八年级数学竞赛例题专题讲解8：分式方程 含答案

专题08 分式方程

阅读与思考

分母含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有直接去分母、换元法等．

在解分式方程中，有可能产生增根．尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根， 挖掘隐含条件．

例题与求解

【例1】 若关于x 的方程22

x a x +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是______． （黄冈市竞赛试题）

解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．

【例2】 已知()22221111

x x A B C x x x x x +-=++--，其中A ，B ，C 为常数．求A ＋B ＋C 的值． （“五羊杯”竞赛试题） 解题思路：将右边通分，比较分子，建立A ，B ，C 的等式．

【例3】解下列方程：

（1）596841922119968

x x x x x x x x ----+=+----； （“五羊杯”竞赛试题） （2）222234112283912

x x x x x x x x ++-+=+-+； （河南省竞赛试题） （3）2x ＋2

1x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭＝3． （加拿大数学奥林匹克竞赛试题） 解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．

【例4】（1）方程

18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是___________． （江苏省竞赛试题）

（2）方程222111132567124

x x x x x x x ++=+++++++的解是________． （“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．

【例5】若关于x 的方程2211k x kx x x x x

+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解． （江苏省竞赛试题）

解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．

【例6】求方程11156

x y z ++=的正整数解． （“希望杯”竞赛试题） 解题思路：易知,,x y z 都大于1，不妨设1＜x ≤y ≤z ，则

111x y z ≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．

能力训练

A 级

1．若关于x 的方程

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ax x +-=-有增根，则a 的值为________． （重庆市中考试题） 2．用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21x x -＝y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是___________． （上海市中考试题）

3．方程2211340x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝

⎭的解为__________． （天津市中考试题） 4．两个关于x 的方程220x x --=与132x x a

=-+有一个解相同，则a ＝_______． （呼和浩特市中考试题）

5．已知方程11x a x a

+

=+的两根分别为a ，1a ，则方程1111x a x a +=+--的根是（ ）． A ．a ，11a - B ．11a -，1a - C ．1a ，1a - D ．a ，1a a - （辽宁省中考试题）

6．关于x 的方程

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x m x +=-的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞－1 B ．m ＞－1且m ≠0

C ．m ＜－1

D ．m ＜－l 且m ≠－2 （孝感市中考试题）

7．关于x 的方程22x c x c +

=+的两个解是x 1＝c ，x 2＝2c ，则关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个解是（ ） ．

A ．a ，2a

B ．a －1，21a -

C ．a ，21a -

D ．a ，11

a a +- 8．解下列方程： （1）()2221160x x x x

+++-=； （苏州市中考试题） （2）2216104933x x x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭

． （盐城市中考试题）

9．已知13x x +

=．求x 10＋x 5＋51011x x +的值．

10．若关于x 的方程2211k x kx x x x x

+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值． （黄冈市竞赛试题）

11．已知关于x 的方程x 2

＋2x ＋221022m x x m -=+-，其中m 为实数.当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.

（聊城市中考试题）

12．若关于x 的方程()()

122112x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值． （“希望杯”邀请赛试题）

B 级

1．方程222211114325671221

x x x x x x x x +++=+++++++的解是__________． （“祖冲之杯”邀请赛试题）

2．方程222111011828138

x x x x x x ++=+-+---的解为__________． 3．分式方程()()

1112x m x x x -=--+有增根，则m 的值为_________． 4．若关于x 的分式方程

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x a x +-＝－1的解是正数，则a 的取值范围是______． （黑龙江省竞赛试题） 5．（1）若关于x 的方程

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m x x =---无解，则m ＝__________． （沈阳市中考试题） （2）解分式方程225111m x x x +=+--会产生增根，则m ＝______． （“希望杯”邀请赛试题） 6．方程33116x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭

的解的个数为（ ）． A ．4个 B ．6个 C ．2个 D ．3个