常数项级数的概念和..

2 23 34
n n1
n1
lim
n
sn
lim(1 n
1 ) 1, n1
该级数收敛且
1 1.
n1 n(n 1) 4
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列{sn } 有 极 限s，
n1
则 称 级 数 un 收 敛 ， 并 且 un s.
n1
n1
如 果{sn } 没 有 极 限 ， 则 称 级 数 un 发 散 ．
| q | 1,
该级数收敛, 并且
4 n
1
5.
n0 5 1 4
5
9
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常数k 0,则 kun与 un有相同的敛散性．
n1
n1
证 设 un 的部分和为 sn u1 u2 un;
n1
则 kun 的部分和为 n ku1 ku2 kun ksn .
则
级
数
n1
n1
(un vn ) 是否发散? (不一定,举两个例可证.)
n1
12
性质３ 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改
变级数的敛散性．
证 将级数 un 的前 k 项去掉，
n1
所得新级数为
它的部分和为 n uk1 uk2 ukn skn sk ,
常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
1
一、常数项级数的概念
定义 如果给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 则由这数列构成的表达式 u1 u2 u3 un (1)
称为常数项级数，
其中第 n 项 un 叫做级数的一般项．
常数项级数(1)的前n 项的和可构造一个新的数列
n0
(a 0, q为 公 比) 的 收 敛 性.
解
若q
q
1,
1时, sn
则 lim q n n
a aq aq2 aqn1
0，
lim
n
sn
a， 1q
1 qn
a
.
1q
级数收敛.
若 q 1,
则 lim q n n
，
lim
n
sn
，级数发散．
q 1时,
若q 1,
则
lim
n
sn
lim na
n
3
7
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习
判定级数
5 3
52 32
53 33
(1)n
5n 3n
的敛散性.
解 为等比级数，公 比q 5 . 3
| q | 1, 该级数发散.
，级数发散，
若
q
1,
则lim n
sn
lim[a
n
a
(1)n1a]不存在,级数发散.
综上
aq n
n0
当 当
q q
1时, 收敛, 并且 1时, 发散.
n0
aq n
a 1
q
(q
1).
6
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
n1
lim
n
n
lim
n
ksn
k
lim
n
sn
,
kun与 un有相同的敛散性．
n1
n1
10
性质2 如 果 级 数 un、 vn 分 别 收 敛 于 和s、 ,
n1
n1
则 级 数 (un vn ) 也 收 敛 ， 且 其 和 为s ．
n1
证 设 un 与 vn 的 部 分 和 分 别 为sn、 n ,并 且
n1
n1
如果 {sn } 没有极限， 则称级数 un 发散．
n1
例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
n(n 1) . 2
lim
n
sn
lim
n
n(n 1) 2
,
∴所给级数是发散的.
3
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列{sn } 有 极 限s，
s1 u1 , s2 u1 u2 , , sn u1 u2 un , .
讨论 u1 u2 u3 un ? (有没有和)
转化成讨论
lim
n
sn
?
(有没有极限)
2
定义 如果级数 un 的部分和数列{sn } 有极限 s，
n1
则 称 级 数 un 收 敛 ，并且 un s.
8
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习 级数 4 n 1 4 4 2 是否收敛?
n0 5
5 5
若 收 敛 求 其 和.
解 为等比级数, 公 比q 4 . 5
n1
课堂练习
判定级数 (
n1
n)的敛散性．
P255.3(1)
n1
解 部分和
sn ( 2 1) ( 3 2) ( 4 3) ( n 1 n )
n 1 1.
lim
n
sn
lim(
n
n 1 1) , 级数
( n 1 n) 发散．
n1
5
例3 讨 论 等 比 级 数 aqn a aq aq2 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
P255第4题中有三道小题用到此结论
用法:
例 如,
7 6
72 62
(1)n1
7n 6n
公 比q 7 且 | q | 1.
6
发 散.
又 如,
11
1
1 3 32 3n
收 敛.
公 比q
1 且 | q | 1. 3
并且和 s
1 1 1
3. 2
n1
n1
lim
n
sn
s,
lim
n
n
.
则 (un vn ) 的部分和
n1
n (u1 v1 ) (u2 v2 ) (un vn )
(u1 u2 un ) (v1 v2 vn ) sn n ,
lim
n
n
lim(
n
sn
n)
s,
(un vn ) 收敛， 且其和为s ．
n1
11
性质2 如 果 级 数 un、 vn 分别收敛于和s、 ,
n1
n1
则 级 数 (un vn ) 也 收 敛 ， 且 其 和 为s ． n1
问: 若级数 un收敛, vn 发散,则级数
n1
n1
(un vn ) 是否收敛?
n1
(用反证法可证其发散.)
问
:
若
级
数
un和
v
两
n
个
都
发
散,
n1
则 称 级 数 un 收 敛 ， 并 且 un s.
n1
n1
例2 判 定 级 数
1 的 收 敛 性.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
n1 n(n 1)
解
由于一般项un
1 n(n 1)
1 n
1, n1
因此,部分和sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n(n 1)
(1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 1 .