浙教版初中数学八年级下册知识点及典型例题

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浙教版八年级数学下册各章节知识点及重难点整理（版）

第一章二次根式知识点一：二次根式的概念二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七: 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

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第一章二次根式1. 二次根式的定义：形如 a （a ≥0）的代数式叫做二次根式。

（被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根）2．取值范围：二次根式被开方数大于等于0分式分母不为02. 二次根式的性质：1.二次根式有双重非负性（0a ≥，0a ≥）2.平方在根号里面（里平方）2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 3平方在根号外面（外平方）2a a =区别：2a 表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；相同点：最后的值都是正数3. (0,0)ab a b a b =≥≥0,0)a a a b b b=≥> 根号里面只有乘除才能分开来，加减不能4: 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。

5、分母有理化： 1aa 2a b+分子分母同乘以a b 3a b -a b题型：根式的化简和运算（简单题前几题，选择题，填空题）根式的定义、取值范围（选择题，填空题）第二章一元二次方程1．方程中只含有个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。

2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的的平方，而另一边是一个时，可以根据的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为项和项，右边为项；③配方，即方程两边都加上的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用法求出方程的解。

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第一章二次根式1.二次根式的定义：表示算术平方根的代数式叫做二次根式，形如a (a ≥0).2.★★★二次根式有意义的条件：被开方数≥0；分式有意义的条件：分母≠0. 例：2－x 有意义的条件是2－x ≥0，即x ≤2； 1 1－x有意义的条件是1－x ≠0，即x ≠1； 2－x 1－x有意义的条件是2－x ≥0且1－x ≠0，即x ≤2且x ≠1.x 的范围是______________________．3.★★求含字母的二次根式的值.例：当x ＝－4时，求二次根式8－2x 的值.错误解法：（1）8－2x ＝8－2×4＝0；（2）1－2x ＝8－2×(－4)＝16＝±4. 正确解法：8－2x ＝8－2×(－4)＝16＝4.注意：代入负数时一定要注意符号！4.★★★二次根式的性质：(1)(a )2＝a (a ≥0)；(2)a 2＝| a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)－a (a ≤0)； (3)ab ＝a ×b (a ≥0，b ≥0)；(4) a b ＝a b(a ≥0，b ＞0). 注意：性质(2)中，当平方在根号里时，开方后要加上绝对值，再根据去绝对值法则去绝对值.若无法判定绝对值里的数的符号时，应分类讨论.例：(2－2)2＝|2－2|＝2－2（因为2－2是负数，所以去掉绝对值后等于它的相反数.）练习：（1）(﹣2)2＝__________；(﹣2)2＝__________．（2）(3.14－π)2＝_______________．5.★★最简二次根式必须满足两个条件：（1）根号内不含分母；（2）根号内不含开得尽方的因数或因式.例：下列式子中，属于最简二次根式的是（）A ．7B ． 1 2C ．20D ．0.01 解析：B 和D 的根号内是分数，不是最简二次根式，1 2 ＝ 1×2 2×2 ＝22，0.01＝ 1 100 ＝110； C 的被开方数20含有开得尽方的因数4，也不是最简二次根式，20＝4×5＝25.故选A .练习：下列式子中，属于最简二次根式的是（）A ． 1 3B ． 3C ．27D ．0.256.★★★二次根式的运算（考试必考，解答题21题）完全平方公式和平方差公式. (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.练习：（1）2×8 （2）(3－1)2＋2(3－1) （3）32－8 （4）(5＋3)2－(5－3)27.分母有理化：例：15－2＝1×(5＋2)(5－2)×(5＋2)＝5＋2. 技巧：利用分数的性质，分子分母同乘以一个式子，使分母可以用平方差公式计算.8.利用题目中的隐含条件——二次根式被开方数≥0解题.例1：已知y ＝2x －1＋1－2x ＋3，则x y ＝_______. 分析：根据二次根式被开方数≥0得，2x －1≥0且1－2x ≥0，即x ≥ 1 2 且x ≤ 1 2 ，所以x ＝ 1 2．例2：化简(3－2x )2－(2x －5)2原式＝|3－2x |－(2x －5)，要去掉|3－2x |的绝对值，必须知道3－2x 的符号，由于隐含条件2x －5≥0，即x ≥ 5 2，所以3－2x ≤0，所以原式＝2x －3－2x ＋5＝2.练习：已知2017x x -+=，则22017x -＝______________． 9.32的整数部分是_________，小数部分是__________.分析：先把32的3从根号外移到根号内，即32＝9×2＝18，因为16＜18＜25，即4＜18＜5，所以18是一个4点多的数，故32的整数部分是4；小数部分＝32－整数部分＝32－4.练习：27的整数部分是_________，小数部分是__________.第二章一元二次方程1.★★★一元二次方程满足的三个条件：（1）方程两边都是整式（即字母不在根号里，字母不在分母上）；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2次.注意：判断一个方程是否是一元二次方程，要先对方程进行整理（去括号、合并同类项），然后再看是否满足上面这三个条件.练习：下列方程属于一元二次方程的是（）（A ）x 2－2x －1＝0 （B ）3x 2＋2 x＝0 （C ）3(x －1)＋2x ＝0 （D ）x 2－6y －3＝02.一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）. ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.练习：一元二次方程(x ＋2)(x －2)＝5x 化成一般形式是______________________．3.★★★解一元二次方程（1）因式分解法：①提公因式；②平方差公式；③完全平方公式；④用十字相乘法.（2）直接开平方法；（3）★★★配方法；当二次项系数为1时才可以进行配方，配上的常数是一次项系数一半的平方.例：用配方法解方程x 2－6x ＋1＝0，则方程可配方为____________________.练习：用配方法解方程x 2－6x －10＝0时，下列变形正确的是（）A ．(x －3)2＝19B ．(x －3)2＝10C ．(x －6)2＝19D ．(x －3)2＝1（4）公式法: x ＝－b ±b 2－4ac 2a. 例：（1）2(x －7)2＝14（适合用直接开平方法）（2）x (x －2)＋x －2＝0（适合用因式分解法）（3）x 2＝4x （适合用直接开平方法）（4）x 2－2x －2＝0（适合用因式分解法）4.★★★根的判别式：△＝b 2－4ac当b 2－4ac ＞0，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0，方程没有实数根.例：若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是___________. 分析：因为方程有两个不相等的实数根，所以△＝b 2－4ac ＞0，即(－2)2－4(k －1)×1＞0，解得k ＜2；又因为一元二次方程的二次项系数≠0，即k ≠1；所以k ＜2且k ≠1.注意：一元二次方程求字母范围时，不要忽略二次项系数不为0这个条件！练习：（1）若关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_______．（2）若关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋2＝0有实数根，则m 的取值范围是____________.5.★一个二次三项式ax 2＋bx ＋c 是完全平方式的条件：b 2－4ac ＝0.特别的，若二次项系数为1时，满足一次项系数一半的平方等于常数项时，也是完全平方式；例：若4x 2＋8(n ＋1)x ＋16n 是关于x 的完全平方式，则满足b 2－4ac ＝0，即[8(n ＋1)]2－4×4×16n ＝0. 练习：若9x 2＋18(n －1)x ＋18n 是一个关于x 的完全平方式，则n ＝_____________．6.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.例：若x＝－2为一元二次方程x2－2x－m＝0的一个根，则m＝________，另一个根为________.分析：把x＝－2代入方程即可解得m的值.在求另一个根时，有两种方法，一种方法是把m的值代入方程，解方程即可；另一种方法是利用韦达定理x1＋x2＝－ba可知两根之和等于2，所以另一个根为4.练习：已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m2－4＝0有一个根是0，则m＝______，另一个根为_____．7.利用韦达定理求值时，几种常见的变形（把代数式变形成由x1＋x2和x1·x2组成）：（1）x12＋x22＝x12＋2x1x2＋x22－2x1•x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2（利用完全平方公式变形）（2）x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)（利用提公因式法因式分解）（3）(x1－x2)2＝x12＋x22－2x1•x2＝(x1＋x2)2－4x1·x2（利用完全平方公式变形）（4）x1x2＋x2x1＝x12＋x22x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2x1x2（利用通分和完全平方公式变形）8.★★若一个一元二次方程的两个根为x1、x2，则该一元二次方程可以写成(x－x1)(x－x2)＝0，若再规定二次项系数为a，则该一元二次方程可以写成a(x－x1)(x－x2)＝0.练习：已知一元二次方程的两个根为﹣2和3，二次项系数为2，则该一元二次方程为_______________．9.若2b(b≠0)是关于x的方程x2－2ax＋3b＝0的根，则a－b的值为________.分析：把2b代入方程得(2b)2－2a ·2b＋3b＝0，即4b2－4ab＋3b＝0，提取公因式b得，b(4b－4a＋3)＝0，因为b≠0，所以4b－4a＋3＝0，解得a－b＝3 4.练习：若n(n≠0)是关于x的方程2x2＋6mx－3n＝0的一个根，则n＋3m的值为________.10.★★★一元二次方程的应用，掌握三类问题.（1）变化率问题．一般方程的形式为a(1±x)2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．解这类方程使用直接开平方法：先两边同除以a，再两边开平方即可求解.例：学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．解：设这两年的年平均增长率为x，根据题意得：5000(1＋x)2＝7200，即(1＋x)2＝1.44，开方得：1＋x＝1.2或1＋x＝－1.2，解得：x＝0.2＝20%，或x＝－2.2（舍去）．（2）市场营销中单价、销量、销售额以及利润之间的相互关系问题．一般设增加或降价x，然后用x表示变化后每件商品的利润，用x表示变化后的销量，最后根据“变化后每件商品的利润×变化后的销量＝总利润”列出方程．例：某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件，要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？解：设每件商品应降价x元，则降价后每件商品的利润为(360－x－280)元，降价后每月的销量为(5x＋60)件；由题意，得(360－x－280)(5x＋60)＝7200，解得：x1＝8，x2＝60∵更有利于减少库存，∴x＝60．注意：要仔细审题，检验方程的两个根是否都符合题意，有时题目中会出现“要使顾客获得最大利益”或“更有利于减少库存”，再或者对商品的价格有具体的要求，这时应判断该舍去哪一个根．练习：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产100件，每件利润5元．每提高一个档次，每件利润增加1元，但一天产量减少4件．（1）求生产第5档次的产品一天的总利润为多少元？（2）若生产第x（其中x为正整数，且1≤x≤10）档次的产品一天的总利润为836元，求该产品的质量档次．（3）根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题．例：如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解析：解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100－4x）米．根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5．则100－4x＝20或100－4x＝80．∵80＞25，∴x2＝5舍去．即AB＝20，BC＝20．练习：某农庄修建一个周长为120米的矩形休闲场所ABCD．矩形内筑一个正方形活动区EFGH和连结活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为6米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．已知草坪的造价为每平方米20元，鹅卵石的造价为每平方米100元．设AB为x米．（1）用含x的代数式表示BC；（2）求铺设鹅卵石区域的面积；（3）修筑这个矩形休闲场所的总费用2.784万元，求AB的长．11.（1）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意可列出方程为_______________．（2）某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张照片．如果该班有x名同学，根据题意可列出方程为_______________．注意：理解什么情况下要除以2，什么情况下不用除以2.第三章数据分析初步1.平均数：表示平均水平，但易受极端值影响．练习：已知甲校共有学生a 人，其中男生占45%；乙校共有学生b 人，其中男生占55%．今甲、乙两校合并成一所新的学校．阅读下面的对话并解答问题：（1）求新学校中男生的人数（用含a ，b 的代数式表示）．（2）你认为在什么情况下小红的答案是正确的．2.众数：一组数据中出现次数最多的那个数．表示大多数水平，但如果一组数据出现多个众数时，就没有多大意义，也不能充分利用所有的数据信息．练习：一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，其中各种尺码的销售量如下表所示：尺码（厘米） 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量（双） 1 2 5 11 7 3 1如果你是鞋店的经理，为了增加销售量，你会最关注哪个统计量（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差3.中位数：将一组数据按大小顺序排列，位于最中间位置的一个数据（当有偶数个数据时,为最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．表示中等水平，但不能充分利用所有的数据信息．练习：某班20名女同学的身高统计如下：身高（m ）1.50 1.54 1.58 1.62 1.66 1.70 人数 2 3 5 4 5 1那么这20名女同学的身高的中位数是_________．4.方差的计算公式：S 2＝ 1 n[( x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋(x 3－x －)2＋…＋(x n －x －)2] 其中n 表示数据个数，即样本容量；x －表示这组数据的平均数．★★★方差表示一组数据的波动大小（离散程度），方差越大，说明数据波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据波动越小，越稳定．练习：（1）数据7、2、6、4、4、3的方差为__________．（2）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为8.9环，方差分别为S 2甲＝0.33环2，S 2乙＝0.48环2，则两人中成绩较稳定的是_________．5.标准差等于方差的算术平方根，即S ＝S 2．6.5个连续整数的方差是2．例如：－2，0，1，－1，2这5个连续整数的方差等于2；标准差等于2．因为 45%＋55% 2 ＝50%，所以新学校中男生的人数占总学生人数的50%．你的答案不完全正确，只有在特殊情况下才对．小红小明7.若一组数据x1，x2，…，x n的平均数为x－，方差为S2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的平均数为a x－＋b，方差为a2S2．当一组数据的每一个数都加上或减去同一个数时，平均数变成原平均数加上或减去这个数，方差不变；当一组数据的每一个数都变成原数的a倍时，平均数变成原平均数a倍，方差变成原方差的a2倍．练习：如果数据x1，x2，…，x n的平均数为3，方差为2，则数据3x1＋1，3x2＋1，…，3x n＋1的平均数为________，方差为_________．第四章平行四边形1.★★★n边形的内角和为(n－2)×180°（n≥3）．练习：（1）一个七边形的内角和是________．（2）若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形的边数为_______．2.★★★任何多边形的外角和为360°．练习：（1）已知一个n边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为_________．（2）已知一个多边形的每一个内角都是144°，则该多边形的边数为_________．3. n 边形的对角线总数＝n(n－3)2．4.★★★平行四边形的性质：从边、角、对角线、对称性考虑．边：平行四边形对边平行且相等；角：平行四边形对角相等；对角线：平行四边形对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形．5.★★★平行四边形的判定：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形时平行四边形．练习：已知在四边形ABCD中，AB＝C D，添加一个条件：_____________可判定该四边形是平行四边形．6.★★★中心对称图形：如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．性质：对称中心平分连结两个对称点的线段．练习：下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7.在直角坐标系中，点(x ,y)关于原点成中心对称的点是(－x ,－y)．8.★★★三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．练习：（1）如图，已知矩形ABCD，AB ＝4，BC＝6，R是CD的中点，P是BC上的动点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC边上移动时，EF始终等于________.（2）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M是BC边上一动点，E、F分别是AD、DM的中点，则EF的最大值是__________．（1）图（2）图9.中点四边形：连结四边形四条边上的中点构成的四边形，该四边形是平行四边形．若一个四边形的对角线互相垂直，则这个四边形的中点四边形是矩形；若一个四边形的对角线相等，则这个四边形的中点四边形是菱形．10.★★★反证法：应假设结论不成立！练习：用反证法证明“在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°”时，应假设_______________．练习：用反证法证明“在三角形的内角中，最多有一个角是直角或钝角”时，应假设_________________．11.★★★在直角坐标系中，已知三个点的坐标，求第四个点的坐标使之与已知的三个点构成平行四边形，则第四个点的坐标有3个．例：在平面直角坐标系中，已知A(－1 ,3)，B(2 ,3)，C(1 ,－3)，D(a,b)，若以A，B，C，D为顶点的四边形恰好是平行四边形，则点D的坐标为________________________.分析：先画出图形，发现顶点D有3种情况.然后利用平移的方法分别求出.（1）求D1：B(2 ,3)平移到A(－1 ,3)是横坐标减去3，纵坐标不变，则C(1 ,－3)平移到D1(a,b)也是横坐标减去3，纵坐标不变，即D1(－2 ,－3).（2）求D2：A(－1 ,3)平移到B(2 ,3)是横坐标加上3，纵坐标不变，则C(1 ,－3)平移到D2(a,b)也是横坐标加上3，纵坐标不变，即D2(4 ,－3).（3）求D3：C(1 ,－3)平移到B(2 ,3)是横坐标加上1，纵坐标加上6，则A(－1 ,3)平移到D3(a,b)也是横坐标加上1，纵坐标加上6，即D2(0 ,9).由于平行四边形对角线互相平分，所以也可以利用中点公式求第四个顶点坐标（最后补充中有介绍）.练习：在平面直角坐标系中，已知A(1 ,3)，B(－2 ,5)，C(－3 ,－4)，D(a,b)，若以A，B，C，D为顶点的四边形恰好是平行四边形，则点D的坐标为__________________________________.第五章特殊平行四边形1.★★矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相；（3）具有平行四边形的所有性质.2.★★矩形的判定：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.练习：如图，在□ABCD中，（1）请添加一个条件：______________，使得□ABCD成为矩形．（2）请添加一个条件：______________，使得□ABCD成为菱形．3.★★菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（3）具有平行四边形的所有性质.4.★★菱形的判定：（1）定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形.注意：要证明一个四边形是矩形或菱形时，一般先证明该四边形是平行四边形，再根据边或对角线的关系证明其是矩形或菱形.5.★★正方形的性质：矩形的性质＋菱形的性质.6.★★正方形的判定：先判定是矩形或菱形，再根据角、边或对角线的关系证明其是正方形.练习：已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，则这个条件可以是_____________．第六章反比例函数1.★★★反比例函数的三种形式：（1）y＝kx；（2）k＝xy；（3）y＝kx－1.（k≠0）例1：反比例函数y＝－32x的比例系数为_________.分析：错解：答案为3或－3；正解：－32.技巧：只需把x去掉，剩下部分就是比例系数.例2：已知y是关于x的反比例函数，当x＝34时，y＝－4，则这个反比例函数的表达式为______.分析：利用k＝xy很容易求出比例系数k的值，结果写成y＝kx形式.例3：若函数y＝(n－1)x n2－2是反比例函数，n＝________.分析：由y＝kx－1可得n2－2＝－1，n＝±1；但由于n－1≠0，n≠1，所以n＝－1.2.★★★反比例函数的图象和性质：图象形状：双曲线．k＞0，图象在第一、三象限，在每一个象限内，图象从左到右下降，y随x的增大而减小；k＜0，图象在第二、四象限，在每一个象限内，图象从左到右上升，y随x的增大而增大.注意：反比例函数的增减性是指在某一个象限内.我们不能说当k＞0时，y随x的增大而减小.例1：已知(x1 ,y1)，(x2 ,y2)，(x3 ,y3)是反比例函数y＝－4x的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1分析：利用图象求解.先在x轴上找到满足条件的x1，x2，x3，再在y轴上找到相应的y1，y2，y3，观察上下位置即可得到结论.例2：已知反比例函数y＝2x，当x＞－1，y的取值范围是_____________.分析：必须得画图象求解！先画出直线x＝－1，x＞－1表示在直线x＝－1的右侧，找到函数图象在直线x＝－1右侧的部分，再找到这部分图象在y轴上的投影（一定要细心），最后写出取值范围.例3：如图，一次函数y1＝k1x＋b的图象和反比例函数y2＝k2x的图象交于A(1，2)，B(－2，－1)两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．x＜1B．x＜－2C．－2＜x＜0或x＞1D．x＜－2或0＜x＜1 分析：过A、B两点画y轴的平行线，这两条直线和y轴把坐标平面分成4个部分；y1＜y2表示y1的函数图象在y2的函数图象的下方，即直线在曲线的下方，由图象可知是①和③两部分，所以x的取值范围是x＜－2或0＜x＜1.3.★★反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上的任意一点作x轴和y轴的垂线，则两垂线与x轴、y轴所围成的矩形面积等于|k|.例1：如图，点P 在反比例函数y ＝ k x 的图象上，矩形PMON 的面积等于3，则k ＝______. 分析：错解：k ＝3，没有考虑图象所在的象限.正解：根据k 的几何意义得，|k |＝3，k ＝±3，由于反比例函数图象在第二、四象限，k ＜0，所以k ＝－3.例2：如图，直线x ＝t (t ＞0)与反比例函数y ＝ 2 x ，y ＝－1 x的图象分别交于B 、C 两点，A 为y 轴上的任意一点，则△ABC 的面积为（）A ．3B ． 3 2 tC ． 3 2D ．不能确定分析：连结OB 、OC ，由于△ABC 和△OBC 是同底等高的两个三角形，故面积相等，利用反比例函数k 的几何意义就很容易求出△OBC 的面积.4.★★★反比例函数y 1＝ k 1 x 与一次函数y 2＝k 2x ＋b 综合题（1）求两个函数的交点坐标.把这两个函数的解析式等起来，即 k 1 x＝k 2x ＋b ，即可求出交点的横坐标，再把横坐标代入反比例函数或一次函数求出纵坐标.（2）求两交点与原点构成的三角形的面积.像这种，无法直接用面积公式计算的，可以用割或补的方法求解.例如，如图，方法1：x 轴或y 轴把△AOB 分成两个三角形；方法2：在△AOB 周围补成一个长方形.（3）求反比例函数的值小于一次函数的值时x 的取值范围.该问题还可以这样表述：“求当y 1＜y 2时，x 的取值范围”、“求不等式 k 1 x ＜k 2x ＋b 的解”、“求不等式 k 1 x－b ＜k 2x 的解”. （4）反比例函数和正比例函数的两个交点关于原点对称.例如，若一个交点坐标为（2，－1），则另一个交点坐标为（－2，1）.5.★★★反比例函数与几何图形综合题例1：如图，点A 是反比例函数y ＝ 2 x(x ＞0)的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数y ＝－ 3 x 的图象于点B ，以AB 为边作□ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD 为（）A ．2B ．3C ．4D ．5分析：当BC 、AD 与x 轴垂直时，也满足题意，此时□ABCD 的面积就很容易利用k 的几何意义求出.例2：如图，四边形OABC 和ADEF 均为正方形，反比例函数y ＝8 x的图象分别经过AB 的中点M 及DE 的中点N ，则正方形ADEF 的边长为________.分析：由于点M 在反比例函数图象上，故设M (a ，8 a)，结合图象可知， OA ＝a ，AM ＝8 a ，由于M 为AB 中点，OA ＝AB ，所以OA ＝2AM ，即a ＝2×8 a，解得a ＝±4，∵a ＞0，∴a ＝4，即正方形OABC 的边长为4.接下来有两种方法.方法1：根据几何图形中的数量关系设参数t ，用t 表示点N 的坐标，然后代入反比例函数求解.设正方形ADEF 的边长为t ，则AD ＝t ，OD ＝4＋t ，由于N 为ED 中点，所以DN ＝ 1 2t ，所以点N 的 A D C By x O 2y x = 3y x =-坐标为(4＋t ， 1 2 t )；∵点N 在反比例函数y ＝8 x 的图象上，∴(4＋t )× 12 t ＝8，解得t ＝－2±25，∵t ＞0，∴t ＝－2＋25，即正方形ADEF 的边长为25－2.方法2：根据反比例函数设参数t ，用t 表示点N 的坐标，然后根据几何图形中的数量关系求解. 由于点N 在反比例函数图象上，故设N (t ，8 t )，结合图象可知，OD ＝t ，DN ＝8t ，∵OA ＝4，∴AD ＝OD －OA ＝t －4，∵N 为ED 中点，∴ED ＝2DN ＝16 t ，∵AD ＝ED ，∴t －4＝16t ，解得t ＝2±25，∵t ＞0，∴t ＝2＋25，∴AD ＝t －4＝25－2，即正方形ADEF 的边长为25－2.注意：大部分反比例函数和几何图形的综合题都需要设参数列方程求解.一般的方法就是上面所说的这两种. 补充1.等边三角形边长为a ，则高h ＝32a ，面积S ＝34a 2.练习：已知等边三角的的边长为6，则高为________，面积为__________．2.含30°角的直角三角形的三边比为1∶3∶2，如图，BC ∶AC ∶AB ＝1∶3∶2.练习：如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，则BC ＝______，AB ＝_______． 3.直角三角形斜边上的高＝两条直角边的乘积除以斜边. 练习：如上题图，点C 到AB 的距离＝_______. 4.对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半.（比如菱形） 5.中点坐标公式：若A (x 1 ,y 1)，B (x 2 ,y 2)，则AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2 2 ，y 1＋y 2 2 . 例：如图，四边形ABCD 是平行四边形，已知A (－2,4)，B (3 ,1)，C (6 ,3)，则D 点的坐标是___________. 分析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 和BD 互相平分，即AC 的中点和BD 的中点是同一个点， ∴根据中点公式得，x A ＋x C 2 ＝x B ＋x D 2，即x A ＋x C ＝x B ＋x D ，也就是－2＋6＝3＋x D ，x D ＝1；同样地，y A ＋y C 2 ＝y B ＋y D2 ，即y A ＋y C ＝y B ＋y D ，也就是4＋3＝1＋y D ，y D ＝6.故D 点的坐标是(1,6).6.两点间距离公式：若A (x 1 ,y 1)，B (x 2 ,y 2)，则AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2．7.翻折问题通常解题思路：找翻折前后相等的线段，设未知数，找直角三角形，用勾股定理列方程计算. 例：如图，菱形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝16，BD ＝12，折叠纸片使线段DO 落在边DA 上，折痕交AO 于点P ，则DP 的长为________. 分析：先作出折叠后O 点的位置，如图，点E 就是点O 折叠后的点，即DE ＝DO ， ∵PO ⊥DO ，∴PE ⊥AD ；∵OD ＝ 1 2 BD ＝6，OA ＝ 12AC ＝8，AC ⊥BD ，∴AD ＝10，∵DE ＝DO ＝6，∴AE ＝AD －DE ＝4；设PO ＝x ，则PE ＝PO ＝x ，AP ＝8－x ，在Rt △APE 中，AE 2＋PE 2＝AP 2，即42＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝3，∴DP ＝DO 2＋PO 2＝62＋32＝35. 8.如图，S 1＋S 3＝S 2＋S 4 S 1×S 3＝S 2×S 4AB C30°EABCDP O x y9.反比例函数图象既关于原点成中心对称，又关于直线y＝x成轴对称.图象越靠近坐标轴，|k|越小；越远离坐标轴，|k|越大.例：如图，k1＜0＜k2＜k310.如图1，求△MON的面积可通过图2和图3的方法求解.图2中，S△MON＝S矩形OEGF－S△OEM－S△OFN－S△GMN ，图3中，S△MON＝S梯形ABNM11.几种基本图形.（1）平行线＋角平分线结论：AC＝AB（2）同角或等角的余角相等13.动态几何问题中求定值的方法：特殊图法.例2：如图1，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是__________.分析：由题意可知，阴影部分的形状是在变化的，但是面积却不变，所以可以在如图2中求阴影部分的面积，显然阴影部分的面积等于一个正方形面积的一半.14.关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x＋h －3)2＋k＝0的解是________．分析：先写出一个以－3，2为根的一元二次方程(x＋3)(x－2)＝0，再变形成题目中的形式，即(x ＋12)2－254＝0，所以m＝1，h＝12，k＝－254，最后只要解这个方程(x＋12－3)2－254＝0即可．本题更简单的方法是运用整体思想，把方程看成m(□＋h)2＋k＝0，那么□内只能填－3或2，当□是用x－3表示时，x－3＝－3或2，所以x＝0或5.k1k3k2图1 图2 图3A BC DA BCDEG1结论：∠1＝∠2∵∠1＋∠AFD＝90°∠2＋∠AFD＝90°∴∠1＝∠2例1：如图1，点E在AD上移动，求EM＋EN的值.显然这是一题动态图中求定值问题，我们可以用特殊图的方法求.令点E运动到与点A重合，如图2，则EM＝0，EN＝AN，所以EM＋EN＝AN，AN就是Rt△ABD斜边上的高，所以AN＝AB×ADBD.图1图2图2图11314。

浙教版八下数学知识点(完整版)

浙教版八年级数学下册知识点汇总八年级（下册）第1章二次根式1.1二次根式1.2二次根式的性质1.3二次根式的运算第2章一元二次方程2.1一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.3一元二次方程的应用2.4一元二次方程根与系数的关系第3章数据分析初步3.1平均数3.2中位数和众数3.3方差和标准差第4章平行四边形4.1多边形4.2平行四边形及其性质4.3中心对称4.4平行四边形的判定定理4.5三角形的中位线4.6反证法第5章特殊平行四边形5.1矩形5.2菱形5.3正方形第6章反比例函数6.1反比例函数6.2反比例函数的图像和性质第一章二次根式1.1. 二次根式像3,4a 2++b 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。

1.2. 二次根式的性质()()0a 2≥=a a ()()⎩⎨⎧<-≥==00a 2a a a a a ()0,0a ab ≥≥⨯=b a b()0,0a >≥=b a ba b 像57，这样，在根号内不含字母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。

1.3. 二次根式的运算()0,0ab a ≥≥=⨯b a b()0,0a >≥=b a b ba第二章一元二次方程2.1一元二次方程像方程x 2+3x=4的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程。

能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。

任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax 2+bx+c=0的形式。

ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a,b 分别称为二次项系数和一次项系数。

2.2一元二次方程的解法1、因式分解法：利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程，常见ax 2+bx=0（无常数项）、及类似3x(x -1)=x -1等也可以使用因式分解法。

浙江省杭州市浙教版初中八年级下册数学第6章反比例函数图象和性质(教师版)——西湖洪小爱

反比例函数的图像和性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________重点：能结合具体情境确定反比例函数的表达式，并理解反比例函数系数k 的具体意义；掌握反比例函数的图象的基本特征。

难点：会运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题。

一、反比例函数1、函数（k 为常数，k ≠ ）叫做反比例函数，k 叫做。

自变量x 的取值范围是x 0，函数值 y 0.反比例函数常见的表达形式还有（k ≠0）和xy=k （k ≠0）.2、要确定一个反比例函数的表达式，只需求出 .如果已知一对自变量与函数的对应值，就可以由此求出 .然后写出所求的反比例函数。

二、反比函数的图象和性质1、用描点法画反比例函数图象的基本步骤① ；② ；③ .1-=kx y x k y =2、反比例函数（k ≠0）的图象是由两个分支组成的曲线，当k>0时，图象在象限；当k<0时，图象在象限.反比例函数（k ≠0）的图象关于直角坐标系的成中心对称。

3、反比例函数的图象的对称轴有条。

4、反比例函数（k ≠0）的性质：当k>0时，在图象所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而；当k<0时，在图象所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而；知识点一、反比例函数定义例1．函数y=（m 2﹣m ）是反比例函数，则（） A ．m ≠0B ．m ≠0且m ≠1C ．m=2D ．m=1或2练习1、若函数y=是反比例函数，则k= ．练习2、若函数是y 关于x 的反比例函数，求m 的值。

反比例函数的意义和函数值例2、已知变量y 关于（x+5）成反比例函数，且x=2时，y=2，求x=2017时，y 的函数值.x k y =x ky =x y 1=x ky =132)1(+++=m m x m y练习1、已知y -1 与x 成反比，且x=2时,y=9. 求x=2017时，y 的函数值。

浙教版数学八下考点典型例题及期末考试注意点

一、考点分析第一章二次根式 ★本章重点：1、二次根式的混合运算、化简求值2、二次根式的应用：勾股定理（折叠问题）、坡比问题。

1. 二次根式的定义：非负数a 算术平方根，叫做二次根式，即a 。

2. 二次根式的二个非负特征：在a 中； a ≥0, a ≥0。

3. 二次根式的性质：♦ a a =2)( ( a ≥0)；一个非负数算术平方根的平方等于这个非负数。

♦ a a =2一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

♦b a ab ⨯= ( a ≥0，b ≥0)；两个非负数积的算术平方根等于这两个非负数算术平方根的积。

♦ba ba = ( a ≥0，b ＞0)；商的算术平方根等于算术平方根的商。

4. 最简二次根式：被开方数中不含完全平方因式与分母的二次根式，叫做最简二次根式。

5. 同类二次根式：把被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式。

6. 二次根式的加减可以归结为：① 先把各二次根式化简成最简二次根式；② 合并同类二次根式（把系数相加，根式不变）。

7. 二次根式相乘,只要把被开方数相乘，根式不变。

即ab b a =⨯ ( a ≥0，b ≥0)8. 二次根式相除,只要把被开方数相除，根式不变。

即baba =( a ≥0，b ＞0) 9．斜坡的铅直高h 与水平长度l 的比叫做坡比即：坡比 i=hl10．分母有理化：通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算。

分母有理化的依据：平方差公式。

分母有理化有如下两种基本类型：（1）a ab aa ab ab =∙=或ba ba c ba b a b a c ba c±±=±∙±±∙=±（2）ba b a c b a b a b a c ba c ±=±∙=±2)())(()( 或 b a b a c b a b a b a c b a c-=±∙=±)())(()(第二章一元二次方程1. 基本知识、解法：(1)定义：在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高项的次数的和是2次的整式方程叫做一元二次方程。

浙教版八下数学各章节知识点及重难点(修改版)

浙教版八下数学各章节知识点及重难点（改正版）第一章二次根式一.知点 :1.二次根式的定：形如（ a≥0）的代数式叫做二次根式。

如：，, ，，5，-3 ⋯⋯2.二次根式的性 :⑴≥ 0 （两重非性）；⑵2（ a ≥）aa a0⑶a2∣a∣； (4)ab×（ a 0, b0 ）；(5)a÷（ a 0, b0 ）.b：二次根式拥有两重非性。

3.最二次根式：被开方数不含有开得尽方的数，所含因式是一次式（就是字母的次数是一次），被开方数不含分母。

足三个条件的二次根式称最二次根式。

4.同二次根式：化成最二次根式后，被开方数同样的几个二次根式称同二次根式。

5.二次根式的运算（1）加（减）法：先化，再归并。

（2）乘（除）法：先乘除，再化。

6．分母有理化：分母有理化也称为有理化分母。

就是将分母含有根号的代数式变为分母不含根号的代数式，这个过程叫做分母有理化。

（1）形如：（2）形如： 27.对于拥有两重根号的二次根式。

如：二.要点和难点：要点：二次根式的运算。

难点：混淆运算以及应用。

第二章一元二次方程一.知识点：1. 定义：形如ax2bx c0(a0) 的方程叫做一元二次方程，此中，a叫做二次项系数， bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数， c 叫做常数项。

例：若方程 (m2) x|m|3mx10 是对于x的一元二次方程，则（）A．m 2B．m=2C．m= —2D．m 22.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法；（2）因式分解分（提公因式法、乘法公式法、十字相乘法）；（3）配方法；（4）求根公式法 ; （5）换元法。

例：按要求解方程（1）用配方法解方程： x2 —4x+1=0（2）用公式法解方程： 3x2+5(2x+1)=0（3）用因式分解法解方程： 3(x-5)2=2(5-x)3.一元二次方程根的鉴别式：△=b24ac .△>0, 方程有两个不相等的实数根；△=0 ，方程有两个相等的实数根；△<0，方程无实数根。

浙教版数学八年级下册第四章《平行四边形》复习总结：知识点与练习

教师：学生：时间：_ 2016 _年_ _月日段第__ 次课
ABCD中，延长
随堂练习三：
．若平行四边形的两邻边的长分别为
17在ABCD中，AB比AD大2，∠DAB的角平分线AE交CD于E，∠ABC的角平分线BF交CD于F，若平行四边形ABCD的周长为24，求CE、FD、EF的长
19已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF 是平行四边形．
20、如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形吗？说明理由.
21.如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？
22．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD•为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°？•证明你的结论．
23已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．。

浙江省杭州市浙教版初中八年级下册数学第四章平行四边形及其性质(教师版)——西湖付宁梅

平行四边形及其性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________重难点：1、平行四边形的概念及性质2、平行四边形的概念及性质的灵活运用.泰勒斯看到人们都在看告示，便上去看。

原来告示上写着法老要找世界上最聪明的人来测量金字塔的高度。

于是就找法老。

法老问泰勒斯用什么工具来量金字塔。

泰勒斯说只用一根木棍和一把尺子，他把木棍插在金字塔旁边，等木棍的影子和木棍一样长的时候，他量了金字塔影子的长度和金字塔底面边长的一半。

把这两个长度加起来就是金字塔的高度了。

泰勒斯真是世界上最聪明的人，他不用爬到金字塔的顶上就方便量出了金字塔的高度。

1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、性质（1）平行四边形的两组对边分别相等。

（2）平行四边形的两组对边分别平行。

（3）平行四边形的两组对角分别相等。

（4）平行四边形的对角线互相平分。

知识点一：平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”例题1判断题：⑴平行四边形的对边平行且相等（）练习1平行四边形的对角相等（）练习2在中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：2：1：2 C．1：1：2：2 D．1：2：2：1知识点二：平行四边形的对角相等例题2在中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（B ）A．1：2：3：4 B．1：2：1：2 C．1：1：2：2 D．1：2：2：1练习1．如图，在中，下列各式不一定正确的是（D ）A．∠1+∠2=180°B．∠2+∠3=180C．∠3+∠4=180°D．∠2+∠4=180°练习2在中，∠A：∠B=4：5，则∠C=_80°_____．知识点三：平行四边形的性质定理平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；例题3平行四边形的一边等于14，它的对角线可能的取值是（ D ）A ．8cm 和16cmB ．10cm 和16cmC ．12cm 和16cmD ．20cm 和22cm 练习1的两条对角线相交于点O ，已知AB=8cm ，BC=6cm ，△AOB 的周长是18cm ，那么△AOD 的周长是（C ） A ．14cm B ．15cm C ．16cm D ．17cm练习2如图所示，在中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列式子中一定成立的是（B ）A ．AC ⊥BDB ．OA=OC C ．AC=BD D ．AO=OD例题4、如图，平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线交于O ，△AOB 的周长比△BOC•的周长大8cm ，求AB ，BC 的长．解： ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴ AB ＝CD ，AD ＝BC ，AO ＝CO ， ∵ □ABCD 的周长是60．∴2AB ＋2BC ＝60，即AB ＋BC ＝30，① 又∵△ AOB 的周长比△BOC 的周长大8．即（AO ＋OB ＋AB ）－（BO ＋OC ＋BC ）＝AB －BC ＝8， ②由①②有ODCBA解得∴AB，BC的长分别是19cm和11cm练习1如图：在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4.求AE：EF：FB的值.例题5如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上；（1）写出图1中面积相等的各对三角形：__________________；（2）如图①，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有__________与△ABC 的面积相等；（3）如图②，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点M，使四边形ABME 的面积等于五边形ABCDE的面积．（1）找出图①中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；（2）因为两平行线间的距离是相等的，所以点C、P到直线n间的距离相等，也就是说△ABC与△PAB 的公共边AB上的高相等，所以总有△PAB与△ABC的面积相等；（3）只要作一个三角形CEM与三角形CED的面积相等即可．解：（1）∵m∥n，∴点C、P到直线n间的距离与点A、B到直线m间的距离相等；又∵同底等高的三角形的面积相等，∴图①中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB、△BCP与△APC，△ACO与△BOP；（2）∵m∥n，∴点C、P到直线n间的距离是相等的，∴△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，∴总有△PAB与△ABC的面积相等；（3）连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC延长线于点M，连接EM，线段EM所在的直线即为所求的直线．基础演练1．在▱ABCD中，下列结论一定正确的是()图4－2－1A．AC⊥BD B．∠A＋∠B＝180°C．AB＝AD D．∠A≠∠C2．已知▱ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是()A．100°B．160°C．80°D．60°图4－2－23．如图4－2－2所示，在▱ABCD中，A C＝3 cm，若△ABC的周长为8 cm，则▱ABCD的周长为()A．5 cm B．10 cmC．16 cm D．11 cm4．▱ABCD 的四个内角度数的比∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是 ( )A ．2∶3∶3∶2B ．2∶3∶2∶3C ．1∶2∶3∶4D ．2∶2∶1∶15．如图4－2－3，在▱ABCD 中，AD ＝2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE ＝3，则AB 的长为( )图4－2－3A ．4B ．3C.52D ．26．如图4－2－4所示，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BC 上，如果点F 是边AD 上的点，那么△CDF 与△ABE 不一定全等的条件是( )图4－2－4A ．DF ＝BEB ．AF ＝CEC ．CF ＝AED ．CF ∥AE7．如图，在中，下列各式不一定正确的是（）A．∠1+∠2=180°B．∠2+∠3=180C．∠3+∠4=180°D．∠2+∠4=180°8．如图，在△MBN中，BM=6，点A、C、D分别在MB、NB、MN上，四边形ABCD为平行四边形，∠NDC=∠MDA，那么的周长是（）A．24 B．18 C．16 D．12二、填空题9．在中，∠A：∠B=4：5，则∠C=______．10．在中，AB：BC=1：2，周长为18cm，则AB=_____cm，AD=_______cm．11．在中，∠A=30°，则∠B=______，∠C=______，∠D=_______．12．如图，已知：点O是的对角线的交点， AC= 48mm， BD=18mm，AD=16mm，那么△OBC的周长等于____mm．13．如图，在中，E、F是对角线BD上两点，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个条件是__ ______．14．如图，在中，EF∥AD，MN∥AB，那么图中共有_______ 个平行四边形．15．[2012·成都]如图4－2－5所示，将▱ABCD的一边BC延长至E，若∠A＝110°，则∠1＝____.图4－2－516．在▱ABCD中，若AB∶BC＝3∶5，周长为40 cm，则AB＝____cm，BC＝____cm.17．如图4－2－6，在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：△ABE≌△CDF.图4－2－6能力提升一.选择题1．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是( )．A.8cm和16cmB.10cm和16cmC.8cm和14cmD.8cm和12cm2．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．A.1B.2C.3D.无数3．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．A.5B.6C.8D.124. 国家级历史文化名城--金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（）A．红花，绿花种植面积一定相等B．紫花，橙花种植面积一定相等C．红花，蓝花种植面积一定相等D．蓝花，黄花种植面积一定相等5.如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边AD、BC分别交于点E、F，若BF=DE，则图中的全等三角形最多有（）A．8对 B．6对 C．5对 D．4对6．在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（）A 2B 35C53D 15二.填空题7. 如图, E、F分别是ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB的关系是________________8. 如图，在ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结EC交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为．9. 在ABCD中, ∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段, 则ABCD的周长为____或_______.10.如图，在ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是_____.11. 如图，在周长为20cm的ABCD中，AB≠AD，AC、BD 相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为________.12．如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG ⊥AE，垂足为G，AF＝5，2BG，则△CEF的周长为________．4三.解答题13. 如图，P是平行四边形ABCD内部一点，PA，PB，PC，PD将平行四边形ABCD分成4个三角形，它们的面积分别为a，ar，ar2，ar3（a＞0，r＞0），试确定点P的位置，并说明理由．14.如图，过平行四边形ABCD内任一点P作各边的平行线分别交AB、BC、CD、DA于E、F、G、H．求证：S平行四边形ABCD-S平行四边形AEPH=2S△AFG．15. 如图，四边形ABCD是平行四边形，△A′BD与△ABD关于BD所在的直线对称，A′B与DC相交于点E，连接AA′．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不另加字母）；（2）求证：A′E=CE16．[2012·雅安]如图4－2－10所示，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP 分别平分∠DAB和∠CBA.(1)求∠APB的度数；(2)如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长．图4－2－1017.如图，已知ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，试说明OE=OF.18．如图，在中，过对角线AC的中点O所在直线交AD、CB 的延长线于E、F．试问：DE 与BF的大小关系如何？证明结论．19.如图四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长及的面积。

(完整版)最新浙教版初中数学八年级下册知识点总结

平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三底高ah=⨯S=角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形第五章特殊的平行四边形1.几种特殊的平行四边形（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形性质：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等）性质：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。

性质：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．2．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；3．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．i n g s i n t h e i r b e i n g a re go od fo rs o 所示．。

浙教版初中数学八年级上下册知识点及典型例题汇总

数学八年级上册知识点及典型例题第一章平行线1.1同位角、内错角、同旁内角如图：直线l 1 , l 2 被直线l 3 所截，构成了八个角。

a1a2a3876543211. 观察∠ 1与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3 的同旁，并且分别位于直线l 1 , l 2 的相同一侧，这样的一对角叫做“同位角”。

2. 观察∠ 3与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3的异侧，并且都位于两条直线l 1 , l 2 之间，这样的一对角叫做“内错角”。

3. 观察∠ 2与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3的同旁，并且都位于两条直线l 1 , l 2之间，这样的一对角叫做“同旁内角”。

想一想问题1.你觉得应该按怎样的步骤在“三线八角”中确定关系角？确定前提（三线）寻找构成的角（八角）确定构成角中的关系角问题2：在上面同位角、内错角、同旁内角中任选一对，请你看看这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系？结论：两个角的在同一直线上的边所在直线就是前提中的第三线。

1．2 平行线的判定（1）L3 L1 L2复习画两条平行线的方法：提问：（1）怎样用语言叙述上面的图形？（直线l 1，l 2被AB 所截）（2）画图过程中，什么角始终保持相等？（同位角相等，即∠1＝∠2）（3）直线l 1，l 2位置关系如何？（ l 1∥l 2）（4）可以叙述为：∵∠1＝∠2∴l 1∥l 2 （？）语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

简单地说：同位角相等，两直线平行。

几何叙述：∵∠1＝∠2∴l 1∥l 2 （同位角相等，两直线平行）想一想oo ABL 1L 2（图形的平移变换）抽象成几何图形AB21L 1L 212acb平行线判定方法的特殊情形：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

1．2 平行线的判定（2）图中，直线AB 与CD 被直线EF 所截，①若∠3＝∠4，则AB 与CD 平行吗？②若∠2+∠4＝180°，则AB 与CD 平行吗？①∵∠3＝∠4，∠1＝∠4 ②∵∠2+∠4＝180°，∠2+∠3＝180° ∴∠1＝∠3 ∴∠3＝∠4∴ AB ∥CD （） ∴ AB ∥CD （） ① 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则两条直线平行。

浙教版八下数学各章节知识点以及重难点(修改版)

浙教版八下数学各章节知识点及重难点（修改版）第一章二次根式一.知识点:1. 二次根式的定义：形如（a ≥0）的代数式叫做二次根式。

如：，,，，5，-3……2. 二次根式的性质:⑴ a ≥ 0（双重非负性）； ⑵ ()=2a a （a ≥0） ⑶ =2a ∣a ∣；(4) =ab ×（0,0≥≥b a ）； (5) =ba ÷（0,0>≥b a ）. 强调：二次根式具有双重非负性。

3.最简二次根式：被开方数不含有开得尽方的数，所含因式是一次式（就是字母的次数是一次），被开方数不含分母。

满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。

4.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式。

（1）加（减）法：先化简，再合并。

（2）乘（除）法：先乘除，再化简。

6．分母有理化：分母有理化也称为有理化分母。

就是将分母含有根号的代数式变成分母不含根号的代数式，这个过程叫做分母有理化。

（1）形如：（2）形如：27.关于具有双重根号的二次根式。

如：二.重点和难点：重点：二次根式的运算。

难点：混合运算以及应用。

第二章一元二次方程一.知识点：1. 定义：形如)0(02≠=++a c bx ax 的方程叫做一元二次方程，其中，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。

例：若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（）A ．2±=mB ．m=2C ．m= —2D ．2±≠m2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法；（2）因式分解分（提公因式法、乘法公式法、十字相乘法）；（3）配方法；（4）求根公式法;（5）换元法。

例：按要求解方程（1）用配方法解方程：x2 —4x+1=0（2）用公式法解方程：3x2+5(2x+1)=0（3）用因式分解法解方程：3(x-5)2=2(5-x)3.一元二次方程根的判别式：△=ac b 42- .△>0,方程有两个不相等的实数根；△=0 ，方程有两个相等的实数根；△<0，方程无实数根。

浙教版八年级下册初二数学(基础版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

浙教版八年级下册初中数学全册知识点梳理及重点题型巩固练习二次根式的概念和性质（基础）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简.3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简. 【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、； 2.；3..要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2(0a a a =≥）.2a 2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2)a 中a ≥02a a 为任意值。

2).a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2)a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.要点四、同类二次根式1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式【典型例题】类型一、二次根式的概念1.当x 为实数时，下列各式()2223,1,,,,x x x x x --，，，属二次根式的有____ 个. 【答案】 3 【解析】 ()22,,x x x - 这三个式子满足无论x 取何值，被开方数都大于等于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（）（113（23-；（3）21x -+（4）8；（521()3-；（61x -1x >）A ．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【：：381279：二次根式及其乘除法（上）经典例题1】2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）1y x =-；（2）y=2+x －x 23-；【答案与解析】（1）1x -≥0，所以x ≥1.（2）2x +≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32；【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零. 举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（） A. 23- B. ()20.3- C. 2- D. x【答案】B.类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：(1)232()4-⨯- (2)2(3.14)π-【答案与解析】(1) 33=-2=-42⨯原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式. 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三【：：381279：二次根式及其乘除法（上）经典例题3】【变式】（1）2)252(-=_____________ （2）2)2(2a a ---=_____________【答案】(1) 10;(2) 0.4. （2015•蓬溪县校级模拟）已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a ﹣b|．【答案与解析】解：从数轴上a 、b 的位置关系可知：﹣2＜a ＜﹣1，1＜b ＜2，且b ＞a ，故a+1＜0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，原式=|a+1|+2|b ﹣1|﹣|a ﹣b|=﹣（a+1）+2（b ﹣1）+（a ﹣b ）=b ﹣3．【总结升华】本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和利用二次根式的性质进行化简，属于基础题. 举一反三【变式】若整数m 满足条件22(1)1,,5m m m +=+<且则m 的值是___________. 【答案】m =0或m =-1.类型三、最简二次根式5.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).【答案与解析】和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件： (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式. 举一反三【变式】（2015•东莞二模）下列各式中,是最简二次根式的是（） A ．15B ．0.1C ．15 D.212【答案】C.类型四：同类二次根式6. （20163( )18 B. 13149 1150【答案】 B. 【解析】故选B.【总结升华】同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式. 举一反三：【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a 、b 的值是( ) A.a =2，b =1 B.a =1，b =2 C. a =1，b =-1 D. a =1，b =1【答案】 D. 根据题意，得解之，得，故选D.二次根式的概念和性质（基础）巩固练习【巩固练习】一．选择题1. （2016•宁波）使二次根式有意义的x 的取值范围是（）A ．x ≠1B ．x ＞1C ．x ≤1D ．x ≥12. 若1a <,化简2(1)-1=a - ( ).A.2a -B.2a -C.aD.a - 3. 下面说法正确的是（）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B.与是同类二次根式.C. 与不是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式4.（2015•蓬溪县校级模拟）下列各式中正确的是（）2a 2a ±a 2a ﹣a 2a 5.下列根式是最简二次根式的是（）A ．8B ．24x y +C ．D ．6. 已知，化简二次根式的正确结果为（）A. B. C. D.二. 填空题7.（2016•营山县一模）使式子有意义的x 的取值范围是．8.=____________. 若，则____________.9．（1）2)53(-=_____________.（2）9622++-a a a （a>0）=__________________________.10.若22x x -+-=0，则2(1)1x x--=_______________. 11.当x ≤0时，化简21-x x -=________________________.12. 计算134893123-+=__________________. 三综合题13. 当x 为何值时，下列式子有意义？（1）21x + (2)2x -（3）11y x =-；（4）11y x =-；14.(北京市海淀区) 已知实数x ，y 满足，求代数式的值.15.（2015春•江夏区期中）已知实数x ，y 满足y=+﹣65，求．【答案与解析】一、选择题 1．【答案】D.【解析】由题意得，x ﹣1≥0，解得x ≥1. 2．【答案】D.【解析】因为1a < 原式=1111a a a --=--=-. 3．【答案】A. 4．【答案】D.【解析】解：A 、当a ＜0时，=﹣a ，故选项错误；B 、表示算术平方根，故选项错误；C 、当a ＞0时，=a ，故选项错误；D 、正确．故选D ．5．【答案】B.【解析】根据最简二次根式的性质，A,D 选项都含有能开方的项，C 选项含有分母，所以选B. 6．【答案】D. 【解析】因为，2yx -是被开方数，所以y<0,x<0, 所以原式=x y x-y --.二、填空题7.【答案】x ≥﹣3且x ≠5．【解析】由题意得，x +3≥0，x ﹣5≠0，解得x ≥﹣3且x ≠5． 8 【答案】2;7x m -=± 9.【答案】(1) 45; (2) -3 10.【答案】 -1【解析】因为22x x -+-=0，所以2-x ≥0，x-2≥0，所以x=2;则原式=2(12)112-=--. 11.【答案】1 12.【答案】153【解析】134893121233363(1236)31533-+=-+=-+=. 三.解答题13.【解析】（1）21x +≥0，即x 为任意实数；（2）2x -≥0，即2x ≤0，即x =0. （3）10,1x x ->∴>（4）0,10,0 1.x x x x ≥-≠∴≥≠且.14.【解析】因为. ，所以x=5，y=-4.则=2008(54)-=115.【解析】解：∵实数x ，y 满足y=+﹣65，∴x-1≥0，且1-x ≥0， ∴x=1，y=﹣65， ∴==—4.二次根式的运算（基础）知识讲解【学习目标】1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算；3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.要点三、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，a ≥0，b >0，因为b 在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根的性质:（a ≥0，b >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 要点四、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【典型例题】类型一、二次根式的加减运算1.计算： (1).+(2). 311932a a a a a+- 【答案与解析】(1)+=2232(23)252+=+=31111(2)9332321117(3)326a a a a a a a a a+-=+-=+-= 【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并. 举一反三：【变式】计算:011(1)()527232π--++-- 【答案】011(1)()527232π--++--125332333352332=++--=+--=-类型二、二次根式的乘除法2．(1)×； (2)×； (3)； (4)；【答案与解析】(1)×=；(2)×==；(3)===2；(4)==×2=2.【总结升华】直接利用计算即可．举一反三【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)；(2)×=4××=4×=4=8.【答案】(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确．改正：×=×===＝4.【：二次根式及其乘除法（下）例9（1），（2）】3.算：（1）)4323(4819-÷- （2）21521)74181(2133÷-⨯ 【答案与解析】（1）214=(9)()3483-⨯-⨯原式=6136=1; （2）原式=171123282711⎛⎫⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=34-.【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.类型三、二次根式的混合运算4.（2016•聊城模拟）下列计算正确的是（）A ．5﹣2=3B ．2×3=6C ．=3 D ．3=3【思路点拨】根据二次根式的运算法则逐一判断即可．【答案】D. 【解析】解：A 、﹣2=3，此选项错误；B 、2×3=12，此选项错误；C 、+2=3，此选项错误；D 、3÷=3，此选项正确；故选D ．【总结升华】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键．【：： 388064巩固练习4-5】5、计算：已知625,625-=+=b a ，则ab =_______,a b +=________. 【答案】1；10. 【解析】225+26526,5(26)1a b ab ==-∴=-=，10a b +=【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确. 举一反三：【变式】（2015春•汉阳区期中）已知x=1﹣，y=1+，则x 2+y 2﹣xy ﹣2x ﹣2y 的值为．【答案与解析】解：∵x=1﹣，y=1+，∴x 2+y 2﹣xy ﹣2x ﹣2y=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1﹣3xy ﹣1=（x+y ﹣1）2﹣3xy ﹣1 =1﹣3×（1﹣）（1+）﹣1 =1+3﹣1 =3．二次根式的运算（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1.计算18827÷⨯的结果是（）. A ．463 B.186 C.932 D.1642. （2016•广西）下列计算正确的是（） A ．﹣=B ．3×2=6C ．（2）2=16D ．=13. 化简二次根式3a -的正确结果是（）．A ．a a --B ．a a -C ．a aD ．a a - 4. （2015•泰安模拟）下列计算或化简正确的是（）. A. 2+4=6B.=4C.=﹣3D.=35.若，则的值等于（）.A. 4B.C. 2D.6.下列计算正确的是（）.A. 2=b a b ++(a ） B.a b ab += C.22+a b a b =+ D. 1aa a= 二. 填空题 7.计算：4118(2854)33-÷⋅=____________________________. 8．（2016•潍坊）计算：（+）= ．9. 化简：（1）.111a a +=_________,(2).2411a a a+=___________. 10. （2015春•新泰市期末）若=，则x 的取值范围为．11. 一个三角形的三边长分别为，，，则它的周长是________cm.12. 101100103103）（）（-+=________________. 三综合题13. （1）11(318504)5232（2）()1212328-⎪⎭⎫⎝⎛+--14.（2014秋•市南区校级期中）某居民小区有一块长方形绿地，先进行如下改造：将长方形的长减少米，宽增加米，得到一块正方形绿地，它的面积是原长方形绿地的2倍，求改造后的正方形绿地的边长是多少米？（结果精确到1米）15.（1）先化简，再求值：(3a +）()3(6)a a a ---，其中152a =+.(2).已知251,251+=-=b a ，求722++b a 的值.【答案与解析】一、选择题 1．【答案】C. 2．【答案】B. 【解析】A 、不能化简，所以此选项错误；B 、3×=6，所以此选项正确；C 、（2）2=4×2=8，所以此选项错误；D 、==，所以此选项错误.3．【答案】A. 【解析】20,=a a a a a a a <∴-⋅=-=--原式.4．【答案】D.【解析】解：A 、2与4不能合并，所以A 选项错误；B 、原式=2，所以B 选项错误；C 、原式=|﹣3|=3，所以C 选项错误；D 、原式==3，所以D 选项正确．故选D ． 5．【答案】C.【解析】先化简再解方程。

浙教版八下数学各章节知识点及重难点整理

浙教版八下数学各章节知识点及重难点第一章二次根式知识点一：二次根式的概念二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。

知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

但与都是非负数，即，。

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《浙教版》八年级下册知识点及典型例题第一章二次根式1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0.2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=.3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4．二次根式的乘法法则：)0b ,0a (abb a ≥≥=⋅.5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根：)0b ,0a (ba ba >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）)0b ,0a (baba >≥=；（2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．常用分母有理化因式：a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式. 9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.第二章一元二次方程1.认识一元二次方程：概念：只含有一个未知数，并且可以化为20++=(,,ax bx ca b c为常数，0a≠)的整式方程叫一元二次方程。

构成一元二次方程的三个重要条件：①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。

如：2230x x --=是分式方程，所以2230x x--=不是一元二次方程。

②、只含有一个未知数。

③、未知数的最高次数是2次。

2. 一元二次方程的一般形式：一般形式：20ax bx c ++= (0a ≠)，系数,,a b c 中，a 一定不能为0，b 、c 则可以为0，所以以下几种情形都是一元二次方程：①、如果0,0b c =≠，则得20ax c +=，例如：2320x -=；②、如果0,0b c ≠=，则得20ax bx +=，例如：2340x x +=；③、如果0,0b c ==，则得20ax =，例如：230x =；④、如果0,0b c ≠≠，则得20ax bx c ++=，例如：23420x x +-=。

其中，2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式。

例题：将方程2(3)(31)x x x -+=化成一元二次方程的一般形式. 解： 2(3)(31)x x x -+=去括号，得： 22383x x x --=移项、合并同类项，得： 22830x x --= (一般形式的等号右边一定等于0)3. 一元二次方程的解法：(1)、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解）形式：2()x a b +=(2)、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解.）(3)、公式法：（求根公式：x =）(4)、分解因式法：（理论依据：0a b •=，则0a =或0b =；利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。

）4、一元二次方程的应用例1 商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？（提示：盈利＝售价－进价）分析：这是一个一元二次方程应用题，关键在于理清数量关系，列出方程。

（1）解：销售件数：()()130⨯=70-170-130件日获利：()()301701201500⨯-=元（2）解：设每件商品的销售价定为x 元由题意得：()()1207013011600x x ---⨯=⎡⎤⎣⎦整理得：2320256000x x -+=即：()21600x -=160x ∴=答：每件商品的销售价定为160元时，商场日盈利可达1600元。

例 2 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：（1）铺设地面所用瓷砖的总块数为（用含n 的代数式表示，n 表示第n 个图形）（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值；（3）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明。

分析：这是一个图形数列题，解题关键在于理清数量关系。

黑瓷砖由四部分组成，比较难求。

所以先考虑白瓷砖数，观察白瓷砖数量变化，不难发现，第n 个图形中白瓷砖数为(1)n n ⋅+。

同时再观察整个图形瓷砖数量变化，易得，第n 个图形中总瓷砖数为(2)(3)n n +⋅+块。

解：（1）256nn ++（2）由题意得：256506nn ++=，即 255000n n +-=∴()()20250n n -+=1220,25n n ∴==- （不合题意，舍去）。

（3）白瓷砖：2nn +（块）n=1n=2n=3黑瓷砖：46n +（块）由题意得：246nn n +=+2360n n --=解得：x=∴ 不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形。

第三章频数分布及其图形1、频数及频率的概念（1）频数：一组数据中，每个数据出现的次数叫做该数据的频数。

（2）频率：一组数据中每个数据出现的次数与总次数的比值叫做频率。

数据总个数频数频率=2、极差：一组数据的最大值与最小值的差叫做极差。

3、频数分布表的绘制步骤; (1) 确定最大值和最小值。

(2) 确定组数和组界 (3) 划记(4) 绘制频数分布表 4、频数分布直方图（1）频数分布直方图的组成:①横轴；②纵轴；③条形图。

（2）频数分布直方图的绘制：①列出频数分布表②画出频数分布直方图。

5、频数分布折线图顺次连结频数分布直方图是每个长方形上面一条边的中点，就得到所求的频数分布折线图。

例1、填空题（1）有位同学在草稿纸上随手写下了下面这一串的数字： 34012001122211113432100013440120231则其中0出现的频数为，1出现的频数为，2出现的频数为， 3出现的频数为，4出现的频数为。

（2）已知在一个样本中，50个数据分布落在5组内，第一、二、三、五组的数据的格个数分别为2，8，15，5，则第四小组的频数为；（3）一组数据的最大值和最小值之差为78，若要用频数分布直方图对其进行统计，且分为10组，则组距为；第四章命题与证明概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题结构：命题可看做由题设（条件）和结论两部分组成。

题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

命题的分类：正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题判定一个命题是真命题的方法:(1)通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实;用推理的方法判断为正确的命题叫做定理. (2)人们经过长期实践后而公认为正确的：数学中通常挑选一部分人类经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理.定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据.命题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧假命题（举反例）理）其它的真命题（需要推定理（需要推理）公理（公认为正确）真命题第五章平行四边形平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

表示：平行四边形用符号“□ ”来表示。

平行四边形性质：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分平行四边形的面积等于底和高的积，即S □ABCD =ah ，其中a 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是a 边到其对边的距离，即对应的高。

平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。

三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

例题1、如图：平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，MN 过点O 与AB 、CD 相交于M 、N ，你认为OM 、ON 有什么关系？为什么？解：OM=ON证明：∵平行四边形ABCD∴OB=OD , AB ∥CD ∴∠ABD=∠CDB又∵∠BOM=∠DON ∴△BOM ≌△DON ∴OM=ON 。

例题2．如图，ABC △中，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC 交AB 于点E ，EF ∥AC 交BC 于F ，试说明BE=CF 。

解：∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC∴∠ABD=∠EDB∴BE=ED∵DE∥BC，EF∥AC∴四边形EFCD是平行四边形∴CF=ED∴BE=CF。