高中数学选修2-1--命题及其关系-公开课教案1

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高中数学命题及其关系教案5 新人教A版选修2-1

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互第二课时 1.1.2 命题及其关系（二）教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.教学重点：四种命题的概念及相互关系.教学难点：四种命题的相互关系.教学过程：一、复习准备：指出下列命题中的条件与结论，并判断真假：（1）矩形的对角线互相垂直且平分；（2）函数232y x x =-+有两个零点.二、讲授新课：（师生共析→学生说出答案→教师点评）②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：（1）同位角相等，两直线平行；（2）正弦函数是周期函数；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（学生自练→个别回答→教师点评）2. 教学四种命题的相互关系：①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系.②四种命题的相互关系图：③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系. ④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.⑤例2 若222p q +=，则2p q +≤.（利用结论一来证明）（教师引导→学生板书→教师点评）3. 小结：四种命题的概念及相互关系.三、巩固练习：1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.（1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+；（3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形；（5）相切两圆的连心线经过切点.2. 作业：教材P9页第2（2）题P10页第3（1）题。

1.1.命题-人教B版选修2-1教案

1.1.命题-人教B版选修2-1教案1. 教学目标1.了解命题的概念及特点；2.学会使用真假命题、命题联结词等概念；3.能够将复杂的语句转化为命题；4.能够判断命题的真假。

2. 教学重点1.命题的概念及特点；2.真假命题、命题联结词等概念；3.将复杂语句转化为命题；4.命题的真假判断。

3. 教学难点1.较为复杂的命题联结符的使用；2.复杂语句的转化为命题；3.命题的判断。

4. 教学方法1.讲解法；2.示范法；3.练习法；4.分组讨论法。

5. 教学过程5.1. 导入新课通过几个小问题引入命题的概念，引起学生对本节课的兴趣。

5.2. 讲解命题首先给学生介绍命题的概念及特点。

并通过实例讲解命题的基本成分：命题主语和命题谓语，以及对命题的符号化表示。

5.3. 命题联结词接着，介绍命题联结词，包括合取、析取、蕴含和等价。

并给出实例，让学生了解命题联结词的使用方法。

5.4. 恒真命题与矛盾命题介绍恒真命题和矛盾命题的概念及特点，以及在实际生活中的应用。

并通过实例和练习让学生理解。

5.5. 判断复杂命题讲解如何将复杂的语句转化为命题，并演示如何通过真假命题和命题联结词，将复杂命题转化为简单命题。

并通过练习让学生掌握方法。

5.6. 命题的真假判断讲解如何通过真值表等方法判断命题的真假，并进行实例演练。

通过练习让学生掌握方法。

5.7. 总结课程对本节课内容进行总结，强调学生需要掌握的知识和技能。

6. 教学评估通过作业、小测验和课堂讨论等方式对学生的命题知识进行评估，检测学生的掌握程度和理解情况。

7. 拓展阅读为了加深学生对命题的理解和应用，可以为学生提供相关的阅读材料和实例分析，让学生进一步提高应用能力和分析能力。

8. 教学反思通过教学反思，总结本节课的优点和不足，为下节课的教学做好准备。

人教课标版高中数学选修2-1：《命题及其关系》教案-新版

1.1 命题及其关系一、教学目标（一）学习目标1.了解命题的定义，理解命题的条件和结论，能把命题改写成“若p，则q”的形式．2.能判断命题的真假．（二）学习重点命题的概念、命题的构成．（三）学习难点分清命题的条件、结论和判断命题的真假．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题.其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题．（2）命题一般可以用表示，如．预习自测1．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？(1)2+2是有理数；(2)1+1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？【知识点】命题的概念．【数学思想】【解题过程】因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．【思路点拨】略【答案】(1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题2．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)等腰梯形的两条对角线相等；(2)平行四边形的两条对角线互相垂直．【知识点】命题的概念．【数学思想】【解题过程】(1)若一个梯形是等腰梯形，则它的两条对角线相等．根据等腰梯形的性质显然为真命题．(2)若一个四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直．平行四边形两条对角线互相平分，只有为菱形时对角线才互相垂直，所以为假命题．【思路点拨】等腰梯形、平行四边形性质的理解．【答案】(1)若一个梯形是等腰梯形，则它的两条对角线相等．真命题．(2)若一个四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直．假命题．3．下列四个命题中，真命题是（）A．a＞b，c＞d⇒ac＞bd B．a＜b⇒a2＜b2C．11a b⇒a＞b D．a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d【知识点】命题的真假．【数学思想】【解题过程】A．当a、b为正数，c、d为负数时不成立；B．当a、b中有一个为0时不成立；C．当a、b为负数时不成立；D．正确．【思路点拨】不等式的基本性质，常用举反例的方法．【答案】D．4．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) ”的条件p：______________，结论q：______________．它是________命题（填“真”或“假”)．【知识点】命题的概念．【数学思想】【解题过程】条件“a>0”；结论“二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”．显然为真命题．【思路点拨】命题条件标志性词为“若”，结论标志性词为“则”．【答案】a>0；二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)；真．(二)课堂设计教学过程设计2．问题探究探究一分析语句，理解命题●活动①归纳提炼概念请同学们随意说一句完整的话，每个小组可以派一名同学说，如：(1)我是中国人．(2)我家住在北京．(3)你吃饭了吗？(4)两条直线平行，内错角相等．(5)画一个45°的角．(6)平角与周角一定不相等．找出哪些是判断某一件事情的句子？（抢答）学生答：(1)，(2)，(4)，(6)．教师给出命题的概念，并举例．命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析(3)，(5)为什么不是命题．教师分析以上命题中，紧抓两个关键点：一是“陈述句”，二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．●活动②概念辨析，巩固概念在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子，每组再选一个同学说．(不要让说过的再说)如：(1)对顶角相等．(2)等角的余角相等．(3)一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线一定是这个角的平分线．(4)如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0．(5)当a＞0时，|a|=a．(6)小于直角的角一定是锐角．在学生举例的基础上，教师有意说出以下两个例子，并问这是不是命题．(7)a＞0，b＞0，a+b=0．(8)2与3的和是4．有些学生可能给予否定，这时教师再与学生共同回忆命题的定义，加以肯定，先不要给出假命题的概念，而是从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．【设计意图】通过概念辨析，加深对集合内涵与外延的理解，突破重点．●活动③分析命题的构成，改写命题的形式．例如：“两条直线平行，同位角相等．”这个命题由哪些部分构成的？分析此命题的构成．前一部分是后一部分成立的条件，后一部分是在前一部分条件下所得的结论．已知事项为“题设”，由已知推出的事项为“结论”．定义：从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．请同学们将下列命题写成写成“若p，则q”的形式．①对顶角相等．②两条直线平行，内错角相等．③等角的补角相等．以上三个命题的改写由学生进行，对②要更改为“如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等．”提示学生注意：题设的条件要全面、准确．如果条件不止一个时，要一一列出．如：两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，可改写为：“如果两条直线相交，而且有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直．”【设计意图】加深学生对命题形式的理解．探究二分析命题，理解真、假命题●活动①归纳提炼概念请同学们分析两个命题的不同之处．(1)若a＞0，b＞0，则a+b＞0．(2)若a＞0，b＞0，则a+b＜0．相同之处：都是命题．为什么？都是对a＞0，b＞0时，a+b的和的正负，做出判断，都有题设和结论．不同之处：(1)中的结论是正确的，(2)中的结论是错误的．教师及时指出：同学们发现了命题的两种情况．结论是正确的或结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题．真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题，叫做真命题．假命题：如果题设成立，结论不成立，这样的命题都是错误的命题，叫做假命题．注意：(1)真命题中的“一定成立”不能有一个例外；(2)假命题中“结论不成立”是指“不能保证结论总是正确”；(3)注意命题与假命题的区别，如：“延长直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．(4)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真假命题，强调真假命题的大前提，首先是命题．【设计意图】让学生理解真假命题的概念．●活动②运用概念，判断真假命题．例1 请判断以下命题的真假．(1)若ab＞0，则a＞0，b＞0．(2)两条直线相交，只有一个交点．(3)如果n是整数，那么2n是偶数．(4)如果两个角不是对顶角，那么它们不相等．(5)直角是平角的一半．【知识点】命题的真假．【数学思想】【解题过程】(1)若ab＞0，则a<0，b<0也成立；(4)不是对顶角的两个角也可能相等，如同位角等．【思路点拨】举反例．【答案】(1)(4)都是假命题，(2)(3)(5)是真命题．总结：怎样辨别一个命题的真假．(1)实际生活问题，实践是检验真理的唯一标准．(2)数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．(3)要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．【设计意图】让学生运用真假命题的概念判断命题的真假，巩固概念．●活动③巩固基础，检查反馈例2 在空间，下列命题正确的是( )A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【知识点】点线面位置关系、命题．【解题过程】A 中平行投影可能平行，A 为假命题．B 、C 中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质知，D 为真命题．【思路点拨】通过点线面的知识和命题的概念判断．【答案】D ．同类训练下列四个命题中，真命题是（）A ．a b >，c d >ac bd ⇒>B ．22a b a b <⇒< C. 11a b a b<⇒> D ．a b >，c d a c b d <⇒->- 【知识点】不等式的性质、命题．【数学思想】【解题过程】可以通过举反例的方法说明A 、B 、C 为假命题．【思路点拨】通过不等式的性质和命题的概念判断．【答案】D ．●活动④ 强化提升，灵活运用例3 命题“若a >0，则二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p ：________，结论q ：_________.它是________命题(填“真”或“假”)．【知识点】不等式的性质、命题．【数学思想】【解题过程】a >0时，设a ＝1，把(0,0)代入x ＋y －1≥0得－1≥0不成立，∴x ＋y －1≥0表示直线的右上方区域．∴命题为真命题．【思路点拨】通过不等式的性质和命题的概念判断．【答案】 a>0 二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界) 真同类训练把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当14m >时，方程mx 2－x ＋1＝0无实根； (2)平行于同一平面的两条直线平行．【知识点】一元二次方程根的性质、点线面的位置关系、命题．【解题过程】根据命题的形式改写命题，根据一元二次方程根的性质、点线面的位置关系判断．【思路点拨】通过不等式的性质和命题的概念判断．【答案】(1)命题可改写为：若14m>，则mx2－x＋1＝0无实根．因为当14m>时，Δ＝1－4m<0，所以是真命题．(2)命题可改写为：若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行．因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题．●活动④介绍一个不辨真伪的命题．“每一个大于4的偶数都可以表示成两个质数之和”．(即著名的哥德巴赫猜想) 我们可以举出很多数字，说明这个结论是正确的，而且至今没有人举出一个反例，但也没有一个人能证明它对一切大于4的偶数正确．我国著名的数学家陈景润，已证明了“每一个大于4的偶数都可以表示成一个质数与两个质数之积的和”．即已经证明了“1+2”，离“ 1+1”只差“一步之遥”．所以这个命题的真假还不能做最好的判定．【设计意图】让学生了解数学文化，激发学生的学习兴趣．3.课堂总结知识梳理1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．命题是由条件和结论两部分构成，均可写成“若p，则q”的形式．3．如果命题的条件通过推理可以得到命题的结论，这样的命题称为真命题；如果命题的条件通过推理不可以得到命题的结论，这样的命题称为假命题．重难点归纳1．命题与真、假命题的关系．2．抓住命题的两部分构成，判断一些语句是否为命题．3．命题中的题设条件，有两个或两个以上，写“如果”时应写全面．4．判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，数学问题要经过证明．（三）课后作业基础型自主突破1．下列语句中命题的个数为（）①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A．0 B．1C．2 D．3【知识点】命题的概念．【数学思想】【解题过程】①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．【思路点拨】理解命题的概念．【答案】C．2．若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数（）A．不是命题B．是真命题C．是假命题D．是命题，但真假与x的取值有关【知识点】命题真假的判断，指数函数．【数学思想】【解题过程】当a>1时，指数函数f(x)＝a x是增函数，故“若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数”是真命题．【思路点拨】指数函数的单调性．【答案】B．3．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α【知识点】命题真假的判断，空间中点线面的位置关系．【数学思想】【解题过程】验证排除法：A选项中缺少条件m与n相交；B选项中两平行平面内的两条直线m与n关系不能确定；C选项中缺少条件n⊄α.【思路点拨】空间中点线面的位置关系．【答案】D．4．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0. 其中是真命题的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【知识点】命题真假的判断，不等式，一元二次方程，平面几何．【数学思想】【解题过程】①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.【思路点拨】常见命题真假的判断．【答案】B．5．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是（）A．a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c【知识点】命题真假的判断，向量．【数学思想】【解题过程】A选项中可能有a⊥b；C选项中a2＝b2说明|a|＝|b|，a与b并不一定共线，D选项中a·b＝a·c说明a·(b－c)＝0，则a⊥(b－c) ．【思路点拨】向量的运算性质．【答案】B．6．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形【知识点】命题的形式．【数学思想】【解题过程】该命题的条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．【思路点拨】命题的条件和结论．【答案】C．能力型师生共研7．给出下列四个命题：①若a>b>0，则1a>1b；②若a>b>0，则a－1a>b－1b；③若a>b>0，则2a＋ba＋2b>ab；④若a>0，b>0，且2a＋b＝1，则2a＋1b的最小值为9.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 【知识点】命题真假的判断，不等式．【数学思想】【解题过程】①在a>b>0两端同乘以1ab可得1b>1a，故①错；②由于1()aa-1()bb--＝(a－b)0)11(>+ab，故②正确；③由于2a＋ba＋2b－ab＝22(2)b ab a b-+<0，即2a＋ba＋2b<ab，故③错；④由2a＋1b＝)12(ba+·(2a＋b)＝5＋2ba＋2ab≥5＋22ba·2ab＝9，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝13时取得等号，故④正确．【思路点拨】不等式的性质和比较大小的方法．【答案】②④．8．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定向量b和正数μ，总存在单位向量c，使a＝λb＋μc.④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b、c和a在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【知识点】命题真假的判断，平面向量的基本定理．【数学思想】【解题过程】对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，取值法)4,4(=a ，2=μ，)0,1(=b 无论λ取何值，向量b λ都平行于x 轴，而向量c μ的纵坐标一定为4，故找不到这样一个单位向量c 使等式成立所以③错误；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a |，|λb |，|μc |为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b 和c 就不存在．可举反例：λ＝μ＝1，b 与c 垂直，此时必须a 的模为2才成立．【思路点拨】熟悉平面向量基本定理的几何意义．【答案】B ．探究型多维突破9．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是________．【知识点】命题真假的判断，函数的单调性和最值．【数学思想】【解题过程】由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才可能在x ＝a 时，f (x )取最小值b －a 2，所以③错误，④正确．【思路点拨】函数单调性的判断和最值的求法．【答案】①④．10．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．【知识点】真假命题，不等式．【数学思想】【解题过程】由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0.解得x ≤－1或x ≥3.故命题p ：x ≤－1或x ≥3.又命题q ：0<x <4，且命题p 为真，命题q 为假，则⎩⎨⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，所以x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．【思路点拨】函数的定义域的判断和不等式的解法．【答案】(－∞，－1]∪[4，＋∞)．自助餐11．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，在当时条件下，可以作为命题的是（）A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思【知识点】命题的概念．【数学思想】【解题过程】“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.【思路点拨】命题的概念．【答案】A ．12．下面是关于四棱柱的四个命题：①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．【知识点】命题真假的判断，空间几何体．【数学思想】【解题过程】②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行，可知命题成立，④中由题意，可知对角面均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如有一对侧面与底面垂直的斜四棱柱．【思路点拨】棱柱的概念．【答案】②④．13．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________．【知识点】命题真假的判断，空间中点线面的位置关系．【数学思想】【解题过程】∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c不一定共面，∴命题④不正确．【思路点拨】空间中直线与直线的位置关系．【答案】0．14．设α、β、γ为两两不重合的平面，c、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②如果α∥β，c⊂α，则c∥β；③如果α∩β＝c，β∩γ＝m，γ∩α＝n，c∥γ，则m∥n.其中真命题个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【知识点】命题真假的判断，空间中点线面的位置关系．【数学思想】【解题过程】①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，①错误；②中∵α∥β，∴α与β无公共点，又c⊂α，∴c与β无公共点，∴c∥β，故②正确；由c∥γ，c⊂β，β∩γ＝m得c∥m，同理可得c∥n，∴m∥n，故③正确．【思路点拨】点线面的位置关系．【答案】C．15．判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假．(1)末位是0的整数能被5整除；(2)余弦函数是周期函数吗？(3)求证：当x∈R时，方程x2＋x＋2＝0无实根．【知识点】命题真假的判断．【数学思想】【解题过程】由命题的概念可知只有(1)是命题且为真命题．【思路点拨】命题的概念．【答案】(1)是命题，真命题．(2)、(3)不是命题．16．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)对角线相等的四棱柱是长方体；(2)整数的平方是非负整数；(3)能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．【知识点】命题的形式．【数学思想】【解题过程】分清命题的条件和结论．【思路点拨】命题的形式改写．【答案】(1)可写为：“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱．(2)“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题．(3)“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题．。

高中数学人教版选修2-1 1.1.1命题教案(系列二)

1.1 命题及其关系1.1.1 命题一：教法分析●三维目标1.知识与技能理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．2．过程与方法多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．●重点、难点重点：命题的概念、命题的构成．难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．二：方案设计●教学建议命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假；重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破重难点．●教学流程创设问题情境，引出命题的概念，通过实例形成概念原型.⇒引导学生结合初中学习过的命题概念，比较、分析，揭示命题的特点及构成形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解判断命题真假的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断一个语句是否为命题.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握命题真假的判断方法，并对相关知识进行复习.⇒通过例3及其变式训练，完成对命题形式的认识与巩固，学会对命题进行改写.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.三、自主导学观察下列实例：①一条直线l，不是与平面α平行就是相交；②4是集合{1,2,3,4}的元素；③若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；④作△ABC∽△A′B′C′上述语句中，哪些能判断真假？【提示】①、②、③、④是祈使句不能判断真假．1．定义在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．分类①真命题：判断为真的语句叫做真命题；②假命题：判断为假的语句叫做假命题.1．“同位角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？【提示】是命题，为假命题．2．你能把“同位角相等”写成“若……，则……”的形式吗？【提示】若两个角为同位角，则这两个角相等．命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.四、互动探究例1(1)x－2＞0；(2)梯形是不是平面图形呢？(3)若a与b是无理数，则ab是无理数；(4)这盆花长得太好了！(5)若x＜2，则x＜3.【思路探究】(1)这些语句是陈述句吗？(2)你能判断它们的真假吗？【自主解答】(1)不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．(2)不是命题，疑问句不是命题．(3)是命题，因为此语句是陈述句且是假的．(反例a＝b＝2)(4)不是命题，感叹句不是命题．(5)是命题，因为此语句是陈述句且是真的．（一）规律方法判断一个语句是否为命题的步骤：(1)语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．(2)该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，是明确的，不能模棱两可．（二）变式训练判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)一条直线l，与平面α不是平行就是相交；(2)若xy＝1，则x，y互为倒数；(3)作△ABC∽△A′B′C′.【解】(1)是命题．直线l与平面α有相交、平行、l在平面α内三种关系，为假．(2)是命题．因xy＝1时，x，y互为倒数，为真．(3)不是命题，祈使句不是命题．例2(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)若x＝4，则2x＋1＜0；(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(4)求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．【思路探究】语句――→命题定义判定是否是命题――→证明举反例真假命题【自主解答】(1)(2)(3)是命题，(4)不是命题．命题(1)中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，为真命题．命题(2)中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．命题(3)中，当等比数列的首项a1(4)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．（一）规律方法1．真假命题的判定方法：(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．2．解决本类问题的难点是对相关知识的理解与掌握．（二）互动探究在本例中，把不是命题的改为命题后，再把假命题改为真命题．【解】(2)是假命题，改为真命题为：若x＝4时，则2x＋1＞0.(3)是假命题，改为真命题为：一个等比数列的公比大于1，首项大于零时，该数列为递增数列．(4)不是命题，改为真命题为：若x∈R，则方程x2－x＋2＝0无实根.例3(1)两个周长相等的三角形面积相等；(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m＞1时，x2－2x＋m＝0无实根；(4)当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.【思路探究】(1)这些命题的条件与结论分别是什么？(2)第2小题中大前提“已知x、y为正整数”该怎样处理？【自主解答】(1)若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题；(2)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；(3)若m＞1，则x2－2x＋m＝0无实根，真命题；(4)若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．（一）规律方法1．解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论，进而化成“若p ，则q ”的形式．2．对于命题的大前提，应当写在前面，不要写在条件中；对于改写时语句不通顺的情况，要适当补充使语句顺畅．（二）变式训练把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a －1)2＋(b －1)2＝0时，a ＝b ＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．【解】 (1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；(2)若(a －1)2＋(b －1)2＝0，则a ＝b ＝1，是真命题；(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．五、易误辨析因知识欠缺，导致对命题真假判断失误典例判断下列命题的真假．(1)若a ＞b ，则1a ＜1b； (2)x ＝1是方程(x －1)(x －2)＝0的一个根．【错解】 (1)真命题． (2)假命题．【错因分析】 (1)误认为“两数比较大小时，大数的倒数反而小”，而忽视a 、b 的条件，当a ＞0，b ＜0时，a ＞b 但1a ＞1b. (2)因为方程的根为x ＝1或x ＝2，解题时误认为x ＝1不全面，而没有分析清逻辑关系．【防范措施】平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻．【正解】 (1)假命题 (2)真命题六、课堂小结1．判断一个语句是否是命题要注意两点：(1)是不是陈述句；(2)能否判断真假．2．命题的真假判断要结合已有知识，进行严格的逻辑推理，对于描述较为简洁的命题可以分清条件和结论后改写成“若p ，则q ”的形式再加以判断.七、双基达标1．下列语句中是命题的是( )A.π2是无限不循环小数 B ．3x ≤5 C ．什么是“温室效应”D ．《非常学案》真好呀！【解析】疑问句和祈使句不是命题，C 、D 不是命题，对于B 无法判断真假，只有A 是命题．【答案】 A2．下列命题中是假命题的是( )A ．5是15的约数B ．对任意实数x ，有x 2＜0C ．对顶角相等D ．0不是奇数【解析】对任意实数x ，有x 2≥0，所以B 为假命题．A 、C 、D 均为真命题．【答案】 B3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改写成“若p ，则q ”的形式为________．【答案】若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行4．判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．(1)求证：2是无理数．(2)若G 2＝ab ，则a 、G 、b 成等比数列．(3)末位数字是0的整数能被5整除．(4)你是高二的学生吗？【解】 (1)不是命题，(2)假命题，(3)真命题，(4)不是命题.八、知能检测一、选择题1．(2013·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是( )A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行【解析】 A 中平行投影可能平行，A 为假命题．B 、C 中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D 为真命题．【答案】 D2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( )A ．这个数能被2整除B ．这个数能被3整除C ．这个数既能被2整除，也能被3整除D ．这个数是6的倍数【解析】 “若p ，则q ”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．【答案】 C3．下列命题中，是真命题的是( )A ．{x ∈R |x 2＋1＝0}不是空集B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．空集是任何集合的真子集D ．若1x ＝1y，则x ＝y 【解析】 A 中方程在实数范围内无解，故为假命题；B 中，若x 2＝1，则x ＝±1，也为假命题；因为空集是任何非空集合的真子集，故C 为假命题，D 为真．【答案】 D4．给出命题：方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3【解析】方程无实根应满足Δ＝a 2－4＜0即a 2＜4，故当a ＝0时适合条件．【答案】 C5．有下列命题：①若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；②若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有( )A ．0个B ．1个C ．2个【解析】 ①由x ·y ＝0得到x ＝0或y ＝0，所以|x |＋|y |＝0不正确，是假命题；②当a ＞b 时，有a ＋c ＞b ＋c 成立，正确，所以是真命题；③矩形的对角线不一定垂直，不正确．是假命题．【答案】 B二、填空题6．把“正弦函数是周期函数”写成“若p ，则q ”的形式是________．【答案】若函数为正弦函数，则此函数是周期函数．7．如果命题“若x ∈A ，则x ＋1x≥2”为真命题，则集合A 可以是________．(写出一个即可)【解析】当x ＞0时，有x ＋1x≥2，故A 可以为{x |x ＞0}．【答案】 {x |x ＞0}8．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数，②平行四边形是梯形，③若a ＞b ，则ac 2＞bc 2，④若x 、y 互为相反数，则x ＋y ＝0，其中真命题为________．【解析】 ①是真命题，②平行四边形不是梯形，假命题，③若a ＞b ，则ac 2≥bc 2，故为假命题，④为真命题．【答案】 ①④三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假：(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)当ac ＞bc 时，a ＞b ；(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【解】 (1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，真命题．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题．(3)若ac ＞bc ，则a ＞b ，假命题．(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等，真命题．10．判断下列命题的真假并说明理由．(1)合数一定是偶数；(2)若ab ＞0，且a ＋b ＞0，则a ＞0且b ＞0；(3)若m ＞14，则方程mx 2－x ＋1＝0无实根．【解】 (1)假命题．例如9是合数，但不是偶数．(2)真命题．因为ab ＞0，则a 、b 同号．又a ＋b ＞0故a 、b 不能同负，故a 、b 只能同正，即a ＞0且b ＞0.(3)真命题．因为当m ＞14时，Δ＝1－4m ＜0； ∴方程无实根．11．若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，求实数a 的取值范围．【解】因为ax 2－2ax －3＞0不成立，所以ax 2－2ax －3≤0恒成立．(1)当a ＝0时，－3≤0成立；(2)当a ≠0时，应满足⎩⎨⎧a ＜0，Δ≤0，解之得－3≤a ＜0.由(1)(2)，得a 的取值范围为[－3,0]．九、备课资源（一）备选例题下列四个命题：①若向量a ，b 满足a·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角；②已知集合A ＝{正四棱柱}，B ＝{长方体}，则A ∩B ＝B ；③在平面直角坐标系内，点M (|a |，|a －3|)与N (cos α，sin α)在直线x ＋y －2＝0的异侧； ④规定下式对任意a ，b ，c ，d 都成立．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋bc ab ＋bd ac ＋cd bc ＋d 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1. 其中真命题是________(将你认为正确的命题序号都填上)．【解析】当a 与b 的夹角为π时，有a·b ＜0，但此时的夹角不为钝角，所以①是错误的；因为正四棱柱的底面是正方形，所以A ∩B ＝A ，故②也是错误的；因为|a |＋|a －3|－2≥|a－a ＋3|－2＝1＞0，cos α＋sin α－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－2＜0，所以点M ，N 在直线x ＋y －2＝0的异侧，故③是真命题；根据题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α2＋cos 2α －sin αcos α＋cos αsin α－sin αcos α＋cos αsin α cos 2α＋sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1，所以④是真命题，故填③④.【答案】 ③④（二）备选变式把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．若函数f(x)＝3＋logx(x＞0)的图象与g(x)的图象关于x轴对称，则g(x)＝________.2【解析】设g(x)图象上任一点(x，y)，则它关于x轴的对称点为(x，－y)，此点在f(x)的图象上，故有：－y＝3＋logx成立，即y＝－3－log2x(x＞0)．2【答案】－3－logx(x＞0)2。

新人教版高中数学选修2-1教案：第1章命题与逻辑 1.1命题及其关系

1.1充分条件与必要条件【知识要点】1、命题的定义与结构（1）定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

（2）命题的结构：具有“若p ，则q ”这种形式的命题是常见的。

我们把这种形式的命题中的p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。

2. 四种命题（1）互逆命题：a. 定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫原命题，另一个叫原命题的逆命题。

b. 形式：如果原命题为“若p ，则q ”，那么逆命题为“若q ，则p ”（2）互否命题：a. 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫互否命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。

b. 形式：如果原命题为“若p,则q ”，那么它的否命题为“若,p q ⌝⌝则。

（3）互为逆否命题：a. 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。

b. 形式：如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆否命题为“q,p ⌝⌝则”（注意：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价） 3、充分条件和必要条件的定义：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，记作p q ⇒，即p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

4、充要条件：一般地，如果既有p q ⇒，且q p ⇒，那么就记作：p q ⇔5、从逻辑推理关系上看：① 若,q >p p q ⇒≠，则p 是q 的充分而不必要条件；② 若,p >q q p ⇒≠，则p 是q 的必要而不充分条件；③ 若,q p q p ⇒⇒，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）；④ 若>,q >p q p ≠≠，则p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件。

高中数学(命题及其关系-四种命题)教案2 苏教版选修2-1 教案

=，则
B B
不能被2整除；
结论：这些语句都是陈述句，且它们都能判断真假。

一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题；其中判断为正确的命题，
例如，如果原命题是：⑴同位角相等，两直线平行；
它的逆命题就是：⑵两直线平行，同位角相等.
2.否命题与逆否命题的知识
即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
例如⑶同位角不相等，两直线不平行；
⑷两直线不平行，同位角不相等.
3. 原命题与逆否命题的知识
即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
概括地说，设命题⑴为原命题，则命题⑵为逆命题；命题⑶为否命题；命题⑷为逆否命题.
关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以这样表述：
⑴交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
⑵同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
⑶交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.
4.四种命题的形式
一般到，我们用p和q分别表示原
命题的条件和结论，用┐p和┐q分别
表示p和q的否定，于是四种命题的形
式就是：
原命题：若p则q；。

新课标高中数学人教A版选修2-1全套教案

（一）教学目标选修 2—1 教案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“ 若 p，则q” 的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假（三）教学过程1.复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？2.思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线 a 与直线b 没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．3.讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4.抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5.练习、深化判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数 a 是素数，则是 a 奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）＝－２．( 2)2（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。

高中数学选修2-1精品教案2：1.1.1 命题教学设计

一、知识与技能
1．了解命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；
2．能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法。

3．会用反证法证明简单的数学问题
二、过程与方法
1．从实例出发，抽象出命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；
2．由具体事例入手，让学生发现命题、逆命题、否命题与逆否命题的关系；
3．由互为逆否命题的真假一致引导学生学会准确地判断命题的真假。

三、情感态度与价值观
初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。

四种命题之间的关系和命题真假的判断.。

选修2-1常用逻辑用语学案命题及其关系充分条件与必要条件简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

§1.1 命题及四种命题1. 掌握命题、真命题及假命题的概念；2. 四种命题的内在联系，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命题和逆否命题..复习2：什么是定理?什么是公理?.二、新课导学※学习探究1.在数学中,我们把用、、或表达的，可以的叫做命题.其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题练习：下列语句中：（1）若直线//a b，则直线a和直线b无公共点；（2）247+=（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若21x=，则1x=；（5）两个全等三角形的面积相等；（6）3能被2整除.其中真命题有，假命题有2.命题的数学形式：“若p，则q”，命题中的p叫做命题的，q叫做命题的. ※典型例题例1：下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行；（52=；（6）15x>.命题有，真命题有假命题有. 例2 指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分.解：（1）条件p：结论q：（2）条件p：结论q：变式：将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等.※动手试试1.判断下列命题的真假：（1）能被6整除的整数一定能被3整除；（2）若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；（3）二次函数的图象是一条抛物线；（4）两个内角等于45︒的三角形是等腰直角三角形.2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假.(1)等腰三角形两腰的中线相等；(2)偶函数的图象关于y轴对称；(3)垂直于同一个平面的两个平面平行.小结：判断一个语句是不是命题注意两点：（1）是否是陈述句；（2）是否可以判断真假.3.四种命题的概念（1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做原命题为：“若p，则q”，则逆命题为：“”.(2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“”（3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“”练习：下列四个命题：（1）若()f x是正弦函数，则()f x是周期函数；（2）若()f x是周期函数，则()f x是正弦函数；（3）若()f x不是正弦函数，则()f x不是周期函数；（4）若()f x不是周期函数，则()f x不是正弦函数.（1）（2）互为（1）（3）互为（1）（4）互为（2）（3）互为例3 命题：“已知a、b、c、d是实数，若子,a b c d==，则a c b d+=+”.写出逆命题、否命题、逆否命题.变式：设原命题为“已知a、b是实数，若a b+是无理数，则a、b都是无理数”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题.※动手试试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假：（1）若一个整数的末位数是0，则这个整数能被5整除；（2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；（3）奇函数的图像关于原点对称. 三、总结提升：※学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列语名中不是命题的是（）.A.20x> B.正弦函数是周期函数C.{1,2,3,4,5}x∈ D.125>2.设M、N是两个集合，则下列命题是真命题的是（）.A.如果M N⊆，那么M N M⋂=B.如果M N N⋂=，那么M N⊆C.如果M N⊆，那么M N M⋃=D.M N N⋃=，那么N M⊆3.下面命题已写成“若p，则q”的形式的是（）.A.能被5整除的数的末位是5B.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上C.若一个等式的两边都乘以同一个数，则所得的结果仍是等式D.圆心到圆的切线的距离等于半径4.下列语句中：（1）22）1002是个大数（3）好人一生平安（4）968能被11整除，其中是命题的序号是5.将“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”的形式，则p：，q：1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假（1）若,a b都是偶数，则a b+是偶数；（2）若0m>，则方程20x x m+-=有实数根.2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（2）矩形的对角线相等.§1.1 四种命题间的相互关系1．掌握四种命题的内在联系；2. 能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系，并能利用等价关系转化.复习2：判断命题“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆命题的真假.二、新课导学 ※ 学习探究1：分析下列四个命题之间的关系（1）若()f x 是正弦函数，则()f x 是周期函数；（2）若()f x 是周期函数，则()f x 是正弦函数；（3）若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数；（4）若()fx 不是周期函数，则()f x 不是正弦函数. （1）（2）互为（1）（3）互为（1）（4）互为（2）（3）互为通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：2、四种命题的真假性例1 以“若2320x x -+=，则2x =”为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假并总结其规律性.（1） . (2) . 练习：判断下列命题的真假.(1)命题“在ABC ∆中，若AB AC >，则C B ∠>∠”的逆命题；（2）命题“若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠”的否命题；（3）命题“若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠”的逆否命题；（4）命题“若0a ≠且0b ≠，则220a b +>”的逆命题.反思：（1）直接判断（2）互为逆否命题的两个命题等价来判断. ※ 典型例题例1 证明:若220x y +=，则0x y ==.变式：判断命题“若220x y +=，则0x y ==”是真命题还是假命题？练习：证明：若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠.例 2 已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数,,a b R ∈,对于命题“若0a b +≥，则()()()(f a f b f a f b+≥-+-.” (1) 写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论. (2) 写出其逆否命题,并证明你的结论.※ 动手试试1.求证：若一个三角形的两条边不等，这两条边所对的角也不相等.2.命题“如果22x a b ≥+，那么2x ab ≥”的逆否命题是（） A.如果22x a b <+，那么2x ab < B.如果2x ab ≥，那么22x a b ≥+ C.如果2x ab <，那么22x a b <+ D.如果22x a b ≥+，那么2x ab <三、总结提升： ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 命题“若0x >且0y >，则0xy >”的否命题是（）. A.若0,0x y ≤≤，则0xy ≤ B.若0,0x y >>，则0xy ≤C.若,x y 至少有一个不大于0，则0xy <D.若,x y 至少有一个小于0，或等于0，则0xy ≤2. 命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“若a 不是正数，则它的平方根等于0”的（）. A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.等价命题3.）. A.B.C.D.+4. 若1x >，则21x >的逆命题是否命题是5.命题“若a b >，则221a b ≥-”的否命题为1. 已知,a b 是实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.2.证明：在四边形ABCD 中，若AB CD AC CD +<+，则AB AC <.§1.2.1 充分条件与必要条件1. 理解必要条件和充分条件的意义；2. 能判断两个命题之间的关系..复习2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.二、新课导学※学习探究探究任务：充分条件和必要条件的概念问题：1. 命题“若22x a b>+，则2x ab>”（1）判断该命题的真假；（2）改写成“若p，则q”的形式，则P：q：（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：读着：2. 1.命题“若0ab=,则0a=”（1）判断该命题的真假；（2）改写成“若p，则q”的形式，则P：q：（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：读着：新知：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.我们就说,由p推出q,记作p q⇒,并且说p是q的,q是p的试试：用符号“⇒”与“”填空：（1）22x y=x y=；（2）内错角相等两直线平行；（3）整数a能被6整除a的个位数字为偶数；（4）ac bc=a b=.※典型例题例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若1x=，则2430x x-+=；（2）若()f x x=，则()f x在(,)-∞+∞上为增函数；（3）若x为无理数，则2x为无理数.练习：下列“若P，则q”的形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；（2）若5x>，则10x>例2 下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？（1）若x y=，则22x y=；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（3）若a b>，则ac bc>练习：下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？（1）若5a+是无理数，则a是无理数；（2）若()()0x a x b--=，则x a=.小结：判断命题的真假是解题的关键.※ 动手试试练1. 判断下列命题的真假.（1）2x =是2440x x -+=的必要条件；（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；（3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件；（4）0ab ≠是0a ≠的充分条件.练2. 下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：1x =，q：1x - （2）p ：|2|3x -≤，q ：15x -≤≤；（3）p ：2x =，q：3x -；（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.三、总结提升 ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展设,A B 为两个集合,集合A B ⊆，那么x A ∈是x B ∈的条件，x B ∈是x A ∈的条※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（）. A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（）.A.0x y +=B.220x y +>C.0x y -=D.330x y +≠3.平面//α平面β的一个充分条件是（）. A.存在一条直线,//,//a a a αβ B.存在一条直线,,//a a a αβ⊂C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂ 4.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的条件.5. p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的条件. 1. 判断下列命题的真假（1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（2）“||||a b >”是“22a b >”的必要条件.2. 已知{|A x x =满足条件}p ，{|B x x =满足条件}q . (1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件? (2)如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件?§1.2.2 充要条件1. 理解充要条件的概念；2. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.1112复习1：什么是充分条件和必要条件?复习2：p：一个四边形是矩形q：四边形的对角线相等.p是q的什么条件?二、新课导学※学习探究探究任务一：充要条件概念问题：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2 和3的倍数.那么p是q的什么条件?q又是p 的什么条件?新知：如果p q⇔,那么p与q互为试试：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？（1）若平面α外一条直线a与平面α内一条直线平行，则直线a与平面α平行；（2）若直线a与平面α内两条直线垂直，则直线a与平面α垂直.反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题. ※典型例题例1 下列各题中,哪些p是q的充要条件?(1) p: 0b=,q:函数2()f x ax bx c=++是偶函数；(2) p: 0,0,x y>>q:0xy>(3) p: a b>，q:a c b c+>+变式：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p是q的充要条件?(1) p: 0b=,q:函数2()f x ax bx c=++是偶函数；(2) p: 0,0,x y>>q:0xy>(3) p: a b>，q:a c b c+>+小结：判断是否充要条件两种方法（1）p q⇒且q p⇒；（2）原命题、逆命题均为真命题；(3) 用逆否命题转化.练习：在下列各题中, p是q的充要条件?(1) p:234x x=+, q:x=(2) p: 30x-=, q:(3)(4)0x x--=(3) p: 240(0)b ac a-≥≠,q:20(0)ax bx c a++=≠(4) p: 1x=是方程20ax bx c++=的根q:0a b c++=例2 已知：O的半径为r，圆心O到直线的距离为d.求证:d r=是直线l与O相切的充要条件.变式：已知：O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，证明: (1)若d r=，则直线l与O相切.(2)若直线l与O相切,则d r=小结：证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性.※动手试试练1. 下列各题中p是q的什么条件？（1）p：1x=，q：1x-（2）p：|2|3x-=，q：15x-≤≤；（3）p：2x=，q：3x-；（4）p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形. 练2. 求圆222()()x a y b r-+-=经过原点的充要条件.三、总结提升※学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※知识拓展设A、B为两个集合，集合A B=是指x A x B∈⇔∈，则“x A∈”与“x B∈”互为※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列命题为真命题的是（）.A.a b>是22a b>的充分条件B.||||a b>是22a b>的充要条件C.21x=是1x=的充分条件D.αβ=是tan tanαβ=的充要条件2.“x M N∈ ”是“x M N∈ ”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设p：240(0)b ac a->≠，q：关于x的方程20(0)ax bx c a++=≠有实根，则p是q的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.22530x x--<的一个必要不充分条件是（）.A.132x-<< B.12x-<<C.132x-<< D.16x-<<5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空.(1).3x>是5x>的(2).3x=是2230x x--=的( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的1. 证明：20a b+=是直线230ax y++=和直线20x by++=垂直的充要条件.2.求证：ABC∆是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc++=++，这里,,a b c是ABC∆的三边.§1.3简单的逻辑联结词1. 了解“或”“且”“非”逻辑联结词的含义；2. 掌握,,p q p q p∧∨⌝的真假性的判断；3. 正确理解p⌝的意义，区别p⌝与p的否命题；4. 掌握,,p q p q p∧∨⌝的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.1416复习1：什么是充要条件?复习2：已知{|A x x=满足条件}p,{|B x x=满足条件}q(1)如果A B⊆,那么p是q的什么条件；(2) 如果B A⊆,那么p是q的什么条件；(3) 如果A B=,那么p是q的什么条件.二、新课导学※学习探究探究任务一：“且“的意义问题：下列三个命题有什么关系?(1)12能被3整除；（2）12能被4整除；（3）12能被3整除且能被4整除.新知：1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.试试：判断下列命题的真假：（1）12是48且是36的约数；（2）矩形的对角线互相垂直且平分.反思：p q∧的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.探究任务二：“或“的意义问题：下列三个命题有什么关系?(1) 27是7的倍数；（2）27是9的倍数；（3）27是7的倍数或是9的倍数.新知：1.一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.（1）47是7的倍数或49是7的倍数；（2）等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直.反思：p q∨的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.探究任务三：“非“的意义问题：下列两个命题有什么关系?(1) 35能被5整除；（2）35不能被5整除；新知：1.一般地,对一个命题的全盘否定就得到一个新命题，记作“”，读作“”或“”.试试：写出下列命题的否定并判断他们的真假：（1）2+2=5；（2）3是方程290x-=的根；（31-反思：p⌝的真假性的判断，关键在于p的真假的判断.※典型例题例1 将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们的真假：（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数变式：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断他们的真假：（1）1既是奇数，又是素数；（2）2和3都是素数.小结：p q∧的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.例2 判断下列命题的真假(1) 22≤；(2) 集合A是A B的子集或是A B的子集；(3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.变式：如果p q∧为真命题，那么p q∨一定是真命题吗？反之，p q∨为真命题，那么p q∧一定是真命题吗？小结：p q∨的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.例3 写出下列命题的否定，并判断他们的真假：（1）p：siny x=是周期函数；（2）p：32<（3）空集是集合A的子集.小结：p⌝的真假性的判断，关键在于p的真假的判断. 三、总结提升※学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※知识拓展理解逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算“交”“并”“补”的关系.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. “p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.命题P：在ABC∆中，C B∠>∠是sin sinC B>的充要条件；命题q：a b>是22ac bc>的充分不必要条件，则（）.A.p真q假B.p假q假C.“p或q”为假D.“p且q”为真3.命题：（1）平行四边形对角线相等；（2）三角形两边的和大于或等于第三边；（3）三角形中最小角不大于60︒；（4）对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有（）.A.1B.2C.3D.44.命题p：0不是自然数，命题q：π是无理数，在命题“p或q”“p且q”“非p”“非q”中假命题是，真命题是.5. 已知p：2||6x x-≥，q：,,x Z p q q∈∧⌝都是假命题，则x的值组成的集合为1. 写出下列命题，并判断他们的真假：（1）p q∨，这里p：4{2,3}∈，q：2{2,3}∈；（2）p q∧，这里p：4{2,3}∈，q：2{2,3}∈；(3) p q∨，这里p：2是偶数，q：3不是素数；(4) p q∧，这里p：2是偶数，q：3不是素数.2.判断下列命题的真假：（1）52>且73>（2）78≥（3）34>或34<§1.4 全称量词与存在量词1. 掌握全称量词与存在量词的的意义；2. 掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断.2123复习1：写出下列命题的否定,并判断他们的真假：（1（2）5不是15的约数（3）8715+≠ （4）空集是任何集合的真子集复习2：判断下列命题的真假，并说明理由：（1）p q ∨，这里p ：π是无理数，q ：π是实数；（2）p q ∧，这里p ：π是无理数，q ：π是实数； (3) p q ∨，这里p ：23>，q ：8715+≠； (4) p q ∧，这里p ：23>，q ：8715+≠.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：全称量词的意义问题：1.下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？（1）3x >；（2）21x +是整数；（3）对所有的,3x R x ∈>；（4）对任意一个x Z ∈，21x +是整数.2. 下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？(1)213x +=；(2)x 能被2和3整除；（3）存在一个0x R ∈，使0213x +=；（4）至少有一个0x Z ∈，0x 能被2和3整除. 新知：1.短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，含有的命题，叫做全称命题.其基本形式为：,()x M p x ∀∈，读作：2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有的命题，叫做特称称命题. 其基本形式00,()x M p x ∃∈，读作：试试：判断下列命题是不是全称命题或者存在命题,如果是,用量词符号表示出来. (1)中国所有的江河都流入大海；（2）0不能作为除数；（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；（4）每一个非零向量都有方向.反思：注意哪些词是量词是解决本题的关键,还应注意全称命题和存在命题的结构形式. ※ 典型例题例1 判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）2,11x R x ∀∈+≥；（3）对每一个无理数x ，2x 也是无理数.变式：判断下列命题的真假：（1）2(5,8),()420x f x x x ∀∈=--> （2）2(3,),()420x f x x x ∀∈+∞=-->小结：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中每一个元素x 验证()p x 成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得0()p x 不成立即可. 例2 判断下列特称命题的真假：（1）有一个实数0x ，使200230x x ++=；（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3）有些整数只有两个正因数.变式：判断下列命题的真假： (1)2,32a Z a a ∃∈=-(2)23,32a a a ∃≥=-小结：要判定特称命题“00,()x M p x ∃∈” 是真命题只要在集合M 中找一个元素0x ，使0()p x 成立即可；如果集合M 中，使()P x 成立的元素x 不存在，那么这个特称命题是假命题.※ 动手试试练1. 判断下列全称命题的真假：（1）每个指数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数.练2. 判定下列特称命题的真假：（1）00,0x R x ∃∈≤；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）0{|x x x ∃∈是无理数}，20x 是无理数.三、总结提升 ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展数理逻辑又称符号逻辑,是用数学的方法研究推理过程的一门学问. 德国启蒙思想家莱布尼※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 下列命题为特称命题的是（）. A.偶函数的图像关于y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线都是平行线 D.存在实数大于等于32.下列特称命题中真命题的个数是（）. (1),0x R x ∃∈≤；(2)至少有一个整数它既不是合数也不是素数；（3）{|x x x ∃∈是无理数}，2x 是无理数.A.0个B.1个C.2个D.4个 3.下列命题中假命题的个数（）. (1)2,11x R x ∀∈+≥；（2）,213x R x ∃∈+=；（3）,x Z ∃∈x 能被2和3整除；（4）2,230x R x x ∃∈++=A.0个B.1个C.2个D.4个 4.下列命题中（1）有的质数是偶数；（2）与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；（3）有的三角形三个内角成等差数列；（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中全称命题是特称命题是 .5. 用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题. (1)实数的平方大于等于0：（2）存在一对实数使2330x y ++<成立：1. 判断下列全称命题的真假：（1）末位是0的整数可以被子5整除；（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等；（3）负数的平方是正数；（4）梯形的对角线相等.2. 判断下列全称命题的真假： (1)有些实数是无限不循环小数；（2）有些三角形不是等腰三角形；（3）有的菱形是正方形.§1.4.3含一个量词的命题的否定1. 掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法，要正确掌握量词否定的各种形式；2. 明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题.2425 复习1：判断下列命题是否为全称命题：（1）有一个实数α，tan α无意义；（2）任何一条直线都有斜率；复习2：判断以下命题的真假：（1）21,04x R x x ∀∈-+≥（2）2,3x Q x ∃∈=二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：含有一个量词的命题的否定问题：1.写出下列命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）2,210x R x x ∀∈-+≥.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 2.写出下列命题的否定：（1）有些实数的绝对值是正数；（2）某些平行四边形是菱形；（3）200,10x R x ∃∈+<.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?新知：1.一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：全称命题p ：,()x p p x ∀∈，它的否定p ⌝：00,()x M p x ∃∈⌝2. 一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：特称命题p ：00,()x M p x ∃∈，它的否定p ⌝：,()x M p x ∀∈.试试：1.写出下列命题的否定：（1）,n Z n Q ∀∈∈；（2）任意素数都是奇数；（3）每个指数函数都是奇数.2. 写出下列命题的否定：(1) 有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.反思：全称命题的否定变成特称命题.※ 典型例题例1 写出下列全称命题的否定：（1）p ：所有能被3整除的数都是奇数；（2）p ：每一个平行四边形的四个顶点共圆；（3）p ：对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3.变式：写出下列全称命题的否定，并判断真假.(1) p ：21,04x R x x ∀∈-+≥(2) p ：所有的正方形都是矩形.例2 写出下列特称命题的否定： (1) p ：2000,220x R x x ∃∈++≤； (2) p ：有的三角形是等边三角形； (3) p ：有一个素数含有三个正因数.变式：写出下列特称命题的否定，并判断真假. (1) p ：2,220x R x x ∃∈++≤；(2) p ：至少有一个实数x ，使310x +=.小结：全称命题的否定变成特称命题.※ 动手试试练1. 写出下列命题的否定： (1) 32,x N x x ∀∈>；(2) 所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； (3) 2000,10x R x x ∃∈-+≤；(4) 存在一个四边形，它的对角线是否垂直.练2. 判断下列命题的真假，写出下列命题的否定：（1）每条直线在y 轴上都有截矩；（2）每个二次函数都与x 轴相交；（3）存在一个三角形，它的内角和小于180︒；（4）存在一个四边形没有外接圆.三、总结提升 ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展英国数学家布尔(G .BOOL)建立了布尔代数,并创造了一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念.他不建立了一系列的运算法则,利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 命题“原函数与反函数的图象关于y x =对称”的否定是（）. A. 原函数与反函数的图象关于y x =-对称 B. 原函数不与反函数的图象关于y x =对称C.存在一个原函数与反函数的图象不关于y x = 对称D. 存在原函数与反函数的图象关于y x =对称 2.对下列命题的否定说法错误的是（）.A. p ：能被3整除的数是奇数；p ⌝：存在一个能被3整除的数不是奇数B. p ：每个四边形的四个顶点共圆；p ⌝：存在一个四边形的四个顶点不共圆C. p ：有的三角形为正三角形；p ⌝：所有的三角形不都是正三角形D. p ：2,220x R x x ∃∈++≤；p ⌝：2,220x R x x ∀∈++>3.命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（）. A. 不存在32,10x R x x ∈-+≤ B. 存在32,10x R x x ∈-+≤ C. 存在32,10x R x x ∈-+>D. 对任意的32,10x R x x ∈-+>4. 平行四边形对边相等的否定是5. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是. 1. 写出下列命题的否定：（1）若24x >，则2x >；（2）若0,m ≥则20x x m +-=有实数根；（3）可以被5整除的整数，末位是0；（4）被8整除的数能被4整除；（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.2. 把下列命题写成含有量词的命题：（1）余弦定理；（2）正弦定理.。

高中数学选修2-1 第一节《1.1命题及其关系》全套教案 - 副本

1.1命题及其关系单元课时分配: 1. 第一课命题1个课时2. 第二课四种命题 1个课时3. 第三课四种命题间的相互关系 1个课时1.1.1命题：本节以命题为主题，通过本学习，引导学生明白命题的概念，会判断一个命题的真假。

学前准备：多媒体，预习例题学习目标：了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若，则”的形式。

教学重点：命题的改写教学难点：命题概念的理解。

p q1.1.2四种命题【教学目标】1．理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假；2．理解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；并能用反证法证明一些命题；3．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重难点】重点：理解四种命题的关系难点：逆否命题的等价性【授课类型】新授课【课时安排】1课时【教学分析】学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)。

由此，这一大节首先讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。

然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识。

这一大节的重点是充要条件。

学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的。

反证法在初中教科书中指出：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法1．1 .3 四种命题间的相互关系【学情分析】：四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．【教学目标】：（1）知识目标：理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。

高中数学选修2-1精品教案1：1.1.2 四种命题-1.1.3四种命题间的相互关系教学设计

1.1.2四种命题 1.1.3四种命题的相互关系（一）教学目标◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（二）教学重点与难点重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（三）教学过程学生探究过程：一.复习引入初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？二.思考、分析观察下列四个命题：(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等．(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形．(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？三.归纳总结：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．四.抽象概括(1)四种命题(3)四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．五.例题分析及练习[例1]写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.[思路点拨]首先把命题写成“若p，则q”的形式，再按四种命题之间的关系写出逆命题、否命题和逆否命题．[精解详析] (1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线，否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线． (2)逆命题：如果x >0，那么x >10；否命题：如果x ≤10，那么x ≤0；逆否命题：如果x ≤0，那么x ≤10.(3)逆命题：如果x 2＋x －6＝0，那么x ＝2；否命题：如果x ≠2，那么x 2＋x －6≠0；逆否命题：如果x 2＋x －6≠0，那么x ≠2. [感悟体会](1)要实现四种命题的转化首先找出原命题的条件和结论，然后利用四种命题的条件、结论之间的关系进行转化即可．(2)如果原命题含有大前提，在写原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．训练题组11．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C 正确．答案：C2．写出命题“若a >1，则函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数”的逆命题、否命题和逆否命题．解：逆命题：若函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，则a >1. 否命题：若a ≤1，则函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上不是增函数．逆否命题：若函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上不是增函数，则a ≤1.[例2] 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假． (1)垂直于同一个平面的两直线平行． (2)若m ·n <0，则方程mx 2－x ＋n ＝0有实根． (3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.[思路点拨] 写出命题的条件、结论→写出四种命题→判断命题的真假[精解详析](1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；假命题．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；假命题．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．[感悟体会]要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相关知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．训练题组23．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2<y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2D．3解析：4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)在△ABC中，若a>b，则A>B；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3；(4)若x∈A，则x∈A∩B.解：(1)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b；真命题．否命题：在△ABC 中，若a ≤b ，则A ≤B ；真命题．逆否命题：在△ABC 中，若A ≤B ，则a ≤b ；真命题．(2) 逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等；假命题．否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等；假命题．逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等；真命题． (3)逆命题：若x ＝3，则x 2－2x －3＝0；真命题．否命题：若x 2－2x －3≠0，则x ≠3；真命题．逆否命题：若x ≠3，则x 2－2x －3≠0；假命题． (4)逆命题：若x ∈A ∩B ，则x ∈A ；真命题．否命题：若x ∉A ，则x ∉A ∩B ；真命题．逆否命题：若x ∉A ∩B ，则x ∉A ；假命题.[例3] 判断命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假．[思路点拨] 解答本题可以直接进行逻辑推理判断；可以从逆否命题直接判断；也可以先判断原命题的真假，然后利用等价命题的同真同假判断． [精解详析] 法一：∵m >0，∴12m >0，∴12m ＋4>0. ∴方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4>0.∴原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真．法二：原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题为“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m ≤0”．方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根， ∴Δ＝4＋12m <0.∴m <－13≤0.∴“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m ≤0”为真．法三：p ：m >0，q ：方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根；￢p ：m ≤0，￢q ：方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根．￢p ：A ＝{m |m ≤0}，￢q ：B ＝{m |方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根}＝{m |m <－13}．∴B ⊆A ，∴“若￢q ，则￢p ”为真，即“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m ≤0”为真． [感悟体会](1)原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．(2)命题可以和很多知识相结合，本题是一道有关集合、不等式及二次方程的综合题．这种题目综合性较强，需要对这几个方面的内容熟练掌握，且要有一定的分析推理能力．训练题组35．把本例命题改换成“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集，则a <2”，判断其逆否命题的真假．解：法一：原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ≥2，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集．判断真假如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. ∵a ≥2，∴4a －7>0，即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴有交点，所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．法二：判断原命题的真假：因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0， ∴a <74，∴a <2，∴原命题为真命题．因为原命题和逆否命题等价，故逆否命题为真命题．6．已知a ，b ，c ∈R ，证明：若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.证明：原命题的逆否命题为：已知a ，b ，c ∈R ，若a ，b ，c 都大于或等于13，则a ＋b ＋c ≥1.由条件a ≥13，b ≥13，c ≥13，得a ＋b ＋c ≥1.显然逆否命题为真命题．所以原命题也为真命题．即已知a ，b ，c ∈R ，若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.六.课堂小结与归纳1．写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定￢p 和结论q 的否定￢q ； (3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．一般地，四种命题之间的真假性，有且仅有下面四种情况：七.当堂训练1．若命题p 的逆命题是q ，q 的逆否命题是r ，则命题r 是命题p 的( ) A ．逆命题 B ．否命题C ．逆否命题D ．等价命题解析：根据四种命题之间的关系可知命题r 是命题p 的否命题．答案：B2．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 解析：根据原命题与逆否命题之间的关系可知D 正确．答案：D3．命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：原命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”为假命题；逆命题“若ac 2>bc 2，则a >b (a ，b ，c ∈R)”为真命题；否命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2(a ，b ，c ∈R)”为真命题；逆否命题“若ac 2≤bc 2，则a ≤b (a ，b ，c ∈R)”为假命题．答案：B4．有下列命题：①“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全是0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( ) A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④解析：①否命题为“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全是0”，为真． ②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．③逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1”．∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1.∴其逆命题是假命题．④原命题为真，逆否命题也为真．答案：D5．命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是________，假命题的个数是________．解析：原命题“对顶角相等”是真命题，逆命题“如果两个角相等，则这两个角是对顶角”是假命题，所以否命题是假命题，逆否命题是真命题．答案：2 26．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2.答案：[1,2]7．写出命题“如果|x －2|＋(y －1)2＝0，则x ＝2且y ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：如果x ＝2且y ＝1，则|x －2|＋(y －1)2＝0；真命题．否命题：如果|x －2|＋(y －1)2≠0，则x ≠2或y ≠1；真命题．逆否命题：如果x ≠2或y ≠1，则|x －2|＋(y －1)2≠0；真命题．8．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R. 若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．∵a ＋b <0，∴a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾．所以假设不成立，故a ＋b ≥0.。

人教版数学高二A版选修2-1教案四种命题间的相互关系

证明：若p ＋ q ＞2，则p2＋ q2＝［（p －q）2＋（p ＋q）2］≥ （p ＋q）2＞ ×２２＝２所以p2＋ q2≠2．
活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）
1．四种命题之间有那些相互关系？
2．如何判断这四种命题的真假？
活动五：作业布置、提高巩固
1．书面作业：书本P8：4、B组
板书设计：2，则p ＋ q ≤ 2．
分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。
将“若p2＋ q2＝2，则p ＋ q ≤2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p2+ q2≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．
点题：今天我们学习“四种命题间的相互关系”
活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）
由命题（2）（3）是互为逆否命题，
命题（2）（4）是互否命题，
命题（3）（4）是互逆命题。
学生通过分析，将发现四种
命题间的关系如下图所示：
1、四种命题之间的相互关系
问题3：探究
1、以“若，则 ”为原命题，写出它逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假？
课题：1.1.3四种命题间的相互关系总第个教案
课型：新授课上课时间：年月日星期____
教
学
目
标
1.知识与技能
(1)掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系；
(2)会用等价命题判断四种命题原命题、逆命题、否命题、逆否命题、真假命题。
2.过程与方法
（1）多让学生举命题的例子，并写出并理解四种命题间的相互关系；
真
真
假
真
假
真
假
假
由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

高中数学选修2-1第一章1.1命题及其关系(第一课时新授课课件)

总结：四种命题之间的相互关系
原命题若p,则q 互否
否命题若 p,则 q
互逆互为逆否
互逆
逆命题若q,则p
互否
逆否命题若 q,则 p
例2 写出下述命题的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断它们的真假: (1)若 a≤0, 则方程 x2-2x+a=0 有实根;
(2)乘积为奇数的两个整数都不是偶数.
有一个是偶数.
真命题
逆否命题: 若两个整数中至少有一个是偶数, 则这两个整
数的乘积不为奇数.
真命题
准确地作出反设(即否定)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.
原结论否定词原结论
反设词
是
不是至少有一个一个也没有
都是不都是至多有一个至少有两个
大于不大于至少有n个至多有（n-1)个小于大于或等于至多有n个至少有（n+1)个
总结与反思：我学会了吗？
• 1、理解什么是命题，什么是真命题和假命题； • 2、掌握命题的一般形式； • 3、理解四种命题的形式及其关系。
通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件， q叫做命题的结论． (注:本章中我们只讨论这种“若p，则q”形式的命题)
探究二命题的结构 “若p，则q”的形式，即为命题的常见形式. P为命题的条件，q为命题的结论一个命题的结构有两部分：条件和结论
具有 “若p,则q”形式的命题其条件和结论是非常清楚的.
判断为真的陈述句叫做真命题. 判断为假的陈述句叫做假命题.
例 1 判断下列语句中哪些是命题？
是真命题还是假命题？
⑴3 是 12 的约数; （真命题）
⑵若整数 a 是素数，则 a 是奇数；（假命题） ⑶个位数是 5 的自然数能被 5 整除吗?（不是命题）

高中数学北师大版选修2-1教案-§1 命题_教学设计_教案

教学准备1. 教学目标1、理解四种命题之间的相互关系，2、理解一个命题的真假与其它三个命题真假间的关系3、理解等价命题的意义4、运用等价命题同真同假的性质，解决一些比较难以正面解决的问题5、培养学生逻辑推理能力2. 教学重点/难点【教学重点】1、四种命题的关系2、等价命题【教学难点】1、理解命题间的关系2、运用某个命题的等价命题，对此命题进行证明3. 教学用具4. 标签教学过程【教学过程】一、复习引入[提问] 1、什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题？2、原命题与它的逆命题、否命题、逆否命题之间的真假关系？一、新课讲解1、本节将进一步研究四种命题之间的关系：[提问]请同学们讨论后回答下列问题：（学生一边回答，老师一边填空，如上）（1）哪些之间是互逆关系？（2）哪些之间是互否关系？（3）哪些之间是互为逆否关系？（4）他们之间的真假关系如何？[结论] 逆命题与否命题也是互为逆否的命题，所以他们也同真同假2、等价命题的定义：如果A、B是两个命题，AB，BA，那么A、B叫做等价命题。

如：原命题与逆否命题，逆命题与否命题就是等价命题。

[练习] 书20页1、4（3）；学生举等价命题的例子（如：“AB”与“A∪B=B”等价）3、当证明某个命题有困难时，就可以尝试证明它的等价命题来代替（一般证明逆否命题）[例]如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，已知∠DAP≠∠PAC，求证AP与BC不平行。

[分析]题中条件与结论中有“∠DAP≠∠PAC”，“AP与BC不平行”这样的不等关系、否定关系。

像这样的问题如果直接证明比较难，可考虑证明它的逆否命题来代替。

证明：本题的逆命题是：等腰三角形ABC中，AB=AC，如果AP与BC平行，那么∠DAP=∠PAC（强调“等腰三角形ABC中，AB=AC，”是大前提，不是条件）因为原命题的逆否命题正确，所以原命题也正确。

二、课时小结1、四种命题之间的关系.（见图）2、四种命题的真假关系：原命题为真3、等价命题及应用三、家庭作业书20页9、10题《基础与发展》25——26【教学后记】。

苏教版高中数学选修2-1第1章常用逻辑用语命题及其关系课件讲义

8
m>-1， n<5
2．遇到 A∩B＝∅时，注意到“极端”情况：A＝∅或 B ＝∅；同样当 A⊆B 时，不要忘记 A＝∅的情形，要注意到∅ 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．如集合 A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且 A∪B＝B，则实数
1 0， 1， a＝____________. 2
解 (1)∵二次函数 f(x)＝ax2＋x 有最小值，∴a>0. 1 2 ∴解不等式 f(x)＝ax ＋x<0，得集合 A＝－a，0. (2)由 B＝{x||x＋4|<a}，解得 B＝(－a－4，a－4)， ∵集合 B 是集合 A 的子集， a>0， 1 ∴－a－4≥－a， a－4≤0，
反之，xsin x<1 时，xsin2x<sin x<1. 故 xsin2x<1 是 xsin x<1 的必要不充分条件．
4．(2010· 广东)“x>0”是“ x2>0”成立的( A．充分非必要条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件
3
B．必要非充分条件
A)
解析 x>0 时，x >0，有 x >0，“x>0”是“ x2>0” 成立的充分条件； 3 3 2 2 由于 (－1) ＝1>0，而－1<0，则 x >0⇒x>0.
3 (3, ) 的取值范围是__________________ ． 2
7．复合命题真假的判断． “或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”； “且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”； “非命题”的真假特点是“真假相反”．
如在下列说法中： (1)“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的充分不必要条件； (2)“p 且 q 为假”是“p 或 q 为真”的充分不必要条件； (3)“p 或 q 为真”是“非 p 为假”的必要不充分条件； (4)“非 p 为真”是“p 且 q 为假”的必要不充分条件．其中正确的是______________． 8．四种命题及其相互关系．若原命题是“若 p 则 q”，则

高中数学命题教案新人教版选修2-1

一、命题的概念：能够判断真假的语句；
真命题：判断为正确的语句
假命题：判断为错误的语句
二、命题的表示：一般可以用小写英文字表示，如p，q，r……
命题真值的绝对性与相对性说明
学以致用(1)
再看如下语句
1、三角函数是周期函数吗？(疑问句)
2、但愿每一个三次方程都有三个实数根!（祈使句）
3、指数函数图像真漂亮！（感叹句）
4、（哥德巴赫猜想）每一个不下于6的偶数都是两个奇素数之和，（科学猜想）
5、在2020年前，将有人类登上火星。（科学猜想）
6、难道对数函数的真数不大于0？（反问句）
7、这是一幅美丽的画卷。（描述句）
指出哪些是命题？哪些不是命题？
与语文相结合的内容（别忘了抓住命题概念的本质）
课堂练习1
见教材第3页~第4页
学以致用(2)
P7习题1-1A
课堂练习2
P27/1
归纳小结
命题的概念
集中语句的判断
命题的表示
布置作业
预习量词
课题
选修2-1
1-1-1命题
第（1）课时
主讲人
教学目标
知识与技能
了解命题的概念（初中概念）；假命题与真命题；几种语句的简单介绍
过程与方法
回忆旧知识，重现旧知识；感受普通语句中的命题概念。
情感态度与价值观
否定之否定原理；抓主要矛盾；
教学重点
给定语句会判断是否为命题且能判断真假
教学难点
判断几种普通语句是否为命题
教具
投影仪
教学方法
讲练结合，研讨
教学环节
教学过程
师生互动
设计意图
复习引入
看如下几个语句（大屏幕显示）
1、

高中数学《命题及其关系充分条件与必要条件》教案苏教版选修

高中数学《命题及其关系-充分条件与必要条件》教案苏教版选修一、教学目标：1. 让学生理解充分条件和必要条件的概念，掌握判断充分条件和必要条件的方法。

2. 培养学生运用充分条件和必要条件分析问题、解决问题的能力。

3. 帮助学生建立充分条件和必要条件之间的联系，理解它们在数学论证中的应用。

二、教学内容：1. 充分条件和必要条件的定义。

2. 判断充分条件和必要条件的方法。

3. 充分条件和必要条件与数学论证的关系。

三、教学重点与难点：重点：充分条件和必要条件的定义及判断方法。

难点：充分条件和必要条件在数学论证中的应用。

四、教学过程：1. 导入：通过生活实例引入充分条件和必要条件的概念。

2. 新课讲解：讲解充分条件和必要条件的定义，举例说明判断方法。

3. 课堂练习：让学生运用充分条件和必要条件判断给出的命题。

4. 案例分析：分析充分条件和必要条件在数学论证中的应用。

5. 总结提升：总结本节课的主要内容，强调充分条件和必要条件的重要性。

五、课后作业：1. 复习本节课的内容，理解充分条件和必要条件的概念及判断方法。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 思考充分条件和必要条件在实际问题中的应用，准备下一节课的分享。

六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例发现充分条件和必要条件的规律。

2. 利用逻辑推理和反证法，让学生在实践中掌握充分条件和必要条件的判断方法。

3. 设计具有针对性的练习题，及时巩固所学知识，提高学生的应用能力。

4. 组织小组讨论，鼓励学生分享自己的思路和经验，培养学生的合作意识。

七、教学准备：1. 准备相关的生活实例和数学案例，用于引导学生理解和应用充分条件和必要条件。

2. 设计课后练习题，包括基础题和拓展题，以满足不同层次学生的学习需求。

3. 准备教学PPT，用于辅助讲解和展示教学内容。

八、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现。

高中数学选修2-1 1.1命题及其关系(公开课课件)

真
真
否命题：同位角不相等,两直线不平行．真
逆否命题：两直线不平行, 同位角不相等．
真
人教A版数学· 选修2-1
第1章常用逻辑用语
探究上面考察了四种命题之间的相互关系，
他们的真假性是否也有一定的相互关系呢？
真原命题：若两个角是对顶角，则这两个角相等．
逆命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角．假否命题：若两个角不是对顶角,则这两个角不相假等．逆否命题：若两个角不相等,则这两个角不是对真顶角．
思考你能说出上面四个命题中任意两个命题之间的相
互关系吗？
逆命题和否命题是互为逆否命题
若p，则q 原命题
互否互逆
若q，则p 逆命题
互否
否命题若﹁p，则﹁q
互逆
逆否命题若﹁q，则﹁p
人教A版数学· 选修2-1
第1章常用逻辑用语
探究上面考察了四种命题之间的相互关系，
他们的真假性是否也有一定的相互关系呢？原命题：同位角相等,两直线平行．逆命题：两直线平行,同位角相等．
,则 x 2 ．真
逆否命题：若 x 2 ,则 x 2 3x 2 0 ．假
人教A版数学· 选修2-1
第1章常用逻辑用语
探究上面考察了四种命题之间的相互关系，
他们的真假性是否也有一定的相互关系呢？原命题：若 a b ,则 a b ．
2 2
假
假假假
逆命题：若 a b ,则 a 2 b 2 ．否命题：若
人教A版数学· 选修2-1
第1章常用逻辑用语
具有“若p，则q”的形式的命题中的条件和结论可以交换吗?
交换以后是否还是命题? 把条件和结论改写成相反的意思以后是否还是命题?

高中数学选修2-1精品教案5：1.1.3四种命题间的相互关系教学设计

1.1.3四种命题间的相互关系教学目标1.知识与技能初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．2．过程与方法培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．3．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考、勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．教学重点：四种命题之间相互的关系．教学难点：互为逆否关系的应用及命题真假的判断．通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．问题导思观察下面四个命题：(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．我们发现，命题（2）（3）是互为逆否命题，命题（2）（4）互否命题，命题（3）（4）是互逆命题.一般地，四种命题的关系如下图：上面考察了四种命题之间的相互关系，它们的真假性是否也有一定的相互关系呢？【答案】以“思考”中命题（1）~（4）为例，并设命题（1）是原命题，容易判断，原命题（1）是真命题，它得逆命题（2）是假命题，它的否命题（3）也是假命题，而它的逆否命题（4）是真命题.一般地，这四种命题的真假性有且只有下面几种情况：例题解析例1 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0，所以x2+y2 ＞0，也就是说x2+y2 ≠0.因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.巩固练习一、选择题1．命题“若函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2＜0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数．”【答案】 A2．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题【解析】原命题显然为真，逆命题中，假设a＝2，b＝－1，则逆命题为假命题．【答案】 A3．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③ D．③④【解析】①③是真命题，②④是假命题．【答案】 C4．互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性．我们用“↔”表示同真或同假，把它叫做“连连看”．下面让我们领略“连连看”的风采：已知命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，命题p的逆命题是t，则下列同真同假的“连连看”中，正确的一组是() A．p↔r，s↔t B．p↔t，s↔rC．p↔s，r↔t D．p↔r，s↔r【解析】因为命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，所以命题p与s互为逆否命题，故有p↔s；又由于命题p的否命题为r，命题p的逆命题为t，故t、r也是互为逆否命题，即r↔t.【答案】 C5．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是()A．若a·b≠0，则a不垂直于bB．若a⊥b，则a·b＝0C．若a不垂直于b，则a·b≠0D．若a·b≠0，则a⊥b【解析】原命题与其逆否命题为等价命题．【答案】 C二、填空题6．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．【解析】②③互为逆命题，①③互为否命题，①②互为逆否命题．【答案】②③①③①②7．在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．【解析】①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．【答案】②8．小强同学参加了市数学奥林匹克竞赛，班内有三位同学对他的成绩作了如下猜测：甲：小强非第一名，也非第二名；乙：小强非第一名，而是第三名；丙：小强非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则小强得了第________名．【解析】(1)假设小强得了第三名，则甲全猜对，乙也全猜对，显然与已知条件矛盾，故假设不成立；(2)假设小强得了第二名，则甲猜对了一半，乙猜对一半，也与已知条件矛盾，故假设不成立；(3)假设小强得了第一名，则甲猜对了一半，乙全猜错，丙全猜对．综上分析，可知小强得了第一名．【答案】一三、解答题9．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac＜0，则该二次函数的图象与x轴有公共点．解：(1)该命题为假命题．因为当c＝0时，有ac2＝bc2.逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.(真)否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.(真)逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.(假)(2)该命题为真命题．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．(真)否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．(真)逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．(真)(3)该命题为假命题．当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac＜0.(假)否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点．(假)逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0.(假) 10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论．(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它为真，可证明原命题的否命题为真来证明它．否命题为：若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．如果a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a .因为f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，所以f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，故原命题的否命题为真，所以逆命题为真．(2)逆否命题是：f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0.它为真，可证明原命题为真来证明它．因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a .因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真．所以逆否命题为真．11．已知下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0，至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．解：假设三个方程都无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4a 2＋44a －3＜0，Δ2＝a －12－4a 2＜0，Δ3＝2a 2＋8a ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，－2＜a ＜0.解得－32＜a ＜－1.故三个方程中至少有一个方程有实根，则a 的取值范围是a ≥－1或a ≤－32课时小结1．四种命题：首先找清命题的条件和结论，然后 (1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题． 2．四种命题的真假判断原命题与它的逆否命题同真假，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题也具有相同的真假性．所以对于一些命题的真假判断(或证明)，我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来判断(或证明).。