正切函数图象与性质课件
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5.4.3正切函数的性质与图像课件(人教版)
根据研究正切函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？
一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过视察图象获得对函数性质的直观认识， 再从代数的角度对性质作出严格表述.所以可以根据研究正弦函数、余弦函数的经验来 研究正切函数.
你能用不同的方法研究正切函数吗？ 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质， 再利用性质研究正弦函数的图象.
新课引入
回顾旧识
前面学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质，请回忆我们是如何根据它 们各自的三角函数线得出它们的函数图象的？
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
-
-
思考
,
2k
k
Z
上单调递增.
解题规律
形如 y Atan(x )(A 0, 0)的函数性质的求解方法：
①定义域：把“x ”作为一个整体，令x k (k Z)，可得 x 的取值
范围，即得函数的定义域.
②值域：(, ).
③单调区间：
（a）把“x ( 0)”作为一个整体；
（b）
A
0( A
④奇偶性：当 k (k Z)时为奇函数，否则，不具备奇偶性.
⑤周期：最小正周期T
练一练
1.与函数
y
tan
2x
π 4
的图像不相交的一条直线是(
)
A. x π
2
B. y π
一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过视察图象获得对函数性质的直观认识， 再从代数的角度对性质作出严格表述.所以可以根据研究正弦函数、余弦函数的经验来 研究正切函数.
你能用不同的方法研究正切函数吗？ 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质， 再利用性质研究正弦函数的图象.
新课引入
回顾旧识
前面学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质，请回忆我们是如何根据它 们各自的三角函数线得出它们的函数图象的？
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
-
-
思考
,
2k
k
Z
上单调递增.
解题规律
形如 y Atan(x )(A 0, 0)的函数性质的求解方法：
①定义域：把“x ”作为一个整体，令x k (k Z)，可得 x 的取值
范围，即得函数的定义域.
②值域：(, ).
③单调区间：
（a）把“x ( 0)”作为一个整体；
（b）
A
0( A
④奇偶性：当 k (k Z)时为奇函数，否则，不具备奇偶性.
⑤周期：最小正周期T
练一练
1.与函数
y
tan
2x
π 4
的图像不相交的一条直线是(
)
A. x π
2
B. y π
正切函数的性质与图象 课件
23
解：原函数要有意义，自变量x应满足
即
x
1 3
2k, k
Z
2
x
3
2
k , k
Z
所以，原函数的定义域是{x
|
x
1 3
2k,
k
Z}.
由于
tan[2
(x
2)
3
]
tan(2
x
3
)
tan(2
x
3
)
所以原函数的周期是2.
由
2
k
2
x
3
2
k , k
Z
所解以得原函数 53的单2调k 递x增区13间是2k,(k53
Z
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
(1) x (k , k )
2
(2) x k k Z
kZ
y y tan x
(3) x ( k , k )
2
k Z 2
2
o 2
x 2
例2.求函数 y tan( x ) 的定义域、周期和单调区间。
质
4 y tan x
y
7 4
3 2
5 4
3 4
2
4
0
4
2
3 4
5 4
3
2
x
y
7 4
5 4
(0,1)
·
(- , 0)
· · (
3 4
,4 1)
4
O
4
3 4
x
5 4
2
定义域：
值域： R
x
x R且x 4
周期性：
正切函数的性质与图象 课件(34张)
提示:奇偶性.
数学
[问题1-4] 结合正切函数的图象.你能判断一下它的单调性吗?
提示:在每一个开区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增.
梳理
正切函数y=tan x的性质与图象
y=tan x
图象
数学
定义域
{x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z}
R .
值域
周期
最小正周期为 π .
奇偶性
奇函数 .
单调性
在开区间
(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
内递增
数学
小试身手
1.函数 y=tan 2x 的周期为( A
)
(A)
(B)π
(C)2π
(D)4π
解析:由题意可知,函数 y=tan 2x 的周期为 T= .故选 A.
数学
2.函数 f(x)=3tan(x+π)是( A
)
x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+ )中 x 的系
数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的取值范围即可.
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区
间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
数学
备用例题
数学
5.4.3
正切函数的性质与图象
数学
核心知识目标
核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解
通过利用正切函数的图象与性质
数学
[问题1-4] 结合正切函数的图象.你能判断一下它的单调性吗?
提示:在每一个开区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增.
梳理
正切函数y=tan x的性质与图象
y=tan x
图象
数学
定义域
{x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z}
R .
值域
周期
最小正周期为 π .
奇偶性
奇函数 .
单调性
在开区间
(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
内递增
数学
小试身手
1.函数 y=tan 2x 的周期为( A
)
(A)
(B)π
(C)2π
(D)4π
解析:由题意可知,函数 y=tan 2x 的周期为 T= .故选 A.
数学
2.函数 f(x)=3tan(x+π)是( A
)
x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+ )中 x 的系
数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的取值范围即可.
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区
间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
数学
备用例题
数学
5.4.3
正切函数的性质与图象
数学
核心知识目标
核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解
通过利用正切函数的图象与性质
正切函数图象与性质课件省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k
,
3
2
2k ]
减函数
奇函数
x[ 2k , 2k ]
x[2k , 2k ]
偶函数
增函数 减函数
2
2
对称轴： x
2
k
,
k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
对称轴： x k , k Z 对称中心：(2 k , 0) k Z
探究
一、你能否根据研究正弦、余弦函数旳图 象和性质旳经验 以一样旳措施研究正切函数 旳图像和性质?
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图 象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R
2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象有关原点对称。
(5) 对称性：对称中心：
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x k
, 2
kZ
(7)对称中心 ( kπ,0) 2
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上旳增函数吗？为何？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为何？
A
B
在每一种开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，k Z 内都是增函数。
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
7.3.2三角函数的正切函数的性质与图象(课件)高一数学(苏教版必修第一册)
的定义域为
x
x
k
2
6
,k
Z
.故选:D．
讲授新课
知识点二 正切函数的值域问题
【例
2】函数
y
2
tan
2
x
3
tan
x
1
，
x
π 4
,
π 4
的值域为______．
【答案】
6,
1 8
【解析】因为
x
4
,
4
，所以
tan
x 1,1
，
y
2
tan
2
x
3
tan
x
1
2
tan
x
3 4
2
1 8
，
则当
tan
的定义域为
x
|
x
k
2
,k
Z
.故选：A.
讲授新课
【变式
1-2】函数
f
x
2 tan
2
x
6
的定义域是（
）
A． x
x
6
B．
x
x
12
C． x
x
6
,k
Z
D．
x
x
k
2
6
,k
Z
【答案】D
【解析】由正切函数的定义域，令
2x
6
k
2
，k Z
，即 x
k
2
6
k
Z ，
所以函数
f
x
2 tan
2
x
6
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
课件4：5.4.3 正切函数的性质与图象
(2)y＝3tan4π－2x＝－3tan2x－4π，由－2π＋kπ＜2x－π4＜2π＋kπ， k∈Z 得，－8π＋2kπ＜x＜38π＋2kπ，k∈Z，所以 y＝3tan4π－2x的 减区间为－π8＋2kπ，38π＋2kπ，k∈Z.
[母题探究] 1．将本例(2)中的函数改为“y＝3tan12x－π4”，结果又如何？ [解] 由 kπ－2π<12x－π4<kπ＋π2(k∈Z)， 得 2kπ－π2<x<2kπ＋32π(k∈Z)， ∴函数 y＝3tan12x－π4的单调递增区间是 2kπ－π2，2kπ＋32π(k∈Z)．
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；
y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．
【课堂小结】
1．利用单位圆中的正切线作正切函数的图象，作图较为准确， 但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图．
[解] (1)由x≠kπ＋2π，k∈Z， tan x≠1，
得 f(x)的定义域为xx≠kπ＋π2且x≠kπ＋4π，k∈Z ， 不关于原点对称，所以函数 f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
(2)函数定义域为 xx≠kπ－π4且x≠kπ＋4π，k∈Z ， 关于原点对称， 又 f(－x)＝tan－x－4π＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－4π ＝－f(x)， 所以函数 f(x)是奇函数．
又 f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，所以它是奇函数．
【规律方法】 1．函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法： (1)定义法． (2)公式法：对于函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期 T＝|ωπ|. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少， 函数值重复出现．
[母题探究] 1．将本例(2)中的函数改为“y＝3tan12x－π4”，结果又如何？ [解] 由 kπ－2π<12x－π4<kπ＋π2(k∈Z)， 得 2kπ－π2<x<2kπ＋32π(k∈Z)， ∴函数 y＝3tan12x－π4的单调递增区间是 2kπ－π2，2kπ＋32π(k∈Z)．
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；
y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．
【课堂小结】
1．利用单位圆中的正切线作正切函数的图象，作图较为准确， 但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图．
[解] (1)由x≠kπ＋2π，k∈Z， tan x≠1，
得 f(x)的定义域为xx≠kπ＋π2且x≠kπ＋4π，k∈Z ， 不关于原点对称，所以函数 f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
(2)函数定义域为 xx≠kπ－π4且x≠kπ＋4π，k∈Z ， 关于原点对称， 又 f(－x)＝tan－x－4π＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－4π ＝－f(x)， 所以函数 f(x)是奇函数．
又 f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，所以它是奇函数．
【规律方法】 1．函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法： (1)定义法． (2)公式法：对于函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期 T＝|ωπ|. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少， 函数值重复出现．
正切函数的性质与图象 课件
π + ,∈Z 求x 的范围,该范围就是不等式的解集.当 ω<0 时,先利
用诱导公式将 x 的系数变为正值,再进行上述步骤.
【变式训练 5】 求函数 y= tan + 1 + lg(1 − tan )的定义域
.
tan + 1 ≥ 0,
解:由题意得
即-1≤tan x<1.
1-tan > 0,
故函数的单调递增区间为
- , +
3 18 3
18
π
π
3x− ≠kπ+ (∈
3
2
即函数的定义域为 ≠
递减区间.
(∈Z),不存在单调
反思求函数y=Atan(ωx+φ),A≠0,ω>0的定义域和单调区间,可以通
过解不等式的方法去解答:把“ωx+φ(ω>0)”看作一个整体,借助正切
函数的定义域和单调区间来解决.若ω<0,则先利用诱导公式将x的
首先观察α,β是否在正切函数的同一个单调区间,若是,则直接运
用正切函数的单调性比较大小;若不是,则先利用诱导公式,将角α,β
π π
转化到正切函数的同一单调区间内,通常是转化到区间 - , 再运
内,
2 2
用正切函数的单调性比较大小.
19π
23π
与 tan
的大小.
7
8
19π
2π
2π
解:tan
= tan 3π= −tan ,
π
π
(2)由 T= , 得6π= , ∴
||
||
1
答案:(1)3π (2)±
6
1
-
3
π
+
用诱导公式将 x 的系数变为正值,再进行上述步骤.
【变式训练 5】 求函数 y= tan + 1 + lg(1 − tan )的定义域
.
tan + 1 ≥ 0,
解:由题意得
即-1≤tan x<1.
1-tan > 0,
故函数的单调递增区间为
- , +
3 18 3
18
π
π
3x− ≠kπ+ (∈
3
2
即函数的定义域为 ≠
递减区间.
(∈Z),不存在单调
反思求函数y=Atan(ωx+φ),A≠0,ω>0的定义域和单调区间,可以通
过解不等式的方法去解答:把“ωx+φ(ω>0)”看作一个整体,借助正切
函数的定义域和单调区间来解决.若ω<0,则先利用诱导公式将x的
首先观察α,β是否在正切函数的同一个单调区间,若是,则直接运
用正切函数的单调性比较大小;若不是,则先利用诱导公式,将角α,β
π π
转化到正切函数的同一单调区间内,通常是转化到区间 - , 再运
内,
2 2
用正切函数的单调性比较大小.
19π
23π
与 tan
的大小.
7
8
19π
2π
2π
解:tan
= tan 3π= −tan ,
π
π
(2)由 T= , 得6π= , ∴
||
||
1
答案:(1)3π (2)±
6
1
-
3
π
+
课件6：7.3.4 正切函数的图像与性质
kπ，k∈Z
题型探究 探究一 正切函数的定义域、值域问题 例1.函数y＝tan(cos x)的定义域为__R__，值域为 _[_－__ta_n_1_，__t_a_n_1_]_. 【解析】因为－1≤cos x≤1， ∴tan(－1)≤tan(cos x)≤tan 1， ∴－tan 1≤tan(cos x)≤tan 1. 所以定义域为R，值域为[－tan 1，tan 1].
知识点二 正切函数的图像与性质
解析式
y＝tan x
图像
定义域 值域
x x≠π2＋kπ，k∈Z
__R__
最小正周 期
奇偶性
单调性
对称性 零点
__π_
__奇__函__数__ 在每一个开区间 －π2＋kπ，π2＋kπ( k∈Z) 上都是单调递增 对称中心___k_2π_，__0_(_k∈__Z_)__
由图像可知，函数的主要性质为： ①定义域：x|x∈R，x≠2π＋kπ，k∈Z； ②值域：[0，＋∞)； ③周期性：T＝π； ④奇偶性：非奇非偶函数； ⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋2π)，k∈Z.
Байду номын сангаас
反思感悟 解答正切函数图像与性质问题应注意的两点 (1)对称性：正切函数图像的对称中心是k2π，0(k∈Z)，不 存在对称轴. (2)单调性：正切函数在每一个开区间（-π2+kπ，π2+kπ） (k∈Z)上都是单调递增的，但不能说其在定义域上是递增
跟踪训练 2.求函数 y＝3tan(π4－2x)的单调区间． 解：法一：令 z＝4π－2x，则 y＝3tan(4π－2x)＝3tan z．
由于函数 y＝3tan z 在(－2π＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上是增函数，
且 z＝4π－2x 是减函数，
题型探究 探究一 正切函数的定义域、值域问题 例1.函数y＝tan(cos x)的定义域为__R__，值域为 _[_－__ta_n_1_，__t_a_n_1_]_. 【解析】因为－1≤cos x≤1， ∴tan(－1)≤tan(cos x)≤tan 1， ∴－tan 1≤tan(cos x)≤tan 1. 所以定义域为R，值域为[－tan 1，tan 1].
知识点二 正切函数的图像与性质
解析式
y＝tan x
图像
定义域 值域
x x≠π2＋kπ，k∈Z
__R__
最小正周 期
奇偶性
单调性
对称性 零点
__π_
__奇__函__数__ 在每一个开区间 －π2＋kπ，π2＋kπ( k∈Z) 上都是单调递增 对称中心___k_2π_，__0_(_k∈__Z_)__
由图像可知，函数的主要性质为： ①定义域：x|x∈R，x≠2π＋kπ，k∈Z； ②值域：[0，＋∞)； ③周期性：T＝π； ④奇偶性：非奇非偶函数； ⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋2π)，k∈Z.
Байду номын сангаас
反思感悟 解答正切函数图像与性质问题应注意的两点 (1)对称性：正切函数图像的对称中心是k2π，0(k∈Z)，不 存在对称轴. (2)单调性：正切函数在每一个开区间（-π2+kπ，π2+kπ） (k∈Z)上都是单调递增的，但不能说其在定义域上是递增
跟踪训练 2.求函数 y＝3tan(π4－2x)的单调区间． 解：法一：令 z＝4π－2x，则 y＝3tan(4π－2x)＝3tan z．
由于函数 y＝3tan z 在(－2π＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上是增函数，
且 z＝4π－2x 是减函数，
课件2：7.3.4 正切函数的图像与性质
则令 kπ－π2<3x＋π4<kπ＋2π，解得3kπ－π4<x<k3π＋1π2，k∈Z. 故该函数的递增区间为k3π－4π，k3π＋1π2(k∈Z)．
探究点三 正切函数诱导公式的应用 例 3 已知 tan(3π－α)＝15， 求sin（π＋αta）n ·tπ2a＋n（απ·－coαs）32π·t＋anα－32π－α的值．
α＝csoins
α α
(比值ab叫作角 α 的余切函数，记作 y＝cot α，其中 α∈R 且 α≠kπ，k∈Z)．
2．正切线 (1)定义： 在直角坐标系中，设 单位圆 与x轴的非负半轴的交 点为A(1，0)，过点___A_(_1_，__0_)___作x轴的垂线，与角 α的终边或其终边的延长线相交于T点，则称 ___线__段__A_T____为角α的正切线．
跟踪训练 2．函数 f(x)＝tan(3x＋φ)的图象的一个对称中心是π4，0， 其中 0<φ<π2，试求函数 f(x)的单调区间． 解：由于 y＝tan x 的对称中心为k2π，0，k∈Z， 故令 3x＋φ＝k2π，其中 x＝4π，即 φ＝k2π－34π，
由于 0<φ<π2， 所以当 k＝2 时，φ＝π4. 故 f(x)＝tan3x＋π4. 由于正切函数 y＝tan x 在kπ－2π，kπ＋π2(k∈Z)上为增函数，
故定义域为xx≠kπ＋3π，k∈Z， 且 fπ6＝tanπ6＋6π＝ 3.
4．化简：tan（2π－coθs）（sθin－（π－）2siπn－（θ5）π＋coθs）（6π－θ）
＝__t_a_n__θ__．
【解析】原式＝tan（（－－θ）cossinθ（）－（θ－）scionsθ（）－θ）
＝（－tan
方法归纳 求函数 y＝Atan(ωx＋φ)定义域、周期、单调区间的方法 (1)定义域：由 ωx＋φ≠kπ＋π2，k∈Z，求出 x 的取值集 合即为函数的定义域，即xx≠kπ＋ωπ2－φ，k∈Z. (2)周期性：利用周期函数的定义来求．
北师大版第1章73正切函数的图象与性质课件(24张)
令 − =-,解得 x=-,所以函数 f(x)=tan -
的图象与 x 轴的一个交点坐标为 , ,在这
个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为
x=-和
x= .故函数在一个周期内的函数图象
如答图 1-7-1.
答图1-7-1
反思感悟 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数
2x+θ= ,k∈Z,其中 x= ,即 θ=
又-<θ<,则当 k=1 时,θ=-;
当 k=2 时,θ=,故 θ=- 或 .
答案:- 或
,
Hale Waihona Puke − ,k∈Z.
,k∈Z,故令
= ,k∈Z,解得 x=π+kπ,k∈Z,
故对称中心为
+ , (k∈Z).
(2)令 − =0,解得 x= ,令 − = ,解得 x= ,
令 − =-,解得 x=,令 − = ,解得 x= ,
-,
时,函数 y=|tan x|的图象(
A.关于原点对称 B.关于y轴对称
C.关于x轴对称 D.没有对称轴
答案:B
).
二、正切函数的性质
【问题思考】
1.从正切曲线上看,在区间 - , 内,正切函数值是逐渐增大的
吗?
提示:是.
2.当 x∈
-,
课件3：5.4.3 正切函数的性质与图象
【思考诊断】
1．正切函数 y＝tanx 的图象与 x＝kπ＋2π，k∈Z 有公共点吗？直 线 y＝a 与 y＝tanx 的图象相邻两交点之间的距离是多少？ [答案] 没有．正切曲线是由被互相平行的直线 x＝kπ＋π2(k∈Z) 隔开的无穷多支曲线组成的由图象结合正切函数的周期性可知， 两交点之间的距离为 π
(2)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系． (3)解关于 tanx 的不等式：先写出这个不等式在一个周期 －π2，π2上的解，再结合周期性得出 x 的解集．
[针对训练] 3．函数 y＝tan12x＋π4的单调增区间为________． [解析] 由题意知，kπ－2π<12x＋π4<kπ＋π2，k∈Z， 即 kπ－34π<12x<kπ＋4π，k∈Z，所以 2kπ－32π<x<2kπ＋2π，k∈Z， 故单调增区间为2kπ－32π，2kπ＋2π(k∈Z)．
1.正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋2π，k∈Z， 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.
2.正切函数的性质
(1)正切函数 y＝tanx 的定义域是xx≠kπ＋π2，k∈Z
，
值域是 R.
(2)正切函数 y＝tanx 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为 T＝|ωπ|. (3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成 闭区间．正切函数无单调减区间.
所以函数 y＝tanx＋π4的定义域为
xx≠kπ＋π4，k∈Z
.
(2)由 tanx≠0 且 tanx 有意义得 x≠kπ 且 x≠kπ＋2π，k∈Z，
正切函数的性质与图象 课件
又因为 tanx＝ 3时，x＝π3＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，得 kπ－π2<x<kπ＋π3(k∈Z)，
所以函数的定义域是xkπ－π2<x<kπ＋π3，k∈Z
.
方法归纳 求正切函数定义域的方法
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一 般要求外，还要保证正切函数 y＝tanx 有意义即 x≠π2＋kπ，k∈Z. 而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．
故单调增区间为2kπ－32π，2kπ＋π2(k∈Z)． (2)tan65π＝tanπ＋π5＝tanπ5， tan－173π＝－tan173π＝－tan2π－π7＝－tan－π7＝tanπ7， 因为－π2<π7<π5<π2，y＝tanx 在－π2，π2上单调递增， 所以 tanπ7<tanπ5，即 tan65π>tan－173π.
类型三 正切函数图象与性质的综合应用
[例 3] 设函数 f(x)＝tan2x－π3. (1)求函数 f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f(x)≤ 3的解集．
【解析】 (1)由2x－π3≠π2＋kπ(k∈Z)．
得 x≠53π＋2kπ(k∈Z)．
所以 f(x)的定义域是xx≠53π＋2kπ，k∈Z
方法归纳
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系． (2)求函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ 都是常数)的单调区间的方 法 ①若 ω>0，由于 y＝tanx 在每一个单调区间上都是增函数，故 可用“整体代换”的思想，令 kπ－π2<ωx＋φ<kπ＋π2，k∈Z，解得 x 的范围即可． ②若 ω<0，可利用诱导公式先把 y＝Atan(ωx＋φ)转化为 y＝ Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把 x 的系数化为正值，再 利用“整体代换”的思想，求得 x 的范围即可．
课件6：1.4.3 正切函数的性质与图象
所以函数的定义域为xx∈R且x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z.
(2)因为 3－tan x>0，所以 tan x< 3. 又因为 tan x＝ 3时，x＝π3＋kπ(k∈Z)， 根据正切函数图象(图略)，得 kπ－2π<x<kπ＋3π(k∈Z)， 所以函数的定义域是xkπ－π2<x<kπ＋π3，k∈Z.
谢谢观看！
[达标·检测]
1．函数 y＝tan x－π4≤x≤π4且x≠0的值域是(
)
A．[－1，1]
B．[－1，0)∪(0，1]
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
【解析】 根据函数的单调性可得．
【答案】 B
2．函数 f(x)＝tanx＋6π的定义域是________，f6π＝________. 【解析】 由题意知 x＋6π≠kπ＋π2(k∈Z)，即 x≠3π＋kπ(k∈Z)． 故定义域为xx≠kπ＋π3，k∈Z，且 f6π＝tan6π＋π6＝ 3. 【答案】 xx≠kπ＋π3，k∈Z 3
是增函数
π 2.函数 y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是______|ω__| ___．
[题型·探究] 类型 1 正切函数的定义域、值域问题
例 1 (1)函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域是________． (2)函数 y＝tan(sin x)的值域为________． 【自主解答】 (1)要使函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)有意义， 则t1a－n xta＋n 1x≥>00，，即－1≤tan x<1. 在－π2，π2上满足上述不等式的 x 的取值范围是－π4，π4. 又因为 y＝tan x 的周期为 π， 所以所求 x 的定义域为x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z.
5.4.3正切函数的性质与图象课件2024-2025学年人教A版必修第一册
y 函数y tan x ,
x 0, 的图象, 如图所示 .
2
2
3
a`
6
a`
0
6
11
6
3
2
2
3
5
6
7 4
6 3
3 5
2 3
11 2
6
x
由此可见, 当x 0, 时 , 线段AT的长度就是相应角x的正切值 . 我们
2
可以利用线段AT画出函数y tan x ,
？
探究:如何画出函数y tan x , x 0, 的图象 ?
2
描点法初步探究图像
y tan x
x
0
tan x
0
6
4
3
2
3
3
1
如何描出坐标为无理数的点？
如何精确取值？
最基本的方法”回到定义”
2
3
如图, 设x 0, , 在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点
"两线"
直线x
—
2
1
4
o
4
"三点"
( ,1)
4
(
4
1
,1)
(0,0)
x
4、例题分析
解：(1)定义域：
(2)周期：
T
6
(3)单调区间：
6
k
k
由2x- =
,k Z得对称中心(
x 0, 的图象, 如图所示 .
2
2
3
a`
6
a`
0
6
11
6
3
2
2
3
5
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7 4
6 3
3 5
2 3
11 2
6
x
由此可见, 当x 0, 时 , 线段AT的长度就是相应角x的正切值 . 我们
2
可以利用线段AT画出函数y tan x ,
？
探究:如何画出函数y tan x , x 0, 的图象 ?
2
描点法初步探究图像
y tan x
x
0
tan x
0
6
4
3
2
3
3
1
如何描出坐标为无理数的点？
如何精确取值？
最基本的方法”回到定义”
2
3
如图, 设x 0, , 在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点
"两线"
直线x
—
2
1
4
o
4
"三点"
( ,1)
4
(
4
1
,1)
(0,0)
x
4、例题分析
解：(1)定义域：
(2)周期：
T
6
(3)单调区间：
6
k
k
由2x- =
,k Z得对称中心(
正切函数的性质与图象 课件
π
4
-2 的单调区间;
(2)比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小.
π
分析:解(1)可先用诱导公式将 x 的系数化为正数,再把 2x- 看作
4
整体,代入相应的区间,解出 x 的范围;解(2)可先把角化到一个单调区
间中,再利用单调性比较大小.
解:(1)原函数 y=-3tan 2π
π
π
π
正切函数的性质与图象
正切函数的图象与性质
(1)图象:如图所示.
π
正切函数y=tan x,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z的图象叫做正切曲线.
2
(2)性质:如下表所示.
函数
性质
y=tan x
x x ≠ + k,k∈Z
2
定义域
值域
周期
奇偶性
单
调
性
对
称
性
R
π
奇函数
增
π
2
2
- + π, + π (k∈Z)
奇偶性、周期性.
分析:画y=tan x的图象→y=|tan x|的图象→研究性质
解:由 y=|tan x|得,
π
tan,π ≤ < π + (∈Z),
2
y=
其图象如图:
π
-tan,- + π < < π(∈Z),
2
由图象可知,函数 y=|tan x|是偶函数;
π
单调递增区间为 π, + π (k∈Z),单调递减区间为
π
π
2
2
显然- <2-π<3-π<1< ,
π π
5.4.3正切函数的图像和性质_共15张PPT课件
5.4.3 正切函数的图象和性质
正弦函数和余弦的图象与性质
y=sinx
y=cosx
y
y
图
1
1
象
o
x
o
x
-1
-1
定义域
R
R
值域
[-1，1]
[-1，1]
性 周期性 奇偶性
T=2 奇函数
T=2 偶函数
质 单调性
[
2
2k ,
2
2k ]增函数
[
2k ,2k ]增函数
[ 2k , 3 2k ]减函数 [2k , 2k ]减函数
17
5
tan
2
5
又：
内单调递增，
课堂小结： 1、数学知识：
3
2
2
正切函数的图象叫做正切曲线。
函数 定义域 值域 周期性 奇偶性
单调性
正切函数
{x|xk ,kZ}
2
R
周期为π
奇 函数
在(k,k)k Z
2
2
内都是增函数
对称中心
( k , 0) kZ 2
2、数学思想方法：数形结合。
作业
习题5.4 P213 T7-T9
思考3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具 有奇偶性吗？
提示:
由诱导公式
tan(x) tan x, x R, x k, k
知
2
正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
知识探究：正切函数的图像
x的终边与如单图位，圆设的x 交 0点, 2B，(x在0,直y0)角.过坐点标B中作画x轴出的角 垂线，垂足为M;过点A(1,0)作x轴的垂线与角x 的终边交于点T,则tanx等于图中哪条线段有什么 关系，说明了什么？
正弦函数和余弦的图象与性质
y=sinx
y=cosx
y
y
图
1
1
象
o
x
o
x
-1
-1
定义域
R
R
值域
[-1，1]
[-1，1]
性 周期性 奇偶性
T=2 奇函数
T=2 偶函数
质 单调性
[
2
2k ,
2
2k ]增函数
[
2k ,2k ]增函数
[ 2k , 3 2k ]减函数 [2k , 2k ]减函数
17
5
tan
2
5
又：
内单调递增，
课堂小结： 1、数学知识：
3
2
2
正切函数的图象叫做正切曲线。
函数 定义域 值域 周期性 奇偶性
单调性
正切函数
{x|xk ,kZ}
2
R
周期为π
奇 函数
在(k,k)k Z
2
2
内都是增函数
对称中心
( k , 0) kZ 2
2、数学思想方法：数形结合。
作业
习题5.4 P213 T7-T9
思考3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具 有奇偶性吗？
提示:
由诱导公式
tan(x) tan x, x R, x k, k
知
2
正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
知识探究：正切函数的图像
x的终边与如单图位，圆设的x 交 0点, 2B，(x在0,直y0)角.过坐点标B中作画x轴出的角 垂线，垂足为M;过点A(1,0)作x轴的垂线与角x 的终边交于点T,则tanx等于图中哪条线段有什么 关系，说明了什么？
课件4：1.4.3 正切函数的性质与图象
1.正切函数的图象
课后小结
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋2π，k∈Z，相邻
两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2.正切函数的性质 (1)正切函数 y＝tan x 的定义域是x|x≠kπ＋2π，k∈Z，值域是 R. (2)正切函数 y＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋φ) (Aω≠0) 的周期为|ωπ |.
(3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增，正切函数无单调函数 y＝3tan(2x＋π4)的定义域是( C ) A．{x|x≠kπ＋π2，k∈Z} B．{x|x≠2kπ－38π，k∈Z} C．{x|x≠2kπ＋π8，k∈Z} D．{x|x≠2kπ，k∈Z}
2.函数 f(x)＝tan(x＋π4)的单调增区间为 ( C ) A．(kπ－π2，kπ＋π2)，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z C．(kπ－34π，kπ＋π4)，k∈Z D．(kπ－π4，kπ＋34π)，k∈Z
第一章 三角函数
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.3 正切函数的性质与图象
正切函数 y＝tan x 的性质与图象
y＝tan x
图象
定义域
{x|x∈R，且 x≠kπ＋π2，k∈Z}
值域 周期 奇偶性 单调性
R 最小正周期为 π
奇函数 在开区间 kπ－π2，kπ＋2π (k∈Z)
内递增
例 1 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． 解：由题意得t1a－n xta＋n 1x≥>00 ，即－1≤tan x<1. 在－π2，π2内，满足上述不等式的 x 的取值范围是－π4，π4， 又 y＝tan x 的周期为 π， 所以所求 x 的范围是kπ－π4，kπ＋π4 (k∈Z)． 即函数的定义域为kπ－π4，kπ＋4π (k∈Z)．
高中数学必修第一册人教A版《5.4正切函数的性质与图象》名师课件
，所以在 − ,
内，当0 ≤ tan < 1 时 , 0 ≤ < ，
4
2 2
4
由于正切函数的周期为，所以对于 ∈ ，当0 ≤ tan <
1时， ≤ < + , ∈ ，
4
4
所以原函数的定义域为 ∣ ≤ < + , ∈ .
探究新知
y
正
切
函
数
的
性
质
0
函数
y=tanx
x x k , k Z
2
定义域
值域
R
周期性
T=
奇偶性
奇函数
单调性
对称中心
增区间
x
典例讲解
例1、求函数 =
解析
π
2
+
3
的定义域、周期及单调区间．
2
1
3
自变量的取值应满足 + ≠ +kπ, ∈ ,即 ≠ +2k, ∈ .
当 ∈[0, ) 时,随着的增大,线段AT的长度也在增大，
而且当趋向于 时,AT的长度趋向于无大.相应地,函数
1
o1
o
6
3
2
= ,
∈[0, ) 的图象从左向右呈不断上升趋势，
且向右上方无限逼近直线 ＝ .
-1
探究新知
根据正切函数是奇函数,只要画y = ta ,
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1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
2、正切函数 y tan x 是否为周期函数？ 由诱导公式知
y tan x 0 的终边不在y轴上 x k ( k z ) 2 思考
2
f x tan x tan x f x , x R, x
8
4
3 8
2
二:性质
你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗? y
1
-3/2 - t- -/2
-1
0
t /2
t+ 3/2
x
函数 定义域
值域
周期性 奇偶性 单调性
y=tanx {x | x k , k Z } 2 R T= 奇函数 增区间 (k , k )k Z 2 2
k , k Z
是它的一个周期． ∴ y tan x 是周期函数，
思考 3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？ 由诱导公式知
f x tan x tan x f x , x R, x
正切函数是奇函数.
2
k , k Z
⑴ 定义域： {x | x k, k Z} 2 ⑶ 周期性： ⑵ 值域： R ⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴
(6)单调性： 在每一个开区间 π π (- + kπ, + kπ)， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ (7)渐近线方程： x k , 2
函数
y
y=sinx
y
1 1
y=cosx
图形 定义域 值域 最值
2
0
-1
2
3 2
2
5 2
x
0
-1
2
3 2
2
5 2
x
xR
y [1,1]
xR
y [1,1]
单调性 奇偶性 周期 对称性
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时， ymax 1 2 x 2k 时，ymin 1 x 2k 时，ymin 1 2 x[- 2k , 2k ] 增函数 x[ 2k , 2k ] 增函数 2 2 x[ 2k , 3 2k ] 减函数 x[2k , 2k ] 减函数 2 2
4.10 正切函数的图像和性质
正切曲线
是由通过点 (k
2
, 0)(k Z )且与 y 轴相互平行的
直线隔开的无穷多支曲线组成
渐 进 线 渐 进 线
3 2
0
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
y
T
y
ox(1,0)Ax正切线AT
o x(1,0) A
T
x
y
y
T
x
x
(1,0)
o
A
T
x
o
(1,0)
A
x
4.10 正切函数的图像和性质
问题2、如何利用正切线画出函数 的图像？
y
tan x，x ， 2 2
角 的终边 3 T
Y
（ ， tan ）
3 3
A
0
3
tan167 tan173
0 0
0
y tan x在 ， 上是增函数， 2
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
反馈演练
1、比较大小：
0 < (1)tan138 _____tan143 。 13π 17π > (2)tan()_____tan() 4 5 ２、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增 区间。 0
是
反馈练习：求下列函数的周期：
3
x (1) y 5 tan 2
2
(2) y tan(4 x)
4
例题分析
tan x 3 例 ４ 解不等式：
解：
y
3
0
x
2
3
解法1
解法2
由图可知：x k , k (k Z ) 3 2
反馈演练
1、 解不等式 1+tanx 0
X
y tan x x 利用正切线画出函数 ， ， 的图像: 2 2 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分： 3 3 (2) 作正切线 ， ， ， ， ， 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线
o
3 0 2 8 4 8
非奇非偶函数
最小正周期是
3
四、小结：正切函数的图像和性质
1、 正 切 曲 线 是 先 利 用 移 平正 切 线 得 y tan x, x ( , )的 图 象 ， 2 2 再 利 用 周 期 性 把 该 段象 图向 左 、 右 扩 展 得 到 。
2 、y tan x 性质:
k 定义域：｛ x\x , k z｝ 3 6 值域： R
k k 单调递增区间：（ , ） ,k z 6 3 6 3
例题分析
例３ 求函数 解：
y tan 3x
的周期.
因为tan(3x ) tan 3x, 即tan3(x+ )=tan3x, 3 这说明自变量 x ,至少要增加 ，函数的值 3 才能重复取得，所以函数 y tan 3x 的周期
2、解不等式：1- tan x 0
3 3、解不等式： tan( x ) 6 3
答案: 1. x x k x k , k Z
4 2 2. x x k x k , k Z 2 4 2 x x k x k , k Z 3. 3 3
提高练习
求函数 y tan 3 x 的定义域、值域，并指出它的 3 单调性、奇偶性和周期性；
答案:
1、定义域 2、值域
1 5 x x | x R且x k ，k Z 3 18 yR
3、单调性
4、奇偶性 5、周期性
1 5 1 在x k , k 上是增函数； 18 3 18 3
A
B
π π (- + kπ, + kπ) ，k Z 2 2
在每一个开区间 内都是增函数。
基础练习
1．关于正切函数 y
tan x , 下列判断不正确的是（B ）
A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值 D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线 段相等
２．函数
y tan(3x)的一个对称中心是（
B. ( , 0) 4
C ）
A . ( , 0) 9
C. ( , 0) 6
D. ( , 0) 4
例题分析
例1、比较下列每组数的大小。
(1)tan167 与tan173
解:
0 0 0
o
o
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
90 167 173 180
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问 题
讨
论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
2. 函数
y sin x, x 0,2 图象的几何作法
y
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/ p1
1P 1
6
(3) 平移 (4) 连线
2
o1
M -1 1
A
o
-1 -
6
3
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-
-
-
-
思考 4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
奇函数 偶函数
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探究
一、你能否根据研究正弦、余弦函数的图
象和性质的经验 以同样的方法研究正切函数 的图像和性质?