华东师范大学出版社九年级下册数学知识点总结

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华师大版九年级下册数学知识点总结

华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0，可以为零。

二次函数的定义域a≠，而b c的性的绝对抛物2+ax c)2h-的)2h k-+ 平移步)2h k-+)h k ，；从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。

五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。

当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值24ac b -。

2. 当时，y 随x 注意： 1. ⑴ ⑵2. 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴。

⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧。

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华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。

⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。

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这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。

⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4.()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

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华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0，可以为零。

二次函数a≠，而b c的定义域是全体实数。

2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。

⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

二、二次函数的基本形式1.二次Array函数基本形式：2y ax=的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2=+的性质：y ax c3.()2y a x h =-的性质： 4.()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

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这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。

⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质：3.()2y a x h =-的性质： 4.()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

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华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地,形如2=++a b cy ax bx c，，是常数,0a≠的函数,叫做二次函数;这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a≠,而b c，可以为零;二次函数的定义域是全体实数;2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2;⑵a b c，，是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项;二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax=的性质：a 的绝对值越大,抛物线的开口越小;2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+,确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”;概括成八个字“左加右减,上加下减”; 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上下平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左右平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a-=-=，;五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a=-,顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，;当2b x a<-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时,y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a -;2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a=-,顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，;当2bx a <-时,y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时,y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -;七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++a ,b ,c 为常数,0a ≠；2. 顶点式：2()y a x h k =-+a ,h ,k 为常数,0a ≠；3. 两根式：12()()y a x x x x =--0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示;二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠; ⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大；⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大;总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小; 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴;⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02b a -<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧;⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即当0b >时,02b a ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧;总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置;ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负;总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置; 总之,只要a b c ，，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的; 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法;用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便;一般来说,有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式; 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k=-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k=-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180°2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=--+;5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变;求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式;十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x 轴交点情况：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠,其中的12x x ，是一元二次方程()200axbx c a ++=≠的两根;这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >；2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <;2. 抛物线2=++的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,)c；y ax bx c3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2=++中a,b,c的符号,或由y ax bx c二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)++≠本ax bx c a身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例,揭示二次函数、Array二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少第二十七章：圆一、知识回顾圆的周长：C=2πr 或C=πd 、圆的面积：S=πr2圆环面积计算方法：S=πR2-πr2或S=πR2-r2R 是大圆半径,r 是小圆半径二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：2-32y=-2x2y=-2(x-3)1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；固定的端点O 为圆心;连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径;圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧;2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线; 二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离图1⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切图2⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；A相交图3⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切图4⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含图5⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧;推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧； 2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； 3平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论; 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等;即：在⊙O 中,∵AB ∥CD∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理顶点到圆心的角,叫圆心角;圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等; 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,BD只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角; 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半;即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径;即：在⊙O 中,∵AB 是直径或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;即：在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理; 八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角;即：在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒九、切线的性质与判定定理1切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 2性质定理：切线垂直于过切点的半径如上图推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点;推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心; 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个;十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角; 即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ 十一、圆幂定理1相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等; 即：在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ⋅=⋅2推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项; 即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅4割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如上图;A即：在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅ 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦; 如图：12O O 垂直平分AB ;即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式： 1公切线长：12Rt O O C ∆中,221AB CO ==2外公切线长：2CO 是半径之差；内公切线长：2CO 是半径之和 ;十四、圆内正多边形的计算 1正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =；2正四边形同理,四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行,::OE AE OA =3正六边形同理,六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行,::2AB OB OA =.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式lO1、扇形：1弧长公式：180n Rl π=； 2扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积 2、圆柱：1A 圆柱侧面展开图 2S S S =+侧表底=222rh r ππ+B 圆柱的体积：2V r h π=2A 圆锥侧面展开图S S S =+侧表底=2Rr r ππ+B 圆锥的体积：213V r h π= 第二十八章样本与总体二.重点、难点： 1.重点：⑴了解普查与抽样调查的概念,并能根据实际情况确定收集数据的方式；⑵了解总体、个体、样本等概念,能够指出研究对象的总体、个体与样本；C 1D 1⑶学会用科学的随机抽样的方法,选取合适的样本进行抽样调查,用样本估计总体；⑷通过整理和分析数据,准确地作出决策;2.难点：⑴正确识别问题中的总体、个体、样本、样本容量等,并能选择合适的样本看总体；⑵能够对数据的来源,处理数据的方法,以及由此得到的结果进行合理的分析;三.知识梳理：。

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这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。

⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

y ax2. 2=+的性质：y ax c Array3. ()2=-的性质：y a x h4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，。

华师大版九年级下册数学知识点总结Word版

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。

⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

华师大版九年级下册数学重点整理

华师大版九年级下册数学重点整理第一章：有理数的运算
- 有理数的加减法
- 有理数的乘除法
- 有理数的混合运算
- 有理数的绝对值
第二章：平方根与立方根
- 平方根的概念与性质
- 平方根的运算
- 立方根的概念与性质
- 立方根的运算
第三章：代数式的加减
- 代数式的加减运算
- 多项式的加减运算
- 简单的代数方程
第四章：一次函数与一次方程
- 一次函数的性质与图像
- 一次函数的斜率与截距
- 一次方程的解
- 实际问题中的一次方程
第五章：图形的平移、翻折与旋转
- 平移变换
- 翻折变换
- 旋转变换
第六章：几何体的表面积和体积
- 立体图形的表面积
- 立体图形的体积
- 空间几何体的投影
第七章：数据的收集与整理
- 调查与统计
- 数据的整理与显示
- 数据的分析与解读
第八章：概率与统计
- 随机事件与样本空间
- 事件的概率
- 统计图表的制作和分析
以上是华师大版九年级下册数学的重点整理，通过学习这些知识，你将能够更好地理解与应用数学的基本概念和运算方法。

加油！。

华师大版九年级下册数学知识点总结

华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函，，是常数，0数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。

⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

y ax2. 2=+的性质：y ax c3. ()2=-的性质：y a x h4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

华东师范大学九年级下册数学知识点总结

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。

⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，。

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一、二次函数概念：华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数1、二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a 何何b c 是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b 何2、二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：c 可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是 2。

⑵ a 何何b c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数， c 是常数项。

二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2.y =ax2 +c 的性质：3.y =a (x -h)2的性质：4.y =a (x -h)2 +k 的性质：1.平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h)2 +k ，确定其顶点坐标(h何k )；三、二次函数图象的平移⑵ 保持抛物线y =ax2的形状不变，将其顶点平移到(h 何k )处，具体平移方法如下：2a ⎝ ⎭【【(k >0)【【【【(k <0)【【【 |k |【【【【【( h >0)【【【( h <0【【【 |k|【【【【【( h >0)【【【( h <0) 【【 |k|【【【【【( k >0)【【【( k <0)【【【 |k |【【【【【( h >0)【【【( h <0)【【【 |k|【【【y=a (x-h )2【【(k >0)【【【(k <0)【【【 |k |【【【2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二：⑴ y = ax 2 + bx + c 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位，y=a (x-h )2+ky = ax 2 + bx + c 变成 y = ax 2 + bx + c + m （或 y = ax 2 + bx + c - m ）⑵ y = ax 2 + bx + c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位，y = ax 2 + bx + c 变成 y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c （或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ）四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者， ⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2即 y = a x + ⎪ +⎝ ⎭，其中 h = - 何 k = 。

(华东师大版)九年级数学下册(全册)中考知识点汇总

(华东师大版)九年级|数学下册(全册)（中|考）知识点汇总第|一局部教材知识梳理·系统复习第|一单元数与式第1讲实数知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例1.实数(1 )按定义分(2 )按正、负性分正有理数有理数0 有限小数或正实数负有理数无限循环小数实数0实数正无理数负实数无理数无限不循环小数负无理数(1 )0既不属于正数,也不属于负数.(2 )无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②…(每两个1之间多个0 )就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如,；④三角函数型：如sin60°,tan25°.(3 )失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数,如=2 , = -3 ,它们都属于有理数.知识点二：实数的相关概念2.数轴(1 )三要素：原点、正方向、单位长度(2 )特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例：.3.相反数(1 )概念：只有符号不同的两个数(2 )代数意义：a、b互为相反数 a +b =0(3 )几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a的相反数为-a ,特别的0的绝|对值是0.例：3的相反数是-3 , -1的相反数是1.4.绝|对值(1 )几何意义：数轴上表示的点到原点的距离(2 )运算性质：|a| = a (a≥0)；|a -b| = a -b(a≥b)-a(a＜0). b -a(a＜b)(3 )非负性：|a|≥0 ,假设|a| +b2 =0,那么a =b =0.(1 )假设|x| =a (a≥0 ) ,那么x =±a.(2 )对绝|对值等于它本身的数是非负数.例：5的绝|对值是5；| -2| =2；绝|对值等于3的是±3;|1 -| = -1.第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理第3讲分式第4讲二次根式第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组) 四、知识清单梳理第6讲一元二次方程第7讲分式方程六、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)(2 )解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a 系数化为1时,注意系数的正负性,假设系数是负数,那么不等式改变方向.知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组．(1 )在表示解集时"≥〞, "≤〞表示含有,要用实心圆点表示；"＜〞, "＞〞表示不包含要用空心圆点表示．(2 )不等式(组)的解集情况,求字母系数时,一般先视字母系数为常数,再逆用不等式(组)解集的定义,反推出含字母的方程,最|后求出字母的值.如：不等式(a -1 )x＜1 -a的解集是x＞-1 ,那么a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集,再求出各个解集的公共局部7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小,小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大,小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题(1 )一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.(2 )应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有"至|少(≥)〞、"最|多(≤)〞、"不低于(≥)〞、"不高于(≤)〞、"不大(小)于〞、"超过(＞)〞、"缺乏(＜)〞等；b.隐含不等关系：如"更省钱〞、"更划算〞等方案决策问题,一般还需根据整数解,得出最|正确方案注意：列不等式解决实际问题中,设未知数时,不应带"至|少〞、"最|多〞等字眼,与方程中设未知数一致.第10讲一次函数八、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念(1 )概念：一般来说,形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地,当b ＝0时,称为正比例函数．(2 )图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点(0,b)和(-b/k,0 )的直线.特别地,正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点(0,0 )的直线.例：当k＝1时,函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k ,b符号K＞0 ,b＞0K＞0 ,b＜0K＞0 ,b =0 k<0 ,b>0k<0 ,b<0k<0 ,b＝0(1 )一次函数y =kx +b中,k确定了倾斜方向和倾斜程度,b确定了与y轴交点的位置.(2 )比拟两个一次函数函数值的大小：性质法,借助函数的图象,大致图象第11讲反比例函数的图象和性质九、知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念(1 )定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数,k叫做比例系数,自变量的取值范围是非零的一切实数．(2 )形式：反比例函数有以下三种根本形式：①y＝kx；②y =kx -1; ③xy =k.(其中k为常数,且k≠0)例：函数y =3x m +1 ,当m =－2时,那么该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况(1 )判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘,判断其乘积是否等于k.失分点警示(2 )反比例函数值大小的比拟时,首|先要判断自变量的取值是否同号,即是否在同一个象限内,假设不在那么不能运用性质进行比拟,可以画出草图,直观地判断.k>0 图象经过第|一、三象限(x、y同号)每个象限内,函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限(x、y异号)每个象限内,函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征 (1 )由两条曲线组成,叫做双曲线；(2 )图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但都不会与x轴和y轴相交；(3 )图象是中|心对称图形,原点为对称中|心；也是轴对称图形,2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：假设(a ,b)在反比例函数kyx=的图象上,那么(－a ,－b)在该函数图象上.(填"在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数k即可.例：反比例函数图象过点(－3 ,－1 ) ,那么它的解析式是y =3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义(1 )意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.(2 )常见的面积类型：失分点警示相关面积,求反比例函数的表达式,注意假设函数图象在第二、四象限,那么k＜0.例：反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3 ,那么该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合(1 )确定交点坐标：【方法一】一个交点坐标为(a,b ) ,那么根据中|心对称性,可得另一个交点坐标为( -a, -b ).【方法二】联立两个函数解析式,利用方程思想求解.(2 )确定函数解析式：利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函数解析式中求解(3 )在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系,涉及与面积有关的问题时,①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.可采用假设法,分k＞0和k＜0两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.(4 )比拟函数值的大小：主要通过观察图象,图象在上方的值大,图象在下方的值小,结合交点坐标,确定出解集的范围. 例：如下图,三个阴影局部的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S △BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤(1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；(2设出函数表达式；(3 )依题意求解函数表达式；(4 )根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质十、知识清单梳理知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a ,b ,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.例：如果函数y =(a－1)x2是二次函数,那么a的取值范围是a≠0.2.解析式(1 )三种解析式：①一般式：y =ax2 +bx +c;②顶点式：y =a(x -h)2 +k(a≠0) ,其中二次函数的顶点坐标是(h,k ); ③交点式：y =a(x -x1)(x -x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.(2 )待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据条件,得到关于待定系数的方程(组)；解方程(组) ,求出待定系数的值,从而求出函数的解析式.假设条件是图象上的三个点或三对对应函数值,可设一般式；假设顶点坐标或对称轴方程与最|值,可设顶点式；假设抛物线与x轴的两个交点坐标,可设交点式.知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象和性质图象xyy=ax2+bx+c(a＞0)Oxyy=ax2+bx+c(a＜0)O(1 )比拟二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时,根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时,可先利用函数的对称性转化到同侧,再利用性质比拟；④图象法：画出草图,描点后比拟函数值大小.失分点警示(2 )在自变量限定范围求二次函数的最|值时,首|先考虑对称轴是否在取值范围内,而不能盲目根据公式求解.例：当0≤x≤5时,抛物线y=x2 +2x +7的最|小值为7 .开口向上向下对称轴x＝2ba-顶点坐标24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭增减性当x>2ba-时,y随x的增大而增大；当x＜2ba-时,y随x的增大而减小.当x>2ba-时,y随x的增大而减小；当x＜2ba-时,y随x的增大而增大.第13讲二次函数的应用十一、知识清单梳理实际问题中求最|值①分析问题中的数量关系,列出函数关系式；②研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；④检验x的值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值；⑤解决提出的实际问题.解决最|值应用题要注意两点：①设未知数,在"当某某为何值时,什么最|大(最|小)〞的设问中, "某某〞要设为自变量, "什么〞要设为函数；②求解最|值时,一定要考虑顶点(横、纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围内.结合几何图形①根据几何图形的性质,探求图形中的关系式；②根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；③利用配方法等确定二次函数的最|值,解决问题由于面积等于两条边的乘积,所以几何问题的面积的最|值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.第9讲平面直角坐标系与函数十二、知识清单梳理知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念(1 )定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．(2 )几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x ,y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x轴) ,再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征(如下图)：点P(x,y)在第|一象限⇔x＞0 ,y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0 ,y＞0；点P (x,y )在第三象限⇔x＜0 ,y＜0；点P (x,y )在第四象限⇔x＞0 ,y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0 ,y＝0.(3 )各象限角平分线上点的坐标①第|一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数(4 )点P (a,b )的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a ,－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a ,b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a ,－b)．(5 )点M (x,y )平移的坐标特征：M (x,y ) M1(x +a,y)M2(x +a,y +b)(1 )坐标轴上的点不属于任何象限.(2 )平面直角坐标系中图形的平移,图形上所有点的坐标变化情况相同.(3 )平面直角坐标系中求图形面积时,先观察所求图形是否为规那么图形,假设是,再进一步寻找求这个图形面积的因素,假设找不到,就要借助割补法,割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线,从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题(1 )点M(a,b)到x轴,y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．(2 )平行于x轴,y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0) ,M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2| ,点M1(x1 ,y) ,M2(x2 ,y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0 ,y1) ,M2(0 ,y2)间的距离为|y1－y2| ,点M1(x ,y1) ,M2(x ,y2)间的距离为|y1－y2|．平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函数xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线第15讲一般三角形及其性质高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部条高 ,求长度时 ,注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.中位线平行于第三边 ,且等于第三边的一半5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图① ,AD 平分∠BAC ,AE ⊥BC ,那么∠α =12∠BAC -∠CAE =12(180° -∠B -∠C ) - (90° -∠C ) =12(∠C -∠B )；如图② ,BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线 ,那么有∠O =12∠A +90°；如图③ ,BO 、CO 分别为∠ABC 、∠ACD 、∠OCD 的平分线 ,那么∠O =12∠A ,∠O , =12∠O ；如图④ ,BO 、CO 分别为∠CBD 、∠BCE 的平分线 ,那么∠O =90° -12∠A.对于解答选择、填空题 ,可以直接通过结论解题 ,会起到事半功倍的效果. 知识点二：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时 ,要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等 SSS (三边对应相等 )SAS (两边和它们的夹角对应相等 )ASA (两角和它们的夹角对应相等 )AAS (两角和其中一个角的对边对应相等 )失分点警示如图 ,SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等 (HL )(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用(1 )利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中 ,通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时 ,注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. (2 )全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图① ,连接公共边 ,构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系 ,如图② ,由SAS 可得△ACD ≌△△ABE 中 ,AB +BE ＞AE ,即AB +AC ＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系 ,如图③、④.例：如图 ,在△ABC 中 ,∠1 =∠2 ,BE =CD ,AB=5 ,AE =2 ,那么CE =3.第16讲等腰、等边及直角三角形十五、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形(1 )性质①等边对等角：两腰相等 ,底角相等 ,即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形,直线AD是对称轴.(2 )判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即假设∠B＝∠C ,那么△ABC是等腰三角形.(1 )三角形中"垂线、角平分线、中线、等腰〞四个条件中,只要满足其中两个,其余均成立. 如：如左图,AD⊥BC,D为BC的中点,那么三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时,需分类讨论.如假设等腰三角形ABC的一个内角为30°,那么另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.(1 )性质①边角关系：三边相等 ,三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC ,∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形,三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.(2 )判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等(均为60°)的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即假设AB＝AC ,且∠B＝60°,那么△ABC是等边三角形.(1 )等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形也满足"三线合一〞的性质.(2 )等边三角形有一个特殊的角60°,所以当等边三角形出现高时,会结合直角三角形30°角的性质,即BD =1/2AB.例：△ABC中,∠B =60°,AB=AC ,BC =3 ,那么△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线(1 )性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即假设∠1 ＝∠2 ,PA⊥OA ,PB⊥OB ,那么PA＝PB.(2 )判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图,△ABC中,∠C =90°,∠A =30°,AB的垂直平分线交AC于D ,交AB于E ,CD =2 ,那么AC=6.(1 )性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即假设OP垂直且平分AB ,那么PA＝PB.(2 )判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质21P COBAPCO B A(1)两锐角∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即假设∠B＝30°那么AC＝12 AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即假设CD是中线,那么CD＝12 AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .(1 )直角三角形的面积S =1/2ch =1/2ab(其中a,b为直角边,c为斜边,h是斜边上的高) ,可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.(2 )两边,利用勾股定理求长度,假设斜边不明确,应分类讨论. (3 )在折叠问题中,求长度,往往需要结合勾股定理来列方程解决.(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即假设∠C＝90°,那么△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形．即假设AD＝BD＝CD ,那么△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：假设a2＋b2＝c2 ,那么△ABC是Rt△.第17讲相似三角形十六、知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1.比例线段在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即a cb d=,那么这四条线段a ,b ,c ,d叫做成比例线段,简称比例线段．列比例等式时,注意四条线段的大小顺序,防止出现比例混乱.2.比例的根本性质(1)根本性质：a cb d=⇔ ad＝bc；(b、d≠0 )(2)合比性质：a cb d=⇔a bb±＝c dd±；(b、d≠0 )(3)等比性质：a cb d=＝…＝mn＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k. (b、d、···、n≠0 )比例式的值,求相关字母代数式的值,常用引入参数法,将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示,再求代数式的值,也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母,再代入求解.如下题可设a =3k,b =5k,再代入所求式子,也可以把原式变形得a =3/5b代入求解.例：假设35ab=,那么a bb+=85.3.平行线分线段成比例定理(1 )两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.即如下图,假设l3∥l4∥l5,那么AB DEBC EF=.利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时,注意根据图形列出比例等式,灵活运用比例根本性质求解.例：如图,D ,E分别是△ABC的边BC和AC上的点,AE =2 ,CE =3 ,要使DE∥AB ,那么BC：CD应等于53.(2 )平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) ,所得的对应线段成比例.即如下图,假设AB∥CD ,那么OA OBOD OC=.(3 )平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似．如下图,假设DE∥BC ,那么△ADE∽△ABC.4.黄金点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ACAB＝=5－12≈,那么例：把长为10cm的线段进行黄金分DABC abcDABC abcFEDCBAl5l4l3l2l1ODCBAEDCBA分割线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点 ,AC 与AB 的比叫做黄金比．割 ,那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图 ,假设∠A ＝∠D ,∠B ＝∠E ,那么△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中假设有平行线 ,可用平行线找出相等的角而判定；②条件中假设有一对等角 ,可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中假设有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中假设有一对直角 ,可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中假设有等腰关系 ,可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例 ,且夹角相等的两个三角形相似．如图 ,假设∠A ＝∠D ,AC AB DFDE= ,那么△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图 ,假设AB AC BC DE DF EF == ,那么△ABC ∽△DEF.6.相似三角形的性质(1)对应角相等 ,对应边成比例．(2)周长之比等于相似比 ,面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)△ABC ∽△DEF ,△ABC 的周长为3 ,△DEF 的周长为2 ,那么△ABC 与△DEF 的面积之比为9：4.(2) 如图 ,DE ∥BC , AF ⊥BC,S △ADE:S △ABC =1:4 ,那么AF:AG =1：2.7.相似三角形的根本模型(1 )熟悉利用利用相似求解问题的根本图形 ,可以迅速找到解题思路 ,事半功倍. (2 )证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式 ,把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后 ,通过证明这两个三角形相似 ,从而得出结果.第18讲解直角三角形十七、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例FEDC B AFEDC BAFE DC BA1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时,一定根据题目图形来理解,严格按照三角函数的定义求解,有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：斜边求直边 ,正弦、余弦很方便；直边求直边 ,理所当然用正切；两边求一边 ,勾股定理最|方便；两边求一角 ,函数关系要记牢；锐角求锐角 ,互余关系不能少；直边求斜边 ,用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中,a =5,sinA=30° ,那么c =10,b =5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB =ac,cos A＝sinB =bc, tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．(如图①)(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比) ,用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角,用α表示,那么有i＝tanα. (如图②)(3)方向角：平面上,通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向) ,那么从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角,叫做观测的方向角．(如图③)解直角三角形中 "双直角三角形〞的根本模型：（1）叠合式 (2 )背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边,解题时,往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边,或通过公共边相等,列方程求解.6.解直角三角形实际应用的(1)弄清题中名词、术语,根据题意画出图形,建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择适宜的边角关系式,使运算简便、准确；一般步骤(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,从而得到问题的解．第五单元四边形第19讲多边形与平行四边形十八、知识清单梳理知识点一：多边形关键点拨与对应举例1.多边形的相关概念(1 )定义：在平面内,由一些段线首|尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．(2 )对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线,并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．多边形中求度数时,灵活选择公式求度数,解决多边形内角和问题时,多数列方程求解.例：(1)假设一个多边形的内角和为1440°,那么这个多边形的边数为10．(2)从多边形的一个顶点出发引对角线,可以把这个多边形分割成7个三角形,那么该多边形为九边形．2.多边形的内角和、外角和( 1 ) 内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°(2 )外角和：任意多边形的外角和为360°.3.正多边形 (1 )定义：各边相等 ,各角也相等的多边形.(2 )正n边形的每个内角为()2180nn-⋅,每一个外角为360°/n.( 3 ) 正n边形有n条对称轴.(4 )对于正n边形,当n为奇数时,是轴对称图形；当n为偶数时,既是轴对称图形,又是中|心对称图形.知识点二：平行四边形的性质4.平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形用"□〞表示.利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：(1 )平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.(2 )平行四边形中有相等的边、角和平行关系,所以经常需结合三角形全等来解题.(3 )过平行四边形对称中|心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.例：如图,□ABCD中,EF过对角线的交点O ,AB=4 ,AD=3 ,5.平行四边形的性质（1）边：两组对边分别平行且相等.即AB∥CD 且AB＝CD ,BC∥AD且AD＝BC. (2 )角：对角相等,邻角互补.即∠BAD＝∠BCD ,∠ABC＝∠ADC ,∠ABC＋∠BCD＝180°,∠BAD＋∠ADC＝180°.(3 )对角线：互相平分.即OA＝OC ,OB＝OD(4 )对称性：中|心对称但不是轴对称.6.平行四边形中的几个解题模型(1 )如图①,AF平分∠BAD ,那么可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形,即AB =BF.(2 )平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形,如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形,如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根据平行四边形的中|心对称性,可得经过对称中|心O的线段与对角线所组成的居于中|心对称位置的三角形全等,如图②△AOE≌△②中阴影局部的面积为平行四边形面积的一半.(3 ) 如图③,点E为AD上一点,根据平行线间的距离处处相等,可得S△BECOD CBA。

华师大版九年级下册数学知识点总结

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。

⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

华师大版九年级下册数学知识点总结

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。

⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

九年级数学下册_阶段数学重点知识点_华东师大版

1 数学重点知识点一、数与代数：1.无限不循环的小数叫做无理数. 常见无理数有三类:(1)π(2)开方开不尽的数.如,…(3)无限不循环有规律的数,如1.020020002…2.有效数字: 一个数,从左边第一个不是零的数字起到所精确的数位止,其中所有的数都是有效数字.如0.02080的有效数字有四个: 2, 0,8,03．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（a ≠0）4．一元二次方程的标准形式： ax 2+bx+c=0（a ≠0）5．一元二次方程的四种基本解法：(1)直接开平方法(2)因式分解法.(3)配方法.(4)公式法.6. 一元二次方程根的的判别式:一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)中, Δ=b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c＝0(a ≠0)的根的判别式.根的判别式可以直接判断一元二次方程根的情况:①当 Δ＞0 时,方程有两个不相等的实数根;②当 Δ=0 时, 方程有两个相等的实数根;③当 Δ＜0 时, 方程没有实数根.④当 Δ≥0 时,方程有两个实数根.7. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式:. 8. 解一元二次方程的基本思路是: 将二次方程转化为一次方程, 通过降次求解. 我们要根据一元二次方程的具体特点, 灵活地运用上述四种方法, 使解题过程简易, 避免大量的运算.配方法和公式法适用于所有的一元二次方程.9. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.解分式方程有可能产生增根是分式方程的一个特点, 因为在利用“去分母”把分式方程转化为整式方程时, 方程两边都乘以含有未知数的整式, 而这个整式的值有可能是零, 这种变形不满足方程的两边不能乘以零, 所以就产生了不满足原方程的根, 称为“增根”. 检验出增根要舍去.23)04(2422≥--±-=ac b aac b b x210. 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”. 它的一般解法是: ⑴去分母, 方程两边都乘以最简公分母 ;⑵解所得的整式方程 ;⑶ 检验 , 将所得的根代入最简公分母, 若等于零, 就是增根, 应该舍去; 若不等于零, 就是原方程的根.11. 二元一次方程组的解集必须用“｛”12. “不大于”是指“≤”. “不小于”是指“≥”.13.一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况, 如图所示:⑴ x ＞a 如图1所示:⑵ x ＜a 如图2所示: 图1 图2⑶ x ≥a 如图3所示:⑷ x ≤a 如图4所示: 图3 图414.注意不等式基本性质3: 不等式两边都乘以(或除以) 同一个负数 ,不等号的方向改变.即如果a ＞b,并且c ＜0,那 ac ＜bc ,. 15. 一元一次不等式组的解法:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分, 即这个不等式组的解集. 求不等式组公共解的一般规律: 同大取大, 同小取小, 大小小大中间找, 大大小小解不了.(3)注意有时解不等式或不等式组求特殊解的情况,如求正整数解等.(4)注意不等式组的解集在数轴上表示时包含此点用实心,不含用空心.16.实际应用题注意检验解的合理性.17.数轴上的点与实数是一一对应的；坐标平面上的点与有序实数对是一一对应的。

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这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。

⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质：()2a x h =- ()2a x h k=-+ 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，。

当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-。

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。

当2b x a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a-。

七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。

二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠。

⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大。

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。

2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴。

⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧。

⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧。

总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置。

ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负。

总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置。

总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。

二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。

用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。

一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+。

5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。

求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。

十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根。

这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。

2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少第二十七章：《圆》一、知识回顾圆的周长： C=2πr 或C=πd 、圆的面积：S=πr2圆环面积计算方法：S=πR2-πr2或S=π（R2-r2）(R 是大圆半径，r 是小圆半径）2-322二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O 为圆心。