垂直平分线角平分线等腰三角形
垂直平分线、等腰三角形
第1讲垂直平分线、等腰三角形【知识点】一、垂直平分线1、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．2、线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点线与这条线段两个端点的距离相等几何语言:3、线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 几何语言:4、线段垂直平分线的画法：二、等腰三角形1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形2、等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简写成“三线合一”）几何语言：(1)AB＝AC，AD⊥BC，∠＝______∠______，______＝______。
(2) AB＝AC；BD＝DC，∠______＝∠______，______⊥______。
(3) AB＝AC，AD平分∠BAC______⊥______，______=______.性质3：等腰三角形是轴对称图形3、等腰三角形的判定（1）定义（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）几何语言：三、等边三角形1、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等；等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．E D C B A（3）三线合一2、等边三角形的判定（1）定义（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．3、含30°角直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
【典型例题】 1、如图2，DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米， AB=10厘米，则∆EBC 的周长为（ ）厘米A ．16B ．28C ．26D ．18。
在等腰三角形角平分线和垂直的判定
在等腰三角形角平分线和垂直的判定好嘞，今天咱们聊聊等腰三角形的角平分线和垂直的那些事儿，听起来是不是有点高深？其实没那么复杂。
咱们就像坐在咖啡馆里，慢慢聊聊，轻松点，哈哈。
等腰三角形大家应该都知道，两个边长一样的那种。
想象一下，像一座小山，左右对称的感觉，特别舒服。
哦，对了，咱们先不急着进入正题，先喝口水，放松放松。
其实等腰三角形还有个很有意思的地方，那就是它的角平分线。
什么是角平分线呢？就像你把一个蛋糕切成两半，力求做到完美对称，每一块都一样大，这样大家才能开心嘛。
好啦，言归正传。
等腰三角形的角平分线有个特性，它不仅把角分成两部分，还恰好垂直于底边。
想象一下，如果你用直尺在纸上画一个等腰三角形，画完后，你在顶角的位置做一个小点，然后用直尺从那个点到底边画一条线，嘿，这条线就是你的角平分线！并且，它还会跟底边形成一个直角，简直就是个小魔术。
你问我这有什么用？哦，当然有用啦！比如在生活中，你在布置房间，想把沙发放得既好看又舒服，摆成一个等腰三角形，正好把你的客厅空间利用得淋漓尽致。
这时候，角平分线就帮了你大忙，确保你能把沙发放得既对称又美观。
就像把每个人都照顾到，做到公平。
再说，角平分线和垂直的关系，简直就像老朋友一样，互相依赖。
要是你能判断出角平分线的位置，就能推测出它和底边的关系。
想象一下，如果这条线不垂直，那就很有可能在你的三角形里搞事情，搞得大家七扭八歪，真是个麻烦。
不如让它乖乖待着，跟底边打个直角，大家和和气气，心情都舒坦多了。
数学里总有一些小套路。
咱们可以用一些简单的几何定理来帮忙。
比如，如果你知道三角形的某个角的大小，那就可以通过一些简单的计算，得出角平分线与底边的关系。
简直就像拆开一颗巧克力，里面的每一块都有它的秘密，等你慢慢去发现。
平时你在看建筑的时候，也可以注意一下那些结构，很多时候等腰三角形的设计就是为了让建筑更稳定。
比如说，塔楼的设计，往往会用到等腰三角形的原理。
因为角平分线的垂直特性，能让建筑更坚固，就像是给建筑穿上了盔甲，抵御风雨的侵袭。
中考知识点梳理-角平分线的判定和性质-垂直平分线的判定
第16讲等腰、等边及直角三角形
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角
平分线或中线)所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝
60°，则△ABC是等边三角形.
知识点二：角平分线和垂直平分线
例：如图，△ABC中，∠C=90°，
∠A=30°，AB的垂直平分线交AC
于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.
B
c
D
c
D。
角平分线,垂直平分线,等腰三角形,等边三角形,含30°角的三角形
角平分线1.角平分线的定义一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.应用格式：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC2.角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用格式：∵OP 是∠AOB的平分线，PD⊥OA,PE⊥OB，∴PD = PE3.角平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.判定方法一：定义法应用格式：∵∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的角平分线判定方法二：点距法应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P 在∠AOB的平分线上.注意：距离—垂直A DOPEC线段垂直平分线1.垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.应用格式：∵直线PC是线段AB的垂直平分线.∴PC⊥AB，AC=BC.2.垂直平分线性质线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等应用格式：∵PC⊥AB，AC =CB (因为PC是AB的垂直平分线)∴PA =PB，3.垂直平分线的判定到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上作用1：判断一个点是否在线段的垂直平分线上应用格式：∵PA =PB，∴点P 在AB 的垂直平分线上．作用2：判断一条直线是线段的垂直平分线的方法判定方法一：定义法应用格式：∵AC =CD，PC ⊥AB，∴直线PC 是线段AB 的垂直平分线．判定方法二：两点法应用格式：∵MA=MB，PA =PB，∴直线PM 是线段BC 的垂直平分线PA BCPA BCM等腰三角形1. 等腰三角形的定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2. 等腰三角形的性质性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）应用格式：∵AB=AC （已知） ∴∠B=∠C （等边对等角）性质2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（三线合一，知一推二）. ∵AD 是∠BAC 的角平分线∴AD 是底边BC 的高（_AD_ ⊥_BC_） ， AD 是底边BC 的中线（_BD_ =_CD_）3. 等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形（等角对等边）. 应用格式：在△ABC 中， ∵∠B=∠C ， （注意：两角需在同一个三角形中） ∴ AC=AB （等角对等边） 即△ABC 为等腰三角形.等边三角形等边三角形的判定判定方法一：三边法 判定方法二：三角法 判定方法三：等腰三角形法有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.含30°角的直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式：∵ 在Rt∵ABC 中，∵C =90°，∵A =30°，∵ BC =21AB ．ABCDABC。
初中数学常考难点模型-角平分线+垂直构造等腰三角形
角平分线模型
模型3角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B。
结论：△AOB是等腰三角形。
模型证明：
由已知可得AP⊥OP,BP⊥OP,OP=OP,∠POA=∠POB
∴△POA≌△POB
∴OA=OB
∴△AOB是等腰三角形
模型分析
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等
的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
这个模型巧妙地把角平分线
和三线合一联系了起来。
模型实例
如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E。
求证：BD=2CE。
证明：如图延长BA、CE交于点F则有：
∠ABE=∠CBE，BE=BE
∴RT△BEF≌RT△BEC
∴CE=EF
∴CF=2CE
又∵∠ADB=∠CDE
∠DCE+∠CDE=∠DCE+∠F=90°
∴∠ADB=∠F
又AB=AC
∴RT△BAD≌RT△CAF
∴BD=CF
∴BD=2CE.
模型练习
1．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。
求证：∠2=∠1+∠C。
证明：如图延长AD交BC于点F则有
BD=BD，∠ABD=∠FBD
∴RT△ADB≌RT△FDB
∴∠2=∠BFD=∠1+∠C
∴∠2=∠1+∠C
2．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的角平分线，BE⊥AD于点E。
求证：BE=½（AC-AB）。
等腰三角形与全等、垂直平分线、角平分线的综合
综合滚动练习：等腰三角形与全等、垂直平分线、角平分线的综合【知识点过关】1.等腰三角形，两条相等，两个相等；等边三角形三条边，三个角，每个角都是 .2.等腰三角形、、重合，也称为“三线合一”.3.于一条线段，并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.4.线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的 .5.角平分线上的点到这个角的两边的 .相关习题第1题1.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点.若EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为 .2.如图，点B,C分别在∠MAN的两条边上，∠NBC与∠MCB的平分线交于点P，且PE⊥AM于点E.若PE=6cm，则点P到AN的距离为 .3.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AB的中点，且DE⊥AB交AB、AC于点D、E.(1)若∠A=40°，求∠CBE的度数；(2)若△BCE的周长为8cm,AB=5cm,求BC的长.【当堂训练】1.如果等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它的底边为 .2.在等腰三角形ABC中，腰AB是中垂线与腰AC所在直线相交成的锐角为50°，则底角B的大小为 .3.如图，∠C=90°，∠BAD=∠CAD，若AB=14,BC=11,BD=7,则△ABD的面积是 .4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE.(1)若∠BAE=40°，求∠C的度数.(2)若△ABC周长为13cm,AC=6cm,求DC长.5．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5B．6C．7D．86．下面的两个三角形一定全等的是()A．腰相等的两个等腰三角形B．一个角对应相等的两个等腰三角形C．斜边对应相等的两个直角三角形D．底边相等的两个等腰直角三角形7．如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A ．在△A 、△B 两内角平分线的交点处B ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处C ．在AC 、BC 两边高线的交点处D ．在AC 、BC 两边中线的交点处8．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（ ）A ．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60°9．如图，已知△ABC ，AB ＜BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA+PC ＝BC ，则下列选项正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在等腰△ABC 中，AD △BC 交直线BC 于点D ，若AD =12BC ，则△ABC 的顶角的度数为_____． 11、在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B ，④∠A=∠B=∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12、已知一个直角三角形的周长是26，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（ ） A.5 B.2 C.45 D.113．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD 的长为 ．14．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB 的中点，CE⊥BD．（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由15.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=√3，则BC的长是________．16.如图，在直角坐标系中，ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0, 8)，B(−6, 8)，C(−6, 0)，D(0, 0)，现有动点P在线段CB上运动，当△ADP为等腰三角形时，P点坐标为________．17、感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180∘，∠B=90∘，易知：DB=DC．探究：如图②，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠B=45∘，∠C=135∘，试说明：DB与DC的数量关系，并说明原因．应用：如图③，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180∘，∠ABD<90∘，DB与DC的上述关系还成立吗？并说明原因．18. (2019，河北)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．(1)A，B间的距离为km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km.19、如图,∠AOB是一个钢架,且∠AOB=20°,为了使钢架更加牢固,需要在内部添加一些钢管EF、FG、GH、MH…添加的钢管长度都与OE相等,请你猜猜最多需要这样的钢管多少根?20、在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B. C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE.(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°，则∠BCE=___度；(2)如图2，当点D在线段BC上移动，设∠BAC=α，∠BCE=β.①求证：△ABD≌ACE.②α，β之间有怎样的数量关系?请说明理由；③当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论。
7.垂直平分线与等腰三角形
垂直平分线与等腰三角形一、重点知识回顾1、角平分线性质定理——角平分线上一点到角两边距离相等；判定定理——角的内部，到角两边距离相等的点在角平分线上。
2、垂直平分线性质定理——垂直平分线上一点到线段两端距离相等；判定定理——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上。
3、等腰三角形的性质性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；性质2 等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。
二、经典例题专题一 垂直平分线的应用及相关证明例1.如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.例2．如图所示，AB=AC ，BM=CM ，直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？变式练习1.（2016荆州）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若BC=3，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4ED G FCBA2.在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，交AB 于D ，若△BCE 的周长为8，且AC ﹣BC=2，则AB= .3.已知如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，过点E 作DE ∥BC 交AB 于点D ，若AE=3 cm ，△ADE 的周长为10 cm ，则AB= 。
4.（2016天门）如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于E ，D 两点，EC=4，△ABC 的周长为23，则△ABD 的周长为（ ）第3题 第4题5.下列命题中正确的命题有（ ）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA=PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个6.△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC=5 cm ，BC=4cm ，那么△DBC 的周长是（ ）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm7、如图，（1)、AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=（2）、AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是（3）、AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28°，那么∠EBC 是8、如图，在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于D ，且AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别是E 、F. 求证：AD 是EF 的垂直平分线.专题二等腰三角形的性质与判定例3.若等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于3，则它的周长等于（）A．10 B．11 C．13 D．11或13例4如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，求CE的长度。
垂直平分线、等腰三角形
垂直平分线、等腰三⾓形第1讲垂直平分线、等腰三⾓形【知识点】⼀、垂直平分线1、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．2、线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点线与这条线段两个端点的距离相等⼏何语⾔:3、线段垂直平分线的判定：与⼀条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. ⼏何语⾔:4、线段垂直平分线的画法：⼆、等腰三⾓形1、等腰三⾓形的定义：有两边相等的三⾓形叫做等腰三⾓形2、等腰三⾓形的性质：性质1：等腰三⾓形的两个底⾓相等（简写成“等边对等⾓”）性质2：等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线、底边上的⾼线互相重合（简写成“三线合⼀”）⼏何语⾔：(1)AB＝AC，AD⊥BC，∠＝______∠______，______＝______。
(2) AB＝AC；BD＝DC，∠______＝∠______，______⊥______。
(3) AB＝AC，AD平分∠BAC______⊥______，______=______.性质3：等腰三⾓形是轴对称图形3、等腰三⾓形的判定（1）定义（2）如果⼀个三⾓形有两个⾓相等，那么这两个⾓所对的边也相等（简写成“等⾓对等边”）⼏何语⾔：三、等边三⾓形1、等边三⾓形的性质：（1）等边三⾓形的三条边相等；等边三⾓形的三个内⾓都相等，并且每⼀个内⾓都等于60°（2）等边三⾓形是轴对称图形，它有三条对称轴．E D C B A（3）三线合⼀2、等边三⾓形的判定（1）定义（2）三个⾓都相等的三⾓形是等边三⾓形．（3）有⼀个⾓是60°的等腰三⾓形是等边三⾓形．3、含30°⾓直⾓三⾓形的性质：在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°，那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半。
【典型例题】 1、如图2，DE 是?ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘⽶， AB=10厘⽶，则?EBC 的周长为（）厘⽶A ．16B ．28C ．26D ．18。
初二几何证明一(线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质)
线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质知识点梳理1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.2、 角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.D21P CABEO1、 等腰三角形的性质等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合 证明以下推论：等腰三角形的两底角的平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高相等。
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半4、 等腰三角形的判定：等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 ◆ 命题、公理、定理命题：判断性的语句 陈述句，一般由题设和结论组成，写成“如果……，那么……”的形式 几个重要的公理（不需证明）： （1） 两点之间线段最短；（2） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （3） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4） 同位角相等，两直线平行； （5）两直线平行，同位角相等。
1、已知：如图，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E 。
求证：BD ＋EC ＝DE 。
2、已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上.3、如图，已知：CD 、CE 分别是AB 边上的高和中线，且ACE ECD DCB ∠=∠=∠。
求证：90o ACB ∠=CA4、如图，已知：在,90,30ooABC C A ∆∠=∠=中，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD 。
垂直平分线与等腰三角形的关系——八年级数学教案
垂直平分线与等腰三角形的关系在学习几何中，垂直平分线与等腰三角形是两个常见的概念。
它们在三角形中有着重要的作用。
通过本文的学习，我们将深入探索垂直平分线与等腰三角形的关系，了解它们之间的联系与应用。
一、垂直平分线的定义垂直平分线是指一条通过一个角的平分线，且垂直于对边的线段。
可以理解为，垂直平分线是三角形中一条特殊的内角平分线。
如下图所示：[图1]在三角形ABC中，AH为角A的平分线，AD为BC的中垂线，AH与AD相交于点D。
则称线段AH为垂直平分线。
垂直平分线具有以下重要的性质：1.垂直平分线上的点到对边两端点的距离相等。
2.垂直平分线将对边等分。
3.垂直平分线所对应的角相等。
下面我们就来一一证明这些性质：性质一：垂直平分线上的点到对边两端点的距离相等。
[图2]在图中，三角形ABC中，垂直平分线AD上的点E、F分别到对边AB、AC的距离分别为AE、AF。
由于垂直平分线AD垂直于对边BC，则AE=BF，AF=CE。
因为AD同时平分角BAC，所以AE=AF，即AE=BF=AF=CE。
性质二：垂直平分线将对边等分。
[图3]在图中，三角形ABC中，垂直平分线AD将对边BC分成两段，即BD=CD。
因为AD同时平分角BAC，所以角ABD=ACD，根据三角形ASL相似，可得AD平分BC。
性质三：垂直平分线所对应的角相等。
[图4]在图中，三角形ABC中，垂直平分线AD将角BAC平分为两个角BAD和CAD，因此BAD=CAD。
二、等腰三角形的定义等腰三角形是指两个角相等的三角形。
如下图所示：[图5]在图中，三角形ABC的角A与角C相等，且对边AB=BC，则称三角形ABC为等腰三角形。
等腰三角形具有以下重要的性质：1.等腰三角形的底边中点与顶点连线所得直线为中线，且中线垂直于底边。
2.等腰三角形的两条底边中线相等，且与顶点连线所成角平分线重合。
下面我们来一一证明这些性质：性质一：等腰三角形的底边中点与顶点连线所得直线为中线，且中线垂直于底边。
初中数学 等腰三角形和垂直平分线
等腰三角形和垂直平分线模块一等腰三角形1．等腰三角形等腰三角形解释定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边．性质（1）两腰相等、两底角相等．（2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形．（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形．2．等边三角形和等腰直角三角形等边三角形等腰直角三角形1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形．2．性质：三边都相等，三角都是60︒．3．判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．1．定义：有两条边相等，并且中间的夹角是90︒的三角形叫做等腰直角三角形．2．性质：两个底角为45︒．3．判定：有一个角是90︒的等腰三角形是等腰直角三角形．模块二垂直平分线垂直平分线解释示例定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线．如图，若AC BC=，AB CD⊥，则直线DE就是线段AB的垂直平分线．性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．如图，已知直线DE是线段AB的垂直平分线，则DA DB=．A BDCEADCEB判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．如图，若DA DB=，则点D在线段AB的垂直平分线上．（1）（2015—2016年七育周练）等腰三角形的一边长为10，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长是__________．（2）等腰三角形的一边长为6cm，且周长为16cm，则这个三角形的底边为_________．（3）等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则该三角形底角的度数为__________．（4）等腰三角形一个角为30︒，则这个三角形腰上的高与底边所夹角的度数为_____．（5）等腰三角形一腰上的中线将三角形的的周长分为两部分，分别是12与15，则腰长为__________．【解析】（1）24；（2）4cm或6cm；（3）30︒或80︒；（4）30︒或15︒；（5）①12315a ba+=⎧⎨=⎩；=57ab⎧⎨=⎩，腰长为10；②31215aa b=⎧⎨+=⎩；=411ab⎧⎨=⎩，腰长为8．【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的定义，腰或底角不确定．（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，则这个等腰三角形的顶角为______．（2）已知BD是等腰ABC△一腰上的高，且50ABD∠=︒，则ABC△的底角为_______．【解析】（1）45︒或135︒（提示：等腰三角形可能是锐角三角形或钝角三角形）；（2）20︒或40︒或70︒；EDC BA2abaaaab2a模块一等腰三角形例题1例题2若ABC △为钝角三角形时，A ∠为顶角时，三内角大小为140︒，20︒，20︒； 若ABC △为钝角三角形时，A ∠为底角时，三内角大小为100︒，40︒，40︒； 若ABC △为锐角三角形时，A ∠为顶角，三内角大小为40︒，70︒，70︒．【教师备课提示】这道题主要考查分类讨论，锐角等腰和钝角等腰．（1）如图3-1，在第1个1ABA △中，20B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得在第2个12A CA △中，121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得在第3个23A DA △中，232A A A D =；……，按此做法进行下去，第n 个三角形中以n A 为顶点的内角的度数为_____________．（2）如图3-2的钢架中，焊上13根钢条来加固钢架．若1223131414AP PP P P P P P A =====，则C 的度数是___________．图3-1 图3-2【解析】（1）1602n︒；（2）12︒． 【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的性质结合外角倒角找规律．（1）如图4-1，ABC △中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且BD CF =，BE CD =，G 是EF 的中点，求证：DG EF ⊥.（2）（14—15年嘉祥期末）如图4-2，在ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，BM AN =，点D 是BC 的中点，连接AD ． ①求证：AD BD =；②求证：DM DN =，且DM DN ⊥．图4-1 图4-2A n A 4A 3A 2A 1EDCB AP 14P 13P 12P 11P 10P 9P 8P 7P 6P 5P 4P 3P 2P 1A例题3例题4A MBCNA B E GFD C【解析】（1）连接ED、DF，AB AC=，B C∴∠=∠，在EDB△和DFC△中BD CFB CBE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)EDB DFC∴△△≌，DE DF∴=，G是EF的中点，∴DG EF⊥．（2）①AB AC=，90BAC∠=︒，45B C∴∠=∠=︒点D是BC的中点，1452BAD BAC∴∠=∠=︒，AD BD∴=，②由①知45DAN∠=︒在ADN△和BDM△中AN BMDAN DBMAD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ADN BDM∴△△≌，DM DN∴=，MDB NDA∠=∠，90ADB∠=︒，DM DN∴⊥．【教师备课提示】这两道小题主要考查等腰三角形三线合一的性质结合全等．（1）如图，ABC△中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：ABC△是等腰三角形．（2）如图，ABC△中，AD是BAC∠的角平分线，AD是BC边上的高，求证：ABC△是等腰三角形．（3）如图，ABC△中，AD是BAC∠的角平分线，AD是BC边上的中线，求证：ABC△是等腰三角形．【解析】（1）AD为BC中垂线，所以AB AC=，所以ABC△是等腰三角形（2）ABD△和ACD△中，D CBAFEDCBA 例题5ABEG FD C∴ABD ACD △≌△，∴AB AC =， ∴ABC △是等腰三角形（3）过点D 作DF AC ⊥于点F ，作DE AB ⊥于点E ，∵AD 是BAC ∠的角平分线，DF AC ⊥，DE AB ⊥，∴DE DF =， ∵AD 为中线，∴ADB ADC S S =△△，∵，，∴，∴ABC △是等腰三角形．【教师备课提示】这道题主要考查三线合一的性质倒过来推等腰三角形．（1）如图6-1，P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF ⊥BC 于点F ，AD BC ⊥于点D ，求证：PE PF AD +=．（2）如图6-2，如果P 为等腰三角形ABC 的底边BA 延长线上的任意一点，其余条件保持不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；不成立，请求出PE ，PF 和AD 三边满足的关系．（3）如果P 为等腰三角形ABC 的底边AB 延长线上的任意一点，请直接写出PE ，PF 和AD 三边满足的关系．（4）如图6-3，如果ABC △是等边三角形，点P 为三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系，并说明理由．图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）连接CP ．∵APC BPC ABC S S S ∆∆∆+=， 即111222AC EP BC PF BC AD ⋅+⋅=⋅， 而AC BC =，∴PE PF AD +=；（2）连接CP ，由CPB CPA CAB S S S ∆∆∆-=，=90BAD CAD AD ADADB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠︒⎩12ADB S AB DE =⋅⋅△12ADC S AC DF =⋅⋅△AB AC =AB CE D PF ABCEDP F AB CDEG PF 例题6得：111222BC PF AC PE BC AD⋅-⋅=⋅又∵AC BC=，∴PF PE AD-=；（3）PE PF AD-=；（4）连接CP、AP、BP，∴APC PBC APB ABCS S S S∆∆∆∆++=，∴11112222AC EP BC PF AB PG BC AD⋅+⋅+⋅=⋅，而AC BC AB==，∴EP FP GP AD++=．【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的一个常见题型，面积法．（1）如图7-1，AB AC=，54A∠=︒，DE垂直平分AB交AC于E，垂足为D，ABC△周长为28cm，8cmBC=，则BCE△的周长为__________，EBC∠=__________．（2）如图7-2，ABC△的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若150BAC DAE∠+∠=︒，则BAC∠的度数为___________．图7-1 图7-2【解析】（1）18cm，9︒；（2）110︒．【教师备课提示】这道题主要考查垂直平分线的性质．A BCEDPFA BCEDPFA BCDEGPFCBEDAHFEDCBA模块二垂直平分线例题7（1）如图8-1，已知：在ABC △中，22.5B ∠=︒，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF AC ⊥于F ，交BC 边上的高于G ．求证：EG EC =．（2）如图8-2，ABC △中，AB AC =，54BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将C ∠沿EFCE 在BC 上，F 在AC 上折叠，点C 与点O 恰好重合，则OEC∠为____________．【解析】（1）连接AD ，∵D 为AB 的垂直平分线上一点，∴DA DB =，22.5B ∠=︒，∴22.5BAD B ∠=∠=︒， ∴45ADE ∠=︒，AE BC ⊥，∴45DAE ADE ∠=∠=︒， ∴AE DE =，DF AC ⊥，90FDC C ∴∠+∠=︒， 又∵90EAC C ∠+∠=︒，∴EAC EDG ∠=∠， 在EDG △和EAC △中 EAC EDG ED EAAEC DEG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)EDG EAC ∴△≌△，∴EG EC =．（2）如图，连接OB 、OC ， ∵54BAC ∠=︒，AO 为BAC ∠的平分线，∴11542722BAO BAC ∠=∠=⨯︒=︒，又∵AB AC =，∴11(180)(18054)6322ABC BAC ∠=︒-∠=︒-︒=︒,∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA OB =，∴27ABO BAO ∠=∠=︒， ∴632736OBC ABC ABO ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线，∴点O 是ABC △的外心，∴OB OC =，∴36OCB OBC ∠=∠=︒，∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE CE =，∴36COE OCB ∠=∠=︒，在OCE △中，1801803636108OEC COE OCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．GF EDCBA例题8 ABCDEF G BA OF CEB A O FC E证明：三角形三边的垂直平分线交于一点．【解析】如图，在ABC△中，设AB、AC的垂直平分线相交于点O，连接OA、OB、OC，由垂直平分线的性质可知：OA OB=，OA OC=，∴OB OC=，∴点O在BC的垂直平分线上，∴三角形三边的垂直平分线交于一点．（1）已知一个等腰三角形的两条边分别为3cm和4cm，则这个三角形的周长为______．（2）等腰三角形的一个外角为100︒，则顶角为__________．（3）等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为6和12两部分，则腰长为________．（4）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，则这个等腰三角形的底角为______．【解析】（1）10cm或11cm；（2）20︒或80︒；（3）8；（4）65︒或25︒．（1）（武侯区期末）如图，在下列三角形中，若AB AC=，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个AB C①AB C②③④364590108AB CAB C例题9复习巩固模块一等腰三角形演练1演练2OCBA（2）如图，AOB ∠是一个钢架，且10AOB ∠=︒，为了使钢架更加牢固，需要在内部添加一些钢管EF 、FG 、GH 、HI ，且有OE EF FG GH HI ====，则IHB ∠=__________．（3）如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE AD =，则EDC ∠=（ ）度． A ．30 B ．20 C ．25 D ．15【解析】（1）C ；（2）50︒；（3）D ． 【解析】【解析】如图，在ABC △中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE CF =，BD CE =． （1）求证：DEF △是等腰三角形； （2）当40A ∠=︒时，求DEF ∠的度数．【解析】（1）AB AC =，B C ∴∠=∠，在EDB △和FEC △中： BE CF B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ (SAS)EDB FEC ∴△△≌，DE EF ∴=，DEF ∴△是等腰三角形． （2）40A ∠=︒，70B C ∴∠=∠=︒，110EFC FEC ∴∠+∠=︒，由（1）知EFC DEB ∠=∠，110DEB FEC ∴∠+∠=︒，70DEF ∴∠=︒．（1）如图4-1：已知等边ABC △中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE CD =，DM BC ⊥，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．（2）如图4-2，等边三角形ABC 中，E ，D 分别在AC ，BC 上，且AE DC =，求AD 与BE 所夹锐角的度数．图4-1 图4-2【解析】（1）连接BD ，演练3演练4PDA B C EO EF H B AGIA BCD EA BCEFDB A M E D∵ABC△为等边三角形，D为AC中点，∴1302DBC ABC∠=∠=︒，∵CD CE=，∴CDE E∠=∠，又∵等边ABC△中60ACB∠=︒，∴160302E∠=⨯︒=︒,∴CBD E∠=∠，∴BD ED=，又∵DM BE⊥，∴M为BE中点．（2）60︒．（1）（15年育才期末）如图5-1，在ABC△中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若ADC△的周长为7cm，2cmAC=，则BC的长为（）．A．4cm B．5cm C．3cm D．以上答案都不对（2）（15年嘉祥半期）如图5-2，50ABC∠=︒，AD垂直平分线段BC于点D，ABC∠的平分线BE交AD于点E，连接EC，则AEC∠的度数是______________．图5-1 图5-2【解析】（1）B；（2）115︒．如图，在ABC△中，D为BC中点，DE BC⊥交BAC∠的平分线于点E，EF AB⊥于F，EG AC⊥的延长线于G．求证：BF CG=．模块二垂直平分线演练5演练6BAM C EDAEB D CAB CDEABFD CGEABFD CGE笔 记 区【解析】连接BE 、CE ．DE 垂直平分BC ，BE CE ∴=， AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，EG AC ⊥， EF EG ∴=，又90BFE CGE ∠=∠=︒， Rt Rt (HL)BEF CEG ∴△≌△， BF CG ∴=．。
等腰三角形,角平分线, 线段垂直平分线练习课
19.4 逆命题与逆定理
复习
名 称 图 形 概 念 性质 判 定
等 腰 三 角 形
1.两腰相等
A 有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形 C
1.两边相等
2.等角对等边
2.等边对等角 3. 三线合一 4.是轴对称图形
B
运用等腰三角形的判定定理时， 应注意在同一个三角形中.
等边三角形的性质与判定
勾股定理: 直角三角形两条直角边的平 方和等于斜边的平方. 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的
平方和等于第三边的平方，那么这个三
角形是直角三角形。
角的平分线
A D
线段的垂直平分线
M
P
O E
C
A
P
B N
B
性质定理:在角的平分线上的 性质定理:线段垂直平分线上的 点到这个角的两边的距离相等。 点和这条线段两个端点的距离相 等。 判定定理:到一个角的两边的 判定定理: 到一条线段两个端点 距离相等的点，在这个角的平 距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线上。 分线上。 角的平分线是到角的两边 线段的垂直平分线可以看作是和 线段两上端点距离相等的所有点 距离相等的所有点的集合 的集合 点的集合是一条射线 点的集合是一条直线
A
D
F G E
B
C
H
家庭作业：导学案P75—P76 角平分线 预备：导学案P77—P78 线段垂直平 分线
1. 等边三角形的三条边都相等; 2. 等边三角形的内角都相等,且等于60 °; 3. 等边三角形各边上中线,高和所对角的平 分线都三线合一.
1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三角 形. 3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边 三角形.
角平分线、垂直平分线、等腰三角形
例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，
DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.
B
练习：
2. 如图所示，直线 表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。
例2：△ABC中，AB=AC，BD、CE为角平分线，AH⊥CE于F交BC于H，AG⊥BD于G.
求证：(1)AC=CH (2)AF=AG.
课后作业：
学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：________
教师评定：
1、学生上次作业评价： ○特别满意 ○满意 ○一般 ○差
2、线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于三角形三边垂直平分线的定理
（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，
并且这一点到三个顶点的距离相等.（三种情况）
定理的作用：证明三角形内的线段相等.
龙文教育个性化辅导授课案
教师：学生时间：年_月__日__段第__次课
课题
垂直平分线与角平分线的性质和应用
考点分析
重点难点
垂直平分线与角平分线的性质和应用、等腰三角形
授课内容
一、线段的垂直平分线
1、垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
线段的中垂线、角平分线与等腰三角形
线段的中垂线、角平分线与等腰三角形等腰三角形1．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．2．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形．3．等腰三角形的性质：(1)两腰相等．(2)两底角相等．(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．线段的垂直平分线：性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.判定定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 4．等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形．(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．5．等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60．6．等边三角形的判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．7．等腰直角三角形的性质：顶角等于90︒，底角等于45︒，两直角边相等．等腰直角三角形的判定：(1)顶角为90︒的等腰三角形．(2)底角为45︒的等腰三角形．8．含30︒角的直角三角形的重要结论在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．一、等腰三角形的性质【例1】 如图所示，已知ABC ∆中，D 、E 为BC 边上的点，且AD AE =，BD EC =，求证：AB AC =．AB CD E【例2】 如图，MAN ∠是一个钢架，10MAN ∠=︒，在其内部添加一些钢管CD DE EF FG ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，添加的钢管都与AC 相等．（1）当添加到第四根钢管时，求FGM ∠的度数．（2）假设OM ON ，足够长，能无限地添加下去吗？如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根？【例3】 某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( ) A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm【例4】 从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形的( )A ．两腰长的和 Ｂ．周长一半Ｃ．周长 Ｄ．一腰长与底边长的和【例5】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底长．【例6】 已知等腰三角形的周长为12，腰长为x ，求x 的取值范围．【例7】 若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A ．50︒ Ｂ．80︒ Ｃ．65︒或50︒ Ｄ．50︒或80︒【例8】 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25︒，则该三角形的一个底角为( )A ．32.5︒B ．57.5︒C ．65︒或57.5︒D ．32.5︒或57.5︒【例9】 在ABC ∆中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠．EDCBA【例10】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．E D CB A【例11】 下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60︒，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．则以下结论正确的是( ) A ．只有命题①正确 B ．只有命题②正确 C ．命题①、②都正确 D ．命题①、②都不正确【例12】 如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=，BOC α∠=．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转°60得ADC △，连接OD ，则COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？O DCBA【例13】 如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，BD AE =，AD 与CE 交于点F ．（1）求证：AD CE =；（2）求DFC ∠的度数．FE DCBA【例14】 如图，三角形ABC 中，AB BC CA ==，AE CD =，AD ，BE 相交于P ，BQ 垂直AD 于Q ，求证：2BP PQ =．P QA BCDE。
线段垂直平分线角平分线和等腰三角形的性质2上海师
第讲 线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质知识点梳理1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上. 2、 角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.D21P CABEO1、 等腰三角形的性质等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合 证明以下推论：等腰三角形的两底角的平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高相等。
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半4、 等腰三角形的判定：PM NC BA等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形1、已知：如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。
求证：BD＋EC＝DE。
2、已知：如图所示△ABC，∠ACB=90°，D为BC延长线上一点，E是AB上一点，EM垂直平分BD，M为垂足，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上.3、如图，已知：CD、CE分别是AB边上的高和中线，且ACE ECD DCB∠=∠=∠。
求证：90oACB∠=DE BCA4、如图，已知：在,90,30o oABC C A∆∠=∠=中，DE垂直平分AB，FM垂直平分AD，GN垂直平分BD。
求证：AF=FG=BG。
MEFBAC DNMDG F E BC A5、 如图，已知：在△ABC ，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，EF ⊥AB 于F ，且CE=EF 。
求证：FG//ACDGFEBCA6、如图，在ABC ∆中，OE 、OF 分别是AB 、AC 边的垂直平分线，,OBC OCB ∠∠的平分线相交于点I ，判断OI 与BC 的位置关系，并证明你的判断。
三角形的角平分线和垂直平分线
三角形的角平分线和垂直平分线角平分线和垂直平分线是三角形中的两种特殊线段，它们对于三角形的性质和结构具有重要的作用。
本文将从定义、性质和应用三个方面来探讨三角形的角平分线和垂直平分线。
一、角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的线段。
具体来说，假设ABC是一个三角形，∠BAC是这个三角形的一个内角，如果从∠BAC的顶点A出发，以平分∠BAC的直线切分∠BAC，那么这条直线就是∠BAC的角平分线。
角平分线具有以下性质：1. 角平分线将对边分成两个相等的线段。
即，如果从∠BAC的顶点A引一条角平分线，与边BC交于点D，那么AD=CD。
2. 角平分线是三角形内一条重要的对称轴线。
即，如果有一条角平分线，它将三角形分成两个具有对称关系的部分。
角平分线的应用：1. 寻找三角形的内心：三角形的内心是三条角平分线的交点，可以通过角平分线求解三角形的内心坐标。
2. 探索三角形的相似性：角平分线切分三角形的两边，可以得到边长的比例关系，从而推导出三角形的相似性质。
二、垂直平分线垂直平分线是指从一个线段的中点出发，垂直于这条线段的线段。
具体来说，假设AB是一个线段，M是AB的中点，如果从M出发，以垂直于AB的直线切分AB，那么这条直线就是AB的垂直平分线。
垂直平分线具有以下性质：1. 垂直平分线将线段分成两个相等的部分。
即，如果从线段AB的中点M引一条垂直平分线，与AB的交点为N，那么AM=MN=NB。
2. 垂直平分线是线段的中垂线。
即，如果一个点在垂直平分线上，那么它到线段两端点的距离相等。
垂直平分线的应用：1. 构造等腰三角形：垂直平分线可以将一个线段平分成两个相等的线段，从而构造出等腰三角形的两条等腰边。
2. 寻找三角形的外心：三角形的外心是三条垂直平分线的交点，可以通过垂直平分线求解三角形的外心坐标。
综上所述，三角形的角平分线和垂直平分线具有重要的性质和应用。
它们能够帮助我们研究三角形的性质，解决一些与三角形相关的问题。
全等三角行 等腰三角形 角平分线和垂直平分线
2BC，线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于图1图2点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例2. 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。
等腰三角形角平分线定理垂直平分线定理
∴△AGD是等边三角形 ∴AG=GD=AD,∠AGD=60° ∵ DE=DC
∴GE=GD+DE=AD+DC=AC= AB ∵∠AGD=∠BAD,AG=AD ∴ △AGE≌△DAB
（2）过点E作EF//DB，交BC于点F，连接 AF， 求∠AFE的度数。 解：∵ EF//DB， DG//BC
PM=PN 因PD是BC的垂直平分线， 故PB=PC 因PB=PC，PM=PN，
故 RP t BM RP t CN BM CN
例4：已知：如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分 线，相交于点P.求证：P在∠A的平分线上．
F
C
P
Q
A
BE
证明：过点Ｐ作ＰＥ⊥ＡＢ，ＰＦ⊥ ＡＣ，ＰＱ⊥ＣＢ，垂足分别为Ｅ， Ｆ，Ｑ。
下列命题中真命题的个数是( B)； ①等边三角形也是等腰三角形，任何一 边都可以作为底或腰； ②不等边三角形是遍都不相等的三角形 ； ③不等边三角形是三边不都相等的三角 形； ④三角形按边可分为不等边三角形、等 腰三角形、等边三角形。 A.1 B.2 C.3 D.4
已知一个三角形的边长为4cm，5cm，且第 三边长x为整数，问： （1）由4cm,5cm,xcm为边可组成多少个不同
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝ AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD 垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F
，求证：BD＝2CE．
F A
E D
B
C
如图，在△ABC中，已知AB＝AC， ∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC， EC＝BD，DF＝FE． 求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）AF⊥DE．
A
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章基本解题技巧：
基本解题技巧1：看到线段的垂直平分线，找
，则
1、已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC= 。
2、如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝440，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC ＝ 。
3、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠B ＝150，AB 的中垂线DE 交BC 于D 点，E 为垂足，若BD ＝8，则AC ＝ 。
4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为24，BC ＝10，则AB ＝ 。
5、如图，△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，若∠BAC=1260，则∠EAG= 。
6、如图：等边ACB ABC ABC ∠∠∆,的的平分线交于点O,BO 、CO 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，如果AB=12， 那么EF= 。
第2题图
N
M
D
C
B
A
第3题图
E
D
C
B
A 第4题图
E
A
B C
D
基本解题技巧2：看到角平分线+
平行找
7，已知，如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BF 平分∠ABC ；
CF 平分∠ACB ，交DE 于F 点，BD+EC=13，则DE 的长为______。
基本解题技巧3：看到角平分线找 ， 则
8、已知如图Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ， DE ⊥AB ，若AB=25，AC=24，BC=7，
求AE 、BE 的长及△BED 的周长。
第一章辅助线1：看到线段的垂直平分线，找 如果找不到， 则可以 辅助线2：看到角平分线找 如果找不到，则可以
9、如图，EG 、FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的角平分线，交点是G ，BP 、CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的角平分线，交点是P ，F 、C 在AN 上，B 、E 在AM 上，若∠G ＝680，那么∠P ＝ 。
10、如图：ABC ∆中，05.22=∠B ,AB 的垂直平分线交BC 于D,BC AE ⊥于E,AC DF ⊥于F,交AE
A
B
C
D E
A
B
C
D E F
4
2 3 1
求证：GE=EC
11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N ．求证：
CM =2BM ．
12．7、如图，BD 是ABC ∆的角平分线，E 是BC 边上的一点，且0180=∠+∠BED A ,求证：DA=DE
13、如图：在正方形ABCD 中E 是边AB 上的任意一点，F 是边BC 延长线上的一点，EF 交边CD 于点G ，
（1）求证：点D 在线段EF 的垂直平分线上
（2）如果EF 交正方形的对角线BD 于点P ，BP=BE,求证：EP=FG
辅助线3：看到角平分线还常考虑构造 来证线段和角相等。
14、已知ABC ∆中，AB=2AC,AD 平分,BAC ∠AD=BD,求证：AC DC ⊥
等腰三角形中的辅助线;
等腰三角形辅助线1：最常用的辅助线是
15、已知：如图，△ABC，AB=AC，CD⊥AB于D
求证：∠BAC=2∠DCB
16、已知：如图，RtΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF．
求证：（1）DE＝DF；（2）ΔDEF为等腰直角三角形．
等腰三角形辅助线2：较常用的辅助线是
17、如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。
求证：DE=DF。
（考虑三种方法解题）
基本解题技巧2：看到角平分线+
平行找 （ ）变形题
18、如图3，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥AC ，分别交AB 、BC 于点D 、E ．试猜想线段AD 、CE 、DE 的数量关系，并说明你的猜想理由．
19、如图：ABC ∆中，D 为AC 上一点，且CD=CB ，CE 平分DF ACB ,∠∥AB ，求证：DB 平分EDF ∠
20、已知：如图7－9，在ΔABC 中，CE 是角平分线，EG ∥BC ，交AC 边于F ，交∠ACB 的外角 （∠ACD ）的平分线于G ，探究线段EF 与FG 的数量关系并证明你的结论．
C
A B
E D
O
图3
等腰三角形中分类讨论的情况：分类讨论的原因
1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为20°，则顶角的度数为
2、
3、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角B的大小为________________。
4、等腰三角形的两边长分别为4cm和5cm，则它的周长为________。
欢迎下载，谢谢观看！资料仅供参考学习。