轴对称与将军饮马问题(基础篇)专题练习(学生版)
难关必刷03轴对称之将军饮马模型(3种类型30题专练)(原卷版)-2024-2025学年八年级数学上
难关必刷03轴对称之将军饮马模型（3种类型30题专练）【模型梳理】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？B军营河如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）类型一：两定一动在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．类型二：两定两动在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。
类型三：一定两动在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）BBBBBB【题型讲解】 类型一：两定一动 【例1】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．类型二：两定两动【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为A ．3B ．4C ．D ．【变式】如图，在锐角三角形ABC中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是P OBAMN()E AFCDB()AB ．2C ．D ．4类型三：一定两动【例3】点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。
轴对称与将军饮马问题(基础篇)专题练习(解析版)
轴对称与将军饮马问题（基础篇）专题练习一、两定点一动点1、答案：D分析：解答：∵点B和B’关于直线l对称，且点C在l上，∴CB=CB’，又∵AB’交l于C，且两条直线相交只有一个交点，∴CB’+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．2、答案：B分析：解答：MN是正方形ABCD的一条对称轴，∴PD=AP，当PC+PD最小时，即点P位于AC与MN的交线上，此时∠PCD=45°．3、答案：C分析：解答：当PC+PE最小时，P在BE与AD的交点位置，如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵D、E分别是边BC，AC的中点，∴P为等边△ABC的重心，∴BE⊥AC，∴∠PCE=12∠ACB=12×60°=30°，∴∠CPE=90°-∠PCE=90°-30°=60°，选C．4、答案：作图见解答．分析：解答：如图所示：5、答案：作图见解答．分析：解答：所作图形如图所示：6、答案：（1）画图见解答．（2）画图见解答．（3）P（0，4）．分析：解答：（1）（2）（3）过点A作AM⊥x轴于M，∵A（2，6），∴M（2，0），AM=6，又∵B（4，0），∴点B关于y轴的对称点B’（-4，0），∴B’M=6=AM，∴△AB’M为等腰直角三角形，∴∠P’BO=45°，∴△P’BO也为等腰直角三角形，∴B’O=PO=4，∴P（0，4）．7、答案：（1）画图见解答．（2）画图见解答．分析：解答：（1）关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标相反．（2）作C关于y轴的对称点C1，连接C1B，交y轴于点P．连接PB，PC，此时△PBC周长最小．8、答案：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）3.5．分析：解答：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）S△AOB=3×3-12×1×2-12×2×3-12×1×3=9-1-3-1.5=9-5.5=3.5．二、一定点两动点9、答案：D分析：解答：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，则OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，根据轴对称的性质可得MP=P1M，PN=P2N，∴△PMN的周长的最小值=P1P2，由轴对称的性质可得∠P1OP2=2∠AOB=2a，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=180°-2a，∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2M=∠OP1P2+∠OP2P1=180°-2a，选D．10、答案：B分析：解答：分别作点P关于OB，OA对称点C、D，连CD，分别交OA、OB于点M、N，连OC、OD、PM、PN、MN，∴PM=DM，OP=OD，∠COB=∠POB，∠DOA=∠POA，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD为等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°．11、答案：D分析：解答：如图，作点D关于直线AB的对称点G，作点D关于直线BC的对称点H，连接GH交AB于点E，交BC于点F，则此时△DEF的周长最小，∵∠DAB+∠ABC+∠DCB+∠ADC=360°，∠DAB=∠DCB=90°，∠ABC=α∴∠ADC=360°-∠DAB-∠DCB-∠ABC=180°-α，∴∠G+∠H=180°-∠ADC=α，∴∠EDF=∠ADC-（∠ADE+∠CDF）=180°-2α．选D．12、答案：18分析：解答：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，故有MP=MC，NP=ND；则CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=18cm．13、答案：20分析：解答：根据题意，EP=EM，PF=FN，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，∴MN=20．14、答案：15；100分析：解答：连接OP，OP1，OP2，PP1，PP2．由对称可知，MP1=MP，NP=NP2，∴△PMN的周长为MN+MP+NP=MN+MP1+NP2=P1P2=15．由对称可知，∠OPM=∠OP1M，∠OPN=∠OP2N，∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=180°-2∠AOB=100°．15、答案：6分析：解答：连AD，过A作AN⊥BC于N，∵EF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴DB+DM=AD+DM，在△ADM中，AD+DM＞AM，∴（AD+DM）min=AM，又M为BC上动点，∴当AM⊥BC时最小，即为AN，∵S△ABC=12cm2，BC=4cm，∴AN=2×12÷4=6cm．16、答案：2α分析：解答：过P的作关于OB的对称点P’，作P’C⊥OA于C，交OB于D，此时PD=PD’，根据点到直线的距离最短可知PD+DC=P’C最短．∵∠PDB=P’DB，∠CDO=∠P’DB，∴∠CDO=∠PDB，∵P’C⊥OA，∠AOB=α，∴∠CDO=90°-α，∴∠PDC=180°-2（90°-α）=2α．17、答案：50°分析：解答：作A关于BC的对称点为E，作A关于CD的对称点F，连接EF交BC，CD于点M，N．此时AMN的周长就是最小的时候．设∠NAD=∠F=α，∠E=∠BAM=β，∵∠B=∠D=90°，∠C=65°，∴∠BAD=α+β+∠MAN=115°．∵2α+2β+∠MAN=180°，∴α+β=65°．∴∠MAN=∠BAD-（α+β）=50°．18、答案：4分析：解答：作D关于BA，BC的对称点E，F．连接BE，BF．则当M，N是CD与BA，BC的交点时，△MND的周长最短，最短的值是EF的长．连接BE、BF，∵D、E关于BA对称，BE=BD，∴∠ABE=∠ABD，同理，∠FBC=∠DBC，BF=BD，∴∠EBF=2∠ABC=60°，BE=BF，∴△BEF是等边三角形．∴EF=BE=BD=4．故答案是：4．19、答案：4分析：解答：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，∴MN=ME，∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为20，AB=10，∴12×10×CE=20，∴CE=4．即CM+MN的最小值为4．故答案为4．20、答案：3分析：解答：如图：CM即为最短距离．∠BAC=30°，CM⊥AB，AC=2CM=6，CM=3．21、答案：5分析：解答：如图，作N关于AD的对称点N’，连接MN’，作BN’’⊥AC于N’’，交AD于M’．∵BM+MN=BM+MN’≤BN’’，∴当M与M’，N与N’’重合时，BN’’最小，∵S△ABC=12·AC·BN’’=15，AC=6，∴解得BN’’=5，∴BM+MN的最小值为5．22分析：解答：如图所示，易得CM+MN．∴可得CM+MN．23、答案：（1）如图所示：（2）△ABC是直角三角形．分析：解答：（1）如图所示：（2）△ABC是直角三角形，理由如下：由（1）可知：AA’⊥OM，AA’’⊥ON，AB=A’B，AC=A’’C，∴∠A’=∠BAA’，∠A’’=∠CAA’’，∴∠A’AA’’=360°-90°-90°-∠MON=135°，∴∠BAA’+∠CAA’’=∠A’’+∠A’=180°-∠A’AA’’=45°，∠BAC=∠A’AA’’-（∠BAA’+∠CAA’’）=90°，∴△ABC是直角三角形．24、答案：△PQR周长的最小值为PO=8．分析：解答：作P点关于OA，OB的对称点P1、P2，利用轴对称的知识，证明OP=OP1=OP2，且∠P1OP2=60°，得到等边三角形OP1P2，∴△PQR周长的最小值为PO=8．25、答案：作图见解答．分析：解答：如图所示：作法：①作点C关于直线AO的对称点点D，②作点C关于直线BO的对称点点E，③连接DE分别交直线AO，BO于点M，N，则CM+MN+CN最短．26、答案：4.8．分析：解答：如图，作PQ⊥AC于点Q，PE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∴PQ=PE，要使PC+PQ最小，即使PC+PE最小，∴当C、P、E共线且CE⊥AB时PC+PE最小，这时PC+PQ=PC+PE=8610=4.8．。
第13讲.轴对称及“将军饮马”问题.学生版
板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求轴对称了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；能运用轴对称进行图案设计轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称． 如下图，ABC ∆是轴对称图形．两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如下图，ABC ∆与'''A B C ∆关于直线l 对称，l 叫做对称轴．A 和'A ，B 和'B ，C 和'C 是对称点．知识点睛中考要求第十三讲 轴对称及“将军饮马”问题对称轴的性质：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．如图，直线l 经过线段AB 的中点O ，并且垂直于线段AB ，则直线l 就是线段AB 的垂直平分线．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，点P 是线段AB 垂直平分线上的点，则PA PB ．线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 成轴对称的两个图形的对称轴的画法：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 成轴对称的两个图形的主要性质： ①成轴对称的两个图形全等②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线 轴对称变换的方法应用：轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．轴对称变换应用时有下面两种情况：⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；轴对称图形 两个图形轴对称区别 图形的个数 1个图形 2个图形 对称轴的条数 一条或多条 只有1条联系 二者都的关于对称轴对称的⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．重、难点重点：理解轴对称的概念，并且熟悉掌握轴对称的性质以及作图，同时理解轴对称变换的概念，能很好的做出轴对称变换的图形，并能很好的利用轴对称的知识来解决题目难点：运用轴对称变换来解决实际题目，以及轴对称的生活中的实际运用例题精讲板块一、轴对称与轴对称图形的认识【例 1】下列”QQ表情”中属于轴对称图形的是( )A．B．C．D．【巩固】(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是()【例 2】(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【巩固】(2004泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是()【巩固】(2003吉林)下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形__________；理由是__________．【例 3】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．【例 4】(09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()【巩固】(2004北京)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．等腰三角形B．等腰梯形C．正方形D．平行四边形【例 5】(2003四川)我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是()【例 6】(2003北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥，•下列图案都与”羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是()A．1；B．2；B．3；D．4【巩固】⑴(08山东省青岛市)下列图形中，轴对称图形的个数是()A．1B．2C．3D．4⑵如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有()A．1个B．2个C．3个D．4个【例 7】(上海)正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．【巩固】(2003河北省)下列图案中，有且只有三条对称轴的是()【巩固】⑴(08苏州)下列图形中，轴对称图形．．．．．的是⑵下列图形中对称轴最多的是()A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段【例 8】作出下图所示的图形的对称轴：【巩固】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：【例 9】求作线段AB的垂直平分线BA【例10】已知：如图，ABC∠及两点M、N．求作：点P，使得PM PN=，且P点到ABC∠两边所在的直线的距离相等．NM CBA【例11】(2003长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码：_______．【例12】 (2004河南)如图，直线L 是四边形ABCD 的对称轴，若AB CD =，有下面的结论：①AB CD ∥ ②AC BD ⊥ ③AO OC = ④AB BC ⊥，其中正确的结论有_______．lODCBA【巩固】(2003安徽)如图，L 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD BC ∥，有下列结论：①AB CD ∥ ②AB BC = ③AB BC ⊥ ④AO OC =．其中正确的结论是_________．(•把你认为正确的结论的序号都填上)【例13】 (2003南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L 为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)．板块二、轴对称的应用【例14】 如图，ABC ∆和'''A B C ∆关于直线l 对称，且90B ∠=︒，''6cm A B =，求'B ∠的度数和AB 的长．L C'B'A'CBA【例15】 如图，有一块三角形田地，10cm AB AC ==，作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，交AB 于E ，量得ABC ∆的周长为17m ，请你替测量人员计算BC 的长．【巩固】如图，ABC ∆中，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AC 于E ，5BE =厘米，BCE ∆的周长是18厘米，则BC 等于多少厘米？【例16】 如图，已知40AOB ∠=︒，CD 为OA 的垂直平分线，求ACB ∠的度数．CAD【例17】 (2004陕西)已知：如图，在ABC ∆中，2AB BC ==，120ABC ∠=︒，BC 平行于x 轴，点B •的坐标是(3,1)-．⑴画出ABC∆；A B C∆关于y轴对称的'''⑵求以点A、B、'B、'A为顶点的四边形的面积．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例18】已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．【例19】如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？Ba【巩固】若此题改成，在a上找到M、N两点，且10MN=，M在N的左边，使四边形ABMN的周长最短．Ba【例20】(”五羊杯”邀请赛试题)如图，45AOB∠=︒，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O 点)，求作Q、R，使得PQR∆的周长的最小．POBA【巩固】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的周长最短．NMCB【例21】 (2000年全国数学联赛)如图，设正ABC ∆的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA PM +的最大值和最小值分别记为s 和t ．求22s t -的值．MPA【例22】 已知如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的边的距离和最小．OMBA【例23】 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．【巩固】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM -最大．【例24】 (07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．NMD CB A【巩固】例题中的条件不变，求DN MN -的最小值与最大值．【巩固】(黑龙江省中考题)如图，已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一个动点，则DN MN +的最小值是CBA【例25】 (2004郸县改编)某供电部门准备在输电主干线l 上连接一个分支线路同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电，分支点为M ，已知居民小区A 、B 到主干线l 的距离分别为12AA =千米，12BB =千米，且114A B =千米．⑴ 居民小区A 、B 在主干线l 的两旁如图⑴所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？⑵ 如果居民小区A 、B 在主干线l 的同旁，如图⑵所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短？此时分支点M 与1A 距离多少千米？l (1)ABA 1B 1l (2)ABA 1B 1【例26】 (09山东临沂)如图，A ，B 是公路l (l 为东西走向)两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离1km AC =，B 村到公路l 的距离2km BD =，B 村在A 村的南偏东45︒方向上． ⑴ 求出A ，B 两村之间的距离；⑵ 为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置(保留清晰的作图痕迹，简明书写作法)．【习题1】(08苏州)下列图形中，轴对称图形．．．．．的是北东BACDl家庭作业【习题2】⑴(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．⑵(08山东烟台)下列交通标志中，不是轴对称图形的是( )⑶(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )【习题3】如图，ABC ∆中，90A ∠=︒，BD 为ABC ∠的平分线，DE BC ⊥，E 是BC 的中点，求C ∠的度数．EDCBA【习题4】(四川省竞赛题)如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小．PECBA【习题5】在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 在BD 上，求PE 和PC 的长度之和的最小值．E PDCB A【备选1】(2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【备选2】判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼【备选3】(2008年荆门市中考题)如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点M 、N 分别是变AB 、BC的中点，在对角线AC 求作一点P 使得PM PN 的值最小．PNMDCBA月测备选。
第五章、轴对称与将军饮马及折叠综合习题汇总
是题库不是教案Jt 第五章、轴对称与将军饮马及折叠综合习题汇总一、轴对称与将军饮马1．如图，要在街道l上修建一个奶吧D（街道用直线l表示）．（1）若奶吧D向小区A，B提供牛奶如图①，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，B的距离之和最短？（2）若奶吧D向小区A，C提供牛奶如图②，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，C的距离之和最短？2．传说在古罗马时代的亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。
一天，一位将军专程去拜访他，想他请叫一个百思不得其解的问题。
将军每天都从军营A出发（如图），先到河边C处饮马，然后再去河岸的同侧B开会，他应该怎样走才能使路程最短？据说当时海轮略加思索就解决了它。
3．白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A、B到水平直线L（L表示小河）的距离分别是2，1，AB两点之间水平距离是4，则AP+PB最小值=_____________．4．下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹））的内部A处，5．如图，邮递员小王的家在两条公路OM和ON相交成的角（MON小王每天都要到开往OM方向的车上取下快件，然后再送到开往ON方向的车上，这样他就可以回家了，为使小王每天接送快件时的行程最短，请帮助他找出在公路OM和ON上的等车地点．（画草图，保留作图痕迹）6．有一个养鱼专业户，在如图所示地形的两个池塘里养鱼，他每天早上要从住处P分别前往两个池塘投放鱼食，试问他怎样走才能以最短距离回到住地？7．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）8．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．是题库不是教案Jt9．按要求作图（1）已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l的对称图形；（2）如图,牧马人从A地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.请画出最短路径.10．作图题（1）如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；②在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．（2）利用网格（图2）作图，请你先在图中的BC边上找一点P，使点P到边AB、AC 的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB=QC．11．(1)如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用3种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．（2）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；②△ABC的面积为____________；③在直线l上找一点P，使PB＋PC的长最短.12．在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC（三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上）．(1) 画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1(2) 写出点A1、B1、C1的坐标(3) 在y轴上找D点，使BD+CD最小,由图写出D坐标(保留作图痕迹)13．如图,方格纸中每个小正方形的边长都是单位1,△ABC的三个顶点都在格点(即这些小正方形的顶点)上,且它们的坐标分别是A(2,−3),B(5,−1),C(−1,3)，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题：是题库不是教案Jt(1)请在如图坐标系中画出△ABC；(2)画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′各顶点坐标；(3)在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小。
将军饮马基础题
1、在古战场上，将军需从营地A出发，到达河边l饮马，然后返回营地B，以下哪种策略能使将军的总路程最短？A. 直接从A到l，再从l到BB. 选择河边l上离A最近的点饮马C. 选择河边l上使A到该点再到B距离和最小的点饮马（答案）D. 先到B，再从B到l，最后返回A2、将军的营地位于山丘上，他需要下山走到河边饮水，再上山返回另一营地。
为了节省体力，他应该：A. 尽量选择陡峭的路径下山和上山B. 下山时走直线，上山时走曲线C. 利用光的折射原理，选择看似最近的路径D. 找到使上下山总路程最短的点饮水（答案）3、假设河边是一条直线，将军需要从点A到河边饮马，然后到点B，河边的哪个点是他应该选择的？A. AB连线与河边的交点B. A点关于河边的对称点与B连线和河边的交点（答案）C. B点关于河边的对称点与A连线和河边的交点D. 河边中点4、将军的营地A和B分别位于山的两侧，中间隔着一条河。
为了最快回到B营地，他应该：A. 直接游泳过河B. 找到河边使得从A到河边再到B总时间最短的点C. 选择离A营地最近的河边点D. 先走到河边任意点，再根据情况决定下一步（答案：B，若考虑实际情况，可能需要结合游泳速度和行走速度综合考虑最优解，但题目简化为寻找最短路径点）5、在平原上，将军需要从A点出发到直线型的河边l饮马，然后返回B点，他应该：A. 选择离A或B更近的河边点B. 选择AB连线与河边的交点C. 通过作图法找到使总路程最短的河边点（答案）D. 随机选择一个河边点6、将军的营地A和B位于一片广阔的草原上，中间有一条笔直的河流。
为了最快完成饮马并返回，他应该：A. 走到河边中点饮马B. 走到AB连线与河边的交点饮马C. 利用几何知识找到最优饮马点（答案）D. 直接从A走到B，不饮马7、假设将军的营地A和B位于同一高度，中间隔着一条河，为了最快完成饮马任务，他应该：A. 选择离A营地较近的河边点B. 选择离B营地较近的河边点C. 通过计算找到使总时间（考虑行走和饮水时间）最短的点（答案，若题目未明确只考虑路程，则需综合考虑）D. 走到河边任意点饮马8、在山地环境中，将军需要从A点到河边l饮马，然后返回B点，考虑到地形因素，他应该：A. 忽略地形，直接选择AB连线与河边的交点B. 根据地形调整路径，但仍选择AB连线与河边的交点饮马C. 综合考虑地形和路程，找到最优饮马点（答案）D. 选择离A或B营地最近的河边点。
作轴对称图形-将军饮马问题(知识讲解)七年级数学下册基础知识专项练习(北师大版)
专题5.16 作轴对称图形-将军饮马问题（知识讲解）【学习目标】1．理解轴对称变换，能作出已知图形关于某条直线的对称图形． 2．能利用轴对称变换设计一些图案，解决简单的实际问题.3．能运用轴对称的性质（将军饮马问题），解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力． 【要点梳理】 要点一：对称轴的作法若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．特别说明：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 要点二：将军饮马问题的基本作图和解题方法 几何模型1：两定一动型（两点之间线段最短）图一 图二111,B P P B 如图一：A 、B 为直线外一点，过点A 作直线的对称点A 连接A 交直线于点，则点为所求，此时 AP+PB=A 最小。
几何模型2：两动一定型（两点之间线段最短）PBAPMN ''''''∆此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA 、OB 的对称点，化折线段PM+MN+PN 为P M+MN+P N ，当P 、M 、N 、P 共线时，周长最小。
几何模型3（1）：两定两动型（两点之间线段最短） 在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
PQ PM MN NQ P Q OA OB PM MN NQ P M MN NQ P M N Q PMNQ ++++''''++考虑是条定线段，故只需考虑最小值即可，类似，分别作点、关于、对称，化折线段为，当、、、共线时，四边形的周长最小。
利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略(学生版)
利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】【类型二实际问题中的最短路径问题】【类型三一次函数中线段和最小值问题】【类型四一次函数中线段差最大值问题】【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F 分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是()A.6B.4C.3D.2【变式训练】1(2023春·山东济南·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是10；AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF 周长的最小值为()A.7B.9C.10D.142(2023秋·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点C为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为()A.4B.9C.11D.133(2022春·七年级单元测试)如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AB =4，点E 在BC 上，且BE =2，点P 在∠ABC 的平分线BD 上运动，则PE +PC 的长度最小值为()A.1B.2C.3D.44(2023秋·甘肃·八年级统考期末)如图，∠AOB =15°，M 是边OA 上的一个定点，且OM =12cm ，N ，P 分别是边OA 、OB 上的动点，则PM +PN 的最小值是．5(2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末)如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，BC =7，作AD ⊥BC 于点D ，AD =12AB ，点E 为AC 边上的中点，点P 为BC 上一动点，则PA +PE 的最小值为．6(2023春·广东深圳·七年级统考期末)如图，点C ，D 分别是角∠AOB 两边OA 、OB 上的定点，∠AOB =20°，OC =OD =4．点E ，F 分别是边OB ，OA 上的动点，则CE +EF +FD 的最小值是．7(2023春·广东佛山·八年级校考期中)如图，已知△ABC ≌△CDA ，将△ABC 沿AC 所在的直线折叠至△AB C的位置，点B的对应点为B ，连结BB ．(1)直接填空：B B与AC的位置关系是；(2)点P、Q分别是线段AC、BC上的两个动点(不与点A、B、C重合)，已知△BB C的面积为36，BC=8，求PB+PQ的最小值；(3)试探索：△ABC的内角满足什么条件时，△AB E是直角三角形？8(2023春·广东深圳·七年级统考期末)【初步感知】(1)如图1，已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE．求证：△ABD≌△ACE；【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为：；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为：．【拓展应用】(3)如图3，在等边△ABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边△DPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【类型二实际问题中的最短路径问题】1(2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中)如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=2km，BD=5km，CD=6km，现在要在河岸CD上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E的位置(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．【变式训练】1(2023春·八年级课时练习)如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，a2=13，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．(只需作图，不需要证明)(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．2(2021秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习)如图，小区A与公路l的距离AC=200米，小区B与公路l的距离BD=400米，已知CD=800米，(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．3(2023春·全国·七年级专题练习)问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上是否存在点P，使得PA+PB的值最小？小明的解法如下：如图，作点A关于直线l的对称点A ，连接A B，则A B与直线l的交点即为P，且PA+ PB的最小值为A B．问题提出：(1)如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，求PB+PE的最小值．问题解决：(2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池M，从蓄水池M处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为AC=3千米，BD=9千米，CD=9千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠CD上选择蓄水池M的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．【类型三一次函数中线段和最小值问题】1(2023春·山东德州·八年级校考阶段练习)如图，一次函数y=12x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．(可能用到的公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，①AB中点坐标为x1+x22,y1+y22；②AB=x1-x22+y1-y22(1)求线段AB的长；(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．(3)点D是BC中点，在直线AB上是否存在一点P，使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【变式训练】1(2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中)一次函数y=kx+b的图像经过两点A4,0，B0,8．点D m,4在这个函数图像上(1)求这个一次函数表达式；(2)求m的值；(3)点C为OA的中点，点P为OB上一动点，求PC+PD的最小值．2(2023春·湖南长沙·八年级校联考期中)如图，直线l1经过点A4,0，与直线l2：y=x交于点B a,43．(1)求a的值和直线l1的解析式；(2)直线l1与y轴交于点C，求△BOC的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使得PB+PA的值最小，若存在，请求出PB+PA的最小值，若不存在，请说明理由．3(2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中)如图1，直线l1:y=-14x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2与x轴，y轴分别交于C，D两点，两直线相交于点P，已知点C的坐标为( -2,0)，点P的横坐标为-45．(1)直接写出点A、P的坐标，并求出直线l2的函数表达式；(2)如图2，过点A作x轴的垂线，交直线l2于点M，点Q是线段AM上的一动点，连接QD，QC，当△QDC 的周长最小时，求点Q的坐标和周长的最小值．(3)在第(2)问的条件下，若点N是直线AM上的一个动点，以D，Q，N三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出此时点N的坐标．【类型四一次函数中线段差最大值问题】1(2023秋·四川成都·八年级统考期末)如图所示，直线l1:y=x-1与y轴交于点A，直线l2:y=-2x-4与x轴交于点B，直线l1与l2交于点C．(1)求点A,C的坐标；(2)点P在直线l1上运动，求出满足条件S△PBC=S△ABC且异于点A的点P的坐标；(3)点D(2,0)为x轴上一定点，当点Q在直线l1上运动时，请直接写出DQ-BQ的最大值．【变式训练】1如图①，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A(-10，0)，与y轴交于点B，与直线y= x交于点C(a，7)．-73(1)求直线AB的表达式；(2)如图②，在(1)的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y=-7x于点F，交直线y=kx+b于点G，若3点E的坐标是(-15，0)，求△CGF的面积；(3)点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM-PC的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；2在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题--“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C ，连结AC ,BC ,B C ，∵点B，B 关于直线l对称，点C，C 在l上，∴CB=，C B=，∴AC+CB=AC+CB =．在△AC B 中，∵AB <AC +C B ，∴AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(1)请将证明过程补充完整．(直接填在横线上)(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使PB-PA的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．(3)如图，平面直角坐标系中，M2,2,N4,-1,MN=13，P是坐标轴上的点，则PM-PN的最大值为，此时P点坐标为．(直接写答案)3如图，在直角坐标系中，直线l：y=43x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x=-2交AB于点C，D是直线x=-2上一动点，且在点C的上方，设D(-2，m)(1)求点O到直线AB的距离；(2)当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E(8，0)，在y轴上找一点M，使|ME-MD|最大，请求出|ME-MD|的最大值以及M点的坐标；(3)在(2)的条件下，将直线l：y=43x+8左右平移，平移的距离为t(t>0时，往右平移；t<0时，往左平移)平移后直线上点A，点B的对应点分别为点A′、点B′，当△A′B′D为等腰三角形时，求t的值．。
部编数学八年级上册专题21轴对称之将军饮马基础篇(解析版)含答案
专题21 轴对称之将军饮马基础篇1．如图，30AOB Ð=°，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN a b Ð=Ð=，当MP PQ QN ++的值最小时，关于a ，b 的数量关系正确的是（ ）A ．60b a -=°B ．210b a +=°C ．230b a -=°D ．2240b a +=°【答案】B【解析】【分析】如图，作M 关于OB 的对称点M′，N 关于OA 的对称点N′，连接M′N′交OA 于Q ，交OB 于P ，则MP+PQ+QN 最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN ，KD ∠OQN=180°-30°-∠ONQ ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP ，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ ，由此即可解决问题．【详解】如图，作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢交OA 于Q ，交OB 于P ，则此时MP PQ QN ++的值最小．易知¢Ð=Ð=ÐOPM OPM NPQ ，¢Ð=Ð=ÐOQP AQN AQN ．∵18030Ð=°-°-ÐOQN ONQ ，30Ð=Ð=°+ÐOPM NPQ OQP 30Ð=Ð=°+ÐOQP AQN ONQ ，∴303018030210+=°+°+Ð+°-°-Ð=°ONQ ONQ a b ．故选：B.【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．如图，△ABC 是等腰三角形，底边BC 的长为4，面积是18，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于点E ，F ．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值是（ ）A ．11B ．13C ．9D ．8【答案】A【解析】【分析】连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴1141822ABC S BC AD AD =×=´´=V ，解得AD =9，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴CM =AM ，∴CD +CM +DM =CD +AM +DM ，∵AM +DM ≥AD ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =9+12×4=9+2=11．故选：A ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．3．如图，25AOB Ð=°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ a Ð=，PQN b Ð=，当MP PQ QN ++的值最小时，b a -的大小=__________（度）．【答案】50【解析】【分析】作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ¢¢Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN ++最小，即MP PQ QN M N ¢¢++=，∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ¢¢Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，，∵MPQ PQN a b Ð=Ð=，，∴11(180)(180)22QPN OQP a b Ð=°-Ð=°-，，∵QPN AOB OQP Ð=Ð+Ð，25AOB Ð=°，∴11(180)25(180)22a b °-=°+°- ，∴50b a -=° ．故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．4．如图，点P 是AOB Ð内任意一点，3cm OP =，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，30AOB Ð=°，则PMN V 周长的最小值是______．【答案】3【解析】【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到PMN V 周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及30AOB Ð=°，对线段长度进行等量转化即可．【详解】解：如图所示，过点P 分别作P 点关于OB 、OA 边的对称点P ¢、P ¢¢，连接PP ¢¢、PP ¢、P P ¢¢¢、OP ¢、OP ¢¢，其中P P ¢¢¢分别交OB 、OA 于点N 、M ，根据“两点之间线段最短”可知，此时点M 、N 的位置是使得PMN V 周长的最小的位置．由对称性可知：,PN P N PM P M ¢¢¢==，,P OB POB POA P OA¢¢¢Ð=ÐÐ=Ð 3OP OP OP ¢¢¢===，30POA POB AOB Ð+Ð=Ð=°Q 30P OA P OB ¢¢¢\Ð+Ð=°+=60POA POB P OA P OB P OP ¢¢¢¢¢¢\Ð+ÐÐ+ÐÐ=°P OP ¢¢¢\△为等边三角形=3P P OP OP ¢¢¢¢¢¢\==\PMN V 的周长=PN PM MN ++=P N P M MN P P ¢¢¢¢¢¢++==3故答案为：3【点睛】本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利用其原理“两点之间线段最短”作出最短路径示意图是解决本题的关键．5．如图，ABC V 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PCE V 的周长最小时，ACP Ð的度数为______．【答案】30°##30度【解析】【分析】连接BP，由等边三角形的性质可知AD为BC的垂直平分线，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE 的周长最小，即P点为BE与AD的交点时．最后根据等边三角形三线合一的性质，即得出CP平分ACBÐ，从而可求出1==302ACP ACBÐа．【详解】如图连接BP．∵ABCV为等边三角形，∴AD为BC的垂直平分线，∴BP=CP，∵△PCE的周长=PE+CP+CE= PE+BP+CE，∴当PE+BP最小时，△PCE的周长最小，∵PE+BP最小时为BE的长，即此时BE与AD的交点为P，如图．又∵点E为中点，AD为高，ABCV为等边三角形，∴P点即为等边ABCV角平分线的交点，∴CP平分ACBÐ，∴1==302ACP ACBÐа．故答案为：30°【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，两点之间线段最短等知识．理解要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点是解题关键．6．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．【答案】80【解析】【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．7．如图，在锐角△ABC中，∠BAC = 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB 上的动点，当BM +MN有最小值时，ABMÐ=_____________°．【答案】50【解析】【分析】在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BM +MN有最小值时，则BE是点B到直线AC的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值；【详解】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，∴∠EAM =∠NAM ，∵AM =AM ，∴△AME ≌△AMN ，∴ME =MN ，∴BM +MN =BM +ME ≥BE ．∵BM +MN 有最小值．当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE ⊥AC ，∴∠ABM =90°-∠BAC =90°-40°=50°；故答案为：50．【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数．8．如图，直线1l ，2l 交于点O ，点P 关于1l ，2l 的对称点分别为1P ，2P ．若4OP =，127PP =，则12POP △的周长是______．【答案】15【解析】【分析】根据对称的性质可知，OP 1=OP =OP 2=3，再根据P 1P 2=7即可求出△P 1OP 2的周长．【详解】∵P 关于l 1、l 2的对称点分别为P 1、P 2，∴OP 1=OP =OP 2=4，∵P 1P 2=7，∴△P 1OP 2的周长=OP 1+OP 2+P 1P 2=4+4+7=15．故答案为15【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．9．如图，等腰三角形ABC 的面积是18，底边BC 长为4，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于点E ，F ．若D 为BC 的中点，G 为线段EF 上一动点，则CDG V 周长的最小值为___________．【答案】11【解析】【分析】连接AD ，由于ABC D 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD BC ^，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM MD +的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，AD BC \^，∴S △ABC =1141822BC AD AD ×=´´= ，解得9AD =，EF 是线段AC 的垂直平分线，\点C 关于直线EF 的对称点为点A ，CM AM\=，CD CM DM CD AM DM\++=++，AM+DM≥AD，AD\的长为CM MD+的最小值，CDM\D的周长最短11()94921122CM MD CD AD BC=++=+=+´=+=．故答案为11．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．三、解答题10．问题：如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C 处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC＋CB＜AC'＋C'B．请完成这个证明．（2）如图③，点P为∠MON内的一个定点，在OM上有一点A，ON上有一点B．请你作出点A 和点B的位置，使得△PAB的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）在上述条件下，若∠MON＝40°，则∠APB＝°．【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析，100【解析】【分析】（1）如图②，连接A C ¢¢，由轴对称的性质可得,,AC A C AC A C ¢¢¢¢== 再证明：,A B AC BC ¢=+ 再利用三角形的三边关系可得结论；（2）分别作点P 关于,OM ON 的对称点,,P P ¢¢¢ 连接P P ¢¢¢交OM 于,A 交ON 于,B 则PAB △的周长最短，再由轴对称的性质可得：,,OPB OP B OPA OP A ¢¢¢V V V V ≌≌ 证明,APB OP B OP A ¢¢¢Ð=Ð+Ð 80,P OP ¢¢¢Ð=° 再求解50,OP P OP P ¢¢¢¢¢¢Ð=Ð=° 从而可得答案．【详解】证明：（1）如图②，连接A C ¢¢，∵点A ，点A ¢关于l 对称，点C 在l 上，∴CA CA ¢=，∴AC BC A C BC A B ¢¢+=+=，同理可得：AC C B A C BC ¢¢¢¢¢+=+，∵A B ¢＜A C C B ¢¢¢+，∴AC ＋BC ＜AC C B ¢¢+；（2）如图所示，点A 、B 即为所求，由轴对称的性质可得：,,OPB OP B OPA OP A ¢¢¢V V V V ≌≌,,,,PO P O PO P O OPB OP B OPA OP A ¢¢¢¢¢¢\==Ð=ÐÐ=Ð,,POB P OB POA P OA ¢¢¢Ð=ÐÐ=Ð,APB OPB OPA OP B OP A ¢¢¢\Ð=Ð+Ð=Ð+Ð40,POB POA P OB P OA ¢¢¢Ð+Ð=Ð+Ð=°404080,P OP ¢¢¢\Ð=°+°=°,OP OP ¢¢¢=Q()11808050,2OP P OP P ¢¢¢¢¢¢\Ð=Ð=°-°=° 100,APB OP P OP P ¢¢¢¢¢¢\Ð=Ð+Ð=°故答案为：100°．【点睛】本题考查的是轴对称的作图，利用轴对称的性质求解线段和或周长的最小值，同时考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．11．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,5)A ，(2,1)B ，(6,1)C ．(1)画出ABC V 关于y 轴对称的111A B C △；(2)在x 轴上找一点P ，使PB PC +的值最小（保留作图痕迹），并写出点P 的坐标．【答案】(1)见解析；(2)见解析，P 的坐标为(4,0)．【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质结合坐标系，分别确定点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，即可作出111A B C △；（2）作出点B 关于x 轴的对称点B 2，连接B 2C ，交x 轴于P ，点P 即为所求做的点．(1)解：解：（1）如图所示，111A B C △即为ABC V 关于y 轴对称的三角形．(2)解：如图所示，点P 即为所求做的点，点P 的坐标为(4,0)．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称图形，将军饮马问题，熟知轴对称的性质是解题关键，注意坐标系中两个点关于x 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，两个点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变．12．如图，在锐角∠AOB的内部有一点P，试在∠AOB的两边上各取一点M，N，使得△PMN的周长最小．（保留作图痕迹）【答案】见详解【解析】【分析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接PM，N，△PMN即为所求求作三角形．【详解】解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，△PMN即为所求作三角形．理由：由轴对称的性质得MP＝ME，NP＝NF，∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D 为AB 中点，连接CD ，点P 、Q 分别为CE 、CD 上的动点．（1）求证：△ADC 为等边三角形；（2）求PD +PQ +QE 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得60,BAC AD CD Ð=°=，再根据等边三角形的判定即可得证；（2）连接,PA QB ，先根据等边三角形的性质可得12ACE ACD Ð=Ð，再根据等腰三角形的三线合一可得CE 垂直平分AD ，然后根据线段垂直平分线的性质可得PA PD =，同样的方法可得QB QE =，从而可得PD PQ QE PA PQ QB ++=++，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．【详解】证明：（1）Q 在Rt ABC V 中，90,30,2ACB ABC AC Ð=°Ð=°=，60,24BAC AB AC Ð\=°==，Q 点D 是Rt ABC V 斜边AB 的中点，2AD AC \==，ADC \V 是等边三角形；（2）如图，连接,PA QB ，BCE QV 和ADC V 都是等边三角形，60BCE \Ð=°，60ACD Ð=°，1302ACE ACB BCE ACD \Ð=Ð-Ð=°=Ð，CE \垂直平分AD ，PA PD \=，同理可得：CD 垂直平分BE ，QB QE \=，PD PQ QE PA PQ QB \++=++，由两点之间线段最短可知，当点,,,A P Q B 共线时，PA PQ QB ++取得最小值AB ，故PD PQ QE ++的最小值为4．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点ABC V （即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出ABC V 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标．(2)在y 轴上求作一点P ，使得PA PC +最短（保留作图痕迹，不需写出作图过程）．(3)求ABC V 的面积．【答案】(1)画图见解析；()11,4C (2)画图见解析(3)6【解析】【分析】（1）利用网格，根据轴对称的性质画出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1，C 1，再连接A 1B 1，A 1C 1，B 1C 1即可；（2）连接A 1C 交y 轴于点P ，即可；（3）利用网格，用矩形面积减去三个直角三角形面积求解即可．(1)解：如图所示，111A B C △就是所要求画的．()11,4C ．(2)解：如图所示，点P 就是所要求作的点．(3)解：111353322156222ABC S =´-´´-´´-´´=△．【点睛】本题考查利用轴对称性质作轴对称图形，利用轴对称求最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．15．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A （-4，1）、B （-3，3）、C （-1，2）．(1)请作出△ABC向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的△A₁B₁C₁；(2)作△ABC关于y轴对称的△A₂B₂C₂；(3)在x轴上求作点N，使△NBC的周长最小（保留作图痕迹）．【答案】(1)答案见详解；(2)答案见详解；(3)答案见详解；【解析】【分析】（1）分别作出点A，B，C向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的对应点A₁，B₁，C₁再顺次连接A₁B₁C1；(2)分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；(3)作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C交y轴于点N，顺次连接点NB，NC，即可；(1)如图所示：分别作出点A，B，C向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的对应点A₁，B₁，C₁再顺次连接A₁B₁C1；(2)如图所示：分别作出点A，B，C关于y轴的对称点A2，B2，C2，再首尾顺次连接可得；(3)作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C交y轴于点N，顺次连接点NB，NC，△NBC的周长最小；【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，图形的平移，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及最短路线问题．。
部编数学九年级上册22.26二次函数“将军饮马”问题(基础篇)(人教版)含答案
专题22.26 二次函数“将军饮马”问题（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，直线y 34=-x +3分别与x 轴，y 轴交于点A 、点B ，抛物线y =x 2+2x ﹣2与y 轴交于点C ，点E 在抛物线y =x 2+2x ﹣2的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，CE +EF 的最小值是（ ）A ．4B ．4.6C ．5.2D ．5.62．已知抛物线2114y x =+具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，点M 的坐标为（3，6），P 是抛物线2114y x =+上一动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ．5B ．9C ．11D ．133．如图，在抛物线2y x =-上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2；在y 轴上有一动点C ，当BC AC +最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0.0）B ．（0，1-）C ．（0，2）D ．（0，2-）4．如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +2交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B ．下列说法：其中正确判断的序号是（ ）①抛物线与直线y ＝3有且只有一个交点；②若点M （﹣2,y 1），N （1,y 2），P （2,y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 2＜y 3；③将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，所得抛物线解析式为y ＝（x +1）2+1；④在x 轴上找一点D ，使AD +BD ．A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．②③④5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx =+的对称轴为34x =，且经过点A （2，1），点P 是抛物线上的动点，P 的横坐标为()02m m <<，过点P 作PB x ^轴，垂足为B ，PB 交OA 于点C ，点O 关于直线PB 的对称点为D ，连接CD ，AD ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，则当m =（ ）时，ACD D 的周长最小.A ．1B ．1.5C ．2D ．2.56．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论①2a﹣b＝0；②a+b+c＝0；③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝1-；2⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为，其中，正确的个数为（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为()A．10B．8C．7.5D．8．如图，已知抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx＋b 与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确9．抛物线与直线交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），动点P 从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．若使点P 运动的总路径最短，则点P 运动的总路径的长为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题10．如图，抛物线2520533y x x =-+与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是_____．11．若抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B ．①抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1与直线y ＝m +2有且只有一个交点；②若点M （﹣2，y 1）、点N （12，y 2）、点P （2，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 2＜y 3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y ＝﹣（x +1）2+m ；④点A 关于直线x ＝1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m ＝1时，四边形BCDE周长的最小值为3其中正确的是 ___．（填序号）12．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2﹣2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为_____．13．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C 为抛物线上任意一点（不与A ，B 重合），BD 为ABC V 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．14．如图，在平面直角坐标系中，直线AC ：y ＝43x+8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝ax 2+bx+c 过点A ，C ，且与x 轴的另一交点为B ，又点P 是抛物线的对称轴l 上一动点．若△PAC 周长的最小值为，则抛物线的解析式为_____．15．如图，抛物线y ＝﹣38x 2+34x +3与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，点P 为抛物线对称轴上一点．则△APC 的周长最小值是_____．16．已知抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，则PA +PC 的最小值是__________．17．已知二次函数y=12x 2+bx 的图象过点A(4，0)，设点C(1，-3)，在抛物线的对称轴上求一点P ，使|PA-PC|的值最大，则点P 的坐标为____________。
专题09 轴对称中的最值模型问题(将军饮马)专训(原卷版)
【题型目录】题型一题型二在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。
三两动点一定点问题点P在锐角∠AOB的内部，在OA 边上找一点C,在OB边上找一点D,,使得PC+PD+CD的和最小。
直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。
【经典例题一【例1【变式训练】1．（2023·A．6B．72．（2023秋·八年级课时练习）如图，在上的一个动点，则下列线段的长等于A．AC3．（2023春·广东揭阳^于点D，AD BC为．4．（2023·广西防城港·统考三模）如图，在中点，点D是线段AC上任意一点（不含端点）5．（2023春·全国·七年级专题练习）动点D和动点E同时出发，分别以每秒一个也停止运动，设运动时间为(1)在运动过程中，CD 与BE 始终相等吗？请说明理由；(2)连接DE ，求t 为何值时，DE BC ∥；(3)若BM AC ^于点M ，点P 为BM 上的点，且使PD PE +最短．当7t =时，PD PE +的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．6．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）如图，在ABC V 中，AB AC =．(1)作AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交AC 于点M （保留作图痕迹）．(2)连接MB ，若8cm AB =，MBC V 的周长是14cm ．①求BC 的长；②在直线MN 上是否存在点P ，使PB CP +的值最小，若存在，标出点P 的位置并求PB CP +的最小值，若不存在，说明理由．【经典例题二 求两条线段差的最大值】A．160B【变式训练】1．如图，在等边最大值是【经典例题三求三条线段和的最小值（双动点问题）】【例3】（2021秋·重庆荣昌在OA【变式训练】1．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）如图，ABC V 中，AB AC =，6BC =，ABC V 的面积为21，AD BC ^于D ，EF 是AB 边的中垂线，点P 是EF 上一动点，PBD △周长的最小是等于（ ）A ．7B ．8C ．9D ．102．（2021秋·浙江·八年级期中）如图，30AOB Ð=°，AOB Ð内有一定点P ，且8OP =．在OA 上有一动点Q ，OB 上有一动点R ．若PQR V 周长最小，则最小周长是________．3．（2020秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）最短路径问题：例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短．解：只有A 、C 、B 在一直线上时，才能使AC +BC 最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A ′B ，交“街道”于点C ，则点C 就是所求的点．应用：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.（1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B 和C ．（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周长．【经典例题四【例4长度，V的面积；(1)求出ABCV关于直线MN对称的(2)画出ABC(3)在直线MN上画出点P，使得【变式训练】1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知(1)在（图①）直线l上找出一点P，使PA PB=；(2)在（图②）直线l上找出一点P，使PA PB+的值最小；-的值最大．(3)在（图③）直线l上找出一点P，使PA PB交AC 于点M ，连接MB ．(1)若65ABC Ð=°，则NMA Ð的度数是___________度；(2)若9cm AB =．MBC V 的周长是16cm ，①求BC 的长度；②若点P 为直线MN 上一点，请你直接写出PBC V 周长的最小值．3．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知点A ，B ，C ，D 是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．(1)作线段BD 和射线CB ；(2)用无刻度的直尺和圆规在射线CB 上作3CM BD =；(3)在平面内作一点P ，使得PC PD PA PB +++的和最短．【重难点训练】A ．12B 2．（2022秋·河南驻马店点D 在BF 上，连接ADA ．1223a b+B ．3．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，在记ABC V ，PBC V 的面积分别记为A ．3B ．4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，别是边OB ，OA 上的动点，记A ．30b a -=°B ．b a +5．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）90°， 在BC 、DE 上分别找一点A ．136°B ．96°6．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）如图，在锐角三角形∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，A ．3B ．7．（2020秋·广东广州·八年级校考期中）如图所示，点M 、N 分别是射线OA ，（ ）A ．1B ．28．（2023秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，在腰ACD V ，过点D 作ADC Ð的平分线分别交上的一个动点，则PBC V 周长的最小值为（12．（2023春·八年级课时练习）如图，一点，连接PM，PN，MN．若OP15．（2022秋·八年级课时练习）如图，Ð的度数为Ð=°，则CDE50C16．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在+的最小值相等的线段是AD上的一个动点，则图中长度与BP EP17．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知(1)在（图①）直线l上找出一点P，使PA PB=；(2)在（图②）直线l上找出一点P，使PA PB+的值最小；-的值最大．(3)在（图③）直线l上找出一点P，使PA PBM ，N ．完成以下作图．(1)若在村庄N 与道口A 之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由；(2)若在公路BN 上选择一个地点P 安装实时监控系统，要求点P 到村庄N 与道口B 的距离相等，在图中标出点P 的位置；(3)当一节火车头行驶至铁路AB 上的点Q 时，距离村庄N 最近．在图中确定点Q 的位置（保留作图痕迹）；(4)若在道口A 或B 处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在________处．19．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知点A ，B ，C ，D 是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．(1)作线段BD 和射线CB ；(2)用无刻度的直尺和圆规在射线CB 上作3CM BD =；(3)在平面内作一点P ，使得PC PD PA PB +++的和最短．20．（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）已知，村庄A 和村庄B 都位于笔直的小河l 同侧，要在河边建一引水站，使它到村庄A ，B 需铺设的水管长度之和最小．(1)请画出引水站P 的位置，并连接,BP AP （包括画图痕迹）；(2)若不计杂料，所用水管之和为2000米，且BP 比AP 长600米，两村庄购买水管花费30000元，约定按长度分摊费用，请计算两村庄各需付水管购买费多少元？21．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图1所示，诗中大意是将军从山脚下的A 点出发，带着马走到河边P 点饮水后，再回到B 点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出P 点，使PA PB +的值最小，不说明理由；（2）实践应用1，如图2，点P 为MON Ð内一点，请在射线OM 、ON 上分别找到两点A 、B ，使PAB V 的周长最小，不说明理由；（3）实践应用2：如图3，在ABC V 中，6AC =，8BC =，10AB =，90ACB Ð=°，AD 平分BAC Ð，M 、N 分别是AD 、AC 边上的动点，求CM MN +的最小值．22．（2023秋·吉林松原·八年级统考期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，60A Ð=°，4AC =，CD 平分ACB Ð，交边AB 于点D ，点E 是边AB 的中点．点P 为边CB 上的一个动点．(1)AE =______，ACD Ð=______度；(2)当四边形ACPD 为轴对称图形时，求CP 的长；(3)若CPD △是等腰三角形，求CPD Ð的度数；(4)若点M 在线段CD 上，连接MP 、ME ，直接写出MP ME +的值最小时CP 的长度．。
专题2.1 轴对称的几何综合(压轴题专项讲练)(浙教版)(解析版)
专题2.1 轴对称的几何综合【典例1】“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段A′B 的长．（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______．（3）应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；②如图3，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是______，此时∠CFE=______．（1）根据轴对称的性质作出图形；（2）根据两点之间线段最短解答；（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，根据轴对称的性质得到△PCD，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证△BAD≌△CAE(SAS)，根据全等的性质和三线合一可得∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，所以点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E′，此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，所以△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=1a+b，∠CFE=90°．2（1）解：作图如下：（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短；（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，交OA、OB于C、D，则△PCD的周长最小，连接OM、ON，如图，由轴对称的性质可知，OM=OP=12，ON=OP=12，CP=CM，DP=DN，∠MON=2∠AOB=60°，∴△MON为等边三角形，∴MN=12，∴△PCD的周长=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；②∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E′，如图，此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等边三角形，∴△ACM≌△ACB，∴FM=FB=b，a+b，∠CFE=90°．∴△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=121．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD 是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值．【思路点拨】在AB上截取AQ1=AQ，连接QD，Q1D，可证△AQD≌△AQ1D，根据全等三角形的性质可知点Q1和点Q关于AD对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案．【解题过程】解：如图，在AB上截取AQ1=AQ，连接QD，Q1D，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠QAD =∠Q 1AD在△AQD 与△AQ 1D 中AQ =AQ 1∠QAD =∠Q 1AD AD =AD∴△AQD≌△AQ 1D∴点Q 1和点Q 关于AD 对称，连接CQ 1，CQ 1与AD 交于P 点，连接PQ ，此时PC +PQ =CQ 1，∵Q 是动点，∴Q 1也是动点，当CQ 1与AB 垂直时，CQ 1最小，即PC +PQ 最小．此时，由面积法得CQ 1=3×4÷5=125．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点E ，若△ABC 为等边三角形，∠BAD =90°，AD =DC =2．（1）求证：BD 垂直平分AC ；（2）求BE 的长；（3）若点F 为BC 的中点，请在BD 上找出一点P ，使PC +PF 取得最小值；PC +PF 的最小值为______（直接写出结果）．【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线性质定理的逆定理证明即可；（2）根据∠ABD =30°，确定BD =4；根据∠EAD =30°，确定ED =1；根据BE =BD−ED 计算即可；（3）根据轴对称的性质求线段和的最值问题，然后根据等边三角形的性质确定即可．【解题过程】（1）∵AD =DC ，∴点D 在线段AC 的垂直平分线上；∵△ABC 是等边三角形，∴BA =BC，∴点B在线段AC的垂直平分线上；根据两点确定一条直线，∴BD是线段AC的垂直平分线；∴BD垂直平分AC；（2）∵△ABC是等边三角形，AD⊥AB，BD垂直平分AC，∴∠ABD=30°，∠EAD=30°，∵AD＝DC＝2，∴BD=4，ED=1，∴BE=BD−ED=4−1=3；（3）∵BD垂直平分AC，∴点C关于直线BD的对称点为点A，连接AF，交BD于点P，则点P即为所求；∵△ABC是等边三角形，BF=CF，∴AF⊥BC，∴AF=BE=3，故答案为：3．3．（2023秋·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC 上的点，当△AEF的周长最小时，求∠EAF的度数．【思路点拨】作点A关于BC的对称点H，作A点关于CD的对称点G，连结GH交BC于E点，交CD于点F，当G、F、E、H共线时，△AEF的周长最小，先求∠BAE+∠DAF=50°，则∠EAF=130°−50°=80°．【解题过程】解：如答图①，分别作点A关于直线CD，CB的对称点M，N，则AF=MF，AE=NE．∴△AEF的周长=AF+EF+AE=MF+EF+NE，∴当M，F，E，N四点共线（如答图②）时，△AEF的周长取到最小值．∵∠ABC=∠ADC=90°，∠C=50°，∴∠BAD=130°．根据轴对称的性质可得∠FMD=∠FAD，∠ENB=∠EAB．又由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可得∠MFC+∠NEC=∠FMD+∠FDM+∠ENB+∠NBE=∠FMD+90°+∠ENB+90°=∠FMD+∠ENB+180°，又∵∠MFC+∠NEC=∠FEC+∠C+∠EFC+∠C=(∠FEC+∠C+∠EFC)+∠C=∠180°+∠C，∴∠FMD+∠ENB+180°=180°+∠C，∴∠FMD+∠ENB=∠C=50°，∴∠FAD+∠EAB=50°，∴∠EAF=130°−50°=80°．4．（2023春·江西抚州·八年级校考阶段练习）等边△ABC的边长为1，△BCD是∠BDC=120度的等腰三角形，延长AC至E，使CE=BM，连接DE，以D为顶点做等边△DMN，两边分别交AB,AC于M、N①图中有两个三角形可以相互旋转得到吗？若有指出这两个三角形，并指出旋转中心及旋转角的度数．②图中有成轴对称图形的两个三角形吗？若有，指出对称轴．③求△AMN的周长．【思路点拨】①根据等边三角形和等腰三角形的性质，证明△DBM≌△DCE，再指出旋转中心和旋转角度即可；②利用等边三角形的性质，可得△DCN,△DCE是两个成轴对称的三角形，对称轴为直线DC；③利用全等三角形的性质，将MN转化为BM+CN，即可解答．【解题过程】①解：图中△DCE可由△DBM旋转得到，旋转中心为点D，旋转角度为120°，理由如下：∵△BCD是∠BDC=120度的等腰三角形，=30°，∴DB=DC，∠DBC=∠DCB=180−∠BDC2∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠MBD=∠NCD=60°+30°=90°，∴∠DCE=180°−∠NCD=90°，∵CE=BM，∴△DBM≌△DCE(SAS)，故图中△DCE可由△DBM旋转得到，旋转中心为点D，旋转角度为120°；②△DCN,△DCE是两个成轴对称的三角形，对称轴为直线DC，理由如下：∵△DMN为等边三角形，∴DM=DN=DE，在Rt△DCN与Rt△DCE中，DN=DEDC=DC，∴△DCN≌△DCE(HL)，∴ △DCN,△DCE 是两个成轴对称的三角形，对称轴为直线DC ；③解：∵△DMN 为等边三角形，∴∠MDN =60°，∵△BDM≌△CDE ，∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ，∴∠MDE =∠MDC +∠CDE =∠MDC +∠BDM =∠BDC =120°，∴ ∠CDN =120°−60°=60°，在△DNM 与△DNE 中，DM =DE ∠MDN =∠EDN DN =DN，∴△DNM≌△DNE (SAS)，∴MN =EN ，∴MN =CN +CE =CN +MB ，∴△DMN 的周长为AM +MN +AN =AM +MB +AN +NC =AB +AC =2．5．（2022秋·广东广州·八年级广州市第七中学校考期中）如图，等腰三角形ABC 的周长是21cm ，底边BC =5cm ．（1）求AB 的长；（2）若N 是AB 的中点，点P 从点B 出发以2cm/s 的速度向点C 运动．同时点Q 从点C 出发向点A 运动，当△BPN 与△CQP 全等时，求点Q 的速度．（3）点D,E,F 分别是BC,AB,AC 上的动点，当△DEF 的周长取最小值时，探究∠EDF 与∠A 之间的数量关系，并说明理由．【思路点拨】（1）先证明AB =AC,再结合三角形的周长公式即可得到答案；（2）如图，设Q 的速度为每秒v cm ，运动时间为t s ，再分两种情况：当△BPN≌△CPQ 时，则BP =CP,BN =CQ, 当△BPN≌△CQP 时，则BP =CQ,BN =CP, 再建立方程求解即可；（3）如图，分别作D 关于AB,AC 的对称点G,H, 连接GH, 交AB,AC 于E,F, 则此时△DEF 的周长最小，且为线段GH 的长，连接AG,AH,AD, 由轴对称的性质可得：∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8, 结合∠GAH +∠AGH +∠AHG =180°, 从而可得答案．【解题过程】（1）解：∵等腰三角形ABC 的周长是21cm ，∴AB =AC,AB +AC +BC =21,∵BC =5cm ．∴AB =12×(21−5)=8(cm).（2）如图，设Q 的速度为每秒v cm ，运动时间为t s ，∵N 为AB 的中点，则AN =BN =4cm,∴BP =2t,CQ =vt,∵AB =AC,∴∠B =∠C,当△BPN≌△CPQ 时，则BP =CP,BN =CQ,∴2t =5−2t,4=vt,解得：t =54,v =165, 当△BPN≌△CQP 时，则BP =CQ,BN =CP,∴2t =vt,4=5−2t,∴v =2,t =12,综上：Q 的速度为每秒165cm 或2cm.（3）如图，分别作D关于AB,AC的对称点G,H,连接GH,交AB,AC于E,F,则此时△DEF的周长最小，且为线段GH的长，连接AG,AH,AD,由轴对称的性质可得：∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8,而∠GAH+∠AGH+∠AHG=180°,∴2∠2+2∠3+∠6+∠7=180°,∴2∠BAC+∠EDF=180°.6．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图1，已知△ABC的内角∠ACB的平分线CD与它的一个外角∠EAC 的平分线AF所在的直线交于点D．（1）求证：∠B=2∠D；（2）若作点D关于AC所在直线的对称点D′，并连接AD′、CD′．①如图2，当∠BAC=90∘时，求证：AD⊥AD′；②如图3，当AC=BC时，试探究∠DAD′与∠D之间的数量关系，并说明理由．【思路点拨】（1）根据角平分线和外角的角度关系计算即可得到角度关系；（2）①利用外角的关系用其他角度表示∠DAD′，再由三角形外角进行换角计算得到∠DAD′为90°，得到垂直关系；②通过设元∠DAD′，通过外角和角平分线换角用∠DAD′表示∠D，即可得到两个角的大小关系．【解题过程】（1）∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠DCB =12∠ACB ，∵AF 是外角∠EAC 的平分线，∴∠CAF =∠FAE =12∠CAE ，又∵∠CAF =∠D +∠ACD ，∠CAE =∠B +∠ACB ，∴∠D =∠CAF−∠ACD =12(∠CAE−∠ACB )=12∠B ，∴∠B =2∠D（2）①如图2，D ′C 与AF 交于点O ，由对称的性质可知，∠D =∠D ′，∠DCD ′=2∠ACD ，当∠BAC =90°时，∠EAC =90°，∵∠DAD ′=∠D ′+∠D ′OA ，∠D ′OA =∠D +∠OCD ，∴∠DAD ′=∠D ′+∠D +∠OCD =2∠D +2∠ACD =2(∠D +∠ACD)=2∠FAC ，∵∠EAC =90∘=2∠FAC ，∠DAD ′=∠EAC =90°，∴AD ⊥AD ′；①当AC =BC 时，∠D +12∠DAD ′=90∘，理由如下：如图3，设∠DAD ′=α∵△DAC 与△D ′AC 关于AC 对称，∴∠DAC =∠D ′AC =360∘−α2=180∘−α2∴∠CAF =180∘−∠DAC =α2，∴∠CAE =2∠CAF =α，∴∠BAC =180∘−∠CAE =180∘−α，当AC =BC 时，∠B =∠BAC =180∘−α由（1）知∠B =2∠D∴∠D =12∠B =90∘−12α，∴∠D +12∠DAD ′=90∘．7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 在BC 边上，连接AD ，AE ⊥AD ，AE =AD ，连接CE ，DE ．（1）求证：∠B =∠ACE ；（2）点A 关于直线CE 的对称点为M ，连接CM ，EM ．①补全图形并证明∠EMC =∠BAD ；②试探究，当D ，E ，M 三点恰好共线时．∠BAD 的度数为___________．【思路点拨】（1）先判断出∠BAD =∠CAE ，进而判断出△BAD≌△CAE ，即可得出结论；（2）①先判断出∠EMC =∠EAC ，再根据（1）得出∠BAD =∠EAC 即可得出结论；②先判断得出∠AMD =∠EAM ，进而得出∠CDE =∠EAM ，再判断出∠EAM =∠BAD ，进而得出∠BAD =∠CAE =∠EAM ，最后求出∠CAM =45°即可得出结论．【解题过程】（1）证明：∵AE ⊥AD ，∴∠DAE =90°=∠BAC ，∴∠BAD =∠CAE∵AB =AC ，AE =AD ，∴ △BAD≌△CAE （SAS ），∴∠B =∠ACE ，（2）补全图形如图1所示，连接AM，∵点A关于直线CE的对称点为M，∴AE=ME，AC=MC∵CE=CE∴△ACE≌△MCE（SSS）∴∠EMC=∠EAC由（1）知△ABD≌△ACE∴∠BAD=∠EAC∴∠BAD=∠EMC②如图，连接AM，由（1）知∠ACE=∠B在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC ∴∠B=∠ACB=45°∴∠ACE=∠B=45°∴∠BCE=90°∵点M，A关于CE对称∴AE=ME，AM⊥CE∴AM∥BC∴∠AMD=∠CDE∴∠AMD=∠EAM∴∠CDE=∠EAM∵∠B=∠ADE=45°∴∠BAD+∠ADB=∠CDE+∠ADB=135°∴∠BAD=∠CDE∴∠EAN=∠BAD由（1）知△BAD≌△CAE∴∠BAD=∠CAE∴∠BAD=∠CAE=∠EAM∵AM//BC∴∠BAM=180°−∠B=135°∵∠BAC=90°∴∠CAM=∠BAM−∠BAD=45°∴∠CAE=12∠CAM=22.5°∴∠BAD=22.5°．故答案为：22.5°．8．（2022秋·北京海淀·八年级101中学校考期中）在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E．（1）如图1，若∠PAB=30°，则∠ACE=_________；（2）如图2，若60°<∠PAB<90°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．（1）根据题意可得∠DAP=∠BAP=30°，然后根据AB=AC，∠BAC=60°，得出AD=AC，∠DAC=120°，最后根据三角形的内角和公式求解；（2）由线段AB，CE，ED可以构成一个含有60度角的三角形，连接AD，EB，根据对称可得∠EDA=∠EBA，然后证得AD=AC，最后即可得出∠BAC=∠BEC=60°．【解题过程】（1）解：连接AD，如图，在等边△ABC中，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC=CA，∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=30°，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴AD=AC，∠DAC=∠DAP+∠BAP+∠BAC=120°，∴∠ACE+∠ADC+120°=180°，∠ACE=∠ADC+120°，∴∠ACE=30°，故答案为：30°；（2）解：补全图形如下：线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．证明：连接AD，EB，如图2．在等边△ABC中，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC=CA，∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD=AB，DE=BE，∴∠BDA=∠DBA，∠EDB=∠EBD，∴∠EDA=∠EBA，∵AB=AC，AB=AD，∴AD=AC，∴∠ADE=∠ACE，∴∠ABE=∠ACE．设AC，BE交于点F，又∵∠AFB=∠CFE，∴∠BAC=∠BEC=60°，结合：AB=BC，DE=BE，可知以线段AB，CE，ED构成的三角形必与△EBC全等，∵∠BEC=60°，∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．9．（2022秋·福建厦门·八年级厦门五缘实验学校校考期中）如图，∠MON=60°，点A、B分别是射线OM、射线ON上的动点，连接AB，∠AMB的角平分线与∠NBA的角平分线交于点P．（1）当OA=OB时，求证：AP∥OB；（2）在点A、B运动的过程中，∠P的大小是否发生改变？若不改变，请求出∠P的度数；若改变请说明理由；（3）连接OP，C是线段OP上的动点，D是线段OA上的动点，当S△AOB=12，OB=6时，求AC+CD的最小值．【思路点拨】（1）如图1，先证ΔAOB是等边三角形，再证∠PAB=∠ABO=60°，即可证得结论；（2）如图2，∠P的大小不变，∠P=60°．只需求出∠PAB+∠PBA的大小即可得结论；（3）如图3，过点A作AH⊥OB于H，过点P作PJ⊥ON于J，PK⊥OM于K，PI⊥ON于I，先证OP平分∠MON，作点D关于OP的对称点D′，连接CD′，证得AC+CD=AC+CD′≥AH，求出AH即可得到结论．【解题过程】（1）如图1∵∠MON=60°，OA=OB，∴ΔAOB是等边三角形，∴∠OAB=∠OBA=60°，∵∠BAM+∠OAB=180°，∴∠BAM=120°，∵AP平分∠MAB，∠MAB=60°，∴∠BAP=12∴∠BAP=∠OBA=60°，∴AP∥OB；（2）如图2，∠P的大小不变，∠P=60°．理由如下：∵∠MAB=∠MON+∠OBA，∠ABN=∠MON+∠OBA，∴∠MAB+∠ABN=∠MON+∠ABO+∠OAB+∠MON，∵∠MON+∠OAB+∠ABO=180°，∠MON=60°，∴∠MAB+∠ABN=180°+60°=240°，∵PA，PB分别平分∠MAB，∠ABN，∴∠PAB+∠PBA=1(∠MAB+∠ABN)=120°，2∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°−120°=60°；（3）如图3，过点A作AH⊥OB于H，过点P作PJ⊥ON于J，PK⊥OM于K，PI⊥ON于I，∵PA平分∠MAB，PJ⊥AB，PK⊥OM，∴PK=PJ，∵PB平分∠ABN，PJ⊥AB，PI⊥ON，∴PI=PJ，∴PI=PK，∴OP平分∠MON，作点D关于OP的对称点D′，连接CD，CD′，OB·AH=12，∵SΔAOB=12×6×AH=12，∴12∴AH=4，∵CD=CD′，∴AC+CD=AC+CD′≥AH，∴AC+CD≥4，∴AC+CD的最小值为4．10．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，△ABC为等腰三角形，AC=BC，△BDC和△AEC分别为等边三角形，AE与BD交于点F，连接CF并延长，交AB于点G．（1）求证：CG⊥AB；（2）如图2，点M为CE边上点，连接AM，且∠MAE=∠BAE．①证明：∠ACD=∠MAB；②若CD⊥CE，点P为线段AM上动点，若AB=3，求PC−PB的最大值．【思路点拨】（1）根据等腰三角形和等边三角形的性质得到∠FAG=∠FBG，推出AF=BF，求证△CFA≌△CFB(SSS)可得∠ACF=∠BCF，根据等腰三角形底边三线合一即可证明；（2）①设∠MAE=∠BAE=x，根据三角形的外角的性质得出∠ABC=60°+x，∠CMA=∠MAE+∠E=60°+x，根据三角形呢几何定理得出∠ACD=∠MAB；②作点B关于AM的对称点B′，连接CB′并延长交AM于点P，连接AB′，根据PC−PB=PC−PB′=B′C最大，证明△ABB′是等边三角形，进而得出BB′=CB′=AB=3，即可求解．【解题过程】（1）证明：∵CA=CB，∴∠CAB=∠CBA，∵△AEC和△BCD为等边三角形，∴∠CAE=∠CBD，∴∠FAG=∠FBG，∴AF=BF．在△CFA和△CFB中，AF=BFAC=BC，CF=CF∴△CFA≌△CFB(SSS)，∴∠ACF=∠BCF，∴AG=BG，∵CA=CB，∴CG⊥AB；（2）①设∠MAE=∠BAE=x由（1）可得AF=BF，则∠EAB=∠FBA=x 又∵∠CBD=60°∴∠ABC=60°+x,∵∠E=60°，∴∠CMA=∠MAE+∠E=60°+x∵∠MAB+∠CBA=∠BCM+∠CMA，∴∠MAB=∠BCM，∵∠DCB−∠ACB=∠ECA−∠ACB即∠ACD=∠BCM，∴∠ACD=∠MAB，②∵CD⊥CE∴∠DCE=90°∵∠DCB=∠ACE=60°∴∠DCA=∠ACB=∠BCE=30°∴∠CBA=∠CMA=75°，∠MAB=30°作点B关于AM的对称点B′，如图所示，连接CB′并延长交AM于点P，连接AB′此时PC−PB=PC−PB′=B′C最大，由①可得∠MAB=∠BCM∴∠BAB′=60°∵∠MAB=30°∴∠B′AM=30°∴∠B′AB=60°∴△ABB′是等边三角形∴∠ABB′=60°∴∠B′BC=∠ABC−60°=15°∠ACB=15°∵∠GCB=12∴BB′=CB′=AB=3即PC−PB的最大值为3．11．（2023春·四川成都·八年级校考期中）阅读下面材料：小胖同学遇到这样一个问题：如图1，点D为△ABC的边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，∠EDF=90°，试比较BE+CF与EF的大小．小胖通过探究发现，延长FD至点G，使得DG=DF，连接F′E和F′B，如图2：可以得到一对全等三角形和一个等腰三角形，从而解决问题．试回答：（1）小胖同学发现BE+CF与EF的大小关系是．（2）证明小胖发现的结论．（3）如图3，BC=3，∠BAC=30°，△ABC的面积为12，点D是边BC上一点（点D不与B、C两点重合），点E、F分别是边AB、AC上一点，求△DEF周长的最小值．【思路点拨】（1）根据三角形三边关系，即可求解．（2）过点B作BH∥CF，交FD的延长线于H，由“ASA”可证△BDH≌△CDF，可得BH=CF，DH=DF，由线段垂直平分线的性质可得EF=EH，由三边关系可求解；（3）作D关于AB和AC的对称点G和H，连接GH交AB于E，交AC于F，则DE+EF+DF=GE+EF+FH=GH=AD，△DEF周长的最小值就是AD的最小值，由点到直线的距离可得，当AD⊥BC时，AD最小，再根据面积，求解即可．【解题过程】（1）解：根据三角形三边关系可得：BE+CF>EF，故答案为：BE+CF>EF；（2）证明如下，过点B作BH∥CF，交FD的延长线于H，∴∠C=∠HBD，∵点D是BC的中点，∴BD=CD，在△BDH和△CDF中，∠C=∠HBDBD=CD，∠CDF=∠BDH∴△BDH≌△CDF(ASA)，∴BH=CF，DH=DF，∵∠EDF=90°，DH=DF，∴△EFH为等腰三角形，即EF=EH，在△BEH中，BE+BH＞EH，∴BE+CF>EF．（3）如图3，作D关于AB和AC的对称点G和H，连接GH交AB于E，交AC于F，由对称性得，∠GAE=∠BAD，∠HAC=∠CAD，GE=DE，FH=DF，AG=AD，AD=AH，∴DE+EF+DF=GE+EF+FH=GH，AG=AH，∠GAH=∠GAE+∠BAD+∠HAC+∠CAD=2∠BAD+2∠CAD=2(∠BAD+∠CAD)=2×30°=60°∴△AGH是正三角形，∴DE+EF+DF=GH=AD，∴△DEF周长的最小值就是AD的最小值，由点到直线的距离可得，当AD⊥BC时，AD最小，∵S△ABC=12×BC×AD=12×3×AD=12，∴AD=8，∴DE+EF+DF=8，∴△DEF的周长的最小值是8．12．（2023·广东广州·统考二模）在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，且EA=EC=ED．（1）如图1，当∠BAC=35°时，则∠AED=_________；（2）如图2，当∠BAC=60°时，①连接AD，判断△AED的形状，并证明；②直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE，P为直线CF上一动点．当PE−PD的值最大时，判断PE、PD与AB之间的数量关系，并证明．【思路点拨】（1）根据∠BAC=35°，∠B=90°即可得到∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠B+∠BAC=125°，根据EA=EC=ED得到∠ACE=∠EAC，∠EDC=∠ECD，结合三角形内角和定理即可得到答案；（2）①根据（1）得到∠AED，即可得到答案；②作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′，当点P在ED′的延长线上时，PE−PD的值最大，此时PE−PD=ED′，利用全等三角形的性质证明ED′=AC，即可得到答案；【解题过程】（1）解：∵∠BAC=35°，∠B=90°，∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠B+∠BAC=125°，∵EA=EC=ED，∴∠ACE=∠EAC，∠EDC=∠ECD，∴∠AEC=180°−2∠ACE，∠DEC=180°−2∠DCE，∴∠AED=AEC+∠DEC=360°−2∠ACE−2∠DCE=360°−2×125°=110°，故答案为：110°；（2）解：①∵∠BAC=60°，∠B=90°，∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠B+∠BAC=150°，∵EA=EC=ED，∴∠ACE=∠EAC，∠EDC=∠ECD，∴∠AEC=180°−2∠ACE，∠DEC=180°−2∠DCE，∴∠AED=AEC+∠DEC=360°−2∠ACE−2∠DCE=360°−2×150°=60°，∵EA=ED，∴△AED是等边三角形；②PE−PD=2AB，证明如下，作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′，，根据三角形任意两边之和大于第三边可得，当点P在ED′的延长线上时，PE−PD的值最大，∵D关于直线CF的对称点D′，∴PD=PD′，CD=CD′，∴PE−PD=ED′，∵∠AED=60°，∠CFD=∠CAE，∴∠ACF=360°−60°−180°=120°，∵∠ACD=150°，∴∠FCD=30°，∴∠D′CD=60°，∴∠D′CE=∠DCE−60°∵△AED是等边三角形，∴∠CDA=∠CDE−60°，∴∠CDA=∠D′CE，又∵CD=CD′，EC=ED，∴△CDA≌△D′CE(SAS)，∴AC=ED′，∵∠BAC=60°，∠B=90°，∴∠ACB=30°，∴AC=2AB，∴PE−PD=2AB．13．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B．点D与点C关于直线AB对称，连接AD，CD，CD交直线AB于点E．（1）当∠CAB=60°时，如图1．用等式表示，AD与AE的数量关系是：，BE与AE的数量关系是：；（2）当∠CAB是锐角(∠CAB≠60°)时，如图2；当∠CAB是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一种情况，①依题意补全图形；②用等式表示线段AD，AE，BE之间的数量关系，并证明．【思路点拨】（1）根据轴对称的性质，得出∠B=30°，∠ACE=90°−∠CAB=30°=∠ADE，根据含30度角的直角三角形的性质，得出AD =2AE ，AC =12AB ，进而得出BE =3AE ；（2）在图2，图3中任选一种情况，补全图形，根据等腰三角形的性质，分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：∵ ∠CAB =2∠B ，点D 与点C 关于直线AB 对称，∠CAB =60°∴ CD ⊥AB ，∠ACE =90°−∠CAB =30°=∠ADE ，∠B =30°，则∠ACB =90°∴ AD =2AE ，AC =12AB ，∴AE =12AC =14AB ，EB =AB−AE =34AB ，∴BE =3AE ．故答案为：AD =2AE ；BE =3AE ．（2）选择图2时．①补全图形如图2，图2②数量关系：AD =BE−AE ．证明：在EB 上取点F ，使FE =AE ，连接CF ．∵点C 与点D 关于直线AB 对称，∴CD ⊥AB ，CE =DE ．∴AD =AC ，AC =FC ．．∴AD =FC ， ∠CFA =∠CAB ．∵∠CAB=2∠B，∴∠CFA=2∠B．∵∠CFA=∠B+∠BCF，∴∠BCF=∠B．∴FC=FB．∴FB=AD．∵FB=BE−EF，∴AD=BE−AE．选择图3时．①补全图形如图3，图3-②数量关系：AD=BE+AE．证明：在BE的延长线上取点F，使FE=AE，连接FC．∵点C与点D关于直线AB对称，∴CD⊥AB，CE=DE．∴AD=AC，AC=FC．∴AD=FC，∠CFA=∠CAF．∵∠CAF+∠BAC=180°，∴∠CFA+∠BAC=180°．∵∠BAC=2∠B，∴∠CFA+2∠B=180°．∵∠CFA+∠B+∠BCF=180°，∴∠BCF=∠B．∴FC=FB．∴FB=AD．∵FB=BE+FE，∴AD=BE+AE．14．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，点D 是直线BC上一点，点 C 关于射线AD的对称点为点E．作直线BE交射线AD于点F．连接CF．（1）如图1，点 D 在线段BC上，求∠AFB的大小（用含α的代数式表示）；（2）如果∠α=60°，①如图2，当点D 在线段BC上时，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明；②如图3，当点D 在线段CB的延长线上时，补全图形，直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关系．【思路点拨】（1）连接AE、CE，由轴对称的性质可得AE=AC，EF=FC，∠EAD=∠CAD，设∠EAD=∠CAD=x，则∠CAE=2x，由等腰三角形的性质可得出结论；（2）①延长FB至点G，使FG=FA，连接AG，证明△AFG为等边三角形，由等边三角形的性质得出AG=AF，∠GAF=60°，证明△ABG≅△ACF，由全等三角形的性质得出BG=CF，即可得出结论；②在BE上取点G，使得FG=FA，连接AG，证明△AGE≅△AFB，由全等三角形的性质得出BF=EG，即可得出结论．【解题过程】（1）解：连接AE、CE，∵点E为点C关于AD的对称点，∴AE=AC，EF=FC，∠EAD=∠CAD，设∠EAD=∠CAD=x，则∠CAE=2x，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=α,∴∠BAE=180°−2x−2α，∴∠ABE+∠AEB=2x+2α，∵AE=AB，∴∠ABE=AEB=x+α，∴∠AFB=∠AEB−∠EAD=α；（2）解：①AF=BF+CF，延长FB至点G，使FG=FA，连接AG，∵AB=AC，∴∠ABC=α=60°，∴△ABC为等边三角形，∠BAC=60°，由（1）知，∠AFB=α=60°，∴△AFG 为等边三角形，∴AG =AF ，∠GAF =60°，∴∠GAB =∠FAC ，在△ABG 和△ACF 中，AG =AF ∠GAB =∠FAC AB =AC，∴△ABG≅△ACF (SAS )，∴BG =CF ，∴CF +BF =BG +BF =GF ，∵GF =AF ，∴AF =BF +CF ；②CF =AF +BF ，连接AE ，∵点E 为点C 关于AD 的对称点，∴AE =AC ，EF =FC ，∠EAD =∠CAD ，设∠EAD =∠CAD =x ，则∠CAE =2x ，∵AB =AC =AE ，∴∠ACB =∠ABC =∠BAC =60°，∴∠DAB =x−60°，∴∠EAB =x +x−60°=2x−60°，∵AE =AB ，∴∠ABE =∠AEB =180°−2x 60°2=120°−x ，∴∠AFE =∠DAB +∠ABE =x−60°+120°−x =60°，在BE 上取点G ，使得FG =FA ，连接AG ，∴△AFG为等边三角形，∴AG =AF ，∠GAF =60°，∴∠GAE =∠FAB =x−60°，在△AGE 和△AFB 中，AG =AF ∠GAE =∠FAB AE =AB， ∴△AGE≅△AFB (SAS )，∴BF =EG ，∴EF =EG +FG =BF +AF ，∴CF =EF =BF +AF ．15．（2023·全国·八年级专题练习）在直角三角形ABC 中，∠C =90°，点D ，E 分别在AB ，AC 上，将△DEA 沿DE 翻折，得到△DEF ．（1）如图①，若∠CED =70°，则∠CEF =______°；（2）如图②，∠BDF 的平分线交线段BC 于点G .若∠CED =∠BDG ，求证BC ∥DF ．（3）已知∠A =α，∠BDF 的平分线交直线BC 于点G .当△DEF 的其中一条边与BC 平行时，直接写出∠BGD 的度数（可用含α的式表示）．【思路点拨】（1）先求出∠AED=180°−∠CED=110°，再利用翻折即可得出答案；（2）根据角平分线的定义得出∠FDG=∠BDG，设∠FDG=∠BDG=β，则∠ADF=180°−2β，根据翻折得出∠ADE=∠FDE=90°−β，再求出∠EMD=180°−(∠EDF+∠DEC)=90°，即可得出结论；（3）分情况：①当ED∥BC，②当DF∥BC，③当EF∥BC，④当DF∥BC时，DF在AB的下方，⑤当EF∥BC 时，F在AB的下方，分别求解即可．【解题过程】（1）解：∵∠CED=70°，∴∠AED=180°−∠CED=110°，∵翻折，∴∠AED=∠DEF=110°，∴∠CEF=∠FED−∠CED=110°−70°=40°，故答案为：40；（2）解：∵∠BDF的平分线交线段BC于点G，∴∠FDG=∠BDG，∵∠CED=∠BDG，设∠FDG=∠BDG=β，∴∠ADF=180°−∠BDF=180°−2β，∵翻折，∠ADF=90°−β，∴∠ADE=∠FDE=12∴∠EDF+∠DEC=90°−β+β=90°，∴∠EMD=180°−(∠EDF+∠DEC)=90°，∵∠C=90°，∴BC∥DF；（3）解：①当ED∥BC，如图①所示：∴∠1=∠C=90°，∵∠A=α，∴∠2=180°−∠2−∠A=90°−α，∵翻折，∴∠3=∠2=90°−α，∴∠FDB=180°−∠2−∠3=2α，∵∠BDF的平分线交线段BC于点G，∠BDF=α，∴∠4=12∵∠B=90°−α，∴∠BGD=180°−∠B−∠4=90°；②当DF∥BC，如图②所示：∴∠1=∠C =90°，∴∠ADF =180°−∠1−∠A =90°−α，∴∠FDB =180°−∠ADF =90°+α，∵∠BDF 的平分线交线段BC 于点G ，∴∠2=12∠BDF =45°+12α，∵∠B =90°−α，∴∠BGD =180°−∠B−∠2=45°+12α；③当EF ∥BC ，如图③所示：∴∠1=∠C =90°，∵翻折，∠F =∠A =α，∴∠2=∠1+∠F =90°+α，∴∠FDB =∠A +∠2=90°+2α，∵∠BDF 的平分线交线段BC 于点G ，∴∠GDB =12∠BDF =45°+α，∵∠B =90°−α，∴∠BGD =180°−∠B−∠GDB =45°；④当DF ∥BC 时，DF 在AB 的下方，如图④所示：∴∠FDB =∠A =90°−α，∵∠BDF 的平分线交线段BC 于点G ，∴∠GDB =12∠BDF =45°−12α，∴∠BGD =∠1−∠GDB =45°−12α；⑤当EF ∥BC 时，F 在AB 的下方，如图⑤所示：∴∠1=∠2=90°−α，∵翻折，∠F =∠A =α，∴∠FDB =∠1−∠F =90°−2α，∵∠BDF 的平分线交线段BC 于点G ，∴∠GDB =12∠BDF =45°−α，∴∠BGD =∠2−∠GDB =45°；综上所述，∠BGD =90°或∠BGD =45°+12α或∠BGD =45°或∠BGD =45°−12α．16．（2022秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，等边△ABC 中，过点A 在AB 边的右侧作射线AP ，∠BAP ＝α (30°＜α＜90°)，点B 与点E 关于直线AP 对称，连接AE ，BE ，且BE 交射线AP 于点D ，过C 、E 两点作直线交射线AP 于点F ．（1）当α＝40°时，求∠AEC的度数；（2）在α变换过程中，∠AFE的大小是否发生变化？如果变化，写出变化的范围，如果不变化，求∠AFE的大小；（3）在α变化过程中，直接写出线段AF，CF，DF之间的数量关系．【思路点拨】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=BC=AC，根据轴对称的性质得到BD=DE，BE ⊥AP，求得AB=BC=AC=AE，得到∠AEC=∠ACE=180°−∠CAE；2（1）当∠BAP＝α＝40°时，如图1．得到∠BAD＝∠EAD＝40°，求得∠CAE＝∠BAD+∠EAD−∠BAC＝20°，于是得到∠AEC＝∠ACE＝80°；（2）①当30°<α≤90°时，60°<2α≤180°，D，F在射线AP上，如图1．得到∠BAD=∠EAD=α，求得∠CAE=∠BAD+∠EAD−∠BAC＝2α−60°，于是得到∠AFE=180°−∠AEC−∠EAD=60°；②当90°<α<120°时，180°<2α<240°，D，F在点A的两侧，如图2．根据轴对称的性质得到BD=DE，BE⊥AP，求得∠BAD＝∠EAD，AB＝AE，根据等边三角形的性质得到∠EAP=∠BAP=α，AB=AC，求得∠CAE=2α−60°，于是得到∠AFE=180°−∠AEC−∠EAP=60°；（3）连接BF，在FA上截取FH=FC，连接CH．由（2）知∠AFE=60°，根据等边三角形的性质得到∠HFC=∠FHC=∠HCF=60°，HF=FC=HC，根据线段垂直平分线的性质得到BF=EF，∠FDE=90°，于是得到EF=2DF =BF；①当30°<α≤60°时，如图3．根据全等三角形的性质得到AH＝BF．求得AF=AH+HF=2DF+CF；②当60°<α<120°时，如图4．得到∠ACB+∠ACF+∠HCF+∠ACF，根据全等三角形的性质得到AH=BF．求得AF=AH−HF=2DF−CF．【解题过程】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB＝BC＝AC，∵点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D，∴BD=DE，BE⊥AP，∴AB=AE，∠BAD=∠EAD，∴AB=BC=AC=AE，∴∠AEC=∠ACE=180°−∠CAE；2当∠BAP=α=40°时，如图1．∴∠BAD=∠EAD=40°，∴∠CAE=∠BAD+∠EAD−∠BAC=20°，∴∠AEC=∠ACE=80°；（2）当30°<α≤90°时，60°<2α≤180°，D，F在射线AP上，如图1．∴∠BAD=∠EAD=α，∴∠CAE=∠BAD+∠EAD−∠BAC=2α−60°，∴∠AEC=∠ACE=120°−α，∴∠AFE=180°−∠AEC−∠EAD=60°；当90°<α<120°时，180°<2α<240°，D，F在点A的两侧，如图2．∵点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D，∴BD=DE，BE⊥AP，∴∠BAD=∠EAD，AB=AE，∵等边△ABC，∠BAP=α，∴∠EAP=∠BAP＝α，AB=AC，∴∠CAE=2α−60°，∴∠AEC=∠ACE=120°−α，∴∠AFE=180°−∠AEC−∠EAP=60°；∴综上所述，当30°<α<120°时，∠AFE＝60°；（3）①当30°<α≤60°时，AF=2DF+CF，②当60°<α≤90°时，AF=2DF−CF，理由如下：连接BF，在FA上截取FH＝FC，连接CH．由（2）知∠AFE＝60°，∴△HFC是等边三角形，∴∠HFC=∠FHC=∠HCF=60°，HF=FC=HC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，BC=AC．∵点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D，∴AP为BE中垂线，∴BF=EF，∠FDE=90°，又有∠AFE=60°，∴∠DEF=90°−∠AFE=30°，∴EF=2DF=BF；①当30°<α≤60°时，如图3．∴∠ACB−∠HCB=∠HCF−∠HCB，∴∠ACH=∠BCF，∴△ACH≌△BCF(SAS)，∴AH=BF．∴AH=BF=EF=2DF，∴AF=AH+HF=2DF+CF；②当60°<α<120°时，如图4．∴∠ACB+∠ACF=∠HCF+∠ACF，∴∠BCF=∠ACH，∴△BCF≌△ACH(SAS)，∴AH=BF．∴AH=BF=EF=2DF，∴AF=AH−HF=2DF−CF，综上所述，①当30°<α≤60°时，AF=2DF+CF，②当60°<α≤90°时，AF=2DF−CF．17．（2022秋·吉林松原·八年级统考期中）如图①，在△ABD中，∠ABD=90°，∠A=60°，AB=2cm，以BD为直角边在BD的上方作直角三角形BCD，使∠BDC=90°，且BC∥AD，点E是AD的中点，点P从点A出发，沿折线AB−BC以1cm/s的速度向终点C运动，连接PE，设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）用含t的式子表示PB的长；（3）当PE 将四边形ABCD 的周长分成2:3两部分时，求t 的值；（4）如图②，在点P 运动的过程中，作点A 关于直线PE 的对称点A ′，连接A ′E ，当A ′E 所在直线与四边形ABCD 的边垂直时，请直接写出∠AEP 的度数．【思路点拨】（1）易证∠ABD =∠CDB ，再由平行线的性质得到∠ADB =∠CBD ，然后由ASA 得到△ABD≌△CDB 即可；（2）先由含30°角直角三角形的性质得AD =2AB =2×2=4cm ，当点P 在AB 上运动时，则PB =(2−t )cm ，当点P 在BC 上运动时，PB =(t−2)cm ；（3）先求出四边形ABCD 的周长为12cm ，AE =12AD =12×4=2cm ，再由PE 将四边形ABCD 的周长分成2：3两部分可列方程2+t =12×25或2+t =12×35，即可求解；（4）先证∠AEP =∠A ′EP =12∠AEA ′，再分四种情况讨论：当A ′E ⊥AB ，且点P 在AB 上时；当A ′E ⊥AD ，且点P 在AB 上时；当A ′E ⊥AB ，且点P 在BC 上时；当A ′E ⊥AD ，且点P 在BC 上时；分别求出相应的∠AEP 的度数即可．【解题过程】（1）证明：∵∠ABD =90°，∠BDC =90°，∴∠ABD =∠CDB ，∵BC∥AD ，∴∠ADB =∠CBD ，在△ABD 和△CDB 中，∠ABD =∠CDB BD =BD ∠ADB =∠CBD，∴△ABD≌△CDB （ASA ）；（2）解：∵∠ABD =90°，∠A =60°，∴∠ADB =90°−60°=30°，∴AB =12AD ，∴AD =2AB =2×2=4（cm ），∵△ABD≌△CDB ，∴BC =AD =4cm ，∴AB +BC =2+4=6（cm ），∴当0≤t ≤2时，PB =(2−t )cm ；当2＜t ≤6时，PB =(t−2)cm ；（3）解：∵△ABD≌△CDB ，∴CD =AB =2cm ，∴AB +CB +CD +AD =2×2+4×2=12（cm ），∵E 为AD 的中点，∴AE =12AD =12×4=2（cm ），∵PE 将四边形ABCD 的周长分成2:3两部分，∴2+t =12×25或2+t =12×35，解得：t =145或t =265；（4）解：∵点A ′与点A 关于直线PE 成轴对称，∴点P 、点E 都在对称轴上，∴△PA ′E 与△PAE 关于直线PE 成轴对称，∴∠AEP =∠A ′EP =12∠AEA ′，当A ′E ⊥AB ，且点P 在AB 上时，如图②所示：∵∠A =60°，∴∠AEA ′=30°，∴∠AEP =12×30°=15°；当A ′E ⊥AD ，且点P 在AB 上时，如图③所示：∵∠AEA ′=90°，∴∠AEP=1×90°=45°；2当A′E⊥AB，且点P在BC上时，如图④所示：延长A′E交AB于点F，则∠AFE=90°，∵∠BAD=60°，∴∠AEF=30°，∴∠AEA′=180°−30°=150°，×(360°−150°)=105°，∴∠AEP=12当A′E⊥AD，且点P在BC上时，如图⑤所示：∵∠AEA′=90°，×(360°−90°)=135°，∴∠AEP=12综上所述，∠AEP的度数为15°或45°或105°或135°．18．（2023秋·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上一点，连结CD，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E．（1）如图1，若∠BCE=2∠DBE，BE=4，求△ABC的面积；（2）如图2，延长EB到点F使EF=CE，分别连结CF，AF，AF交EC于点G．求证：BF=2EG．（3）如图3，若AC=AD，点M是直线AC上的一个动点，连结MD，将线段MD绕点D顺时针方向旋转90°得到线段M′D，点P是AC边上一点，AP=3PC，Q是线段CD上的一个动点，连结PQ，QM′．当PQ+QM′的值最小时，请直接写出∠PQM′的度数．【思路点拨】（1）过点C作CF⊥AB于点F，利用8字型图，得到∠DCF=∠DBE，易得∠BCE=30°，从而得到AC=BC=2BE=8，再利用面积公式进行计算即可；（2）延长FE到T，使ET=EF，连接AT和CT，证明△ACT≌△BCF(SAS)，得到AT=BF，连接TG，推出△AGT 是等腰三角形，过点G作GM⊥AT，得到AT=2MT，根据平行线间距离处处相等，得到MT=EG，从而得到AT=2GE，即可得证；（3）过点D作DE⊥AB交AC的延长线于点E，作点P关于CD的对称点P′，连接AM′,CP′,QP′,P′M′，证明△MDE≌△M′DA(SAS)，推出点M在直线AC上运动时，点M′在过点A且垂直于AC的直线上运动，根据轴对称和三角形的三边关系以及垂线段最短，得到P′Q＋QM′≥P′M′，得到P′,Q,M′三点共线时，且P′M′⊥AM′时，PQ+QM′有最小值，根据P′M′⊥BC，P′M′∥AC，求出∠CP′M′=45°，证明PQ∥CP′，进而得到∠PQM′=∠C P′M′，即可得出结论．【解题过程】（1）如图1，过点C作CF⊥AB于点F，∵∠ACB=90°,AC=BC，∴∠ABC=∠A=45°，∵CF⊥AB,BE⊥CD，∴∠CFD=∠E=90°，∠BCF=45°，∵∠CDF=∠BDE，∵∠DCF=180°−∠CFD−∠FDC,∠DBE=180°−∠BED−∠BDE，∴∠DCF=∠DBE，∵∠BCE=2∠DBE，∠BCE+∠DCF=∠BCF=45°，。
将军饮马(海淀)(学生版)+(详解版)
答案 B
解析 由题意知
为
周长最小值，
∵
， 为 中点，
∴
，
∵
， 为 中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
的周长最小为
．
考点 三角形 > 三角形及多边形 > 与三角形有关的线段 > 题型：求三角形周长的取值范围
4 2017~2018学年北京海淀区理工附中初二上学期期中第10题3分
如图，在平面直角坐标系中，直线 是第一、三象限的角平分线．已知两点
(1) 在坐标系中画出 、 两点的位置． (2) 画出点 的位置． (3) 求出点 的坐标．
11 2017~2018学年北京海淀区101中学初二上学期期中第23题 如图，在一块三角形区域 中，一只蚂蚁 停留在 边上，它现在从 点出发，先爬到 边上 的点 ，再从点 爬到 边上的点 ，然后再回到 点，请在图上作出 、 点，使得蚂蚁爬行 的路程最短．
答案
(1) 画图见解析．
(2) 画图见解析．
(3)
．
解析
(1)
(2)
(3) 过点 作
轴于 ，
∵
，
∴
，
，
又∵
，
∴点 关于 轴的对称点
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
也为等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
考点 函数 > 平面直角坐标系 > 点的坐标特征 11 2017~2018学年北京海淀区101中学初二上学期期中第23题
如图，在
中，
，
，面积是 ， 的垂直平分线 分别交 ， 边于 ，
将军饮马问题专练练习附答案
将军饮马问题专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知线段AB及直线l，在直线l上确定一点P，使PA PB最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：∵点A，B在直线l的同侧，∵作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，∵P A+PB=PB′+P A=AB′为最小故选：C．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离最短的方法是解题的关键．2．如图，等边∵ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）AB ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】连接BE ，交AD 于点M ，过点E 作EF ∵BC 交于点F ，此时EM ＋CM 的值最小，求出BE 即可．【详解】解：连接BE ，交AD 于点M ，过点E 作EF ∵BC 交于点F ，∵∵ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，∵B 点与C 点关于AD 对称，∵BM ＝CM ，∵EM ＋CM ＝EM ＋BM ＝BE ，此时EM ＋CM 的值最小，∵AC ＝6，AE ＝2，∵EC ＝4，在Rt ∵EFC 中，∵ECF ＝60°，∵FC ＝2，EF ＝在Rt ∵BEF 中，BF ＝4，∵BE ＝故选：C ．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键．3．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（）A．4B．4.5C．5.5D．5【答案】D【解析】【分析】连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∵点B与点D关于直线AC对称，连接BE，交AC于点N'，连接DN'，∵DN'=BN'，DN'+EN'=BN'+ EN' BD，则BE的长即为DP+PE的最小值，∵AC是线段BD的垂直平分线，又∵CE=CD-DE=4-1=3，在Rt∵BCE中，BE2=CE2+BC2=25，∵BE＞0，∵BE=5，即DP+PE的最小值为5，故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键．二、填空题4．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【解析】【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∵AP+BP＝A'P+BP＝A'B，此时P点到A、B的距离最小，∵A（0，3），∵A'（0，﹣3），∵B（6，5），5-（-3）=8，6-0=6∵A'B，∵P点到A、B的距离最小值为10，故答案为：10．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离是解题的关键．5．如图，在等边∵ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．【答案】6【解析】【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵∵ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，∵点E关于AD的对应点为点F，∵CF就是EP+CP的最小值．∵∵ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∵F是AB的中点，∵CF=AD=6，即EP+CP的最小值为6，故答案为6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．6．已知点(1,1)A ，(3,5)B ，在x 轴上的点C ，使得AC BC +最小，则点C 的横坐标为_______． 【答案】43【解析】【分析】作点A 关于x 轴的对称点A '，连接A 'B ，与x 轴的交点即为点C ，连接AC ，则AC ＋BC 的最小值等于A 'B 的长，利用待定系数法求得直线A 'B 的解析式，即可得到点C 的坐标．【详解】解：如图所示，作点A 关于x 轴的对称点A '，连接A 'B ，与x 轴的交点即为点C ， 连接AC ，则AC ＋BC 的最小值等于A 'B 的长，∵A （1，1），∵A '（1，−1），设直线A 'B 的解析式为y ＝kx ＋b （k ≠0），把A '（1，−1），B （3，5）代入得153k b k b -=+⎧⎨=+⎩， 解得34k b =⎧⎨=-⎩， ∵y ＝3x −4，当y ＝0时，x ＝43， ∵点C 的横坐标为43， 故答案为：43．【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．如图，一牧童在A 处放羊，牧童的家在B 处，A 、B 距河岸的距离AC 、BD 分别为500m 和700m ，且C 、D 两地相距500m ，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走______m ．【答案】1300【解析】【分析】本题可以把两线段的和最小的问题转化为两点之间线段最短的问题解决．转化的方法是作A 关于CD 的对称点，求解对称点与B 之间的距离即可．【详解】解：作A 关于CD 的对称点E ，连接BE ，并作BF AC ⊥于点F ．则5007001200EF BD AC m =+=+=，500BF CD m ==．在Rt BEF △中，根据勾股定理得：1300BE 米． 故答案为：1300．【点睛】此题的难点在于确定点P 的位置，能够根据轴对称的知识正确作图．三、解答题8．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,5)A ，(2,1)B ，(6,1)C ．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；(2)在x 轴上找一点P ，使PB PC 的值最小（保留作图痕迹），并写出点P 的坐标．【答案】(1)见解析；(2)见解析，P 的坐标为(4,0)．【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质结合坐标系，分别确定点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，即可作出111A B C △；（2）作出点B 关于x 轴的对称点B 2，连接B 2C ，交x 轴于P ，点P 即为所求做的点．(1)解：解：（1）如图所示，111A B C △即为ABC 关于y 轴对称的三角形．(2)解：如图所示，点P即为所求做的点，点P的坐标为(4,0)．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称图形，将军饮马问题，熟知轴对称的性质是解题关键，注意坐标系中两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点．（1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小；（2）若点P为AB的中点，当∵BPE满足什么条件时，△ABC是等边三角形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）∵BPE=90°，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC，再根据两点间线段最短的性质，连接CP交AD于点E，并连接BE，即可得解；（2）因为P 为AB 的中点，要使∵ABC 是等边三角形，则需BC =AB ，根据等腰三角形三线合一的性质，所以CP ∵AB ，即∵BPE =90°．【详解】解：（1）如图，连接CP 交AB 于点E ，则点E 为所求；（2）∵BPE =90° ，理由如下：∵∵BPE =90°∵CP ∵AB ，∵点P 为AB 的中点，∵CP 垂直平分AB∵CA =CB∵AB =AC∵AB =AC =BC∵∵ABC 是等边三角形【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及对称、两点间线段最短、线段中垂线定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．10．如图，铁路上A 、B 两站相距8km ，C 、D 为两个村庄，AC AB ⊥，BD AB ⊥，垂足分别为A 、B ，已知2km AC =，4km BD =，现在要在铁路AB 上修建一个中转站P ，使得P 到C 、D 两村的距离和最短．请在图中画出P 点的位置，并求出PC PD +的最小值．【答案】图见解析，10cm【解析】【分析】试卷第11页，共11页 根据轴对称求最短路线作出C 点对称点C ′，连接C′D 即可得出P 点位置，再利用勾股定理得出C′D 即为收购站P 到C 、D 两村庄的距离和最小值．【详解】解：作C 点关于AB 的对称点C '，连接C D '与AB 的交点就是P 点过C '作C E DB '⊥的延长线于点E则2BE AC AC '===，8C E AB '==∵6DE BD BE =+=在Rt DEC '中2222268100C D DE C E =+'='=+∵10C D '=∵PC PD +的最小值为10cm ．【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路线问题，根据已知得出P 点位置是解题关键．。
轴对称之将军饮马五大模型重难点题型归纳(学生版)-初中数学
轴对称之将军饮马五大模型重难点题型归纳目录解题知识必备压轴题型讲练类型一、“2定点1动点”作图问题类型二、“2定点1动点”求周长最小值问题类型三、“2定点1动点”求线段最小值问题类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题类型五、“1定点2动点”-角度问题压轴能力测评(11题)基本图模1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使P A+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,P A+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，P A+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得P A+PB值最小(或△ABP的周长最小)解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线性质得：P A=P A´，要使P A+PB最小，则需P A´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.类型一、“2定点1动点”作图问题1.如图，在平面直角坐标系中，点A4,4．，B2,-4(1)若点A关于x轴、y轴的对称点分别是点C，D，请分别描出点C，D并写出点C，D的坐标；(2)在y轴上求作一点P，使P A+PB最小．(不写作法，保留作图痕迹)2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点(不写作法，但要保留作图痕迹)．3.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A-5,1．，B-4,4，C-1,-1(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1的坐标；(2)已知点D2,2，请在x轴上找到一点P且PB+PD的值最小(作图)．4.如图，阳光明媚的周六，小明在学校(A)练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里(B)．请画出小明行走的最短路径．5.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()A.6B.8C.10D.166.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4，EF垂直平分BC，交AC于点D，则△ABP周长的最小值是()A.12B.6C.7D.87.如图，等腰△ABC的底边BC=4cm，面积为8cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为多少？()A.4B.6C.8D.108.如图：等腰△ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为．9.已知，等腰△ABC中，AB=AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC=5，BD=3，AD=4，那么线段BE+EF的最小值是()A.5B.3C.D.7210.如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为．11.如图，△ABC的面积为14，AB=AC，BC=4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为．12.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，△ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为()A.21B.7C.4D.2类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB，AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是．14.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长为．15.如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB=AC=10，AD=8，BC=12．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为()A.10B.12.8C.12D.9.616.如图，在△ABC中，AB=AC=5，AD⊥BC于点D，AD=4，BD=3，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是．类型五、“1定点2动点”-角度问题17.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=142°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.76°B.84°C.96°D.109°18.如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB=BC，AE=DE，∠BCD+∠CDE=230°，点P，Q分别在边BC，DE上，连接AP，AQ，PQ，当△APQ的周长最小时，∠P AQ的度数为()A.50°B.80°C.100°D.130°19.如图，四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°，M，N分别是AB，AD上的点，当△CMN的周长最小时，则∠MCN的度数为()A.40°B.80°C.90°D.100°20.如图，四边形ABCD中，∠C=62°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为．21.如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°22.如图，直线l是一条河，A、B是两个新农村定居点，欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是()A. B.C. D.23.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点M，N分别是线段BD、BC上一动点，AB>BD且S△ABC=10，AB=5，则CM+MN的最小值为．24.如图，AD是等边△ABC的中线，点E，F分别是AD,AC上的动点，当EC+EF最小时∠ACE的度数为．25.如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．26.如图，钝角三角形ABC的面积为12，最长边AB=6，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为27.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM=°28.如图，∠AOB=30°，M，N分别为射线OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，连接PM，PN，MN．若OP=5，则△PMN周长的最小值为．29.如图，等边△ABC和等边△A B C的边长都是4，点B，C，B 在同一条直线上，点P在线段A C上，则AP+BP的最小值为．30.如图所示，在△ABC中，AB=AC，直线EF是线段AB的垂直平分线，点D是线段BC的中点，点P是直线EF上一个动点．若△ABC的面积为48，BC=12，则△PBD周长的最小值是．31.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A1,1,C3,4．,B4,2(1)若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，请在网格中画出△A1B1C1(2)写出△A1B1C1三顶点坐标：A1，B1，C1；(3)若点P为x轴上一点，使P A+PB最小(保留作图痕迹)．32.如图所示，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．。
将军饮马问题及轴对称
【例 1】下列” 表情”中属于轴对称图形的是()
A．B．C．D．
【解析】C
【例 2】(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是()
A．B．C．D．
【解析】Ｄ
【例 3】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．
【解析】轴对称图形：1，3，4，6，8，10
【解析】见右上图．
【例21】(2000年全国数学联赛)如图，设正 的边长为2， 是 边上的中点， 是 边上的任意一点， 的最大值和最小值分别记为 和 ．求 的值．
【解析】作点 关于 的对称点 ，连接 、 ．
由点 、 关于 对称可知， ．
故
当且仅当 、 、 共线时，等号成立，故 ．
另外两个临界位置在点 和点 处．
【解析】见右上图．
【例24】(07年三帆中学期中试题)如图，正方形 中， ， 是 上的一点，且 ， 是 上的一动点，求 的最小值与最大值．
【解析】找点 关于 的对称点，
由正方形的性质可知， 就是点 关于 的对称点，
连接 、 ，由 可知，
当且仅当 、 、 三点共线时， 的值最小，该最小值为 ．
当点 在 上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：
【解析】①②③
【例13】(2003南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)．
【解析】答案见右上图．
板块二、轴对称的应用
【例14】如图， 和 关于直线 对称，且 ， ，求 的度数和 的长．
【解析】∵ 和 关于直线 成轴对称
【解析】因为是两边所在的直线，所以有两个外角平分线与线段 的垂直平分线的交点
轴对称中的最值模型问题(将军饮马)重难点题型专训(学生版)-初中数学
轴对称中的最值模型问题(将军饮马等)重难点题型专训题型一将军饮马之线段和最值题型二将军饮马之线段差最值题型三将军饮马之两定一动最值题型四三点共线最大值题型五双对称关系求周长最小值题型六两定两动型最值题型七两动一定最值题型八费马点最值问题将军饮马中最短路径问题四大模型一两定点在直线的异侧问题1作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A+PB 的和最小。
连接AB ，与直线l 的交点P 即为所求。
两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和最小。
二两定点在直线的同侧问题2：将军饮马作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A +PB 的和最小。
作B 关于直线l 的对称点C ，连AC ，与直线l 的交点P 即为所求。
化折为直；两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和AC 最小。
三两动点一定点问题问题3：两个动点作法图形原理作P 关于OA 的对称点P 1，作P 关于OB 的对称两点之间，线段最短，此时PC +PD +CD点P 在锐角∠AOB 的内部，在OA 边上找一点C ,在OB 边上找一点D ,,使得PC +PD +CD 的和最小。
点P 2，连接P 1P 2。
的和最小。
四造桥选址问题问题4：造桥选址作法图形原理直线m ∥n ，在m ，n 上分别求点M 、N ，使MN ⊥m ，MN ⊥n ，且AM +MN +BN 的和最小。
将点A 乡向下平移MN 的长度得A 1，连A 1B ，交n 于点N ，过N作NM ⊥m 于M 。
两点之间，线段最短，此时AM +MN +BN 的最小值为A 1B +MN 。
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练．勾股定理公式：a 2+b 2=c 2【经典例题一将军饮马之线段和最值】1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E 、F ，画直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点，若BC =5，△ABC 的面积为15，则BM +MD 的最小长度为()A.5B.6C.7D.82.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠BAC，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.1.2B.2.4C.4.8D.9.63.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是．4.唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题．(1)如图2，作点B关于直线l的对称点B ，连接AB 与直线l交于点C，点C就是所求的位置．理由：如图3，在直线l上另取不同于点C的任一点C ，连接AC ，BC ，B C ，因为点B、B 关于直线l对称，点C、C 在直线l上，所以CB=，C B=，所以AC+CB=AC+CB =，在△AC B 中，依据，可得AB <AC +C B ，所以AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(2)迁移应用：如图4，△ABC是等边三角形，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，AD=6，M是AD上的一个动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是．【经典例题二将军饮马之线段差最值】5.如图，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延长线段BC至点D，使CD=BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当AM-DN的值最大时，∠ACE的度数为．6.如图，AB⎳DP，E为DP上一动点，AB=CB=CD，过A作AN⊥EC交直线EC于N，过D作DM ⊥EC交直线EC于点M，若∠B=114°，当AN-DM的值最大时，则∠ACE=．7.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知△ABC的顶点均在格点上．(1)画出格点三角形ABC关于直线DE对称的△A B C ；(2)△A B C 的面积是(3)在直线DE上找出点P，使P A-PC最大，并求出最大值为．(保留作图痕迹)8.如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．(1)画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线MN对称；(2)在直线MN上画出点D，使∠BDM=∠CDN．(3)在直线MN上画出点P，使P A-PC最大．【经典例题三将军饮马之两定一动最值】9.小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在( )．A. B.C. D.10.(2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习)如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是．12.(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，(1)求BC的长；(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出P A+PC的最小值为．【经典例题四三点共线最大值】13.如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A-PB的最大值为.14.如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=10，M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值为()A.12B.15C.18D.2015.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,M在△ABC的内部，∠ACM=4∠BCM，P为射线CM上一点，当|P A-PB|最大时，∠CBP的度数是．16.如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．(2)若以N点为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为0，5，则△ABC关于x轴对称△A2B2C2，写出点A2,C2的坐标．(3)在直线MN上找点P使PB-P A的最大值．最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出PB-P A【经典例题五双对称关系求周长最小值】17.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°18.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF=()A.110°B.112°C.114°D.116°19.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=9cm，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为．20.在草原上有两条交叉且笔直的公路OA、OB，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，∠AOB=30°，OP=6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．21.几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A ，连接A B，则A B与直线l的交点即为P，且P A+PB的最小值为线段A B的长．(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；(2)应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点(不同于点O)，使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；②如图3，∠AOB=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．22.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=AB=4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM+MN+EN的最小值是．23.如图，在等边△ABC中，AC=12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP=5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为．【经典例题七两动一定最值】24.如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．25.如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是()A.BC边上高的长B.线段EF的长度C.BC边的长度D.以上都不对26.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则AP+PQ的最小值等于()A.4B.245C.5 D.48527.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是．【经典例题八费马点最值问题】28.【问题提出】(1)如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则△BMN的形状是．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．【问题解决】(3)如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE，求三条路的长度和(即AE+ BE+CE)最小时，平行四边形公园ABCD的面积．29.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点(Fermat po int)．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=()A.6B.32+6C.63D.930.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+OB+OC=18，则这个等边三角形的高的长度为；(2)如图2，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：点P是△ABC的费马点；(3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求．31.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是高为3的等边△ABC的费马点，则OA+OB+OC=；(2)如图2，已知P是等边△ABD外一点，且∠APB=120°，请探究线段P A，PB，PD之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：①点P是△ABC的费马点；②P A+PB+PC=CD．32.若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，P A+PB+PC的值最小．(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到△ACP 处，连接PP ，此时△ACP ≌△ABP，这样就可以通过旋转变换，将三条线段P A，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=．(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠P AC，求证：BE=P A+PB+PC．(3)如图4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出P A+PB+PC的值．33.(2024八年级上·浙江·专题练习)如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接P A、PE，若P A+PE最小，则点P应该满足()A.P A=PCB.P A=PEC.∠APE=90°D.∠APC=∠DPE34.(24-25八年级上·全国·课后作业)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,CD⊥AD，P是CD边上的一动点，要使P A+PB的值最小，则点P应满足的条件是()A.P A=PBB.PC=PDC.∠APB=90°D.∠BPC=∠APD35.(23-24八年级下·四川巴中·期末)如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC=5，△ABC 的面积为15，则BM+MD的最小长度为()A.5B.6C.7D.836.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.60°B.120°C.90°D.45°37.(23-24八年级上·湖南湘西·期末)在某草原上，有两条交叉且笔直的公路OA、OB，如图，∠AOB=30°，在两条公路之间的点P处有一个草场，OP=4．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，存在M、N使得△PMN的周长最小．则△PMN周长的最小值是( )．A.4B.6C.8D.1238.(22-23八年级下·福建漳州·期中)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=18，D是BC中点，EF垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为()A.3B.6C.9D.1239.(23-24八年级上·福建福州·期中)在平面直角坐标系xOy中，A0,4，动点B在x轴上，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转60°至AC，连接OC，则线段OC长度最小为()A.0B.1C.2D.340.(22-23七年级下·山东济南·阶段练习)如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°41.(21-22八年级上·四川广元·期末)如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2CD，在AD上找一点P，使PC+PB的值最小；则PC+PB的最小值为()A.4B.3C.5D.642.(21-22八年级上·广东广州·期中)在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，点P 是边AC 上一定点，此时分别在边AB ，BC 上存在点M ，N 使得△PMN 周长最小且为等腰三角形，则此时AP PC 的值为()A.12B.1C.32D.243.(2024七年级下·全国·专题练习)如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =5，S △ABC =15，AD ⊥BC 于点D ，EF 垂直平分AB ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB +PD 最小，则这个最小值为．44.(23-24七年级下·陕西西安·阶段练习)如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使△AMN 周长最小，此时∠MAN =80°，则∠BAD 的度数为．45.(23-24七年级下·山东济南·期末)在草原上有两条交叉且笔直的公路OA 、OB ，在两条公路之间的点P 处有一个草场，如图，∠AOB =30°，OP =6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．46.(22-23七年级下·广东河源·期末)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF周长最小，此时∠EDF=．47.(22-23八年级上·广东东莞·期中)如图，点A-2，1，点P是在x轴上，且使P A+PB最小，写，B2，3出点P的坐标．48.(22-23八年级上·湖南岳阳·期中)如图，直线l垂直平分△ABC的AB边，在直线l上任取一动点O，连结OA、OB、OC．若OA=5，则OB=．若AC=9，BC=6，则△BOC的最小周长是．49.(22-23八年级上·四川绵阳·期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是0,2，点B在x轴的负半轴上且∠ABO=30°，点P与点O关于直线AB对称，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为．50.(22-23八年级上·海南海口·期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小．此时∠EDF的大小是．51.(22-23八年级上·湖北黄石·期末)如图，已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM=103cm，现要在OC,OA上分别找点Q，N，使QM+QN最小，则其最小值为cm．52.(21-22八年级上·福建厦门·期末)小河的两条河岸线a∥b，在河岸线a的同侧有A、B两个村庄，考虑到施工安全，供水部门计划在岸线b上寻找一处点Q建设一座水泵站，并铺设水管PQ，并经由P A、PB 跨河向两村供水，其中QP⊥a于点P.为了节约经费，聪明的建设者们已将水泵站Q点定好了如图位置(仅为示意图)，能使三条水管长PQ+P A+PB的和最小.已知P A=1.6km，PB=3.2km，PQ=0.1km，在A村看点P位置是南偏西30°，那么在A村看B村的位置是．53.(22-23八年级上·云南昆明·期末)如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A2,3．，B1,1，C5,3(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．(2)求△A1B1C1的面积；(3)在x轴上找一点P，使得PC+PB最小，请直接写出点P的坐标．54.(24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，已知A-3,4，B-1,2，C1,3．(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，将△ABC平移得到△A B C ，已知A 1,-1，则C 坐标是．(2)求出△ABC的面积；(3)在x轴上有一点P，使得P A+PB的值最小，保留作图痕迹．55.(23-24八年级下·广东深圳·期末)【综合实践活动】【问题背景】如图1，A，B表示两个村庄，要在A，B一侧的河岸边建造一个抽水站P，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站P应该修建在什么位置？【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：如图2，A，B是直线l同侧的两个点，点P在直线l上．P在何处时，P A+PB的值最小．画图：如图3，作B关于直线l的对称点B ，连结AB 与直线l交于点P，点P的位置即为所求．证明：∵B和B 关于直线l对称∴直线l垂直平分BB∴PB=，∴P A+PB=P A+PB根据“”(填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．)可得P A+ PB 最小值为(填线段名称)，此时P点是线段AB 和直线l的交点．【问题拓展】如图4，村庄B的某物流公司在河的对岸有一个仓库C(河流两侧河岸平行，即GD∥EF)，为了方便渡河，需要在河上修建一座桥MN(桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直)，请问桥MN修建在何处才能使得B到C的路线最短？请你画出此时桥MN的位置(保留画图痕迹，否则不给分)．【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形AEDC为花海景区，∠CDE=∠E=90°，AE=80米，DE=50米，长方形CFGH为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线(折线AM-MN-BN)，A为起点，终点B在ED上，BD=30米，MN为湖边观景台，长度固定不变(MN =40米)，且需要修建在湖边所在直线CF上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度．2156.(2023九年级·四川成都·专题练习)在△ABC 中，AC =BC ，点E 在是AB 边上一动点(不与A 、B 重合)，连接CE ，点P 是直线CE上一个动点．(1)如图1，∠ACB =120°，AB =16，E 是AB 中点，EM =2，N 是射线CB 上一个动点，若使得NP +MP 的值最小，应如何确定M 点和点N 的位置？请你在图2中画出点M 和点N 的位置，并简述画法；直接写出NP +MP 的最小值；(2)如图3，∠ACB =90°，连接BP ，∠BPC =75°且BC =BP ．求证：PC =P A ．57.(23-24七年级下·广东深圳·期末)【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A ，B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A ，B 到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作A 关于直线m 的对称点A ，连接A B 与直线m 交于点C ，点C 就是所求的位置．(1)请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：证明：如图3，在直线m 上另取任一点D ，连结AD ，A D ，BD ，∵直线m 是点A ，A 的对称轴，点C ，D 在m 上，22∴CA =，DA =，∴AC +CB =A C +CB =．在△A DB 中，∵A B <A D +DB ，∴A C +CB <A D +DB ．∴AC +CB <AD +DB ，即AC +CB 最小．(2)如图4，在等边△ABC 中，E 是AB 上的点，AD 是∠BAC 的平分线，P 是AD 上的点，若AD =5，则PE +PB 的最小值为．【拓展应用】(3)“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A 表示龙潭公园，点B 表示宝能广场，点C 表示万科里，点D 表示万科广场，点E 表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B 宝能广场和D 万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C 万科里、D 万科广场和E 龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A 与点C 关于BD 对称，请你用尺子在BD 上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G 表示)．58.(24-25八年级上·全国·假期作业)如图，B、C 两点关于y 轴对称，点A 的坐标是0,b ，点C 坐标为-a ,-a -b ．(1)直接写出点B 的坐标为；(2)用尺规作图，在x 轴上作出点P ，使得AP +PB 的值最小；(3)∠OAP =度．59.(21-22七年级上·陕西商洛·期末)点C 为∠AOB 内一点．23(1)在OA上求作点D,OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若∠AOB=30°，OC=10，求△CDE周长的最小值．60.(23-24八年级上·湖南长沙·期末)在四边形ABCD中，∠BAD=BCD=90°，∠ABC=135°，AB=32，BC=1，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，求△BEF周长的最小值．61.(2023八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，CD平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA-AD向终点D运动．(1)点P在CA上运动的过程中，当CP时，△CPD与△CBD的面积相等；(直接写出答案)(2)点P在折线CA-AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD度数；(3)若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，则此时CP的长度(直接写出答案)．。
兴趣探究二：将军饮马问题(基础篇)
2021下学期八年级数学兴趣社团兴趣探究二：将军饮马问题（基础篇）班级 姓名一、单选题1．如图，直线L 是一条河，P ，Q 是两个村庄．欲在L 上的某处修建一个水泵站，向P ，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．如图，在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的任意一点，则P A +PB 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，A 是直线l 外一点，点B ，E ，D ，C 在直线l 上，且AD l ⊥，D 为垂足，如果量得7cm AB =，6cm AE =，5cm AD =，11cm AC =，则点A 到直线l 的距离为（ ）A ．11 cmB ．7 cmC ．6 cmD ．5 cm 4．如图，在ABC 中，AC BC =，6AB =，ABC 的面积为12，CD AB ⊥于点D ，直线EF 垂直平分BC 交AB 于点E ，交BC 于点F ，P 是线段EF 上的一个动点，则PBD △的周长的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．10D ．125．如图，在△ABC 中，AB△AC ，AB=3，BC=5，AC=4，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任意一点，则△ABP 周长的最小值是（ ）A ．12B ．6C ．7D ．86．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为3，面积是18，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．13.57．如图，,OA OB 分别是线段,MC MD 的垂直平分线，5cm,7cm,10cm MD MC CD ===，一只小蚂蚁从点M 出发爬到OA 边上任意一点E ，再爬到OB 边上任意一点F ，然后爬回M 点，则小蚂蚁爬行的最短路径为（ ）A ．12cmB ．10cmC ．7cmD ．5cm8．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =，60ABC S =△，D 是BC 中点，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．139．如图，等腰三角形ABC 底边BC 的长为4cm ，面积是212cm ，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则BDM 的周长的最小值为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm10．如图，MN 是正方形ABCD 的一条对称轴，点P 是直线MN 上的一个动点，当PC+PD 最小时，△PCD=_____.A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．如图，四边形ABCD 中，120,90BAD B D ∠=︒∠=∠=︒，在BC 、CD 上分别找一点M N 、，使AMN ∆周长最小时，则AMN ANM ∠+∠的度数为（ ）A ．130︒B ．110︒C ．120︒D ．125︒12．如图已知40MON ∠=︒，P 为MON ∠内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当PAB ∆的周长取最小值时，APB ∠的度数是（ ）A ．90︒B ．100︒C ．140︒D ．160︒二、填空题 13．如图，要从村庄P 修一条连接公路l 的最短的小道，应选择沿线段________修建，理由是________．14．如图，在ABC 中，4AB =，6AC =，7BC =，EF 垂直平分BC ，点D 为直线EF 上的任意一点，则ABD △周长的最小值是__________．15．如图，Rt△ABC 中，△C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，EF 垂直平分AB ，点P 为直线EF 上一动点，则△APC 周长的最小值为_____．16．如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的任意一点，则PA PB +的最小值是________．17．如图，在ABC 中BC=5，3,4,,AB AC AB AC EF ==⊥垂直平分BC ，点P 为直线EF 上一动点，则ABP △周长的最小值是________．18．如图，等腰三角形∆ABC 的面积为90，底边BC=12，腰AC 的垂直平分线EF 交AC ，AB 于点E ，F ，若D 为BC 边中点，M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆的周长最小值为________19．如图，在ABC 中，10AB AC cm ==，8BC cm =，AB 的垂直平分线交AB 于点M ，交AC 于点N ，在直线MN 上存在一点P ，使P 、B 、C 三点构成的PBC 的周长最小，则PBC 的周长最小值为______．20．如图，在等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，H 是AD 上任意一点．如果10AB AC BC ===，AD =HE HB +的最小值是 ．21．如图，AC△BC ，AC=6，BC=8，AB=10，则点B 到AC 的距离为_____．22．如图，在锐角ABC 中，50∠=°ACB ，边AB 上有一定点,,P M N 分别是AC 和BC 边上的动点，当PMN 的周长最小时，MPN ∠的度数是_________．23．如图，在Rt ABC △中．AC BC ⊥，若5AC =，12BC =，13AB =，将Rt ABC △折叠，使得点C 恰好落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，点P 为AD 上一动点，则PEB △的周长最小值为___．三、解答题24．如图，小明在A 处放牛，要到河边（直线l ）给牛喝水，喝完水把牛赶回家中B 处．（1）要使路程最短，应该在河边哪处给牛喝水，请在直线l 上画出喝水处点P 的位置；（2）在直线l 上任取一点Q （点Q 不与点P 重合），连接,QA QB ，试说明QA QB AP BP +>+．25．如图，BA 、BC 是两条公路，在两条公路夹角内部的点P 处有一油库，若在两公路上分别建个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？26．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）(1)如图，已知点M.N 和△AOB ，求作一点P ，使P 到点M.N 的距离相等，且到△AOB 的两边的距离相等．(2)要在河边修建一个水泵站，分别向张村.李庄送水（如图）． 修在河边l 什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置．的值最小，27．如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA PB画出图形并证明．28．如图，准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小？（保留作图痕迹及简要说明）参考答案1．A【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【详解】作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选：A．【点拨】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．2．B【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P-为EF和AC的交点时，AP+BP值最小为AC的长为4．【详解】解：如图：△EF垂直平分BC，△B、C关于EF对称，△当AC交EF于P时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为4，故选：B.【点拨】本题考查轴对称——最短路线问题的应用.解决此题的关键是能根据轴对称的性质和两点之间线段最短找出P点的位置.3．D【分析】根据点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离可知AD 的长度是点A 到直线l 的距离，从而得解．【详解】△AD=5cm ，△点A 到直线l 的距离是5cm ．故选D ．【点拨】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟记定义是解题的关键．4．B【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可知CD 为ABC 底边AB 上的高线，根据面积关系即可求得CD 的长，根据垂直平分线的性质可知点B 和点C 关于直线EF 对称，所以当P 与G 重合时，PB PD +的值最小，根据CD 和BD 的长度即可求得PBD △周长的最小值．【详解】如图△ABC 的面积为12，CD AB ⊥ △1122AB CD ⋅=，132BD AD AB ===， 解得，4CD =，△直线EF 垂直平分BC 交AB 于点E ，△点B 和点C 关于直线EF 对称，△当P 与G 重合时，PB PD +的值最小，最小值等于CD 的长，△PBD △周长的最小值是347BD CD +=+=，故选：B．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、轴对称最短路线问题的应用、三角形的面积等，解题的关键是准确找出P点的位置．5．C【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，即可得到△ABP周长的最小值．【详解】解：△EF垂直平分BC，△B、C关于EF对称，设AC交EF于D，△当P和D重合时，及A、P、C三点共线时AP+BP的值最小，最小值等于AD+BD=AD+CD=AC的长，△△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7．故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．6．D【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD△BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，△△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，△AD△BC ，△S △ABC =12BC•AD=12×3×AD=18，解得AD=12， △EF 是线段AC 的垂直平分线，△点C 关于直线EF 的对称点为点A ，△AD 的长为CM+MD 的最小值，△△CDM 的周长最短=（CM+MD ）+CD=AD+12BC=12+12×3=12+1.5=13.5． 故选D ．【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．7．B【分析】由题意可知CD 与OA 的交点为E ，与OB 的交点为F ，根据垂直平分线的性质计算即可；【详解】由题意可知CD 与OA 的交点为E ，与OB 的交点为F ．△,OA OB 分别是线段,MC MD 的垂直平分线，△,==ME CE MF DF ，△小蚂蚁爬行的最短路径为10cm ++=++==ME EF FM CE EF FD CD ．【点拨】本题主要考查了最短路线问题和垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键． 8．C【分析】根据三角形的面积公式得到AD=12，由EF 垂直平分AB ，得到点A ，B 关于直线EF 对称，于是得到AD 的长为PB+PD 的最小值，即可得到结论．【详解】△AB=AC ，BC=10，S △ABC =60，AD△BC 于点D ，△S△ABC=12BC AD=60，△AD=12，设AD与EF的交点为P，△EF垂直平分AB，△点A，B关于直线EF对称，△PA=PB，此时AD的长为PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值为12，故选：C．【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．9．D【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD△BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】连接AD，△△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，△AD△BC，△S△ABC=12BC•AD=12×4×AD=12，解得AD=6cm，△EF是线段AB的垂直平分线，△点B关于直线EF的对称点为点A，△AD的长为BM+MD的最小值，△△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+12BC=6+12×4=6+=8cm．【点拨】本题考查轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．10．B【分析】根据当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC即可得出△PCD 的度数．【详解】△当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出△PCD=45°，△△PCD=45°．故选B．【点拨】此题考查轴对称求最短路线问题，根据已知得出D点关于MN的对称点，正好是A点是解题关键．11．C【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出△AA′M+△A″=60°，进而得出△AMN+△ANM=2（△AA′M+△A″）即可得出答案．【详解】作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN 的周长最小值。
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轴对称与将军饮马问题（基础篇）专题练习
一、两定点一动点
1、如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B’．②连接AB’与直线l相交于点C，则点C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）．
A. 转化思想
B. 三角形的两边之和大于第三边
C. 两点之间，线段最短
D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
2、如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD的度数是（）．
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 无法确定
3、如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）．
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
4、如图，PQ为△ABC边上的两个定点，在BC边上求作一点M，使PM+QM最短．（保留作图痕迹，不写作法，无需证明）
5、如图，解答下列问题：
①画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
②在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短．（保留作图痕迹）
6、在平面直角坐标系中，已知点A（2，6），B（4，0），在y轴上求一点P，使△ABP的周长最小．
（1）在坐标系中画出A、B两点的位置．
（2）画出点P的位置．
（3）求出点P的坐标．
7、在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，B，C的坐标分别是（-4，6），（-2，2），（-1，4）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中A，B，C的对称点分别为A1，B1，
C1．
（2）请在y轴上求作一点P，使△PBC的周长最小．
8、如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．
（1）画出△AOB关于直线x=-1轴对称后图形△A’O’B’．
（2）点P在x轴上使△APB周长最小时，在图中画出点P．（请保留作图痕迹）
（3）求出△AOB的面积．
二、一定点两动点
9、如图，∠AOB =a ，点P 是∠AOB 内的一定点，点M 、N 分别在OA 、OB 上移动，当△PMN 的周长最小时，∠MPN 的值为（ ）．
A. 90°+a ．
B. 90°+12a ．
C. 180°-a ．
D. 180°-2a ．
10、如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是6cm ，则∠AOB 的度数是（ ）．
A. 15
B. 30
C. 45
D. 60
11、如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠ABC =α，在AB ，BC 上分别找一点E 、F ，使△DEF 的周长最小，此时，∠EDF =（ ）．
A. α
B. 90°-12α
C. 2
D. 180°-2α
12、如图，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若CD =18cm ，则△PMN 的周长为______cm ．
13、如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是______ cm．
14、已知：如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N，P1P2=15，则△PMN的周长为______；若∠
O=40°，则∠MPN=______°．
15、如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC 于点F，垂足为E，若M为BC边上一动点，D为EF上一动点，则BD+MD的最小值为______cm．
16、如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC=______．
17、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=65°，M、N分别是边BC，CD上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN=______．
18、如图，D是∠ABC内一点，BD=4，∠ABC=30°，设M是射线BA上一点，N是射线BC上一点，则△MND的周长的最小值是______．
19、如图，已知钝角三角形ABC的面积为20，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M、N 分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为______．
20、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、线段AD上的动点，则MN+BN的最小值是______．
21、如图，在锐角△ABC中，AC=6，△ABC的面积为15，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．
22、如图，∠AOB=30°，OC=2，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得CM+MN最小，求出此最小值．
23、如图，已知点A是锐角∠MON内的一点．
（1）按要求画图：（不写作法，尺规作图，保留作图痕迹）
①分别作点A关于OM，ON的对称点A’，A’’．
②试分别在OM、ON上确定点B，点C，使△ABC的周长最小．
（2）若∠MON=45°时，试判断△ABC的形状，并说明理由．
24、如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．
25、某班举行晚会，桌子摆成两条直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．
26、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值．。