中国科学院 自动化研究所(北京) 考博真题 数学 2016

卡方分布，student-t 分布和 F 分布的上 分位数，则
Z (0.005) 3.29 ， Z (0.025) 1.96 ， Z (0.05) 1.65 ， t24 0.025 2.06 ，
t24 0.05 1.71 , F3,12 (0.05) 3.49 ， F4,12 (0.05) 3.26 ，
5. 设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 是来自正态总体 X ~ N 0, 4 的样本，则当 a
2 。 Y a X 1 2 X 2 a X 3 2 X 4 ~ 2
2 2
六.(本题 10 分)设随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为
1, y x, 0 x 1 f ( x, y ) otherwise 0,
1 试求： f X Y ( x y ) 。 2
x 1 e , x0 ，其中 七.(每小题 5 分，共 10 分)设总体 X 的密度函数为 f ( x, ) 0 , 其它
0 未知， X 1 , X 2 , , X n 是从该总体中抽取的一个样本。
1.试求 的极大似然估计。 2.此极大似然估计偏倚是多少？
r rank ( A) 。
三． （12 分）试求下面矩阵 A 的 Moore‐Penrose 广义逆阵 A ：
2i i 0 4 2i A 6 ， 0 0 3 2 1 1 4 4i
F5,12 (0.05) 3.11 , F3,20 (0.05) 3.10 ， F4,20 (0.05) 2.87 , F5,20 (0.05) 2.71 , F4,24 0.05 2.78 。
一．
（14 分）求微分方程组
dx1 3x1 8 x3 dt dx2 3 x1 2 x2 6 x3 dt dx3 2 x1 5 x3 dt
2. 设 X ~ N (3 , 2 ) ,且 P{ X 0} 0.1 ，则 P{3 X 6}
3.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
k (6 x y ), 0 x 2, 2 y 4; f ( x, y ) 其他, 0,
Fra Baidu bibliotek则 P{ X 1, Y 3) 科目名称：数学 _ 第 2 页 共3页
八.(本题 10 分)保险公司新增一个保险品种，每份保单缴纳保费 100 元，若发生 赔付，赔付金额为 2 万元。根据统计,这类保险赔付概率为 0.0005。这个新保险品 种预计需投入 120 万元的广告宣传费用。在忽略其他费用的情况下, 一年内至少 需要多少人参保, 才能使保险公司在该年度获利超过 80 万元的概率大于 95%?
其中 i 1 。 四． 1. 2. 3. （12 分）设 A Cn n ， 是矩阵 A ai , j 的特征值，试证明下列结论：
A m ；

Re( )
1 A AH 2 1 Im( ) A AH 2
m
。
m
其中 AH 是矩阵 A 的共轭转置， Re( ), Im( ) 分别是复数 的实部和虚部；矩阵范 数 A m 定义为： A
4. 假设一工厂有三部机器，三部机器的产量占总产量的比例分別为 50%、30%以 及 20%，且已知三部机器均会产生瑕疵品，第一部机器的产量中有 1%为瑕疵品， 第二部机器的产量中有 2%为瑕疵品、第三部机器的产量中有 4%为瑕疵品。若已 知抽中之产品为瑕疵品，其来自第二部机器的可能性为 _ 。 _ 时
中国科学院自动化研究所 2016 年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷 科目名称：数学
考生须知：
1.本试卷满分为 100 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效。
2 本试卷可能用到的常数： 分别以 Z ( ), n ( ), tn ( ), Fm,n ( ) 表示标准正态分布，
科目名称：数学
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满足初始条件 x1 (0) 1, x2 (0) 0, x2 (0) 1 的解。 科目名称：数学 第 1 页 共3页
二．
（12 分）已知矩阵 1 2 1 0 2 2 A 1 2 1 2 1 1
试求矩阵 A 的满秩分解： A FG ，其中， F 是 4 r 矩阵， G 是 r 3 矩阵，

m
n max ai , j
i, j

五.填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
1．设第一只盒子装有 3 只蓝球，2 只绿球，2 只白球；第二只盒子装有 2 只蓝
球，3 只绿球，4 只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。已知至少有一只 蓝球，则有一只蓝球一只白球的概率为 _ 。 _ 。