一般形式的柯西不等式 课件
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高中数学第二章几何重要的不等式212一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4
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题型三 柯西不等式的综合应用 例 4 (2015·福建)已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为 4. (1)求 a＋b＋c 的值； (2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
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【解析】 (1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，
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思考题 1 若 x，y，z∈R＋，且 x2＋y2＋z2＝1，求证：0<xy ＋yz＋zx≤1.
【证明】 (x2＋y2＋z2)(y2＋z2＋x2)≥(xy＋yz＋zx)2，即 1≥(xy ＋yz＋zx)2，又 x，y，z∈R＋，∴0<xy＋yz＋zx≤1.
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题型二 利用柯西不等式求最值 例 2 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值． 【思路】 由题目可获取以下主要信息：①已知变量 x，y，z 之间的关系符合特定条件；②所求式子中含有根式．解答本题的关 键是去掉根号，并且利用好特定条件．
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3．柯西不等式的两个变式 (1)当 ai∈R，bi>0(i＝1，2，…，n)，∑i＝n1 abi2i ≥（∑i∑i＝n＝n11abi）i 2，当且 仅当 bi＝λai 时等号成立． (2)设 ai，bi 同号且不为 0(i＝1，2，…，n)，则i∑＝n1 baii≥（∑i∑＝in＝n11aaibi）i 2， 当且仅当 bi＝λai 时，等号成立.
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≥(
a· b
b＋
b· c
c＋
c· a
a)2
＝(a＋b＋c)2，
即(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.
一般形式的柯西不等式 课件
答案：B
5．实数 ai(i＝1,2,3,4,5,6)满足(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2 ＋(a5－a4)2＋(a6－a5)2＝1，则(a5 ＋a6
B．2 2
C. 6
D．1
解析：因为[(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2＋(a5－a4)2＋(a6 －a5)2](1＋1＋1＋4＋1)≥[(a2－a1)×1＋(a3－a2)×1＋(a4－a3)×1 ＋(a5－a4)×2＋(a6－a5)×1]2＝[(a6＋a5)－(a1＋a4)]2，所以[(a6＋a5) －(a1＋a4)]2≤8，即(a6＋a5)－(a1＋a4)≤2 2.
答案：B
3．设 x，y，z∈R，且 x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥1成立，证明：a≤－3 或
3 a≥－1.
解：(1)[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2](12＋12＋12)≥[(x－1)＋(y ＋1)＋(z＋1)]2＝(x＋y＋z＋1)2＝4，
答案：B
6．设 x1，x2，…，xn 都是正数，求证：
x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
证明：∵x1，x2，…，xn 都是正数，
∴(x1＋x2＋…＋xn)x11＋x12＋…＋x1n
＝[(
x1)2＋(
x2)2＋…＋(
xn)2]·
1x12＋
1x22＋…＋
1 2 xn
≥ x1·1x1＋ x2·1x2＋…＋ xn·1xn2＝n2， ∴x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
知识点二 一般形式的柯西不等式的应用
4．已知 a，b，c 均大于 0，A＝ 则 A，B 的大小关系是( )
5．实数 ai(i＝1,2,3,4,5,6)满足(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2 ＋(a5－a4)2＋(a6－a5)2＝1，则(a5 ＋a6
B．2 2
C. 6
D．1
解析：因为[(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2＋(a5－a4)2＋(a6 －a5)2](1＋1＋1＋4＋1)≥[(a2－a1)×1＋(a3－a2)×1＋(a4－a3)×1 ＋(a5－a4)×2＋(a6－a5)×1]2＝[(a6＋a5)－(a1＋a4)]2，所以[(a6＋a5) －(a1＋a4)]2≤8，即(a6＋a5)－(a1＋a4)≤2 2.
答案：B
3．设 x，y，z∈R，且 x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥1成立，证明：a≤－3 或
3 a≥－1.
解：(1)[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2](12＋12＋12)≥[(x－1)＋(y ＋1)＋(z＋1)]2＝(x＋y＋z＋1)2＝4，
答案：B
6．设 x1，x2，…，xn 都是正数，求证：
x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
证明：∵x1，x2，…，xn 都是正数，
∴(x1＋x2＋…＋xn)x11＋x12＋…＋x1n
＝[(
x1)2＋(
x2)2＋…＋(
xn)2]·
1x12＋
1x22＋…＋
1 2 xn
≥ x1·1x1＋ x2·1x2＋…＋ xn·1xn2＝n2， ∴x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
知识点二 一般形式的柯西不等式的应用
4．已知 a，b，c 均大于 0，A＝ 则 A，B 的大小关系是( )
课件2：二 一般形式的柯西不等式
方法二：令 m＝( 4a＋1, 4b＋1, 4c＋1)．n＝(1,1,1)， 则|m|＝ 4a＋1＋4b＋1＋4c＋1＝ 4(a＋b＋c)＋3＝ 7， |n|＝ 12＋12＋12＝ 3. m·n＝ 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1, 由|m·n|≤|m||n|,得 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1≤ 21. 故 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1的最大值为 21,当且仅当 a＝ b＝c＝13时,取等号.
证法二：(利用柯西不等式) (x＋y＋z)1x＋4y＋9z ≥ x· 1x＋ y· 4y＋ z· 9z2＝(1＋2＋3)2＝36， 当且仅当 x2＝14y2＝19z2， 即 x＝16，y＝13，z＝12时等号成立．
【例 2】设 a,b,c 为正实数,且 a＋b＋c＝3，求证： 2a＋1＋ 2b＋1＋ 2c＋1≤3 3.
典例剖析
【例 1】 已知 a，b，c∈R＋， 求证：ab＋bc＋acba＋bc＋ac≥9. 【分析】利用柯西不等式证明其他不等式时,关键是构造两
组数,向着柯西不等式的形式转化.本例中对应三维柯西不等式,
记 a1＝
ab,a2＝
bc,a3＝
ac,b1＝
b a,
b2＝ bc,b3＝ ac,而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．
思考探究
三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成
ab11＝ba22＝
a3 b3
可以吗？
提示 不可以．因为若出现 bi＝0(i＝1,2,3)的情况，则分式
不成立了，但是，可以利用分式的形式来形象地记忆.
名师点拨 1.三维形式的柯西不等式 三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来 理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯 西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构特征，对 不等式等号成立的条件加深理解．
一般形式的柯西不等式 课件
【解题探究】 注意到1x＋4y＋9z＝(x＋y＋z)·1x＋4y＋9z，就 可以应用柯西不等式了．
【解析】由柯西不等式，得 1x＋4y＋9z＝(x＋y＋z)1x＋4y＋9z≥ x·1x＋ y·2y＋ z·3z2＝ 36， 当且仅当 x2＝14y2＝19z2， 即 x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立． 所以1x＋4y＋9z≥36.
一般形式的柯西不等式
1．定理 1.三维形式的柯西不等式： (a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥_(_a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_)_2 _， 当 且 仅 当 __b_i_＝__0_(i_＝__1_,2_,_3_)_ 或 _存__在__一__个__数__k_，__使__得__a_i＝__k_b_i_
(n＋1)·1＋x12x1＋1＋x22x2＋…＋1＋x2nxn＝(1＋x1＋1＋x2＋…＋1 ＋xn)·1＋x21x1＋1＋x22x2＋…＋1＋x2nxn
≥ 1＋x1· 1x＋1 x1＋ 1＋x2· 1x＋2 x2＋…＋
1＋xn·
xn 2 1＋xn
＝(x1＋x2＋…＋xn)2＝1. 所以1＋x21x1＋1＋x22x2＋…＋1＋xn2xn≥n＋1 1.
三维柯西不等式求最值
【例1】 已知x，y，z∈R且2x＋3y＋6z＝12，求x2＋y2＋ z2的最小值．
【解题探究】 利用三维柯西不等式可解．
【解析】由三维柯西不等式，得 (x2＋y2＋z2)(22＋32＋62)≥(2x＋3y＋6z)2＝122＝144， 所以 x2＋y2＋z2≥14494，
当且仅当2x＝3y＝6z， 2x＋3y＋6z＝12，
与二维柯西不等式的应用一样，巧用条件x＋y＋z＝1，构 造与三维柯西不等式一致的形式解决问题．
【解析】由柯西不等式，得 1x＋4y＋9z＝(x＋y＋z)1x＋4y＋9z≥ x·1x＋ y·2y＋ z·3z2＝ 36， 当且仅当 x2＝14y2＝19z2， 即 x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立． 所以1x＋4y＋9z≥36.
一般形式的柯西不等式
1．定理 1.三维形式的柯西不等式： (a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥_(_a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_)_2 _， 当 且 仅 当 __b_i_＝__0_(i_＝__1_,2_,_3_)_ 或 _存__在__一__个__数__k_，__使__得__a_i＝__k_b_i_
(n＋1)·1＋x12x1＋1＋x22x2＋…＋1＋x2nxn＝(1＋x1＋1＋x2＋…＋1 ＋xn)·1＋x21x1＋1＋x22x2＋…＋1＋x2nxn
≥ 1＋x1· 1x＋1 x1＋ 1＋x2· 1x＋2 x2＋…＋
1＋xn·
xn 2 1＋xn
＝(x1＋x2＋…＋xn)2＝1. 所以1＋x21x1＋1＋x22x2＋…＋1＋xn2xn≥n＋1 1.
三维柯西不等式求最值
【例1】 已知x，y，z∈R且2x＋3y＋6z＝12，求x2＋y2＋ z2的最小值．
【解题探究】 利用三维柯西不等式可解．
【解析】由三维柯西不等式，得 (x2＋y2＋z2)(22＋32＋62)≥(2x＋3y＋6z)2＝122＝144， 所以 x2＋y2＋z2≥14494，
当且仅当2x＝3y＝6z， 2x＋3y＋6z＝12，
与二维柯西不等式的应用一样，巧用条件x＋y＋z＝1，构 造与三维柯西不等式一致的形式解决问题．
一般形式的柯西不等式 课件
【归纳】正确利用“1”. 提示：数字“1”的正确利用非常重要，为了利用柯西不等式， 除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往能起 到某些用字母所代表的数或式子所不能起到的作用，这就要求 在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即 不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式.
时，等号成立.
2.一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数，则
(a12
a
2 2
a
2 n
)(b12
b
2 2
b
2 n
)
__(_a_1b_1___a_2b_2______a_n_b_n_)_2_,
当且仅当_b_i=_0_(_i_=_1_,_2_,_…__,_n_)_或__存__在__一__个__数__k_,_使__得__
一般形式柯西不等式的应用
应用柯西不等式的注意事项 我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但 往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出 与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变 形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点.我们 要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的 数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题.
a2 a3
a2 a2 a3
a n1 a n
a n1
a n1 a n
an a1
(a1
a2
an=)2右 边12 ,
1 2
∴原不等式成立.
an )2 1 an a1 2
答案：6
11
1 x y z 1 2x 1 3y 1 z
2
3
1
数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
≥
(
������
∑
������������)2
������=1
������
∑ ������������
,
当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
变形(2)
������=1
设
������
ai,bi(i=1,2,…,n)同号且不为零,则 ∑
������=1
������������ ������������
名师点拨记忆柯西不等式的一般形式,一是抓住其结构特点:左
边是平方和再开方的积,右边是积的和的绝对值;二是与二维形式
的柯西不等式类比记忆.
知识拓展柯西不等式的变形和推广:
变形(1) 设 ai,bi∈R,bi>0(i=1,2,…,n),
������
则∑
������=1
���������2��� ������������
=
������2 ������2
=
⋯
=
������������ ������������
时等号成立.
∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4. ∴-2≤a1b1+…+anbn≤2. ∴所求的最大值为2.
答案:C
1.一般形式的柯西不等式如何应用? 剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题, 但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变形,拼凑出与 一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我 们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应 用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等 式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题. 2.如何利用“1”? 剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应 该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代 表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与 实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而 不会用柯西不等式.
《一般形式的柯西不等式》课件 (共14张PPT)
2 2 2 2 1 2 2 2 n
(1 a1 1 a2 1 an )
2 1 2 2 2 n
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a 2 a n ) a1 a2 a n n
2
例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a b c d ab bc cd da
2 2 2 2
证明 : (a 2 2 c 2 d 2 )(b 2 c 2 d 2 a 2 ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式
教学要求：认识一般形式的柯西不等式， 会用函数思想方法证明一般形式的柯西 不等式，并应用其解决一些不等式的问 题. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等 式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.
一、复习准备： 提问：1、二维形式的柯西不等式？
提问：2、柯西不等式的向量形式？
提问：3、(2)式如何得到(1)式？
二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式：
2. 教学柯西不等式的应用：
例1 已 知a1 , a2 , , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
P 41 6. 设x1 , x 2 ,xn R , 且x1 x2 xn 1,
(1 a1 1 a2 1 an )
2 1 2 2 2 n
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a 2 a n ) a1 a2 a n n
2
例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a b c d ab bc cd da
2 2 2 2
证明 : (a 2 2 c 2 d 2 )(b 2 c 2 d 2 a 2 ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式
教学要求：认识一般形式的柯西不等式， 会用函数思想方法证明一般形式的柯西 不等式，并应用其解决一些不等式的问 题. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等 式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.
一、复习准备： 提问：1、二维形式的柯西不等式？
提问：2、柯西不等式的向量形式？
提问：3、(2)式如何得到(1)式？
二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式：
2. 教学柯西不等式的应用：
例1 已 知a1 , a2 , , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
P 41 6. 设x1 , x 2 ,xn R , 且x1 x2 xn 1,
5.4一般形式的柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)(2)
9 z
( x y z)
14 (
) (
)
14 4 6 12 36 当且仅当 y 2 x , z 3 x , 即 x 1 6 ,y 1 3 ,z 1 2 时 , 等号成立 .
课外练习:
1 在 ABC 中 , 设其各边长为 求证 : ( a b c )(
2 2 2
a , b , c , 外接圆半径为 1
2
R,
2
1
2
B sin
1
2
) 36 R C
sin A sin 2 .设 a , b , c 为正数 , 且 a b c 1 ,
求证 : ( a
1 a
) (b
2
1 b
) (c
2
1 c
)
2
100 3
3 .若 n 是不小于 2的正整数 , 试证 : 4 7 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 2 2
根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不 等式吗？
猜想并证明 结论
猜想柯西不等式的一般形式
2 2 2 2 2 2 2
(a1 a2 an )(b1 b2 bn ) ≥ (a1b1 a2 b2 anbb ) ②
2 2 分析： A a 12 a 2 a n ， B a b a b a b 设 1 1 2 2 n n 2 2 2 C b1 b 2 b n ， 不 等 式 ② 就 是 A C ≥ B 2
构造二次函数 f ( x ) ( a 1 a 2 a n ) x 2 ( a 1 b1 a 2 b 2 a n b n ) x
一般形式的柯西不等式 课件
类型 1 利用柯西不等式求最值(自主研析)
[典例 1] (1)求函数 f(x)＝ x－6＋ 12－x的最大值 及此时 x 的值；
(2)设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4 ＋ 5z＋6的最大值．
解：(1)由柯西不等式得( x－6＋ 12－x)2≤(12＋ 12)[( x－6)2＋( 12－x)2]＝2(x－6＋12－x)＝12，
(1)求 a＋b＋c 的值； (2)求 1a2＋1b2＋c2 的最小值．
49 解：(1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b 时，等号成立．
又 a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b，所以 f(x)的最小 值为 a＋b＋c，
归纳升华 1．我们在使用柯西不等式解决问题时，往往不能直 接应用，需要先对式子的形式进行变化，拼凑出与柯西不 等式相似的结构，继而达到使用柯西不等式的目的，在应 用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成立的条件，而 且要善于构造，技巧如下：
(1)巧拆常数；(2)重新安排某些项的次序；(3)改变结 构；(4)添项．
(2)由柯西不等式知：
左边＝ ab2＋ bc2＋ ac2·
ba2＋
bc2＋
ac2≥
ab·
ba＋
b c·
bc＋
c a·
ac2＝
(1＋1＋1)2＝9.
所以原不等式成立．
归纳升华 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需将表达式 适当地变形，因此必须善于分析题目的特征，根据题设条 件，利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结 合等方法，才能发现问题的突破口．
3．定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 x12＋y21＋ x22＋y22≥ （x1－x2）2＋（y1－y2）2.
第3讲2一般形式的柯西不等式课件人教新课标
当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以改变式子的结构，从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以添项.
∴a＋2b＋3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a，b，c，d 均为正实数，则(a＋b＋c＋d)1a＋b1＋1c ＋1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a＋b＋c＋d)1a＋1b＋1c＋1d
＝[(
a)2＋(
b)2＋(
c)2＋(
d)2]·
1a2＋
1b2＋
1c2＋
1
2
d
≥
a·1a＋
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21 ＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b＋
c·1c＋
d·1d2
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以改变式子的结构，从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以添项.
∴a＋2b＋3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a，b，c，d 均为正实数，则(a＋b＋c＋d)1a＋b1＋1c ＋1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a＋b＋c＋d)1a＋1b＋1c＋1d
＝[(
a)2＋(
b)2＋(
c)2＋(
d)2]·
1a2＋
1b2＋
1c2＋
1
2
d
≥
a·1a＋
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21 ＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b＋
c·1c＋
d·1d2
2.1.2_一般形式的柯西不等式(精品公开课课件)
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
例1 已知a1 , a2 ,, an都是实数, 求证
a12 a22 a32 b12 b22 b32 a1b1 a2b2 a3b3 2
当且仅当ai kbi时等号成立。 猜想柯西不等式的一般形式
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式)
设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
例4、把一条长是 m 的绳子截成三段，各围成一
个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积最小？
解：设三段绳子的长分别为x、y、z，x y z l
则三个正方形的边长依次为 ：x , y , z 这三个正方形的面积之和为： 4 4 4
求证 : (a 1 )2 (b 1 )2 (c 1)2 100
a
b
c3
练习： P30 第1、2、3题
证明： (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )
≥ (ab bc cd da)2 ∵ a,b,c,d 是不全相等的正数， a b c d 不
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
例1 已知a1 , a2 ,, an都是实数, 求证
a12 a22 a32 b12 b22 b32 a1b1 a2b2 a3b3 2
当且仅当ai kbi时等号成立。 猜想柯西不等式的一般形式
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式)
设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
例4、把一条长是 m 的绳子截成三段，各围成一
个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积最小？
解：设三段绳子的长分别为x、y、z，x y z l
则三个正方形的边长依次为 ：x , y , z 这三个正方形的面积之和为： 4 4 4
求证 : (a 1 )2 (b 1 )2 (c 1)2 100
a
b
c3
练习： P30 第1、2、3题
证明： (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )
≥ (ab bc cd da)2 ∵ a,b,c,d 是不全相等的正数， a b c d 不
3.2一般形式的柯西不等式(优秀经典公开课比赛课件)
abc
解析 : a b c 1,
∴ 1 1 1 (a b c)( 1 1 1) ≥
abc
abc
( a 1 b 1 c 1 )2 9
b
c
即a b c 1 时, 1 1 1的最小值为9 3 abc
问题 7: 类比二维、三维空间的柯西不等式，
问题 2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？
（１） a2 b2 ≥ 2ab （２） a2 b2 ≥ 1 (a b)2
2
(1)证明: ∵(a2 b2 )(b2 a2 ) ≥ (ab ba)2 (2ab)2, ∴(a2 b2 )2 ≥ (2ab)2
∴a2 b2 ≥ 2ab ≥2ab,
猜一猜 n 维空间的柯西不等式，即一般式．
定理 4：（一般形式的柯西不等式）：
设 n 为大于 1 的自然数， xi , yi R(i 1, 2,3, , n) ,则：
(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
是二次函数,因为对任意的实数 xi , yi (i 1, 2, 3, , n) ,
都有 f (x) ≥ 0 成立，∴△≤0
n
n
n
∴△ 4( xi yi )2 4( xi2 )( yi2 ) 0 ，
i 1
i 1
i 1
∴(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
(x12 x22 x32 )( y12 y22 y32 ) ≥ (x1 y1 x2 y2 x3 y3 )2
解析 : a b c 1,
∴ 1 1 1 (a b c)( 1 1 1) ≥
abc
abc
( a 1 b 1 c 1 )2 9
b
c
即a b c 1 时, 1 1 1的最小值为9 3 abc
问题 7: 类比二维、三维空间的柯西不等式，
问题 2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？
（１） a2 b2 ≥ 2ab （２） a2 b2 ≥ 1 (a b)2
2
(1)证明: ∵(a2 b2 )(b2 a2 ) ≥ (ab ba)2 (2ab)2, ∴(a2 b2 )2 ≥ (2ab)2
∴a2 b2 ≥ 2ab ≥2ab,
猜一猜 n 维空间的柯西不等式，即一般式．
定理 4：（一般形式的柯西不等式）：
设 n 为大于 1 的自然数， xi , yi R(i 1, 2,3, , n) ,则：
(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
是二次函数,因为对任意的实数 xi , yi (i 1, 2, 3, , n) ,
都有 f (x) ≥ 0 成立，∴△≤0
n
n
n
∴△ 4( xi yi )2 4( xi2 )( yi2 ) 0 ，
i 1
i 1
i 1
∴(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
(x12 x22 x32 )( y12 y22 y32 ) ≥ (x1 y1 x2 y2 x3 y3 )2
高中数学 第三讲 一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修45
n
n i1
ai bi
( ai )2
i1 n
aibi
,
i1
第九页，共39页。
类型 一 三维柯西不等式的应用
【典型例题】
1.(2013·湖南高考)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2
的最小值为_______.
2.△ABC的三边(sān biān)长为a,b,c，其外接圆半径为R，
答案：1
第二十页，共39页。
2.左边(z＝uǒ ab12ian)
a
2 2
a2 n 1
a
2 n
a1 a2 a2 a3
a n1 a n a n a1
[a1 a2 a2 a3 an1 an an a1 ]
[( a1 )2 ( a2 )2 ( an1 )2 ( an )2 ] 1
二 一般(yībān)形式的柯西不等式
第一页，共39页。
第二页，共39页。
名称
形式
等号成立条件
三维形式 设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R则
柯西不等
(a12
a
2 2
a
2 3
)
(b12
b
2 2
b32 )
式
≥_(_a_1_b_1_+_a_2b_2_+a_3_b_3_)_2
当且仅当b1=b2=b3=0或存 在一个实数k使得
从而由柯西不等式中等号成立的条件，得
它－x8与－6y8②x－+,…z264…y－…2…4z…=…39…联…立…，……………………10分
可得
………………………………12分
x － 6 , y 9 , z －18 .
【课件】一般形式的柯西不等式
a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
分析：设A a12 a22 an2，B a1b1 a2b2 anbn
C b12 b22 bn2， 则不等式就是AC B2
构造二次函数
f (x) (a12 a22 an2 )x2 2(a1b1 a2b2 anbn )x
从平面向量的几何背景能得到 ，
将平面向量的坐标代入， 化简后得二维形式
的柯西不等式: (a12 a22 ) (b12 b22 ) (a1b1 a2b2 )2
当 且 仅 当a1b2 a2b1时, 等 号 成 立.
类似地,从空间向量的几何背景也能得到 ,
将空间向量的坐标代入, 化简后得
通过以上证明，得知猜想成立，于是有
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式) 设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
当且仅当f(x)有唯一零点时，判别式Δ=0，以上不等
式取等号。此时有唯一实数x,使 ai x bi 0i 1,2,n
若x=0,则 b1 b2 bn 0 ,上式成立；
若x≠0,则有
1 a x bi
.
总之，当且仅当 bi 0(i 1,2,, n) 或 ai kbi (i 时1,2，,n) 等号成立。
又f
(x)
(b12 b22 bn2 ) (a1 x b1 )2 (a2 x
一般形式的柯西不等式 课件
a·1a＋
2b· 12b＋
3c· 13等式—— 一般形式
— 一般形式的应用
一般形式的柯西不等式
已知实数 x，y，z 满足 x＋2y＋z＝1，求 t＝x2＋4y2＋z2 的最小值． 【解】 由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2. ∵x＋2y＋z＝1，∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即 x2＋4y2＋z2≥31. 当且仅当 x＝2y＝z＝13，即 x＝13，y＝61，z＝13时等号成立． 故 x2＋4y2＋z2 的最小值为13.
题型一、运用柯西不等式求参数的取值范围
例 2 已知正数 x，y，z 满足 x＋y＋z＝xyz，且不等式x＋1 y＋y＋1 z＋z＋1 x≤λ 恒成立，求λ的取值范围． 【精彩点拨】 “恒成立”问题需求 1 ＋ 1 ＋ 1 的最大值，
x＋y y＋z z＋x 设法应用柯西不等式求最值．
【自主解答】 ∵x>0，y>0，z>0.且 x＋y＋z＝xyz.∴y1z＋x1z＋x1y＝1.
2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不 等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．
3．已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]． (1)求 m 的值； (2)若 a，b，c∈R＋，且1a＋21b＋31c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
教材整理 1 三维形式的柯西不等式
设 a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋a22＋a23)·(b21＋b22＋b23)≥ (a1b1＋a2b2 ＋a3b3)2. 当且仅当 b1＝b2＝b3＝0 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们
《2.1柯西不等式 2 一般形式的柯西不等式》课件 -优质公开课-北师大选修4-5精品
1，2，3)时，等号成立.
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3．你能猜想出柯西不等式的一般形式并给出证明吗？
提示 柯西不等式的一般形式为：若 a1，a2，„，an，b1， 2 2 2 2 b2， „， bn 都为实数，则有 (a2 ＋ a ＋ „ ＋ a )( b ＋ b 1 2 n 1 2＋ „ ＋ 2 b2 n)≥(a1b1＋a2b2＋„＋anbn) ， 证明如下： 若 a1＝a2＝„＝an＝0，则不等式显然成立，故设 a1，a2，„， 2 2 an 至少有一个不为零，则 a2 ＋ a ＋ „ ＋ a 1 2 n>0. 2 2 2 考虑二次三项式 (a 2 1 ＋ a 2 ＋ „ ＋ a n )x ＋ 2(a1b1 ＋ a2b2 ＋ „ ＋ 2 2 anbn)x＋(b2 1＋b2＋„＋bn) ＝(a1x＋b1)2＋(a2x＋b2)2＋„＋(anx＋bn)2≥0. 对于一切实数 x 成立，设二次三项式的判别式为 Δ， Δ 2 2 2 2 则 ＝(a1b1＋a2b2＋„＋anbn)2－(a2 ＋ a ＋ „ ＋ a )( b ＋ b 1 2 n 1 2＋ „ 4 2 ＋bn )≤0.
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2．在空间向量中，|α||β|≥|α·β|，你能据此推导出三维的柯 西不等式的代数式吗？ 提示 设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，
则α·β＝a1b1＋a2b2＋a3b3代入向量式得
2 2 2 2 2 2 (a2 1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3) . 当且仅当α与β共线时，即存在一个数k，使得ai＝kbi (i＝
＝[( a＋b)2＋( b＋c)2＋( c＋a)2]·
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高中数学 3.2一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修4-5
接
a1b＋b1c＋c1d＋d1a2，
于是a12＋b12＋c12＋d12≥a1b＋b1c＋c1d＋d1a.①
精选ppt
7
1111
等号成立⇔a1＝b1＝1c＝d1⇔ba＝bc＝dc＝ad⇔a＝b＝c＝d，
栏
bcda
目
链
由题设 a，b，c，d 不全相等，于是①中有严格等号不成立， 接
即a12＋b12＋c12＋d12＞a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
3．2 一般形式的柯西不等式
精选ppt
1
精选ppt
栏 目 链 接
2
不等式证明
已知 a，b，c∈R＋，求证：
栏
ba＋bc＋acab＋bc＋ac≥9.
目 链 接
分析：对应三维形式的柯西不等式，a1＝ ab，a2＝ bc，a3＝
ac，b1＝ ba，b2＝ bc，b3＝ ac，而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而
得证．
精选ppt
3
证明：由柯西不等式知：
左边＝
ab 2＋
bc2＋
ac2×
栏
目
ba2＋
bc2＋
ac2≥
链 接
ab×
ab＋
bc×
bc＋
ac×
a c
2＝
(1＋1＋1)2＝9.
精选ppt
4
∴原不等式成立．
已知 a1，a2…，an 都是实数．
求证：(a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2)．
栏
目
分析：与柯西不等式的结构相比较，发现它符合柯西不等式的结 链
接
构，因此可用柯西不等式来证明．
证明：根据柯西不等式，有
一般形式的柯西不等式 课件
分析：已知条件中 a1＋a2＋…＋an＝1，可以看作“1” 的代换，而要证明不等式左侧，“数式”已经可以看出来，
为
a1 ， a1＋a2
a2 ，…，所以 a2＋a3
a1＋a2＋…＋an＝1，应扩大
2 倍后再利用，本题还可柯西不等式，得 左＝a1＋a21 a2＋a2＋a22 a3＋…＋an－a12n＋－1 an＋an＋a2n a1 ＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋…＋(an－1＋an)＋(an＋a1)]
法三：对于不等式左边的第一个公式a1＋a21 a2，
配制辅助式 k(a1＋a2)，k 为待定系数，这里 k 取14，则
a1＋a21 a2＋14(a1＋a2)≥2
a1＋a21 a2×14a1＋a2＝a1，
同理a2＋a22 a3＋14(a2＋a3)≥a2，
…
an－a12n＋－1 an＋14(an－1＋an)≥an－1， an＋a2n a1＋14(a1＋an)≥an，
已知 a，b，c∈R＋，求证：
ba＋bc＋caba＋bc＋ac≥9.
分析：对应三维形式的柯西不等式，a1＝ ba，
a2＝ bc，a3＝ ca，b1＝ ba，b2＝ bc，b3＝ ac， 而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．
证明：由柯西不等式，知左边
＝ ba2＋ bc2＋ ac2× ba2＋ bc2＋ ca2 ≥ ba× ba＋ bc× bc＋ ac× ac2
一般形式的柯西不等式
1．柯西不等式向量形式：|α||β|___≥_____|α·β|.
2．定理：(柯西不等式的推广形式)：设 n 为大于 1 的自然数，ai，bi(i＝1,2，…，n)为任意实数，
nn
n
则：a2i b2i ____≥____(aibi)2，