5 相似理论与量纲分析

第五章 相似理论与量纲分析

实际工程中，由于流体粘性的存在和边界条件的多样性，流动现象极为复杂，往往难以通过解析的方法求解。此时，不得不依赖实验研究。

通常，实际工程或实物（统称原型）的尺寸太大，直接进行实验会耗费大量的人力和物力，有时甚至难以实现。因此，大多数实验都是在比原型小的模型上进行的（称为模型实验）。通过模型实验，得出实验结果，进而预测原型中将要发生的流动现象。那么怎样才能保证模型与原型有相同的流动规律呢？这就是相似理论要研究的问题。量纲分析则是在观测流动现象的基础上，建立流动各影响因素的正确关系。

§5.1 相似理论

5.1.1 流动相似

为了保证模型流动（用下标m 表示）与原型流动（用下标p 表示）具有相同的流动规律，并能通过模型实验结果预测原型流动情况，模型与原型必须满足流动相似，即两个流动在对应时刻对应点上同名物理量具有各自的比例关系，具体地说，流动相似就是要求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相似。

1. 几何相似

几何相似是指模型和原型流动流场的几何形状相似，即模型和原型对应边长成同一比例、对应角相等。如图5-1所示，有

图5-1 几何相似

l p

m 3p 3m 2p 2m 1p 1m k l l

l l l l l l ===== （5-1） p3m3p2m2p1m1θθθθθθ===，， （5-2）

式中k l 称为长度比尺，则

面积比尺

2

l 2p 2

m p m A k l l A A k === （5-3）

体积比尺

3

l 3p

3

m p m V k l l V V k === （5-4）

2. 运动相似

运动相似是指模型和原型流动的速度场相似，即两个流动在对应时刻对应点上的速度方向相同，大小成同一比例。如图5-2所示，有

图5-2 运动相似

u p

m p2m2p1m1k u u

u u u u ==== （5-5） 式中k u 称为速度比尺。由于各对应点速度成同一比例，因此相应断面的平均速度必然有同样的比尺

u p

m

v k v v k ==

（5-6） 将t l v

=代入上式，得

t

l

m p p m p p m m p m v k k t l t l t l t l v v k ==== （5-7）

式中p m t

t t k =称为时间比尺。同样，其它运动学物理量的比尺也可以表示为长度比尺和时间比尺的不同

组合形式。如

加速度比尺

2

t l t

v a k k k k k -==

（5-8）

流量比尺

1

t 3l A v Q k k k k k -== （5-9）

运动粘度比尺

1

t 2l k k k -=ν （5-10）

3. 动力相似

动力相似是指模型和原型流动对应点处质点所受同名力的方向相同，大小成同一比例。所谓同名力，指具有相同物理性质的力，如粘滞力T 、压力P 、重力G 、弹性力E 等。如图5-3所示，设作用在模型与原型流动对应流体质点上的外力分别为T m 、P m 、G m 和T p 、P p 、G p ，则有

G G p

图5-3 动力相似

F p

m p m p m p m k F F

G G P P T T ===== （5-11） 式中F 为流体质点所受的合外力，k F 称为力的比尺。将F ＝ma ＝ρVa 代入上式，得

a 3

l a V F k k k k k k F F k ρρρρ=====

p

p p m m m p p m m p m a V a V a m a m （5-12） 因2

t

l a

k k k -=，1

t

l v k k k -=，所以

2

v

2l F k k k k ρ= （5-13）

同样，其它力学物理量的比尺也可以表示为密度比尺、长度比尺和速度比尺的不同组合形式。如： 力矩比尺

2

v 3

l l F M k k k k k k ρ== （5-14）

压强比尺

2

v A

F p k k k k k ρ==

（5-15）

动力粘度比尺

v l k k k k ρμ= （5-16）

上述表明，要使模型与原型流动相似，两个流动必须满足几何相似、运动相似和动力相似。而动力相似又可以用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型与原型流动相似，两个流动必须满足几何相似、运动相似和各相似准则。

5.1.2 相似准则

根据几何相似、运动相似和动力相似的定义，得到长度比尺、速度比尺、力的比尺等，由力学基本定律，这些比尺之间具有一定的约束关系，这些约束关系称为相似准则。

下面分别介绍单项力作用下的相似准则。 1. 雷诺相似准则

当流动受粘滞力T 作用时，由动力相似条件式（5-11），有

2p

2p p 2

m 2m m 2

v 2l F p m p m v l ρv l ρk k k k F F T T ====ρ

鉴于上式表示两个流动对应点上力的对比关系，而不是计算力的绝对量，所以式中的力可用运动的特征量表示，即粘滞力lv dy

du

A

T

μμ∝=，则p p p m

m m p m v l v l T T μμ=，代入上式整理得

p

p p 2

p

2

p p m m m 2

m

2m m v l v l ρv l v l ρμμ=

约简后得

p

p

p m m m l v l v ν=ν （5-17）

式中

ν

vl

为无量纲数，即前已介绍过的雷诺数Re 。式（5-17）可用雷诺数表示为

p m Re Re = （5-18）

式（5-18）称为雷诺相似准则，该式表明两流动的粘滞力相似时，模型与原型流动的雷诺数相等。 作用在流体上的粘滞力、重力、压力等总是企图改变流体的运动状态，而惯性力却企图维持流体原有的运动状态，流体运动的变化就是惯性力与其它各种力相互作用的结果。根据达朗贝尔原理，流体惯性力I 的大小等于流体的质量与加速度的乘积，方向与流体加速度方向相反，即

a I m -=