C + 140.2
sh d x x ⎰=1sh224
x x C -++ 141.2ch d x x ⎰=1sh224x x C ++ (十六)定积分
142.
cos d nx x π-π⎰=sin d nx x π-π⎰=0 143.cos sin d mx nx x π-π⎰=0
144.cos cos d mx nx x π-π⎰=0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 145.sin sin d mx nx x π
-π⎰=0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146.0sin sin d mx nx x π
⎰=0cos cos d mx nx x π⎰=0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147. n I =
2
0sin d n x x π
⎰=20cos d n x x π⎰ n I =21n n I n
-- 13422
53n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- (n 为大于1的正奇数),1I =1 13312
422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-(n 为正偶数),0I =2
π。

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