信息光学-----第3章 标量衍射的角谱理论
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第三章 标量衍射理论
U ( x, y, z) a exp( jk r )
a exp jk( x cos y cos z cos )
当平面波沿z轴正方向传播时
cos cos 0
U ( z ) a exp( j 2
cos 1
z , 2 ,3 波阵面
2u 1 2u c t
2 2
0
j 2 t
2
2 x
2
2 y
2
2 z 2
u( p, t ) U ( p)e
2 2
c
U ( p) k U ( p) 0
K
2
亥母霍兹方程
三、基尔霍夫积分定理 格林定理 若U(p)和G(p)是两个空间任意复数函数，S为包围体积V 的封闭曲面，U、G在S内和S上它们均单值连续，且一阶 和二阶偏导数单值连续，则有
U ( x, y ) t ( x, y )U ( x, y )
一、惠更斯—菲涅耳原理
1．惠更斯原理：波前上每一个面元都可以看作一个次级 扰动中心，它们产生球面子波，后一时 刻的波前位置是所有这些子波的包络面。
2．惠更斯—菲涅耳原理：波前上任何未受阻挡的点，都 可以看作一个次级波波源，其后空间任 一观察点的光振动是这些子波传播到该 点后叠加的结果。 菲涅耳发展了惠更斯原理，由定性走向了定量计算。
U0为后表面的光场
讨论：当孔用p点的点光源照明时的情况。 推导
r' • P'
n
P0
r • P
经过以上推导，当p近轴，r很大时，180，则有
1 exp( jkr ) 1 cos U ( p) U 0 ( p0 ) r 2 ds j 1 exp( jkr ) 1 cos U 0 ( x0 , y0 ) r 2 dx0dy0 j
傅立叶光学
则，叠加积分式可表示 为： U 0 ( x 0 , y 0 ) = ∫∫ U ( x1 , y1 ) h ( x0 − x1 , y 0 − y1 ) dx1dy 1
−∞
§3.2 基尔霍夫衍射公式
5 光线传播的线性性质
则，叠加积分式可表示 为： U 0 ( x 0 , y 0 ) = ∫∫ U ( x1 , y1 ) h ( x0 − x1 , y 0 − y1 ) dx1dy 1
U ( P0 ) = 1 4π
∫∫ (G
S∑
∂U ∂G −U )dS ∂n ∂n
成立条件: 成立条件:孔径的线度比光波长大很多, 孔径的线度比光波长大很多,观察点离孔径较远
§3.2 基尔霍夫衍射理论
4.2 菲涅耳－基尔霍夫衍射公式
应用基尔霍夫条件有：
1 U ( P0 ) = 4π ∂U ∂G 1 ( G − U ) ds = ∫∫ ∂n ∂n 4π S∑
∂G ( p1 ) 1 eikR 当R很大时， = cos(n , R )(ik − ) =ikG R R ∂n
∫∫ (G
S2
∂U ∂G ∂U −U )ds = ∫∫ G ( − Uik ) R 2 d ω ∂n ∂n ∂n Ω
§3.2 基尔霍夫衍射理论
4.1 平面衍射屏的基尔霍夫衍射公式
若满足两个条件 1 索末菲辐射条件： R →∞ 满足索末菲辐射条件，则S2上积分为0，则
§3.2 基尔霍夫衍射理论
3 亥姆霍兹和基尔霍夫积分定理
基尔霍夫积分定理是解决衍射问题的重要公式。
1 U ( P0 ) = 4π
∂U ∂G 1 ( G − U ) ds = ∫∫ ∂n ∂n 4π S
eikr01 ∂U ∂ eikr01 [ −U ( )]ds ∫∫ r01 ∂n ∂n r01 S
11-标量衍射理论3-衍射的角谱理论、菲涅耳衍射
即为普遍的衍射公式。
使用时需要化简。 在不同的近似条件下，可 以得到菲涅耳衍射公式和夫琅禾费衍射公式
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式
x0
x
y0
y
近似条件：
z
孔径和观察平面
z
x02maxy02max
之间的距离远远 大于孔径的线度
z
xm 2 axym 2 ax
只对轴附 近的一个
U 0 ( x 0 ,y 0 )ex j2 k z ( p x 0 2 [ y 0 2 ) ] fx x z ,fy y z
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式：频域形式
或写成卷积式: U (x ,y) U 0(x ,y) h (x ,y)
其中, 脉冲响应函数为:
h(x,y)j1 zexjp k)e z (x jp 2 kz(x2y2)
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式：F.T.形式
由菲涅耳衍射的空域表达式：
p U ( x ,y ,z ) ejx j z) k p U z ( x ( ,y , ) ex jz [ p x (x { ) ( y y ) ]d } d x
§2-3 标量衍射的角谱理论
2、基于平面波角谱的衍射理论
从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
xyz平面的光场分布与x0y00平面光场分布的关系：
U(x,y,z) U(x0,y0,0)exjp2p(z 12fx22fy2)
exjp 2p{ [fx(xx0)fy(yy0)]d}0xd0ydxfdyf
xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其 空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
信息光学-第3章 标量衍射理论-1
——巴黎科学院,菲涅耳, 1818
1. 惠更斯-菲涅尔（1788-1827）原理
光场中任一给定曲面上的各面元可以看做子波源，这些 子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任一点处的光振 动，都可看做是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加 的结果。
其数学表达式为：
U (Q) c
U0
(
p)k (
)
Σ
r
该公式与惠更斯-菲涅尔衍射公式完全相同。
意义在于：从理论上验证了别人的假 Q 设，模型更加精确
基尔霍夫衍射公式
孔径平面上的复振幅分布是球面波，有
uv U 0 (P)
a0
e jkr0
代入基尔霍夫衍射公式，有
r0
其中：
U (Q)
1
j
U0
(P)K
(
)
e jkr r
dS
vv
v uv
K ( ) cos(n, r) - cos(n, r0 )
1、光波的数学描述
思考题： 空间频率为负，其代表什么物理意义？
波的传播方向，前向，后向
已知等位相面的图，会写出平面 波的表达式吗？
1、光波的数学描述
如右图所示，等相位线是一组斜平行线。很容易确定其沿 x和y方向的空间频率为
1 cos fx X
fy
1 Y
cos
则xy平面上的复振幅分布可表示为
1、光波的数学描述
对于如右图所示 的沿某一确定方向传播的平面波，在 xy平面上的复振幅为：（实际系统中总有观察平面）
U x, y, z a exp jkz cos exp jk x cos y cos
a
exp
jkz
1
cos2
1. 惠更斯-菲涅尔（1788-1827）原理
光场中任一给定曲面上的各面元可以看做子波源，这些 子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任一点处的光振 动，都可看做是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加 的结果。
其数学表达式为：
U (Q) c
U0
(
p)k (
)
Σ
r
该公式与惠更斯-菲涅尔衍射公式完全相同。
意义在于：从理论上验证了别人的假 Q 设，模型更加精确
基尔霍夫衍射公式
孔径平面上的复振幅分布是球面波，有
uv U 0 (P)
a0
e jkr0
代入基尔霍夫衍射公式，有
r0
其中：
U (Q)
1
j
U0
(P)K
(
)
e jkr r
dS
vv
v uv
K ( ) cos(n, r) - cos(n, r0 )
1、光波的数学描述
思考题： 空间频率为负，其代表什么物理意义？
波的传播方向，前向，后向
已知等位相面的图，会写出平面 波的表达式吗？
1、光波的数学描述
如右图所示，等相位线是一组斜平行线。很容易确定其沿 x和y方向的空间频率为
1 cos fx X
fy
1 Y
cos
则xy平面上的复振幅分布可表示为
1、光波的数学描述
对于如右图所示 的沿某一确定方向传播的平面波，在 xy平面上的复振幅为：（实际系统中总有观察平面）
U x, y, z a exp jkz cos exp jk x cos y cos
a
exp
jkz
1
cos2
衍射的角谱理论
衍射屏的复振幅透过率（反射率）: 衍射屏对入射光波调制 作用的数学描述, 它是描述衍射屏宏观光学性质的函数. 可用t(x,y)[或r(x,y)]表示.
Uin(x,y) Uout(x,y) t(x,y)
UO ( x, y) Ui ( x, y)t( x, y)
或
t(
x,
y)
UO ( x, U（i x,
exp(
j2
cos
z0 )exp
j2 (ux vy)
exp( j2
cos
z0
)
exp
j
2
cos
x cos
y
可见，单色平面波从 z=0 平面传播到 z=z0 平面上，其在xy平面上的相位分布不变，只是整体发生一个相移:
exp( j2
cos
z0 )
而
exp
j2
(ux
vy)
第一章习题解答
1.2 证明
comb( x ) comb( x)exp( j x ) comb( x)
2
证：comb( x )
( x n) 2
( x 2n)
2
2 n
n
ccomb( x)exp( j x ) ( x n)exp( j x)
n
( x n)exp( j n)
A0(u, v)H (u, v)
Az(u,v)和A0(u,v)分别看成是线性不变系统输出函数和输入函 数的频谱，传递函数为：
H
(u,
v)
exp
jkz
1
u
2
v
2
0
当u2
v2
1
2
其它
1
v
u2
3.3 标量衍射的角谱理论
后来，菲涅耳补充了惠更斯原理，提出了惠更斯-菲涅尔耳原 理，波前上任何一个未受阻挡的点，都可以看作是一个次级子波源 （频率与原波相同），在其后空间任何一点处的光振动是这些子波 的相干叠加。
U0(x1,y1) 推广后的惠更斯-菲涅尔耳原理可以写作: x1
x
U
(P ) = U ( x , y ) e 0 1 1
也就是对于(x02+ y02)一切可能值中的最大值有
2 x0 y 0 max
2 2
(
)
2z
2
z
(x 2
1
2 0
y 0 max
2
)
满足 式的z值范围的衍射叫做夫琅和费衍射。显然夫琅和费衍射 是在菲涅耳衍射的基础上进一步近似所得的结果，其衍射公式为:
2 x0 y 0 max
夫琅和费衍射
U ( x, y , z ) =
exp ( jk z ) j z
k 2 2 exp j ( x y ) 2z
xx0 yy 0 U 0 ( x0 , y 0 ,0 ) exp jk dx0 dy 0 z
jkr
ds
dx dy
1 1
r
p y z
r
y1
上式在解决衍射问题中，在相当大的范围内是正确的，但它 是近似的.其中一个原因是没有考虑子波在不同方向上作用的差异。 实际上每一小面元ds对观察点的作用还与面元法线和面元到观察 点联线的夹角有关。对于普便的情况，菲涅尔提出必须引入体现 子波在不同方向上作用的因子倾斜因子 k (q )
夫琅和费衍射公式
菲涅耳衍射
U ( x, y ) =
第三章-标量衍射理论2-角谱及其传播
l
l
l
l
cos cos A( , , z)
l
l
称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不 同传播方向()的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空 间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱： 例
在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型: 可以分解为:
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分 布的频谱 其逆变换为：
2、平面波角谱的传播
角谱是传播距离 z 的函数
在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :
U 0 ( x, y,0) A(
cos cos cos cos cos cos , ,0) exp[ j 2 ( x y)]d ( )d ( )
l
l
l
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P)
光强分布: I = UU*
a0 jkr e 球面波的复振幅表示（三维空间）：U ( P ) r
(P(x,y,z)) 球面波的复振幅表示（x-y 平面）： y a0 k 2 (r 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) k z 2z
信息光学-----第3章 标量衍射的角谱理论
• 光的标量衍射理论的条件
（1）衍射孔径比波长大很多； （2）观察点离衍射孔不靠太近。 标量衍射理论是一种近似理论，当衍射场能量分布 与光的偏振状态密切相关时，标量衍射理论的发展历程
• 1665年格里马蒂首次报道和精确描述了衍射现象；
• 1678年惠更斯提出子波的假设； • 1804年托马斯杨认为在适当条件下，光与光干涉叠加 可以产生暗斑； • 1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理； • 1860年麦克斯韦认为光等同于一个电磁波；
光场随时间的变化e
-j2pnt：
n ~1014Hz n为常数，线性运算后不变
对于携带信息的光波，空间变化部分需要详细分析。 故引入复振幅U(P): jj(P)
U(P) = a(P) e
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt }
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
U(P) = a(P) e jj(P)
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波：等相面为球面，且所有等相面有共同中心的波 点光源或会聚中心 设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
fx
x
cosa, cosb 为波 矢的方向余弦
1 sin q y fy Y l
若波矢在 x-z 平面或 y-z 平面中, a b 又常用它 们的余角qx (qy)表示，故： 1 sin q 引入空间频率概念后， 单色平面波 在xy 平面的复振幅分布可以表示为
X
l
;
U ( x, y) A exp[j 2p ( f x x f y y)]
chap2标量衍射的角谱理论
U ( x, y, z) U0 ( x0 , y0 ,0)e
(4)式：
jkz
x d f y dx0 dy0
e U ( x, y, z ) U 0 ( x0 , y0 ,0)e jz
(5)式：
j
[( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] z dx
U ( x, y, z ) U 0 ( x0 , y0 ,0)e
当： 1
2
j
2 z 12 f x2 2 f y2 j 2 [ f ( x x ) f ( y y )] x 0 y 0 e df
x d f y dx0 dy0
f x2 2 f y2
df x df y
, A( f x , f y , z) A( cos
2012
cos
, z)
角谱的传播
• z=0平面上
U ( x, y,0) A( f x , f y ,0)e
j 2 ( xf x yf y )
df x df y
• z=z平面上
U ( x, y, z ) A( f x , f y , z )e
j [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] e z ]dx0 dy0
j [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] U 0 ( x0 , y0 ,0)e z dx0 dy0 2012
平面波角谱衍射理论
• 由平面波角谱衍射理论得到的精确表达式：
j 2 z 12 f x2 2 f y2 j 2 [ f ( x x ) f ( y y )] e x 0 y 0 df
a0 jkr e r •平面波的复振幅表示 U (P) ae jk r
标量衍射理论
x0
基尔霍夫衍射公式
n
光源 P0
θ
θ
1
2
P r0 r z
Q(x,y)
1 a0 exp( jkr0 ) cos(n, r ) cos(n, r0 ) exp( jkr) U (Q) [ ] ds j r0 2 2 r 1 exp( jkr) U 0 P K r ds U 0 PhP, Qds j
平面x y的任一光波可分解成向空间各方向传播的平面波 每一平面波成份与一组空间频率值（ξ, η）对应： 传播方向为cosα =λ ξ, cosβ =λ η ，振幅为G(ξ, η)
G( , ) g ( x, y) exp[ j 2 (x y)]dxdy
亦可写成：
cos cos cos cos G( , ) g ( x, y) exp[ j 2 ( x y)]dxdy
传播方向余弦为（ cosα ,cosβ ）的一般情形
u u0 exp[ jk ( x cos y cos )]
(x,y)平面等相位线
x cos y cos 常数
空间周期 d x cos cos 空间频率
dy cos
cos
Cl xl y sin c(lx ) sin c(l y )
ly y lx x sin( ) sin( ) z z Cl l sin cl , l Cl xl y x y x x lx x ly y z z
x z
y z
光强
I I 0 sin c (lx , l y)
y y0 2 1 x x0 2 z{1 [( ) ( ) ]} 2 z z
标量衍射的角谱理论
第2章 标量衍射的角谱理论光的传播是光学研究的基本问题之一,也是光能够记录、存储、处理和传送信息的基础。
众所周知，几何光学的基本定律——光沿直线传播，是光的波动理论的近似。
作为电磁波的光的传播要用衍射理论才能准确说明。
衍射，按照索末菲定义是“不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离”。
衍射是波动传播过程的普遍属性，是光具有波动性的表现。
电磁波是矢量波，精确解决光的衍射问题，必须考虑光波的矢量性。
用矢量波处理衍射过程非常复杂，这是因为电磁场矢量的各个分量通过麦克斯韦方程联系在一起，不能单独处理。
但是在光的干涉、衍射等许多现象中，只要满足：（1）衍射孔径比波长大很多，（2）观察点离衍射孔不太靠近；不考虑电磁场矢量的各个分量之间的联系，把光作为标量处理的结果与实际极其接近。
在本书涉及的情况下这些条件基本上是满足的，因此只讨论光的标量衍射理论。
经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的。
他设想波动所到达的面上每一点是次级子波源，每一个次级波源发出的次级球面波向四面八方扩展，所有这些次级波的包络面形成新的波前。
1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理，考虑到子波源是相干的，认为空间光场是子波干涉的结果。
而后1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式。
在基尔霍夫衍射理论中，球面波是传播过程的基元函数。
由于任意光波场可以展开为平面波的叠加，因此用平面波作为基元函数也可以来描述衍射现象，这就是研究衍射的角谱方法。
光学课程中已经由基尔霍夫公式出发详细讨论了菲涅耳衍射公式，本章将采用平面波角谱理论导出同样的衍射公式，说明光的传播过程作为线性系统用频谱（角谱）方法在频域中分析，与用脉冲响应（点光源传播）方法在空域中分析是等价的。
进而用角谱方法讨论菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。
最后，本章还要介绍分数傅里叶变换以及用分数傅里叶变换来表示菲涅耳衍射的优越性。
标量衍射的角谱理论
l2 2 ly I ( x, y ) sin c 2z z 2 m2 m l 2 lx 2 l sin c sin c ( x f 0 z ) sin c 2 ( x f 0 z ) z 4 z 4 z
13
夫琅和费衍射举例（续2）
1 9 0 6
由 sin c 函数的分布可知，每个 sin c 函数的主瓣的宽度正比 于 z l ， 而 由 上 式 可 见 ， 这 三 个 函 数 主 瓣 之 间 的 距 离 为 f 0 z ，若光栅频率 f 0 比 1 l 大得多，即光栅的周期 d 1 f 0 比光栅的尺寸 l 小得多，那么三个函数（主瓣）之间不存在 交叠，那么平方时不存在交叉项，因而
10
夫琅和费衍射与傅里叶变换
1 9 0 6
夫琅和费衍射: 在菲涅耳衍射公式中，对衍射孔采取更强的 限制条件，即取 1 2 2
z 2 k ( x0 y0 )
则平方位相因子在整个孔径上近似为1，于是
U ( x, y , z ) exp( jkz ) k exp[ j ( x 2 y 2 )] j z 2z 2 U ( x , y , 0) exp[ j ( xx yy0 )]dx0 dy0 0 0 z 0 2 x y exp[ j ( xx0 yy0 )] f x , fy exp[ j 2 ( f x x0 f y y0 )] z z z
5
平面波角谱衍射理论的基本公式
1 9 0 6
作傅里叶反变换有
U ( x, y, z) A ( f x , f y ,) exp( j
z f x f y ) exp[ j ( f x x f y y)]df x df y
13
夫琅和费衍射举例（续2）
1 9 0 6
由 sin c 函数的分布可知，每个 sin c 函数的主瓣的宽度正比 于 z l ， 而 由 上 式 可 见 ， 这 三 个 函 数 主 瓣 之 间 的 距 离 为 f 0 z ，若光栅频率 f 0 比 1 l 大得多，即光栅的周期 d 1 f 0 比光栅的尺寸 l 小得多，那么三个函数（主瓣）之间不存在 交叠，那么平方时不存在交叉项，因而
10
夫琅和费衍射与傅里叶变换
1 9 0 6
夫琅和费衍射: 在菲涅耳衍射公式中，对衍射孔采取更强的 限制条件，即取 1 2 2
z 2 k ( x0 y0 )
则平方位相因子在整个孔径上近似为1，于是
U ( x, y , z ) exp( jkz ) k exp[ j ( x 2 y 2 )] j z 2z 2 U ( x , y , 0) exp[ j ( xx yy0 )]dx0 dy0 0 0 z 0 2 x y exp[ j ( xx0 yy0 )] f x , fy exp[ j 2 ( f x x0 f y y0 )] z z z
5
平面波角谱衍射理论的基本公式
1 9 0 6
作傅里叶反变换有
U ( x, y, z) A ( f x , f y ,) exp( j
z f x f y ) exp[ j ( f x x f y y)]df x df y
信息光学(第三章第2、3节)
则有
U ( P) U 0 ( p0 )h( p0 , p)ds
表明衍射系统是一个线性系统。
如图所示，当与观察屏距离很大，
且在旁轴条件下，K()=1，则有
P0
x0 r p
x
h p0 , p h( x, y; x0 , y0 ) exp( jkr ) j r
z
y0
z y
e jkr t ( x1 , y1 )U ( x1 , y1 ) dx1 dy1 r
考虑到 的影响
U ( p)
e jkr U ( x1 , y1 ) K ( )dx1 dy1 r
惠更斯—菲涅耳原理存在的问题： ①由上式计算的光场复振幅比实际的落后/2； ②K()的形式不知道；
当z=0时, A0 ( f x , f y ) C( f x , f y )是z=0时特解，因而得到
Az ( f x , f y ) A0 ( f x , f y )exp jkz 1 ( f x )2 ( f y )2
讨论：
2 2 （1） ( f x ) ( f y ) 1
U 0 ( x0 , y 0 )
A (f
0
x,
f y ) exp j 2 ( f x x 0 f y y 0 ) df x df y
U z ( x, y)
fx
Az ( f x , f y ) exp j 2 ( f x x
fy cos
称为倏逝波，应用矢量理论讨论。 （3）( f x ) ( f y ) 1
2 2
2
若把从x0y0平面到xy平面的衍射过程看作一个系统， 则该系统的传递函数为
衍射的角谱理论
b.角谱的传播
用角谱可表示为：
A0 ( , )
A0
(
cos
,
cos
)
A ( , )
A
(
cos
,
cos
)
U
0
(x,
y)
A0
(
cos
,
cos
)
exp[
j 2
(
cos
x0
cos
y0
)]d
(
cos
)d
(
cos
)
U
(x,
y)
A(
cos
,
cos
)
exp[
j
2
(
cos
x
cos
b.角谱的传播
讨论：
1.当 cos2 cos2 1
表征倏失波的传播规律
A(
cos
,
cos
)
A0
(cos
,
cos
)
exp(z)
0
λ
有人习惯上直接用角度来进行计算，也就是 所谓角谱。
当：U0 (x0 , y0 ) A0 ( ,) exp[ j2 (x0 y0 )]dd
U (x, y) A( ,) exp[ j2 (x y)]dd
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§ 4. 衍射的角谱理论
其中： ξ cos α ; η cos β
λ
λ
对于相干光场分布g(x,y)可表示：
g( x, y ) G ( ξ ,η )exp[ j2π( ξx ηy )]dξdη 本征函数： expj2 (源自 y)§ 4. 衍射的角谱理论
用角谱可表示为：
A0 ( , )
A0
(
cos
,
cos
)
A ( , )
A
(
cos
,
cos
)
U
0
(x,
y)
A0
(
cos
,
cos
)
exp[
j 2
(
cos
x0
cos
y0
)]d
(
cos
)d
(
cos
)
U
(x,
y)
A(
cos
,
cos
)
exp[
j
2
(
cos
x
cos
b.角谱的传播
讨论：
1.当 cos2 cos2 1
表征倏失波的传播规律
A(
cos
,
cos
)
A0
(cos
,
cos
)
exp(z)
0
λ
有人习惯上直接用角度来进行计算，也就是 所谓角谱。
当：U0 (x0 , y0 ) A0 ( ,) exp[ j2 (x0 y0 )]dd
U (x, y) A( ,) exp[ j2 (x y)]dd
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§ 4. 衍射的角谱理论
其中： ξ cos α ; η cos β
λ
λ
对于相干光场分布g(x,y)可表示：
g( x, y ) G ( ξ ,η )exp[ j2π( ξx ηy )]dξdη 本征函数： expj2 (源自 y)§ 4. 衍射的角谱理论
衍射的角谱理论
§2.3 衍射的角谱理论
• 由标量衍射理论知，相干光场在给定二平面间 的传播过程就是通过一个二维线性系统 （除夫 琅和费衍射外）；一定条件下为线性空不变系统。 j2 (f x x+f y y) 是二维线性空不变系统的本 • 函数 exp 征函数 • 函数 exp j 2 ( f x f y ) 表示振幅为1的平面波在xy 平面上形成的复振幅分布 f y cos / 与平面波的传播方向相 • f x cos / 联系 ,表示了单色平面波的传播方向
jkz exp H ( fx , f y ) 0 1 1 ( f x ) 2 ( f y ) 2 f x 2 f y 2 2 其他
• 这表明该系统的传递函数相当于一个低通滤波器， 1/ 截止频率为 ．在频率平面上，这个滤波器的 半径为的圆孔. • 对于孔径比波长还小的精细结构，或者说空间频 率高于 1/ 的信息，在单色平面波照明下不能沿 z方向向前传播
cos cos cos cos , ) A0 ( , ) exp jkz 1 cos 2 cos 2
A(
几种情况讨论（2）
•
cos2 cos2 1
A(
公式中的平方根是虚数
2
cos cos cos cos , ) A0 ( , ) exp( z )
x y
傅里叶反变换的物理意义
f ( x, y )
F( f
x
, f y )exp[ j2 ( f x x f y y )]df xdf y
• F( f x , f y ) 被称为 f ( x, y ) 光场分布的角谱。
• 由标量衍射理论知，相干光场在给定二平面间 的传播过程就是通过一个二维线性系统 （除夫 琅和费衍射外）；一定条件下为线性空不变系统。 j2 (f x x+f y y) 是二维线性空不变系统的本 • 函数 exp 征函数 • 函数 exp j 2 ( f x f y ) 表示振幅为1的平面波在xy 平面上形成的复振幅分布 f y cos / 与平面波的传播方向相 • f x cos / 联系 ,表示了单色平面波的传播方向
jkz exp H ( fx , f y ) 0 1 1 ( f x ) 2 ( f y ) 2 f x 2 f y 2 2 其他
• 这表明该系统的传递函数相当于一个低通滤波器， 1/ 截止频率为 ．在频率平面上，这个滤波器的 半径为的圆孔. • 对于孔径比波长还小的精细结构，或者说空间频 率高于 1/ 的信息，在单色平面波照明下不能沿 z方向向前传播
cos cos cos cos , ) A0 ( , ) exp jkz 1 cos 2 cos 2
A(
几种情况讨论（2）
•
cos2 cos2 1
A(
公式中的平方根是虚数
2
cos cos cos cos , ) A0 ( , ) exp( z )
x y
傅里叶反变换的物理意义
f ( x, y )
F( f
x
, f y )exp[ j2 ( f x x f y y )]df xdf y
• F( f x , f y ) 被称为 f ( x, y ) 光场分布的角谱。
3标量衍射理论
n
r P’ r’ ∑ p
z
说明： k ( ) 1 ⑴若p, p’距离孔径∑足够远，则有 ⑵ 有值 内
U( p )
0
0
外
1
⑶积分限∑ （-∞，+∞） 透过率函数 t ( x, y )
0
内 外
基于以上假设： Huggens——Fresnel原理公式可变为：
1 e U ( x, y) u t ( x 0, y ) ds 0 i r
cos cos A( , )
A0 z
2 对该频率的光波，透过孔径后，波沿垂直Z向传播，而 不沿Z传播
2、当(cos cos )＝1时，u cos 0,
2 2
3、当(cos 2 cos 2 ) 1时 E合理存在 于是有： H ( fx , f y ) exp(ikz 1 cos 2 cos 2 ) exp(ikz 1 cos cos )
球面波场中等位相线
二、单色平面波光场中任意平面上 的振幅分布 1、平面波函数
E A cos(kr t ) A exp(ikr )exp(it )
复振幅： U ( x, y, z) A exp[ik ( x cos y cos z cos )]
二、孔径对角谱的影响
1、当(cos 2 cos 2 ) 1时，u i cos 2 cos 2 1 cos cos cos cos A( , ) A0 ( , ) exp(ikz cos 2 cos 2 1)
故该情况下为一倏逝波
2 2
当f x f y
标量衍射理论
e
jkr
r
ds
光场中任一观 察点的复振幅
Information Optics
子波向P点的球面波公式 子波振幅随角的变化 波面上的振幅分布函数
10
惠更斯-菲涅耳原理
• 优点
–简单孔径的衍射图样的强度分布，计算和实际相符。
• 缺点
–计算得出场点的复振幅U(P)，比P点真实复振幅相位落 后。 – K ( ) 作为假设引入，没有具体函数形式。
Information Optics 16
U P
1 4
S
G 1 U G U dS n n 4
S
jkr e jkr U e r n U n r dS
亥姆霍兹-基尔霍夫 积分定理 索末菲条件
U lim R jkU 0 R n
Discussion: 1。 通过XY平面向Z方向传播的波，可以用无数不同方向不同权重的平 面波展开。 2。各个平面波分量的空间频率正比于
cos cos
3。低频分量对应于与主轴Z夹角不大的平面波分量
和
高频分量对应于与主轴Z夹角较大的平面波分量
Information Optics 6
衍射的核心问题是：用确定边界上的复振幅分布来表 达光场中任一观察点的复振幅分布。 本章要解决的衍射问题是：已知某一平面的复振幅分 布，求另一观察面的复振幅分布。
亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理
ˆ n
V’
P0
G U U P G n U n dS 4 S 1
P
S
ˆ n
S
jkr e jkr U e r n U n r dS 4 S
第三章 标量衍射的角谱理论
2 2 z x0 max + y 0 max
及
2 2 z xmax + y max
因而
x x0 y y0 λf x = cosα ≈ 1, λf y = cos β ≈ 1 z z
用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则 1 1 λ 2 f x2 λ2 f y2 ≈ 1 λ 2 ( f x2 + f y2 ) 2 这样四重积分式变为 。
1 k ( x x 0 )2 + ( y y 0 )2 U ( x, y ) = exp( jkz )∫ ∫ U 0 ( x0 , y 0 ) exp j jλ z 2z ∞
∞
[
]dx dy
0
0
平面波角谱的衍射理论
本书的重点是从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题 前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分 布 U 0 ( x, y,0) 可通过傅里叶变换得到其角谱
∞ ∞
由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可看作是沿不同方向传 播的平面波，因此称空间频谱为平面波谱即复振幅分布的角谱 ∞ 同时有逆变换为
U ( x, y , z ) = ∫ ∫ A( f x , f y , z ) exp[ j 2π ( xf x + yf y )]df x df y
∞
上式说明，单色光波在某一平面上的光场分别可以看作是不同传 播方向的平面波的叠加，在叠加时各平面波有自己的振幅和位相， 它们的值分别为角谱的模和幅角。
复振幅分布的角谱
对任一平面上的光场复振幅分布作空间坐标的二维傅里叶变换， 可求得其频谱分布 设有一单色光波沿 z 方向投射到 x, y 平面上，在 z 处光场分 布为 U ( x, y, z ) 其频谱分布可由二维傅里叶变换计算得到为
及
2 2 z xmax + y max
因而
x x0 y y0 λf x = cosα ≈ 1, λf y = cos β ≈ 1 z z
用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则 1 1 λ 2 f x2 λ2 f y2 ≈ 1 λ 2 ( f x2 + f y2 ) 2 这样四重积分式变为 。
1 k ( x x 0 )2 + ( y y 0 )2 U ( x, y ) = exp( jkz )∫ ∫ U 0 ( x0 , y 0 ) exp j jλ z 2z ∞
∞
[
]dx dy
0
0
平面波角谱的衍射理论
本书的重点是从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题 前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分 布 U 0 ( x, y,0) 可通过傅里叶变换得到其角谱
∞ ∞
由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可看作是沿不同方向传 播的平面波，因此称空间频谱为平面波谱即复振幅分布的角谱 ∞ 同时有逆变换为
U ( x, y , z ) = ∫ ∫ A( f x , f y , z ) exp[ j 2π ( xf x + yf y )]df x df y
∞
上式说明，单色光波在某一平面上的光场分别可以看作是不同传 播方向的平面波的叠加，在叠加时各平面波有自己的振幅和位相， 它们的值分别为角谱的模和幅角。
复振幅分布的角谱
对任一平面上的光场复振幅分布作空间坐标的二维傅里叶变换， 可求得其频谱分布 设有一单色光波沿 z 方向投射到 x, y 平面上，在 z 处光场分 布为 U ( x, y, z ) 其频谱分布可由二维傅里叶变换计算得到为
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U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
定义:复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率 平面波在 x 和 y 方向的空间频率分别为: 三、平面波的复振幅表示 平面波的空间频率一般情形
1 cos a fx ; X l
1 cos b fy Y l
j(P) = k . r
k : 传播矢量 球面波: k//r
k = | k |=2p /l , 为波数。表 示由于波传播, 在单位长度 上引起的位相变化, 也表明 了光场变化的“空间频率”
(P(x,y,z))
y k
(r
z
则P点处的复振幅：
源点S
a0: 单位距离 处的光振幅 0 x
a0 jkr U ( P) e r
在x-y平面上的等位相线 xcosa + ycosb = const 为平行直线族
随x,y线性变化的 位相因子
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示－－平面波的空间频率
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的位相分布。等位相 线是平行直线族。为简单计，先看k在x-z平面内：cosb =0 复振幅分布:
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示--近轴近似 a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
对给定平面 是常量
随x, y变化的二次位相因子 球面波特征位相
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的复振幅:
cos g 1 cos 2 a cos 2 b
U ( x, y, z ) a exp( jkz 1 cos 2 a cos 2 b ) exp[ jk ( x cos a y cos b )]
常数幅相因子, A
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
k: 传播矢量
球面波的等位相面：以S为中心的球面，r =const
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 会聚球面波
a0 jkr 会聚球面波 U ( P ) e r
(P(x,y,z))
y k
会聚点S
(r
z
0 x
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 球面波的空间分布
P点处的复振幅:U ( P )
概述
什么是标量衍射理论？
• 光的衍射
几何光学：不能用反射或折射来解释的光线对直线 光路的任何偏离。 信息光学：衍射是由光波的横向宽度受到限制而引 起的，当限制的尺度与所用的辐射波长在一个量级 时，衍射现象最显著。
• 光的标量衍射理论的条件
（1）衍射孔径比波长大很多； （2）观察点离衍射孔不靠太近。 标量衍射理论是一种近似理论，当衍射场能量分布 与光的偏振状态密切相关时，必须采用矢量衍射理 论。
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示
等相面为平面， 且这些平面垂直 于光波传播矢量 k。 k 的方向余弦
均为常量
等相平面的法线方向k (kcosa, kcosb, kcosg)
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示
等相面为平面，且这些平面垂直于光波传播矢量 k。 等相平面的法线方向 k (kcosa, kcosb, kcosg) k 的方向余弦, 均为常量
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 2 z ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 可以作泰勒展开 r z 2z (1+D)1/2 1+ D /2
一级近似 二级近似
对振幅中r 的可作一级近似。 但因为 k 很大，对位相中的 r 须作二级近似 a0 jkr a0 exp(jkz) exp j k ( x x ) 2 ( y y ) 2 U ( P) e 0 0 z r 2z
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j (P)必须满足的关系，将光场用复数表 示，以利于简化运算
u(P,t) = a(P){cos[2pnt - j(P)]} = e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于 = e{a(P) e jj(P). e -j2pnt } 将时空变量分开
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
练习 1
单位振幅的单色平面波，波矢量k与x轴 夹角为30，与y轴夹角为60。 (1)画出z = z1平面上间隔为2p的等相线族, 并求出Tx、 Ty、T 和fx 、fy和 f。 (2)画出y = y1平面上间隔为2p的等相线族, 并求出Tx、 Tz 和fx 、fz.
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波：等相面为球面，且所有等相面有共同中心的波 点光源或会聚中心 设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
一、光振动的复振幅表示
单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为: u P, t a P cos 2πn t j P 振幅 频率 初位相 光场随时间的变化关系: 由频率n表征。 可见光: n ~1014Hz 光场变化的时间周期为1/ n。 严格单色光: n为常数 光场随空间的变化关系体现在： (1) 空间各点的振幅可能不同 (2) 空间各点的初位相可能不 光场变化的空间周期为l。 同，由传播引起。 由于u(P,t) 必须满足波动方程， 可以导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系
以 k 表示的等相平面方程为 k .r = const.
故平面波复振幅表达式为：
U ( x, y, z ) a exp( jk r ) a exp[ jk ( x cosa y cos b z cosg )]
常量振幅 线性位相因子
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示 平面波:在给定平面的分布
r [(x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 z 2 ]1/ 2 ( x x0 ) ( y y0 ) z 1 2 z
2 2 1/ 2
需要作近轴近似
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 球面波：近轴近似 只考虑 x - y平面上对源点 S 张角不大的范围，即
光强是波印廷矢量的时间平均值，正比于电场振幅的平方
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
• 电磁波的传播：电场和磁场紧密联系，相互激发形成统一的 场——电磁场，交变电磁场在空间以一定的速度由近及远的 传播形成电磁波。
• 波动方程：
拉普拉斯算符
2 1 E 2 c 2 1 B 2 c
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
如果平面波传播方向在xz平面(或yz平面), 与z轴夹角为qห้องสมุดไป่ตู้则此平面波复振幅沿x方向 (或y方向)的空间频率为:
• 瑞利-索末菲公式的提出与完善。
概述
本章主要研究内容和特点
• 主要研究内容：
从基尔霍夫衍射理论和角谱衍射理论出发，讨 论衍射问题。
• 特点：
–光的衍射将利用线性系统理论进行重新解释； –将衍射现象看做线性不变系统，分别讨论光学 系统的脉冲响应和传递函数。
第三章 标量衍射的角谱理论 §3-1 光波的数学描述
fx
x
cosa, cosb 为波 矢的方向余弦
1 sin q y fy Y l
若波矢在 x-z 平面或 y-z 平面中, a b 又常用它 们的余角qx (qy)表示，故： 1 sin q 引入空间频率概念后， 单色平面波 在xy 平面的复振幅分布可以表示为
X
l
;
U ( x, y) A exp[j 2p ( f x x f y y)]
• U(P)是空间点的复函数，描写光场的空间分布， 与时间无关； • U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)| 和相对位相 arg(U)= j(P) • 方便运算，满足叠加原理 • 实际物理量是实量，要恢复为真实光振动： u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可 • 光强分布：I = UU*
U ( x, y) A exp(jkx cosa )
等位相面是平行于y 轴的一系列平面，间隔为l 等位相面与x-z平面相交 等位相面与x-y平面相交 形成平行于y轴的直线 形成平行直线 沿x方向的等相线 间距：
z
2p l X k cos a cos a
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示－－平面波的空间频率
一、光振动的复振幅表示
1 2 将U(P)exp(j2pn t)代入波动方程 2u 2 2 u 0 c t 可导出复振幅满足的方程为：
( k )U 0 ——不含时间变量的波动方程 2p 称为波数或传播常数， k 表示单位长度上产生的相位变化 l
2 2
即亥姆霍兹（Helmholtz)方程
复振幅分布:
U ( x, y) A exp(jkx cosa )
1 cos a fx X l
Y = ∞， fy=0
复振幅分布可改写为:
定义 复振幅分布在x方向的空间频率：
对于在x-z平面内传播的平面波，在y方向上有：
U ( x, y) A exp(j 2pf x x)
§3-1 光波的数学描述
a0 jkr e r
取决于k与r是平行 还是反平行
定义:复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率 平面波在 x 和 y 方向的空间频率分别为: 三、平面波的复振幅表示 平面波的空间频率一般情形
1 cos a fx ; X l
1 cos b fy Y l
j(P) = k . r
k : 传播矢量 球面波: k//r
k = | k |=2p /l , 为波数。表 示由于波传播, 在单位长度 上引起的位相变化, 也表明 了光场变化的“空间频率”
(P(x,y,z))
y k
(r
z
则P点处的复振幅：
源点S
a0: 单位距离 处的光振幅 0 x
a0 jkr U ( P) e r
在x-y平面上的等位相线 xcosa + ycosb = const 为平行直线族
随x,y线性变化的 位相因子
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示－－平面波的空间频率
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的位相分布。等位相 线是平行直线族。为简单计，先看k在x-z平面内：cosb =0 复振幅分布:
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示--近轴近似 a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
对给定平面 是常量
随x, y变化的二次位相因子 球面波特征位相
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的复振幅:
cos g 1 cos 2 a cos 2 b
U ( x, y, z ) a exp( jkz 1 cos 2 a cos 2 b ) exp[ jk ( x cos a y cos b )]
常数幅相因子, A
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
k: 传播矢量
球面波的等位相面：以S为中心的球面，r =const
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 会聚球面波
a0 jkr 会聚球面波 U ( P ) e r
(P(x,y,z))
y k
会聚点S
(r
z
0 x
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 球面波的空间分布
P点处的复振幅:U ( P )
概述
什么是标量衍射理论？
• 光的衍射
几何光学：不能用反射或折射来解释的光线对直线 光路的任何偏离。 信息光学：衍射是由光波的横向宽度受到限制而引 起的，当限制的尺度与所用的辐射波长在一个量级 时，衍射现象最显著。
• 光的标量衍射理论的条件
（1）衍射孔径比波长大很多； （2）观察点离衍射孔不靠太近。 标量衍射理论是一种近似理论，当衍射场能量分布 与光的偏振状态密切相关时，必须采用矢量衍射理 论。
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示
等相面为平面， 且这些平面垂直 于光波传播矢量 k。 k 的方向余弦
均为常量
等相平面的法线方向k (kcosa, kcosb, kcosg)
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示
等相面为平面，且这些平面垂直于光波传播矢量 k。 等相平面的法线方向 k (kcosa, kcosb, kcosg) k 的方向余弦, 均为常量
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 2 z ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 可以作泰勒展开 r z 2z (1+D)1/2 1+ D /2
一级近似 二级近似
对振幅中r 的可作一级近似。 但因为 k 很大，对位相中的 r 须作二级近似 a0 jkr a0 exp(jkz) exp j k ( x x ) 2 ( y y ) 2 U ( P) e 0 0 z r 2z
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j (P)必须满足的关系，将光场用复数表 示，以利于简化运算
u(P,t) = a(P){cos[2pnt - j(P)]} = e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于 = e{a(P) e jj(P). e -j2pnt } 将时空变量分开
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
练习 1
单位振幅的单色平面波，波矢量k与x轴 夹角为30，与y轴夹角为60。 (1)画出z = z1平面上间隔为2p的等相线族, 并求出Tx、 Ty、T 和fx 、fy和 f。 (2)画出y = y1平面上间隔为2p的等相线族, 并求出Tx、 Tz 和fx 、fz.
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波：等相面为球面，且所有等相面有共同中心的波 点光源或会聚中心 设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
一、光振动的复振幅表示
单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为: u P, t a P cos 2πn t j P 振幅 频率 初位相 光场随时间的变化关系: 由频率n表征。 可见光: n ~1014Hz 光场变化的时间周期为1/ n。 严格单色光: n为常数 光场随空间的变化关系体现在： (1) 空间各点的振幅可能不同 (2) 空间各点的初位相可能不 光场变化的空间周期为l。 同，由传播引起。 由于u(P,t) 必须满足波动方程， 可以导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系
以 k 表示的等相平面方程为 k .r = const.
故平面波复振幅表达式为：
U ( x, y, z ) a exp( jk r ) a exp[ jk ( x cosa y cos b z cosg )]
常量振幅 线性位相因子
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示 平面波:在给定平面的分布
r [(x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 z 2 ]1/ 2 ( x x0 ) ( y y0 ) z 1 2 z
2 2 1/ 2
需要作近轴近似
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 球面波：近轴近似 只考虑 x - y平面上对源点 S 张角不大的范围，即
光强是波印廷矢量的时间平均值，正比于电场振幅的平方
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
• 电磁波的传播：电场和磁场紧密联系，相互激发形成统一的 场——电磁场，交变电磁场在空间以一定的速度由近及远的 传播形成电磁波。
• 波动方程：
拉普拉斯算符
2 1 E 2 c 2 1 B 2 c
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
如果平面波传播方向在xz平面(或yz平面), 与z轴夹角为qห้องสมุดไป่ตู้则此平面波复振幅沿x方向 (或y方向)的空间频率为:
• 瑞利-索末菲公式的提出与完善。
概述
本章主要研究内容和特点
• 主要研究内容：
从基尔霍夫衍射理论和角谱衍射理论出发，讨 论衍射问题。
• 特点：
–光的衍射将利用线性系统理论进行重新解释； –将衍射现象看做线性不变系统，分别讨论光学 系统的脉冲响应和传递函数。
第三章 标量衍射的角谱理论 §3-1 光波的数学描述
fx
x
cosa, cosb 为波 矢的方向余弦
1 sin q y fy Y l
若波矢在 x-z 平面或 y-z 平面中, a b 又常用它 们的余角qx (qy)表示，故： 1 sin q 引入空间频率概念后， 单色平面波 在xy 平面的复振幅分布可以表示为
X
l
;
U ( x, y) A exp[j 2p ( f x x f y y)]
• U(P)是空间点的复函数，描写光场的空间分布， 与时间无关； • U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)| 和相对位相 arg(U)= j(P) • 方便运算，满足叠加原理 • 实际物理量是实量，要恢复为真实光振动： u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可 • 光强分布：I = UU*
U ( x, y) A exp(jkx cosa )
等位相面是平行于y 轴的一系列平面，间隔为l 等位相面与x-z平面相交 等位相面与x-y平面相交 形成平行于y轴的直线 形成平行直线 沿x方向的等相线 间距：
z
2p l X k cos a cos a
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示－－平面波的空间频率
一、光振动的复振幅表示
1 2 将U(P)exp(j2pn t)代入波动方程 2u 2 2 u 0 c t 可导出复振幅满足的方程为：
( k )U 0 ——不含时间变量的波动方程 2p 称为波数或传播常数， k 表示单位长度上产生的相位变化 l
2 2
即亥姆霍兹（Helmholtz)方程
复振幅分布:
U ( x, y) A exp(jkx cosa )
1 cos a fx X l
Y = ∞， fy=0
复振幅分布可改写为:
定义 复振幅分布在x方向的空间频率：
对于在x-z平面内传播的平面波，在y方向上有：
U ( x, y) A exp(j 2pf x x)
§3-1 光波的数学描述
a0 jkr e r
取决于k与r是平行 还是反平行