常数项级数的概念和..
合集下载
常数项级数的概念和性质
∞
lim u n = lim ( S n − S n −1 )
n →∞ n →∞
= lim S n − lim S n −1
n →∞ n →∞
= S −S =0
例4. 判别 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
n 的敛散性. n +1
(−1) n −1 n = 1, 解：由于 lim | u n |= lim n →∞ n →∞ n +1
一、问题的提出
1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 + a 2
n 正 3 × 2 形的面积 a1 + a 2 + L + a n
R
即 A ≈ a1 + a2 +L+ an 1 3 3 3 3 2. = + + +L+ n +L 3 10 100 1000 10
二、常数项级数的概念
n =1 ∞
S n = ∑ u k = u1 + u 2 + L + u n ,
k =1
n
称为常数项级数的部分和. 若 lim S n = S 存在，则称级数 ∑ u n 收敛， n →∞
n =1 ∞
∑ S称为级数的和： u n = S .
n =1
∞
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 = 3, 3 ; 面积为 A1 = 4 第一次分叉： 第一次分叉：
1.常数项级数的定义 1.常数项级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达式
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u 2 + L + u n + L
7.1常数项级数的概念和性质
| an – a |
3. 有关性质： (1) 单调有界数列必收敛.
(2) 如果一数列收敛于S，那么其任一子数列 均收敛于S.
lim s2 n1 = S， 则 (3) 若 lim s2 n = S， n
n n n
1
lim sn = S
n
2
(4) 设 lim sn = S1， lim sn = S2， 若S1≠S2， 则数列Sn发散； 若 S 1= S 2， 则数列Sn 可能收敛也可能发散.
二、级数的基本性质
性质 1 级数 an 与任一余项级数
n 1
an ( k 1) n k 1
有相同的敛散性.
证明
a n a k 1 a k 2 a k n n k 1
n ak 1 ak 2 ak n sn k sk ,
性质 3
设两收敛级数 a n s , bn ,则级数
n 1 n 1
(an bn ) 收敛,其和为 s . n 1
结论: 收敛级数可以逐项相加或逐项相减.
思考:
1. 若级数 an 与 bn 一个收敛一个发散 , 级数
n 1 n 1
(an bn ) 敛散性如何? n 1
级数发散.
综上
当 | q | 1 时 , 收敛 aq 当 | q | 1 时 , 发散 n 0
n
例4 一个球从a米高下落到地平面上.球每次落下距
离h后碰到地平面再弹起的距离为rh,其中r是小于1的正
数.求这个球上下的总距离.
2ar a(1 r ) . s a 2ar 2ar 2ar a 1 r 1 r
常数项级数的概念和性质
3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可 以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这 种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可 积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数 的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几 个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无 穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学 行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来 表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和 计算电路中的电流、电压和功率等参数 ，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程 等领域有广泛的应用，如傅里叶 分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致 收敛、逐点收敛等。
9.1 常数项级数的概念与性质
S n aq k 1
k 1 n
a aq n 1 q a (1 q n ) . 1 q 1 q
a (1 q n ) a S n lim , 当公比 | q |<1时，lim n n 1 q 1 q
a . 即S 1 q
a (1 q n ) . lim S n lim 当公比 | q |>1时， n n 1 q
S n lim na 当公比 q =1时， lim n n
a, n为奇数 当公比 q = 1时，Sn= 0, n为偶数 综上所述，当公比| q |<1时, 等比级数收敛； 当公比| q |1时，等比级数发散.
S n不存在. , 故lim n
例 3 判别无穷级数 22 n 31 n 的收敛性.
9.1 常数项级数的概念与性质
• 常数项级数的概念 • 无穷级数的性质
9.1.1常数项级数的概念
一. 引例
1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 a 2
n 3 2 正 形的面积 a1 a 2 a n
R
即 A a1 a2 an
1 1 n lim hn 2 1, n 1 n 1 2 1 2
5 1 故 n 5 1 6. 2 n 1 n( n 1)
例7.(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和是收 敛的还是发散的？ (2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？ 答: (1)是发散的. (2)不一定.
(u
n 1
n 1
n
v n ) u n v n S1 S 2 .
n 1 n 1
k 1 n
a aq n 1 q a (1 q n ) . 1 q 1 q
a (1 q n ) a S n lim , 当公比 | q |<1时，lim n n 1 q 1 q
a . 即S 1 q
a (1 q n ) . lim S n lim 当公比 | q |>1时， n n 1 q
S n lim na 当公比 q =1时， lim n n
a, n为奇数 当公比 q = 1时，Sn= 0, n为偶数 综上所述，当公比| q |<1时, 等比级数收敛； 当公比| q |1时，等比级数发散.
S n不存在. , 故lim n
例 3 判别无穷级数 22 n 31 n 的收敛性.
9.1 常数项级数的概念与性质
• 常数项级数的概念 • 无穷级数的性质
9.1.1常数项级数的概念
一. 引例
1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 a 2
n 3 2 正 形的面积 a1 a 2 a n
R
即 A a1 a2 an
1 1 n lim hn 2 1, n 1 n 1 2 1 2
5 1 故 n 5 1 6. 2 n 1 n( n 1)
例7.(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和是收 敛的还是发散的？ (2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？ 答: (1)是发散的. (2)不一定.
(u
n 1
n 1
n
v n ) u n v n S1 S 2 .
n 1 n 1
常数项级数
n=1
ρ > 1 时, lim an ≠ 0,因而 an发散 ∑
n→∞ n=1
∞
根值判别法
设
∑a
n=1
∞
n 为正项级数
, 且 lim
n
n
n→ ∞
an = ρ
则 (1 ) ρ < 1 时 ,
∑a
n=1 ∞
∞
收敛 ,
( 2 ) ρ > 1 时 , ∑ a n 发散 . n=1 ρ 1 , 注 : 根值判别法对 = 1的情形没有下任何结论
, 比值判别法无效 且比值判别法不是充要 . 条件 2 : 由根值判别法的证明过 程可见： 程可见：
ρ > 1 时, lim an ≠ 0,因而 an发散 ∑
n→∞ n=1
∞
积分判别法
且单减， 设 (1) f在[1,+∞ )上连续 , f ≥ 0且单减， ( 2) an = f ( n) ( n = 1,2,K),
与条件收敛 常数项级数的绝对收敛
定义： 定义：
, , 若绝对值级数 an 收敛 则称级数 an绝对收敛 ∑ ∑
n=1 n=1
∞
∞
, , 若级数 an收敛 但绝对值级数 an 发散 则称级 ∑ ∑
n=1 n=1
∞
∞
. 数∑an条件收敛
n=1
∞
定理
, 若级数 an绝对收敛 则级数 an收敛. ∑ ∑
n=1 n=1
n
为正项级数 , 且
∞
an+1 lim = ρ n→ ∞ a n
则 (1) ρ < 1 时 , ∑ a n 收敛 .
n=1 ∞
( 2 ) ρ > 1 时 , ∑ a n 发散 .
常数项级数的概念和..
n
性质 1 设常数k 0, 则 kun与 un有相同的敛散性．
n 1 n 1
1 1 1 1 调和级数1 是发散的 . 2 3 n n 1 n
1 课堂练习 判定 的敛散性. P255.4(2) n 1 3n
n 1 1.
n 1
limsn lim n 1 1) , 级 数 ( n 1 n ) 发 散 ． ( n n
5
例3 讨论等比级数 aqn a aq aq2 aqn
1 qn . 解 q 1时, sn a aq aq 2 aq n1 a 1 q a n ， 级数收敛. 若 q 1, 则 lim q 0， limsn n n 1q
(u
n 1
n 1
n 1
n
v n ) 是否发散?
(不一定,举两个例可证.)
12
性质３ 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改 变级数的敛散性． 证 将级数 un 的前 k 项去掉，
n1
所得新级数为
它的部分和为 n uk 1 uk 2 uk n sk n sk ,
常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
1
一、常数项级数的概念
定义 如果给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 则由这数列构成的表达式 u1 u2 u3 un (1)
称为常数项数，
其中第n 项 un 叫做级数的一般项．
这级数的部分和为
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列sn } 有 极 限 s， { 则 称 级 数 un 收 敛 ， 并 且 un s .
性质 1 设常数k 0, 则 kun与 un有相同的敛散性．
n 1 n 1
1 1 1 1 调和级数1 是发散的 . 2 3 n n 1 n
1 课堂练习 判定 的敛散性. P255.4(2) n 1 3n
n 1 1.
n 1
limsn lim n 1 1) , 级 数 ( n 1 n ) 发 散 ． ( n n
5
例3 讨论等比级数 aqn a aq aq2 aqn
1 qn . 解 q 1时, sn a aq aq 2 aq n1 a 1 q a n ， 级数收敛. 若 q 1, 则 lim q 0， limsn n n 1q
(u
n 1
n 1
n 1
n
v n ) 是否发散?
(不一定,举两个例可证.)
12
性质３ 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改 变级数的敛散性． 证 将级数 un 的前 k 项去掉，
n1
所得新级数为
它的部分和为 n uk 1 uk 2 uk n sk n sk ,
常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
1
一、常数项级数的概念
定义 如果给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 则由这数列构成的表达式 u1 u2 u3 un (1)
称为常数项数，
其中第n 项 un 叫做级数的一般项．
这级数的部分和为
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列sn } 有 极 限 s， { 则 称 级 数 un 收 敛 ， 并 且 un s .
常数项级数的概念和性质
则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ， 即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1
2 . 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S， 所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：
aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un
{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义： 设级数
n
un ， 对应的部分和数列 Sn ，
n 1
若 lim S n S 存在， 则称
un 收敛 ,
n 1
(C)
convergence
n 1 n 1
则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论： 若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1
(un vn )
n 1
( D) .
推论： (C) + (D) => (D)
§9.1常数项级数的概念与性质
un 2
L
)
0.
注：rn un1 un2 L 称为级数 un的余项。 n1
例 7 判定下列级数的敛散性：
n
(1) n ln
n1n11 2(2)[ n1 n
3n
]
定理 2(Cauchy收敛准则)
级数 un收敛的充分要条件为： n1
对于任给的 0,存在正整数N，使当n>N时，对任
意正整数p，总有
（2） 一个收敛级数与一个发散级数逐项相加所组 成的级数一定发散。
性质 3 在级数中去掉或加上有限多项，不改变级数的 敛散性。
如 a1 1,
q1 2
的等比级数1 1 1 1 248
是收敛的，
其和
S
1 1 1
2
，
2
减去它的前五项得到的级数 1 1 1 仍收敛 ， 32 64 128
1
其和
n1
推论1 乘以非零常数不改变级数的敛散性。
性质 2 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与 T ，
n1 n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为S T 。
n1
即：两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
例 6．试问下列说法是否正确，并说明理由或举例。 （1）两个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。
n
n1
称 S 为级数的和，记为 un S 。若部分和 数列Sn
n1
极限不存在，则称级数 un 发散。
n1
例 1.判别级数
1 的敛散性，若收敛，求其和。
n1n(n 1)
例 2. 讨论等比级数（几何级数） aqn (a 0) 的敛散性。
n0
注：
aq
【高数(下)课件】11-1常数项级数的概念和性质
1 1 n n 1 n 2 sn n 2 n 1 n 1 2 2 2 1 2 1 n 故 s lim sn lim( 2 n1 n ) 2 n n 2 2
所以,此级数收敛, 且其和为2.
二、级数的基本性质
性质1 (级数收敛的必要条件) 若 un 收敛，
1 1 1 sn L 1 3 3 5 ( 2n 1 ) ( 2n 1 )
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( )L ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
1 1 sn (1 ) 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 0)的敛散性. 例 讨论级数 n 1
n 3 ln a 是以 ln a 为公比的等比级数, 解 因为 n 1
故 1 当 a e时, | ln a | 1, 级数 收敛. e 1 当0 a 或a e时, | ln a | 1, 发散. e
n 1
u
n 1
n
u1 u2 u3 L un L
(1)
对收敛级数(1), 称差
rn s sn un1 un 2 L un i
rn 0 为级数(1)的余项或余和.显然有 lim n
i 1
当n充分大时, sn s
误差为 | rn |
定义
当n无限增大时, 如果级数 un的部分和
数列sn有极限s, 即 lim sn s. 则称无穷级数
s叫 做 级 数 u 收 敛, 这 时 极 限 u 的 和.
n 1 n
n 1 n
n 1
n
12-1常数项级数的概念和性质
n1
n1
n1
即 收敛级数可以逐项相加与逐项相减．
例6 若级数 an 与 bn 均发散，
n1
n1
则级数 (an bn )是否必发散？ (1987)
n1
解 结论是错误的．
例如级数 ln n 1 及 ln n 1 均发散，
n1
n
n1
n
但级数 [ln n 1 ln n 1] 0 是收敛的．
23
n
n1 n
n
2. 级数的部分和与部分和数列
n
设有级数 un，其前 n 项的和 sn ui
n1
i 1
称为级数的部分和． 它所构成的数列 sn
s1 u1， s2 u1 u2，，sn u1 u2 un，
称为级数的部分和数列．
3. 级数的敛散性
aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的敛散性．
n0
解
当
|
当 q 1 时，sn q | 1时，lim qn
n
a
aq 0，
aq2 lim
n
sn
1
aqn1 a. q
a1 qn 1q
收敛
当综当当上q|qq所|述111时ln时i时m， ，，ssansnqn不 lninm存a当nqa在 n，|aq．| 发a，1ln散i时m,lns收inm(敛s1n于)n.11a发a.q散发.a0散nn为为偶奇数数，
第十二章质
一、常数项级数的概念
1. 常数项级数的定义
设有数列 un：u1，u2，，un，，按其次序求和
u1 u2 u3 un un 称为(常数项)级数．
常数项级数的概念与基本性质
第一节 常数项级数的概念与基本性质
一、基本概念
级数：a1 a2 an an n1
一般项：a n
部分和：sn a1 a2 an
部分和数列：(
s
n
)
பைடு நூலகம்
n1
有限数
若
lim
n
s
n
s，则称级数收敛，并称
s
an 为级数的和；
n1
否则称级数发散。
余项： rn s sn
例1、证明：几何级数（等比级数） aqn (a 0) 收敛 ， n0
性质4：如果级数收敛，则当 n 时它的一般项趋于零。
推论5：若 n 时，一般项不趋于零，则级数发散。
lim
n
an
0
?
an收敛
n1
例4、判别下列级数的敛散性，若收敛则求其和。
n
(1) cos
n1
3
1
( 2) n1 n n
n2 1
(3) ln
n2
n2
作业 习题9-1：1（偶数题）、2（奇数题）
或说级数中去掉或加进有限多项不改变级数的
敛散性。
推论1：任意改变级数中的有限多项不影响级数的敛散性。
性质2：（1）若级数 an 收敛，其和为 s ，则对任意 n1
常数 k ，级数 kan收敛，且其和为 ks 。 n1
（2）若级数 an 、 bn 分别收敛于和 s 、 ，即
n1
n1
an s ， bn
n1
n1
则级数 (an bn )也收敛，其和为 s 。 n1
推论2：若 k 0 ，则级数 an与 kan有相同的敛散性。
n1
n1
推论3：两个收敛级数可以逐项相加或相减。
一、基本概念
级数：a1 a2 an an n1
一般项：a n
部分和：sn a1 a2 an
部分和数列：(
s
n
)
பைடு நூலகம்
n1
有限数
若
lim
n
s
n
s，则称级数收敛，并称
s
an 为级数的和；
n1
否则称级数发散。
余项： rn s sn
例1、证明：几何级数（等比级数） aqn (a 0) 收敛 ， n0
性质4：如果级数收敛，则当 n 时它的一般项趋于零。
推论5：若 n 时，一般项不趋于零，则级数发散。
lim
n
an
0
?
an收敛
n1
例4、判别下列级数的敛散性，若收敛则求其和。
n
(1) cos
n1
3
1
( 2) n1 n n
n2 1
(3) ln
n2
n2
作业 习题9-1：1（偶数题）、2（奇数题）
或说级数中去掉或加进有限多项不改变级数的
敛散性。
推论1：任意改变级数中的有限多项不影响级数的敛散性。
性质2：（1）若级数 an 收敛，其和为 s ，则对任意 n1
常数 k ，级数 kan收敛，且其和为 ks 。 n1
（2）若级数 an 、 bn 分别收敛于和 s 、 ，即
n1
n1
an s ， bn
n1
n1
则级数 (an bn )也收敛，其和为 s 。 n1
推论2：若 k 0 ，则级数 an与 kan有相同的敛散性。
n1
n1
推论3：两个收敛级数可以逐项相加或相减。
12.1 常数项级数的概念和性质
敛的（具体解释见课本 253、254 页） 。
2．级数的部分和：级数 un 的前 n 项的和
n 1
sn u1 u2 u3 un ui
i 1
n
称为级数 un 的部分和。
n 1
例： s1 u1 ， s2 u1 u2 ， s3 u1 u2 u3 。
3．级数的收敛与发散：对于级数 un ，
注 2：一般来说，一般项的极限为 0 不能保证级数一定为收敛的，即：
lim un 0 级数 un 收敛
n
n 1
比方说，虽然 lim
1 1 1 1 lim 2 0 ，但是，级数 是发散的，而级数 2 是收 n n n n n 1 n n 1 n
第一节 常数项级数的概念和性质
1．常数项无穷级数：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , ，则称
u
n 1
n
u1 u2 u3 un
为常数项无穷级数，记为 un ，简称为级数，且将数列 u1 , u2 , u3 , , un , 中的第
1 1 2n
1 对部分和 sn 取极限，得： lim sn lim 1 n n n 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 于是，级数 n 是收敛的，且 n 1 2 4 8 2 2 4 8 2
例 3：考虑级数
1 1 1 1 的收敛性。 1 2 2 3 3 4 n(n 1) 1 1 1 ，从而级数的部分和为 n(n 1) n n 1
该级数的一般项为 un
sn
8.1常数项级数的概念和性质
n1
称为几何级数(又称为等比级数), 其中a 0, q 0.
试讨论该级数的敛散性.
解 该级数的前n项部分和为
Sn
a
aq
aqn1
a aqn 1q
(q 1)
(1)当 q
1时,
有
lim
n
S
n
a, 1q
所以级数 (8 1) 收敛, 且其和为 a . 1q
(2)当 q 1时,
有
lim
n
n1
un 同时收敛或同时发散, 且同时收敛时, 有
n1
cun c un .
n1
n1
性质8.2 若级数 un 与级数 vn 都收敛, 则级数
n1
n1
(un vn ) 收敛 , 且有
n1
(un vn ) un vn .
n1
n1
n1
级数 un 发散, vn 收敛, 必有 （un vn数发散.
(3)当q 1 时, Sn na ( n 时 );
当q 1时,
Sn
a [1 2
(1)n1 ],
n 时, Sn 的极限不存在,
故当 q 1时, 级数 (8 1) 发散.
综上讨论 , 当 q 1 时收敛于 q ,当 q 1 时发散. 1q
例2 判断级数
并不存在和数 S .
练习：讨论下列级数的敛散性；若收敛，求其值。
1
1.
;
n1 (2n 1)(2n 1)
n
2. ln ;
n1 n 1
3.
ln(1
1
);
n1
n
(ln 2)n
4. n1
2n
;
5. (1)n1 5n
n1
称为几何级数(又称为等比级数), 其中a 0, q 0.
试讨论该级数的敛散性.
解 该级数的前n项部分和为
Sn
a
aq
aqn1
a aqn 1q
(q 1)
(1)当 q
1时,
有
lim
n
S
n
a, 1q
所以级数 (8 1) 收敛, 且其和为 a . 1q
(2)当 q 1时,
有
lim
n
n1
un 同时收敛或同时发散, 且同时收敛时, 有
n1
cun c un .
n1
n1
性质8.2 若级数 un 与级数 vn 都收敛, 则级数
n1
n1
(un vn ) 收敛 , 且有
n1
(un vn ) un vn .
n1
n1
n1
级数 un 发散, vn 收敛, 必有 （un vn数发散.
(3)当q 1 时, Sn na ( n 时 );
当q 1时,
Sn
a [1 2
(1)n1 ],
n 时, Sn 的极限不存在,
故当 q 1时, 级数 (8 1) 发散.
综上讨论 , 当 q 1 时收敛于 q ,当 q 1 时发散. 1q
例2 判断级数
并不存在和数 S .
练习：讨论下列级数的敛散性；若收敛，求其值。
1
1.
;
n1 (2n 1)(2n 1)
n
2. ln ;
n1 n 1
3.
ln(1
1
);
n1
n
(ln 2)n
4. n1
2n
;
5. (1)n1 5n
n1
常数项级数的概念和性质解析ppt课件
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
例4. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而 lim Sn
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
引例2. 计算棒长.
一尺之棰,日取其半, 万世不竭. 棰长形成一个无穷数列
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n1
n1
如果 {sn } 没有极限， 则称级数 un 发散．
n1
例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
n(n 1) . 2
lim
n
sn
lim
n
n(n 1) 2
,
∴所给级数是发散的.
3
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列{sn } 有 极 限s，
3
7
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习
判定级数
5 3
52 32
53 33
(1)n
5n 3n
的敛散性.
解 为等比级数，公 比q 5 . 3
| q | 1, 该级数发散.
n0
(a 0, q为 公 比) 的 收 敛 性.
解
若q
q
1,
1时, sn
则 lim q n n
a aq aq2 aqn1
0，
lim
n
sn
a， 1q
1 qn
a
.
1q
级数收敛.
若 q 1,
则 lim q n n
，
lim
n
sn
，级数发散．
q 1时,
若q 1,
则
lim
n
sn
lim na
n
，级数发散，
若
q
1,
则lim n
sn
lim[a
n
a
(1)n1a]不存在,级数发散.
综上
aq n
n0
当 当
q q
1时, 收敛, 并且 1时, 发散.
n0
aq n
a 1
q
(q
1).
6
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
n1
课堂练习
判定级数 (
n1
n)的敛散性．
P255.3(1)
n1
解 部分和
sn ( 2 1) ( 3 2) ( 4 3) ( n 1 n )
n 1 1.
lim
n
sn
lim(
n
n 1 1) , 级数
( n 1 n) 发散．
n1
5
例3 讨 论 等 比 级 数 aqn a aq aq2 aqn
2 23 34
n n1
n1
lim
n
sn
lim(1 n
1 ) 1, n1
该级数收敛且
1 1.
n1 n(n 1) 4
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列{sn } 有 极 限s，
n1
则 称 级 数 un 收 敛 ， 并 且 un s.
n1
n1 ．
常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
1
一、常数项级数的概念
定义 如果给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 则由这数列构成的表达式 u1 u2 u3 un (1)
称为常数项级数，
其中第 n 项 un 叫做级数的一般项．
常数项级数(1)的前n 项的和可构造一个新的数列
n1
则 称 级 数 un 收 敛 ， 并 且 un s.
n1
n1
例2 判 定 级 数
1 的 收 敛 性.
n1 n(n 1)
解
由于一般项un
1 n(n 1)
1 n
1, n1
因此,部分和sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n(n 1)
(1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 1 .
n1
lim
n
n
lim
n
ksn
k
lim
n
sn
,
kun与 un有相同的敛散性．
n1
n1
10
性质2 如 果 级 数 un、 vn 分 别 收 敛 于 和s、 ,
n1
n1
则 级 数 (un vn ) 也 收 敛 ， 且 其 和 为s ．
n1
证 设 un 与 vn 的 部 分 和 分 别 为sn、 n ,并 且
| q | 1,
该级数收敛, 并且
4 n
1
5.
n0 5 1 4
5
9
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常数k 0,则 kun与 un有相同的敛散性．
n1
n1
证 设 un 的部分和为 sn u1 u2 un;
n1
则 kun 的部分和为 n ku1 ku2 kun ksn .
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
P255第4题中有三道小题用到此结论
用法:
例 如,
7 6
72 62
(1)n1
7n 6n
公 比q 7 且 | q | 1.
6
发 散.
又 如,
11
1
1 3 32 3n
收 敛.
公 比q
1 且 | q | 1. 3
并且和 s
1 1 1
3. 2
n1
11
性质2 如 果 级 数 un、 vn 分别收敛于和s、 ,
n1
n1
则 级 数 (un vn ) 也 收 敛 ， 且 其 和 为s ． n1
问: 若级数 un收敛, vn 发散,则级数
n1
n1
(un vn ) 是否收敛?
n1
(用反证法可证其发散.)
问
:
若
级
数
un和
v
两
n
个
都
发
散,
n1
n1
lim
n
sn
s,
lim
n
n
.
则 (un vn ) 的部分和
n1
n (u1 v1 ) (u2 v2 ) (un vn )
(u1 u2 un ) (v1 v2 vn ) sn n ,
lim
n
n
lim(
n
sn
n)
s,
(un vn ) 收敛， 且其和为s ．
则
级
数
n1
n1
(un vn ) 是否发散? (不一定,举两个例可证.)
n1
12
性质３ 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改
变级数的敛散性．
证 将级数 un 的前 k 项去掉，
n1
所得新级数为
它的部分和为 n uk1 uk2 ukn skn sk ,
s1 u1 , s2 u1 u2 , , sn u1 u2 un , .
讨论 u1 u2 u3 un ? (有没有和)
转化成讨论
lim
n
sn
?
(有没有极限)
2
定义 如果级数 un 的部分和数列{sn } 有极限 s，
n1
则 称 级 数 un 收 敛 ，并且 un s.
8
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习 级数 4 n 1 4 4 2 是否收敛?
n0 5
5 5
若 收 敛 求 其 和.
解 为等比级数, 公 比q 4 . 5