高二数学讲义 函数复习
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2．指数函数
⑴了解指数函数模型的实际背景．
⑵理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
⑶理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．
⑷知道指数函数是一类重要的函数模型．
3．对数函数
⑴理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
（二）主要方法
１．函数定义域主要有三种题型：
⑴由函数解析式求定义域：
近几年高考中主要结合不等式等知识点，针对后面所学的对数函数、幂函数等考查
⑵抽象函数的定义域；
⑶实际问题中的函数定义域
2．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，常用的方法有：
⑴观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用熟悉的基本函数的图象，观察求得函数的值域；
②判断差的正负或商与1的大小关系
⑵图象法：从左至右，图象上升为增函数，图象下降为减函数．
（三）典例分析
【例1】⑴已知 ， ，求 ， ， ， ．
⑵若函数 的定义域是 ，设函数 的定义域为 ，则 ______．
【变式】已知函数 定义域是 ，则函数 的定义域为_______．
【变式】 为何值时，函数 的定义域为 ．
⑵根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．
6．函数模型及其应用
⑴了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
⑵了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．
板块一：函数概念
（一）知识内容
⑵配方法：对二次函数型的解析式，先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，结合二次函数的图象求函数的值域；
⑶换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归成几个简单的函数的复合，再利用基本函数的取值范围来求函数的值域；
⑷判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式法求函数值的范围，常常用于一些分式函数等，此外，使用此法要特别注意自变量本身的取值范围．
则 的取值范围是_______．
⑵方程 的根的个数是_______．
习题1.（2018全国Ⅰ高考）
设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
习题2.（2019山东）
已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，若方程 在区间 上有四个不同的根 ， ， ， ，
则 __________．
②两偶函数的积（或商）为偶函数；
③一奇一偶函数之积（或商）为奇函数；
④两奇函数（或两偶函数）的和、差为奇函数（或偶函数）．
判定方法：⑴定义法；⑵图象法；⑶性质法
4．单调性的判定方法：
⑴定义法：用定义证明函数的单调性的步骤：
①设 ， 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 对 进行作差变形（因式分解，配方，有理化等）或作商变Baidu Nhomakorabea．
习题1.⑴（2016江西）
已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
⑵设 ， ，且 ，则（）
A． B． C． D．
习题2.若 是定义在 的增函数，且为奇函数，若 ，
则 的取值范围是_______．
习题3.若实数 满足 ，则 ___________．
习题4.⑴若直线 与函数 ，且 的图象有两个公共点，
【例2】⑴求函数 的最大值和最小值．
⑵求函数 的最大值和最小值．
【变式】已知 ， ，求函数 的值域．
【例3】⑴（2018年江西卷）
若函数 的值域是 ，则函数 的值域是（）
A． B． C． D．
⑵（2019年江西卷）
设函数 的定义域为 ，若所有点 构成一个正方形区域，则 的值为（）
A． B． C． D．不能确定
⑵理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点．
⑶知道对数函数是一类重要的函数模型；
⑷了解指数函数 与对数函数 互为反函数（ ）．
4．幂函数
⑴了解幂函数的概念．
⑵结合函数 的图像，了解它们的变化情况．
5．函数与方程
⑴结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及个数．
2．指数函数
3．对数函数
（二）典例分析
【例8】⑴若函数 的定义域与值域都是 ，则 等于______．
⑵已知 、 、 为正数，且 ，
①求使 的 值；
②求与问题①中所求的 最接近的整数；
③求证： ．
⑶已知 ，求实数 的取值范围．
【变式】不等式 对于任意正整数 恒成立，求实数 的取值范围．
【例9】已知集合 ，且 ，求实数 的取值范围．
【变式】已知函数 ，其中 ，求 在 上的最大值．
【例10】（2019福建）
函数 的图象关于直线 对称，据此可推测，对任意为非零实数 ，关于 的方程 的解集都不可能是（）
A． B． C． D．
【例11】设 ，且 在闭区间 上恒取非负数，求实数 的取值范围．
【变式】当 ， 时，讨论函数 的最大值和最小值．
习题3.（2019宁夏海南）
用 表示 ， ， 三个数中的最小值，设 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
习题4.已知 ，求函数 最值．
习题5.（2018江苏高考）
已知函数 ， （ ， ， 为常数）．函数 定义为：对每个给定的实数 ，
⑴求 对所有实数 成立的等价条件（用 表示）；
⑵设 是两个实数，满足 ，且 ，若 ，求证：函数 在区间 上的单调增区间的长度之和为 （闭区间 的长度定义为 ）
1．函数
⑴了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
⑵在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数．
⑶了解简单的分段函数，并能简单应用．
⑷理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
⑸会运用函数图像理解和研究函数的性质．
⑶设 是二次函数，若 的值域是 ，则 的值域是．
【例4】（2019辽宁）
若 满足 ， 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
【例5】（2019全国Ⅰ）
函数 的定义域为 ，若 与 都是奇函数，则（）
A． 是偶函数B． 是奇函数
C． D． 是奇函数
【变式】（2018年上海卷）
若函数 （常数 ）是偶函数，且它的值域为 ，则该函数的解析式 ．
⑸其它方法：求函数的值域还有图象法，反函数法，分离变量法等等．
3．奇偶函数的性质：
⑴ 是奇函数 的图象关于原点对称．
⑵ 是偶函数 的图象关于 轴对称．
⑶奇函数在其对称区间上具有相同的单调性．
⑷偶函数在其对称区间上具有相反的单调性．
⑸在定义域的公共部分内（注：以下所述函数均不包括 的情况．）
①两奇函数的积（或商）为偶函数；
【例6】（2018重庆）
若定义在 上的函数 满足：对任意 ， 有 ，则下列说法一定正确的是（）
A． 为奇函数B． 为偶函数
C． 为奇函数D． 为偶函数
【例7】⑴已知 ， ，求 和 的表达式．
⑵设 是 上的函数，且满足 ，并且对任意的 ，
有 ，求 的表达式．
板块二：基本初等函数
（一）知识内容
1．一元二次函数
【例12】已知 ， ，当其值域为 时， __________．
【例13】关于 的不等式 对于 恒成立，则 的取值范围是______．
【例14】已知函数 ， ，
⑴试比较函数值 与 的大小；
⑵求方程 的解集．
【例15】已知函数 ，
⑴若此函数的定义域为 ，求实数 的取值范围；
⑵若此函数的值域为 ，求实数 的取值范围．
⑴了解指数函数模型的实际背景．
⑵理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
⑶理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．
⑷知道指数函数是一类重要的函数模型．
3．对数函数
⑴理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
（二）主要方法
１．函数定义域主要有三种题型：
⑴由函数解析式求定义域：
近几年高考中主要结合不等式等知识点，针对后面所学的对数函数、幂函数等考查
⑵抽象函数的定义域；
⑶实际问题中的函数定义域
2．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，常用的方法有：
⑴观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用熟悉的基本函数的图象，观察求得函数的值域；
②判断差的正负或商与1的大小关系
⑵图象法：从左至右，图象上升为增函数，图象下降为减函数．
（三）典例分析
【例1】⑴已知 ， ，求 ， ， ， ．
⑵若函数 的定义域是 ，设函数 的定义域为 ，则 ______．
【变式】已知函数 定义域是 ，则函数 的定义域为_______．
【变式】 为何值时，函数 的定义域为 ．
⑵根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．
6．函数模型及其应用
⑴了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
⑵了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．
板块一：函数概念
（一）知识内容
⑵配方法：对二次函数型的解析式，先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，结合二次函数的图象求函数的值域；
⑶换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归成几个简单的函数的复合，再利用基本函数的取值范围来求函数的值域；
⑷判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式法求函数值的范围，常常用于一些分式函数等，此外，使用此法要特别注意自变量本身的取值范围．
则 的取值范围是_______．
⑵方程 的根的个数是_______．
习题1.（2018全国Ⅰ高考）
设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
习题2.（2019山东）
已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，若方程 在区间 上有四个不同的根 ， ， ， ，
则 __________．
②两偶函数的积（或商）为偶函数；
③一奇一偶函数之积（或商）为奇函数；
④两奇函数（或两偶函数）的和、差为奇函数（或偶函数）．
判定方法：⑴定义法；⑵图象法；⑶性质法
4．单调性的判定方法：
⑴定义法：用定义证明函数的单调性的步骤：
①设 ， 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 对 进行作差变形（因式分解，配方，有理化等）或作商变Baidu Nhomakorabea．
习题1.⑴（2016江西）
已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
⑵设 ， ，且 ，则（）
A． B． C． D．
习题2.若 是定义在 的增函数，且为奇函数，若 ，
则 的取值范围是_______．
习题3.若实数 满足 ，则 ___________．
习题4.⑴若直线 与函数 ，且 的图象有两个公共点，
【例2】⑴求函数 的最大值和最小值．
⑵求函数 的最大值和最小值．
【变式】已知 ， ，求函数 的值域．
【例3】⑴（2018年江西卷）
若函数 的值域是 ，则函数 的值域是（）
A． B． C． D．
⑵（2019年江西卷）
设函数 的定义域为 ，若所有点 构成一个正方形区域，则 的值为（）
A． B． C． D．不能确定
⑵理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点．
⑶知道对数函数是一类重要的函数模型；
⑷了解指数函数 与对数函数 互为反函数（ ）．
4．幂函数
⑴了解幂函数的概念．
⑵结合函数 的图像，了解它们的变化情况．
5．函数与方程
⑴结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及个数．
2．指数函数
3．对数函数
（二）典例分析
【例8】⑴若函数 的定义域与值域都是 ，则 等于______．
⑵已知 、 、 为正数，且 ，
①求使 的 值；
②求与问题①中所求的 最接近的整数；
③求证： ．
⑶已知 ，求实数 的取值范围．
【变式】不等式 对于任意正整数 恒成立，求实数 的取值范围．
【例9】已知集合 ，且 ，求实数 的取值范围．
【变式】已知函数 ，其中 ，求 在 上的最大值．
【例10】（2019福建）
函数 的图象关于直线 对称，据此可推测，对任意为非零实数 ，关于 的方程 的解集都不可能是（）
A． B． C． D．
【例11】设 ，且 在闭区间 上恒取非负数，求实数 的取值范围．
【变式】当 ， 时，讨论函数 的最大值和最小值．
习题3.（2019宁夏海南）
用 表示 ， ， 三个数中的最小值，设 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
习题4.已知 ，求函数 最值．
习题5.（2018江苏高考）
已知函数 ， （ ， ， 为常数）．函数 定义为：对每个给定的实数 ，
⑴求 对所有实数 成立的等价条件（用 表示）；
⑵设 是两个实数，满足 ，且 ，若 ，求证：函数 在区间 上的单调增区间的长度之和为 （闭区间 的长度定义为 ）
1．函数
⑴了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
⑵在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数．
⑶了解简单的分段函数，并能简单应用．
⑷理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
⑸会运用函数图像理解和研究函数的性质．
⑶设 是二次函数，若 的值域是 ，则 的值域是．
【例4】（2019辽宁）
若 满足 ， 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
【例5】（2019全国Ⅰ）
函数 的定义域为 ，若 与 都是奇函数，则（）
A． 是偶函数B． 是奇函数
C． D． 是奇函数
【变式】（2018年上海卷）
若函数 （常数 ）是偶函数，且它的值域为 ，则该函数的解析式 ．
⑸其它方法：求函数的值域还有图象法，反函数法，分离变量法等等．
3．奇偶函数的性质：
⑴ 是奇函数 的图象关于原点对称．
⑵ 是偶函数 的图象关于 轴对称．
⑶奇函数在其对称区间上具有相同的单调性．
⑷偶函数在其对称区间上具有相反的单调性．
⑸在定义域的公共部分内（注：以下所述函数均不包括 的情况．）
①两奇函数的积（或商）为偶函数；
【例6】（2018重庆）
若定义在 上的函数 满足：对任意 ， 有 ，则下列说法一定正确的是（）
A． 为奇函数B． 为偶函数
C． 为奇函数D． 为偶函数
【例7】⑴已知 ， ，求 和 的表达式．
⑵设 是 上的函数，且满足 ，并且对任意的 ，
有 ，求 的表达式．
板块二：基本初等函数
（一）知识内容
1．一元二次函数
【例12】已知 ， ，当其值域为 时， __________．
【例13】关于 的不等式 对于 恒成立，则 的取值范围是______．
【例14】已知函数 ， ，
⑴试比较函数值 与 的大小；
⑵求方程 的解集．
【例15】已知函数 ，
⑴若此函数的定义域为 ，求实数 的取值范围；
⑵若此函数的值域为 ，求实数 的取值范围．