黄冈中学高考数学易错题精选(一)三角函数与平面向量

// BC
；②直线 MN
的方程为
3
3x 10 y 28 0 ；
③直线 MN 必过△ABC 的外心；④向量 ( A B A C )( 0) 所在射线必过 N 点，上述四个命题
中正确的是
_________.（将正确的选项全填上）．
21．对于函数
f
(x)
s i n
x
(sin x cos x ) ,给出下列四个命题:(1) 该函数的值域是 [1, 1] ;
黄冈中学高考数学易错题精选（一）三角函数与平面向量
1．在同一坐标系中，函数 y sin x 的图像和函数 y x 的图像有( )个公共点..函数
y sin x 的图像和函数 y tan x （ x , ）的图像有(
)个公共点.
A. 1 ,3
B. 1 ,1
C. 3, 1 D. 3, 3
sin C2
cos C1
sin( 2
C1 )
C2
2
C1
那么 A2
满足关系： OQ OP OM （O 为坐标原点）． （1）求点 Q 的轨迹方程； （2）在 O、M、P 不共线时，求四边形 OPQM 面积的最大值及此时对应的向量 O M ．
28．如图所示，在半径为 r 的圆 O 上的弓形中，底 AB 2r ，C 为劣弧 A B 上的一点，且
CD⊥AB，D 为垂足，点 C 在圆 O 上运动，当点 C 处于什么位置时，△ADC 的面积有
三角函数与平面向量答案
1．B 解：当 x (0, ) 时， tan x x sin x
2
只有一个交点，即原点．故选 B．
所以 x ( , ) 时， y sin x 与 y x ， y tan x 均
2．C 解：由 f ( x) 2 sin( x ) 在 0, 2 的图像可知 a (2,1) (1, 2) ，故选 C． 6
则点 O 是△ABC 的（ ）
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
8．定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f (2 x ) f ( x ) ，且在[－3，－2]上是减函数， , 是
钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是 （
）．
A. f (sin ) f (cos )
B. f (cos ) f (cos )
cos x (sin x cos x )
(2)
当且仅当 x 2k
(k Z ) 时该函数取到最大值
1;(3)
当且仅当 x 2k
3
(k Z )
2
4
时该函数取到最小值 2 ;(4) 当且仅当 2k x 2k 3 (k Z ) 时 f ( x) 0 ．正确的
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
2
序号有
．
22．已知 x1 , x2 ( , 0) 且 x1 x2 ，则下列五个不等式：
2．若方程 3 sin x cos x a 在 0 , 2 ] 上有两个不同的实数解，
则 a的取值范围是 (
)
A. a (2, 0) (1, 2)
B. a (2, 2)
C. a (2,1) (1, 2) D.
a (2,1)
3.当 0 x 时,函数 f ( x) 1 cos 2 x 8 sin 2 x 的最小值为(
线
y
1 2
在
y
轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P1 , P2
，则 P1P3 P2 P4 _________.
20．已知△ABC 中，A(0,1), B(2, 4)C (6,1) ，P 为平面上任意一点，M、N 分别使 PM 1 ( PA PB ) ，
2
PN
1 (PA
PB
PC ) ，给出下列相关命题：① MN
（2）已知
、
、
(0,
) ， sin
sin
sin , cos
cos
cos
，求
的值．
2
24.如图，在△ABC 中，已知 AB 3 ， AC 6 ， BC 7 ， AD 是 BAC 平分线. A
（1）求证： D C 2 BD ；
（2）求 AB D C 的值.
B
D
25.在 ABC 中，点 M 是 BC 的中点， AMC 的三边长是连续三个正整数，且
即 B A (O A A C O B B C ) 0 ，即 BA 2OC 0 ，所以 BA⊥OC．
同理，AC⊥OB，BC⊥OA，所以点 O 是△ABC 的垂心，故选 B． 8.D. 解：对称轴为 x 1 ,又为偶函数,则函数是周期为 2 的函数．有[－3，－2]上是减函数 可知[0，1] 是增函数. 故选 D．
量 O B 的夹角的取值范围为
．
16．点 O 在 ABC 内部且满足 O A 2O B 2O C 0 ，则 ABC 面积与凹四边形 ABO C 面积之
比是
．
17.在平面直角坐标系 xoy 中，函数 f ( x ) a sin ax cos ax (a 0) 在一个最小正周期长的
区间上的图像与函数 g ( x) a 2 1 的图像所围成的封闭图形的面积是________。
11．某时钟的秒针端点 A 到中点 O 的距离为 5cm，秒针均匀地绕点 O 旋转，当时间 t 0 时，
点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合，将 A、B 两点间的距离 d (cm ) 表示成 t(s) 的函数，则
d
．其中 t [0, 60]
12．若平面向量 a ， b 满足 | a b | 1, a b 平行于 x 轴， b (2, 1) ，则 a
)
2
sin 2 x
A.2
B. 2 3
C.4
D. 4 3
4．已知平面上直线 l 的方向向量 e ( 4 , 3 ) ，点 O (0, 0) 和 A(1, 2) 在 l 上的射影分别是 O '
55
和 A ' ，则 O ' A ' e ，其中 等于(
)
A.2
B.-2
C. 5
D. 5
5.在 A B C 中,有命题:① A B A C B C ②若 ( A B A C ) ( A B A C ) 0 ,则 A B C
tan C cot BAM . （I）判断 ABC 的形状；（II）求 BAC 的余弦值。
26．在△ABC 中，已知 a,b,c 成等比数列，且 a b c 9 ． （1）求△ABC 的面积 S 的最大值；
（2）求 BA BC 的最小值
27．已知圆 C : x 2 y 2 9 以及圆 C 内一定点 P（1，2），M 为圆 C 上一动点，平面内一点 Q
3．C 解：因为 0 x ，所以 sin x 0, cos x 0 ，
2
所以 f ( x ) 2 cos 2 x 8 sin 2 x 2 16 cos 2 x sin 2 x 4 ．故选 C．
sin 2 x
2 sin x cos x
4．B．解：∵ O A 与 e 反向∴ 0 又 | || O A || O A | | cos e、O A | 2 ∴ 2 .故选 B．
正三角形 ABC 的三个顶点分别在 l1 、 l2 、 l3 上，则△ABC 的边长是（
）
A． 2 3
B． 4 6
3
C． 3 17
4
D． 2 21
3
7．设 O 为△ABC 所在平面内一点，已知 | O A |2 | B C |2 | O B |2 | A C |2 | O C |2 | A B |2 ， 、
C
E
B
A
D
O
最大值？
29．如图所示，已知在△ABC 的边上作匀速运动的点 D、E、F，在时刻 t 0 时，分别从 A、 B、C 出发，各以一定速度向 B、C、A 前进，当时刻 t 1 时到达 B、C、 A．
（1）试证明在运动过程中，△DEF 的重心不变； （2）若△ABC 的面积是 S，求△DEF 的面积的最小值．
2
2
t a n 3 ．
5
1
cos
1
5 ， sin 3
sec
1 tan 2 2 7
27
所以 a
1
2
21 ，选 D．
sin
3
7.B 解：由 | O A |2
| BC
|2 | O B
|2
|
AC
|2 ，得 O A 2
2
OB
2
BC
2
AC
0
，
即 (O A O B ) (O A O B ) ( B C A C ) ( B C A C ) 0 ，所以 (O A O B ) B A ( B C A C ) B A 0 ，
18 ． 在 △ ABC 中 ， 已 知 AB 4 6 ， cos B 6 ， AC 边 上 的 中 线 B D 5 ， 则
3
6
s i nA
．
19. 已知偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) f ( x 2) ，且当 x [0,1] 时， f ( x ) sin x ，其图象与直
C. f (cos ) f (cos )
D. f (sin ) f (cos )
9．.若 sin sin 2 ,则 cos cos 的取值范围是（
）
2
A．
0,
2
2
B．
2 ,
2
2 2
C． 2,2
D．
14 ,
14
2 2
10.如果 A1 B1C 1 的三个内角的余弦值分别等于 A2 B 2 C 2 的三个内角的正弦值,则(
．
13．已知向量 a= (1, 2) ,b (1, ) ( R），则使 a 与 b 的夹角为锐角的 的范围为
．
14．设点 A（1，0），B（0，1），O 为坐标原点，点 P 在线段 AB 上移动， AP AB ，若
OP AB PA PB ，则实数 的取值范围是
．
15．已知向量 OB (2, 0) ，向量 OC (2, 2) ，向量 CA ( 2 cos , 2 sin ) ，则向量 O A 与向
)
A. A1 B1C 1 与 A 2 B 2 C 2 都为锐角三角形.
B. A1 B1C 1 A 2 B 2 C 2 与都为钝角三角形.
C. A1 B1C 1 为钝角三角形, A2 B 2 C 2 为锐角三角形. D. A1 B1C 1 为锐角三角形, A2 B 2 C 2
为钝角三角形.
为等腰三角形③对任意 m R , | BC m BA || CA | 恒成立，则 A B C 的形状为直角三角
形④若 A C A B 0 ,则 A B C 为锐角三角形.上述命题正确的是(
)
A.①②
B.①④ C.②③ D.②③④
6．如图 l1 , l2 , l3 是同一平面内的三条平行直线， l1 与 l2 间的距离是 1， l2 与 l3 间的距离是 2
5．C.解：②向量几何意义可知 AB AC ;③由向量几何意义可知 AC⊥AB. 故选 C． 6.D 解：设其边长是 a ，AB 与 l2 的夹角为 ，
则 1 a sin , 2 a sin(60 ) ， 于 是 2a s i n a s i n (60 ，)得
3
cos
5 sin
0
，所以
9．D 解：设 co s co s x ，则 (sin sin )2 (cos cos ) 2 1 x 2 ，
2
即 2 2 cos( ) 1 x 2 ，所以 x 2 3 2 cos( ) ．
2
2
显然，当 cos( ) 取得最大值时， x 2 有最大值．所以 0 x 2 7 ，即
30．已知椭圆 x 2 y 2 1(a b 0) ， A(2, 0) 为长轴的一个端点，弦 BC 过椭圆的中心 O，且
a2 b2
AC BC 0 ， | O C O B | 2 | BC BA | ．
（1）求椭圆的方程； （2）若 AB 上的一点 F 满足 BO 2OA 3OF 0 ，求证：CF 平分∠BCA．
14 x
14
，选 D．
2
2
2
10．D 解：由已知条件知△A1、B1、C1 的三个内角的余弦值为均为正，则△A1、B1、C1 为锐
角三角形，假设△A2、B2、C2 为锐角三角形．
sin
A2
cos
A1
sin( 2
A1 )
A2 2 A1
由
sin
B2
cos B1
sin(
2
B1 )
得
B
2
2
B1
① sin x1 sin x2 ；
x1
x2
② sin x1 sin x2 ；
③
1 2
(sin
x1
sin
x2
)
sin(
x1
2
x2
)
；
x1
x2
④ sin x1 sin x2 ；
sin
sin
⑤ 2 2．
其中正确的序号是
．
2
2
x1
x2
23（1）已知13 sin 5 cos 9,13 cos 5 sin 15 ，求 sin( ) 的值；