九年级数学： 正多边形和圆有关计算(含答案)
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答：
答案
一、选择题
1.D
2.B
3.C
4.B
5.B
6.C
7.C
8.A
9.B
10.A
11.D
二、填空题
12.
13.108°
14. 100 -150
15. 2，3，4，6，12
16.45
17. 6
18.
19.
三、
20.（1）①证法一： 与 均为等边三角形，
， 2分
且 3分
，
即 4分
．5分
证法二： 与 均为等边三角形，
24.等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：在△ 中， ，把底边 分成 等份，连接顶点 各等分点的线段，即可把这个三角形的面积 等分．
问题的提出：任意给定一个正 边形，你能把它的面积 等分吗？
探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手：怎样从正三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积 等分？
A． B． C． D．不存在
6.边长为 的正六边形的内切圆的半径为（）
A． B． C． D．
7.如图，⊙ 的内接多边形周长为3，⊙ 的外切多边形周长为3.4，
则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）
A． B． C． D．
8.将边长为3cm的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为（）
如果要把正三角形的面积四等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图①，这些线段将这个正三角形分成了三个全等的等腰三角形）；再把所得的每个等腰三角形的底边四等分，连接中心和各边等分点（如图②，这些线段把这个正三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起（如图③）．这样就能把正三角形的面积四等分．
①②③
实验与验证:仿照上述方法，利用刻度尺，在图④中画出一种将正三角形的面积五等分的示意简图．
猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积 等分？叙述你的分法并说明理由．
答：
拓展与延伸：怎样从正方形的中心引线段，才能将这个正方形的面积 等分？（叙述分法即可，不需说明理由）
答：
问题解决：怎样从正 边形的中心引线段，才能将这个正 边形的面积 等分？（叙述分法即可，不需说明理由）
在 和 中，
，源自文库
．
．
， ．
．
又 ， ．
．
22.（1）能．
理由：由题设可知，图4中长方形的宽为 ．
长方形的长为 ．
故长为 ，宽为 的长方形铁皮，能按图4的裁剪方法制作这样的无盖底盒．
（2） ．
23.解：（1） 3分
（2）此说法不正确4分
理由如下：尽管当 ， ， 时， 或 ，
但可令 ，得 ，
即 6分
，解得 7分
A．108°B．90°C．72°D．60°
3.一个正多边形的每个外角都是 ，这个正多边形是（）
A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形
4.已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
5. 10．如图，小林从 点向西直走12米后，向左转，转动的角度为 ，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点 ，则 （）
A. cm2B. cm2C. cm2D. cm2
9.如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是
A．7B．8C．9D．10
10.一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（）A．2B． C．1D．
13分
即 14分
证法四：同上可证 ．12分
．如图，连接 ，
．13分
即 14分
注意：此题还有其它证法，可相应评分．
21.（1）选命题 ．
证明：在图1中， ．
．
又 ，
．
．
选命题 ．
证明：在图2中， ．
．
又 ，
．
．
选命题 ．
证明：在图3中， ．
．
又 ，
．
．
（2） 当 时，结论 成立．
成立．
证明：如图5，连结 ．
11.如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．
D．∠BAC=30°
二、填空题
12.若一个正多边形的内角和是其外角和的 倍，则这个多边形的边数是______．
13.如图是一个五角星图案，中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形，则图中∠ABC的度数是
②如图5，在正五边形 中， 分别是 上的点， 与 相交于点 ，若 时，请问结论 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（1）我选．
证明：
22.图1是“口子窖”酒的一个由铁皮制成的包装底盒，它是一个无盖的六棱柱形状的盒子（如图2），侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长是9cm，有三条边的长是3cm，每个内角都是 ，该六棱柱的高为3cm．现沿它的侧棱剪开展平，得到如图3的平面展形图．
（1）制作这种底盒时，可以按图4中虚线裁剪出如图3的模片．现有一块长为17.5cm、宽为16.5cm的长方形铁皮，请问能否按图4的裁剪方法制作这样的无盖底盒？并请你说明理由；
（2）如果用一块正三角形铁皮按图5中虚线裁剪出如图3的模片，那么这个正三角形的边长至少应为cm．
（说明：以上裁剪均不计接缝处损耗．）
17.若一个正 边形的每个内角都等于 ，则 ．
18.如图，在半径为 ，圆心角等于45°的扇形 内部作一个正方形 ，使点 在 上，点 在 上，点 在 上，则阴影部分的面积为（结果保留 ）．
19.如图，正六边形 的边长为2cm，点 为这个正六边形内部的一个动点，则点 到这个正六边形各边的距离之和为__________cm．
14.如图，正六边形内接于圆 ，圆 的半径为10，则圆中阴影部分的面积为．
15.右图是对称中心为点 的正六边形．如果用一个含 角的直角三角板的角，借助点 （使角的顶点落在点 处），把这个正六边形的面积 等分，那么 的所有可能的值是
16.点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON＝＿＿＿＿度．
经检验， 是方程 的根
当 时， ，即不符合这一说法的 的值为 ．8分
24.（1）实验与验证：图（略）
（2）猜想与证明：
先连接正三角形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边 等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起，即可把正三角形的面积 等分．
理由：正三角形被中心和各顶点连线分成三个全等的等腰三角形，所以这三个等腰三角形的底和高都相等；这个等腰三角形的底边被 等分，所以所得到的每个小三角形的底和高都相等，即其面积都相等，因此，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起合成的图形的面积也相等，即可把此正三角形的面积 等分．
（3）拓展与延伸：
先连接正方形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边 等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的四个小三角形拼合在一起，即可把正方形的面积 等分．
（4）问题解决：
先连接正多边形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边 等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的 个小三角形拼合在一起，即可把正多边形的面积 等分．
①猜想：如图4， （用含 的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想．
21.问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，在正三角形 中， 分别是 上的点， 与 相交于点 ，若 ，则 ；
②如图2，在正方形 中， 分别是 上的点， 与 相交于点 ，若 ，则 ．
然后运用类比的思想提出了如下命题：
图4图5
23.已知正 边形的周长为60，边长为 ．
（1）当 时，请直接写出 的值；
（2）把正 边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为 ，周长为67，边长为 ．有人分别取 等于3，20，120，再求出相应的 与 ，然后断言：“无论 取任何大于2的正整数， 与 一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的 的值．
， 2分
且 3分
可由 绕着点 按顺时针方向旋转 得到4分
．5分
② ， ， ．8分（每空1分）
（2）① 10分
②证法一：依题意，知 和 都是正 边形的内角， ， ，
，即 ．11分
．12分
， ， 13分
，
14分
证法二：同上可证 ．12分
，如图，延长 交 于 ，
，
13分
14分
证法三：同上可证 ．12分
．
，
三、解答题
20.（1）如图1，图2，图3，在 中，分别以 为边，向 外作正三角形，正四边形，正五边形， 相交于点 ．
①如图1，求证： ；
②探究：如图1， ；
如图2， ；
如图3， ．
（2）如图4，已知： 是以 为边向 外所作正 边形的一组邻边； 是以 为边向 外所作正 边形的一组邻边． 的延长相交于点 ．
正多边形和圆有关计算
一、选择题
1.正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为（）
A．4R=5rB．3R=4rC．2R=3rD．R=2r
2.用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形（如下图）.方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB，以AB的中点 为顶点将平角五等分，并沿五等分的线折叠，再沿CD剪开，使展开后的图形为正五边形，则∠ 等于
③如图3，在正五边形 中， 分别是 上的点， 与 相交于点 ，若 ，则 ．
任务要求
（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；
（说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）
（2）请你继续完成下面的探索：
①如图4，在正 边形 中， 分别是 上的点， 与 相交于点 ，问当 等于多少度时，结论 成立？（不要求证明）
答案
一、选择题
1.D
2.B
3.C
4.B
5.B
6.C
7.C
8.A
9.B
10.A
11.D
二、填空题
12.
13.108°
14. 100 -150
15. 2，3，4，6，12
16.45
17. 6
18.
19.
三、
20.（1）①证法一： 与 均为等边三角形，
， 2分
且 3分
，
即 4分
．5分
证法二： 与 均为等边三角形，
24.等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：在△ 中， ，把底边 分成 等份，连接顶点 各等分点的线段，即可把这个三角形的面积 等分．
问题的提出：任意给定一个正 边形，你能把它的面积 等分吗？
探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手：怎样从正三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积 等分？
A． B． C． D．不存在
6.边长为 的正六边形的内切圆的半径为（）
A． B． C． D．
7.如图，⊙ 的内接多边形周长为3，⊙ 的外切多边形周长为3.4，
则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）
A． B． C． D．
8.将边长为3cm的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为（）
如果要把正三角形的面积四等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图①，这些线段将这个正三角形分成了三个全等的等腰三角形）；再把所得的每个等腰三角形的底边四等分，连接中心和各边等分点（如图②，这些线段把这个正三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起（如图③）．这样就能把正三角形的面积四等分．
①②③
实验与验证:仿照上述方法，利用刻度尺，在图④中画出一种将正三角形的面积五等分的示意简图．
猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积 等分？叙述你的分法并说明理由．
答：
拓展与延伸：怎样从正方形的中心引线段，才能将这个正方形的面积 等分？（叙述分法即可，不需说明理由）
答：
问题解决：怎样从正 边形的中心引线段，才能将这个正 边形的面积 等分？（叙述分法即可，不需说明理由）
在 和 中，
，源自文库
．
．
， ．
．
又 ， ．
．
22.（1）能．
理由：由题设可知，图4中长方形的宽为 ．
长方形的长为 ．
故长为 ，宽为 的长方形铁皮，能按图4的裁剪方法制作这样的无盖底盒．
（2） ．
23.解：（1） 3分
（2）此说法不正确4分
理由如下：尽管当 ， ， 时， 或 ，
但可令 ，得 ，
即 6分
，解得 7分
A．108°B．90°C．72°D．60°
3.一个正多边形的每个外角都是 ，这个正多边形是（）
A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形
4.已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
5. 10．如图，小林从 点向西直走12米后，向左转，转动的角度为 ，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点 ，则 （）
A. cm2B. cm2C. cm2D. cm2
9.如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是
A．7B．8C．9D．10
10.一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（）A．2B． C．1D．
13分
即 14分
证法四：同上可证 ．12分
．如图，连接 ，
．13分
即 14分
注意：此题还有其它证法，可相应评分．
21.（1）选命题 ．
证明：在图1中， ．
．
又 ，
．
．
选命题 ．
证明：在图2中， ．
．
又 ，
．
．
选命题 ．
证明：在图3中， ．
．
又 ，
．
．
（2） 当 时，结论 成立．
成立．
证明：如图5，连结 ．
11.如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．
D．∠BAC=30°
二、填空题
12.若一个正多边形的内角和是其外角和的 倍，则这个多边形的边数是______．
13.如图是一个五角星图案，中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形，则图中∠ABC的度数是
②如图5，在正五边形 中， 分别是 上的点， 与 相交于点 ，若 时，请问结论 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（1）我选．
证明：
22.图1是“口子窖”酒的一个由铁皮制成的包装底盒，它是一个无盖的六棱柱形状的盒子（如图2），侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长是9cm，有三条边的长是3cm，每个内角都是 ，该六棱柱的高为3cm．现沿它的侧棱剪开展平，得到如图3的平面展形图．
（1）制作这种底盒时，可以按图4中虚线裁剪出如图3的模片．现有一块长为17.5cm、宽为16.5cm的长方形铁皮，请问能否按图4的裁剪方法制作这样的无盖底盒？并请你说明理由；
（2）如果用一块正三角形铁皮按图5中虚线裁剪出如图3的模片，那么这个正三角形的边长至少应为cm．
（说明：以上裁剪均不计接缝处损耗．）
17.若一个正 边形的每个内角都等于 ，则 ．
18.如图，在半径为 ，圆心角等于45°的扇形 内部作一个正方形 ，使点 在 上，点 在 上，点 在 上，则阴影部分的面积为（结果保留 ）．
19.如图，正六边形 的边长为2cm，点 为这个正六边形内部的一个动点，则点 到这个正六边形各边的距离之和为__________cm．
14.如图，正六边形内接于圆 ，圆 的半径为10，则圆中阴影部分的面积为．
15.右图是对称中心为点 的正六边形．如果用一个含 角的直角三角板的角，借助点 （使角的顶点落在点 处），把这个正六边形的面积 等分，那么 的所有可能的值是
16.点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON＝＿＿＿＿度．
经检验， 是方程 的根
当 时， ，即不符合这一说法的 的值为 ．8分
24.（1）实验与验证：图（略）
（2）猜想与证明：
先连接正三角形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边 等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起，即可把正三角形的面积 等分．
理由：正三角形被中心和各顶点连线分成三个全等的等腰三角形，所以这三个等腰三角形的底和高都相等；这个等腰三角形的底边被 等分，所以所得到的每个小三角形的底和高都相等，即其面积都相等，因此，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起合成的图形的面积也相等，即可把此正三角形的面积 等分．
（3）拓展与延伸：
先连接正方形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边 等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的四个小三角形拼合在一起，即可把正方形的面积 等分．
（4）问题解决：
先连接正多边形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边 等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的 个小三角形拼合在一起，即可把正多边形的面积 等分．
①猜想：如图4， （用含 的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想．
21.问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，在正三角形 中， 分别是 上的点， 与 相交于点 ，若 ，则 ；
②如图2，在正方形 中， 分别是 上的点， 与 相交于点 ，若 ，则 ．
然后运用类比的思想提出了如下命题：
图4图5
23.已知正 边形的周长为60，边长为 ．
（1）当 时，请直接写出 的值；
（2）把正 边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为 ，周长为67，边长为 ．有人分别取 等于3，20，120，再求出相应的 与 ，然后断言：“无论 取任何大于2的正整数， 与 一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的 的值．
， 2分
且 3分
可由 绕着点 按顺时针方向旋转 得到4分
．5分
② ， ， ．8分（每空1分）
（2）① 10分
②证法一：依题意，知 和 都是正 边形的内角， ， ，
，即 ．11分
．12分
， ， 13分
，
14分
证法二：同上可证 ．12分
，如图，延长 交 于 ，
，
13分
14分
证法三：同上可证 ．12分
．
，
三、解答题
20.（1）如图1，图2，图3，在 中，分别以 为边，向 外作正三角形，正四边形，正五边形， 相交于点 ．
①如图1，求证： ；
②探究：如图1， ；
如图2， ；
如图3， ．
（2）如图4，已知： 是以 为边向 外所作正 边形的一组邻边； 是以 为边向 外所作正 边形的一组邻边． 的延长相交于点 ．
正多边形和圆有关计算
一、选择题
1.正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为（）
A．4R=5rB．3R=4rC．2R=3rD．R=2r
2.用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形（如下图）.方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB，以AB的中点 为顶点将平角五等分，并沿五等分的线折叠，再沿CD剪开，使展开后的图形为正五边形，则∠ 等于
③如图3，在正五边形 中， 分别是 上的点， 与 相交于点 ，若 ，则 ．
任务要求
（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；
（说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）
（2）请你继续完成下面的探索：
①如图4，在正 边形 中， 分别是 上的点， 与 相交于点 ，问当 等于多少度时，结论 成立？（不要求证明）