分式方程的增根及无解

分式方程的增根与无解

甲：增根是什么？

乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值. 比如

例1 、解方程：。①

为了去分母，方程两边乘以，得②

由② 解得。

甲：原方程的解是。

乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？

甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟！当时，原方程有的项的分母为0 ，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？乙：求解过程完全正确，没有任何的差错。

甲：那为什么会出现这种情况呢？

乙：因为原来方程①中未知数x 的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后，未知数x 的取值范围扩大为全体实数。这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。

甲：如此说来，从方程①变形为方程② ，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么，如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？

乙：很简单，两个字：检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于0，如果公分母为0 ，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。

甲：那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程无解。

甲：啊？！为什么会无解呢？乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x 取何值，都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程，不论x 取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。

甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？

乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看：

例2 、解方程，

去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解，

而方程，去分母后化为，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。

乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系可以解决分式方程的有关问题，你看：例3 、已知关于x 的方程有增根，求k 的值。

首先把原方程去分母，化为。③

因为原方程的最简公分母是，所以方程的增根可能是或

若增根为，代入方程③，得，；

若增根为，代入方程③，得，。

故当或时，原方程会有增根。

甲：虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解，但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系，这是怎么一回事？

乙：你说的没错，增根与无解都是分式方程的“常客”，它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴

而行的，在有些分式方程问题中，讨论无解的情形时应考虑增根，例如：

例4 、已知关于x 的方程无解，求m 的值先把原方程化为。④

1 )若方程④无解，则原方程也无解，方程④化为，当，而时，方程④无解，此时

(2 )若方程④有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程④的解为时原方程

无解，代入方程④，得，故。

综合( 1)、( 2)，当或时，原方程无解。

妙用分式方程的增根解题

在解分式方程的过程中，我们还可以利用增根来求分式方程中的待定字母的值.请看下面几例.

例1 若关于x的方程ax 1 1 0 有增根，则a的值为_____________________________ .

x1

析解：去分母并整理，得ax 1 x 1，因为原方程有增根，增根只能是x 1，将x 1 代入去分母后的整式方程，得a 1 .

例2 若关于x的方程x 2 m 2无解，则m 的值是_____________________ .

x 3 x 3 析解：去分母并整理，得x m 4 0 .

解之，得x 4 m .

因为原方程无解，所以x 4 m 为方程的增根.又由于原方程的增根为x 3 .所以4 m 3 ，m 1. 例3. 已知方程12＋2＝k

有增根，则k ＝_______________________________________________ .

4 x2x 2

析解：把原方程化成整式方程，得

1 2(4 x2) k(x 2) . 因为原方程有增根，所以增根只能是x 2或x 2.

21

将x 2代入1 2(4 x2) k(x 2)，得k ；

4

1 将x 2代入1 2(4 x2) k(x 2) ，无解.故应填－.

4

练一练：

1. 如果分式方程x m无解，则m 的值为( ).

x 1 x 1

（A）1 （B）0 （C）－1 （D）－2

2. 如果方程x2k x 2有增根x 1，则k ＝____________________ .

x2 1 1 x

答案：1.C；2.1；

分式方程的增根及其应用

一、增根的原因解分式方程时，有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程过程中，无形中取掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，于是就产生了如下两种情况：（1）如果整式方程的

根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的根就是分式方程的根；（2）如果整式方程的有些根不在分

式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根，是分式方程的增根．因此，解分式方程时，验根是必不可少的步骤．

二、利用增根解题不可否认，增根的出现给我们的解题带来了一定的麻烦，然而任何事物都有其两面性，由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还能使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题，常见的类型有如下几种：

1．已知方程有增根，确定字母系数值

例1 ：若方程x 2 m有增根，则m 的值为（）

x 3 x 3

A．－3 B．3 C．0 D．以上都不对

析解：把分式方程两边同乘以公分母x－3，得整式方程x－2（x－3）=m．若原方程有增根，必须使公分母x －3 等于0，即x=3，代入整式方程得3=6－m，解得m=3．故应选B．

点评：方程有增根，一定是公分母等于0 的未知数的值．解这类题的一般步骤①把分式方程化成的整式方程；②令公分母为0，求出x 的值；③再把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值．

2．已知方程无解，确定字母系数值

例2：若方程 3 2x 2 mx 1无解，则m 的值为（）

x 3 3 x

3

A．－1 B．3 C．－1 或3 D．－1 或

5 分析：把分式方程化为整式方程，若整式方程无解，则分式方程一定无解；若整式方程有解，但要使分式方程无解，

则该解必为使公分母为0 时对应的未知数的值，此时相应的字母系数值使分式方程无解．解：去分母，得（3－2x）－（2+mx）=3－x,整理,得（m+1） x=－2．若m+1=0，则m= －1，此时方程无解；若m+1 2 2 3 3

≠0，则x= 2是增根．因为2=3，所以m= 3．所以m的值为－1 或3，故应选D．

m 1 m 1 5 5 点评：方程无解的条件，关键是看转化后的整式方程解的情况．既要考虑整式方程无解的条件，又要考虑

整式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考虑问题要全面、周到．3．已知方程无增根，确定字母系数值

例3：若解关于x 的方程x2k x不会产生增根，则k 的值为（）

x 1 x 1 x 1

A．2 B．1 C．不为± 2 的数D．无法确定

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