数学中的哲学 (1)

大学生数学修养

学院：机电工程学院

学号: 11010341

姓名：周梅杰

数学中的哲学

【摘要】：数学与哲学是密切联系、相辅相成的。一方面，正确的世界观是人们从事数学研究的前提；另一方面，数学理论的进步和完善改变着人们对整个世界的认识。早在古希腊，哲学家们的论著中就包含着大量的数学理论和方法。而今随着系统科学、计算机科学等横向学科的兴起，数学与哲学的联系更为广泛。

【关键词】：数学；哲学；唯物辩证法；辩证唯物主义认识论

哲学是关于自然知识、社会知识和思维知识的概括和总结，是研究整个世界的普遍本质及规律的科学；数学是研究现实世界空间形式和数量关系的具体科学。哲学为数学提供方法论基础，数学影响着人们的哲学观点，并遵循哲学中所阐述的基本规律而产生、变化和发展。

一、数学与哲学是相互影响、相互促进或者相互抑制的

每个数学家，都要受到他所处时代的哲学观点的影响，其研究成果也使人们对自然界的认识更加深入、透彻，影响着人们的哲学观点。哲学思想可以影响数学家及其研究成果的获得。数学的产生和发展,归根结底是由人类的实践活动决定的。但是,哲学思想对数学的发展,也有着一定的促进或阻碍作用。例如,柏拉图的理念论哲学、欧洲中世纪基督教哲学、马克思主义哲学都对数学有影响作用,只不过它们有的是促进作用,有的是阻碍作用。难怪有人说:哲学与数学是孪生兄弟,密不可分。

1．数学研究总是在某种哲学思想的指导下进行的

数学家从事数学研究的目的、方法及其深度、广度，深受其哲学思想的影响。例如，古希腊数学家本着自然界是有秩序的、按照一定方案运行的、可以被人类认识的古代朴素唯物主义的哲学思想从事数学研究，他们认为数学理论不是人创造的，而是先于人而存在的，人只要肯定事实并记录下来就行了，所以他们只是考虑如何运用数学知识去解释自然，而不去考虑如何将其运用于改造自然，这导致他们无法接受无理数和无限量，研究范围受到很大的限制。再如，法国数学家、哲学家、物理学家笛卡尔，是唯理论哲学的创始人，主张用“怀疑”代替“盲从”和“迷信”，倡导通过理性去获得真理，认为科学家应该是自然界的探索者和关心科学用处的人。基于这种哲学观点，他在数学研究中，决心放弃抽象推理式的几何，找到一种有利于人们解释自然、改造自然的几何。为了实现上述设想，他把代数方法应用于几何研究，创立了解析几何，并在数学中引入了“变量”的概念，完成了数学史上划时代的伟大变革。

2．数学的发展影响着人们的哲学观点

数学作为人们认识自然、改造自然的工具，其每个重要理论的产生，都会带来自然科学的巨大进步，加深了人们对自然和社会的认识，从而影响着人们的世界观。例如，欧几里德的《几何原本》，用公理建立起演绎数学的理论体系，使后来的人们在认识世界的过程中，不再随意猜想，而是善于利用逻辑推理的方法去解释自然。再如，笛卡尔创建了解析几何，引入了“变量”的概念，使人们可以把形象和路线表示为代数的形式。对航海学、天文预测、物体运动的研究起了巨大的推动作用，加深了人们对自然界的认识，影响着人们的世界观，提醒人们不但要了解自然，而且要用所学知识去掌握自然。正如恩格斯所说：“数学中的转

折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”再如，牛顿、莱布尼兹创建的微积分理论，为近代数学、物理学、天文学开创了新纪元，使自然科学得到了前所未有的发展，大大地提高了人们对自然界的认识程度，为18世纪的理性机械宇宙观奠定了基础。

二、数学与唯物辩证法

唯物辩证法用全面的、联系的、发展的观点看世界，这三个基本规律从不同角度揭示了自然、社会和人类思维发展的一般规律。数学理论的产生和发展符合唯物辩证法阐述的事物发展的一般规律。

1．不同的数学知识之间是相互联系的

唯物辩证法普遍联系的观点广泛地存在于数学理论中，许多不同的数学理论之间是相互联系的。诸如，函数论与微分方程、数理逻辑与拓扑学、概率论与泛函分析、代数方程与群论等。甚至当数学家们把两种表面上看似无关的数学知识联系起来时，会产生奇迹，形成一门崭新的数学学科。例如，当数学家们把微积分理论与几何问题联系起来，即用微积分理论去研究平面曲线和空间曲线的曲率、曲线族的包络、曲面上的测地线等问题时就产生了新的数学分支——微分几何。正如德国数学家希尔伯特所说：“数学是一个有机体，它的生命力的一个必要条件是所有各部分的不可分离的结合”。

2．数学理论存在和发展的前提是其内部的矛盾性

对立统一规律揭示了事物发展的源泉和动力在于事物内部的矛盾性，矛盾对立面的同一和斗争推动着事物的发展。每一种数学理论中都含有互相矛盾的双方，它们既对立又统一构成这种理论存在和发展的前提。例如，解析几何中的“数”与“形”是一对矛盾。它们的对立体现在“数量”与“图形”是两个不同的概念，它们的联系是每个图形有着相应的函数表达式，每个函数有着相应的几何意义；这就使人们可以用代数的方法解决几何问题，并使抽象的代数问题形象化。正是“数”与“形”的对立统一构成了解析几何这门学科存在和发展的基础。

3．数学理论的发展过程是量变、质变的反复过程

量变质变规律指出了量变、质变是事物运动变化的两种最基本状态，事物的发展变化都表现为由量变到质变，再由质变引起新的量变的反复过程。数学理论中体现着量变质变规律。一方面，数学中每种概念的存在都有着特定的量的界限，如果量变超出了这个界限，就会发生质变，形成另一种概念，这种新概念又存在着自己特有的新的量变。例如，正多边形边数的变化范围是“大于或等于3的有限数”，如果边数的变化超出上述范围就不再是正多边形，变为线段或圆。(边数小于3时为线段；边数超出有限数范围，即趋于无穷时为圆。)不论线段还是圆，都有自己新的量变。另一方面，数学理论的形成过程是从量变到质变、从近似到精确的过程。下面以求曲边梯形的面积为例说明定积分理论的产生过程。为了求曲边梯形的面积，先将该曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，如果分割足够密，这些小曲边梯形可以近似地看成小矩形，然后利用求矩形面积的方法求出各个小曲边梯形面积的近似值，其和就是原曲边梯形面积的近似值。因为所求的仅为近似值，所以上述过程是量变的过程，没