正余弦定理与三角形面积公式

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正弦定理和余弦定理的所有公式

正弦定理和余弦定理的所有公式正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中，正弦定理和余弦定理的应用是很频繁的，正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有公式，供参考。

数学不好的人五大特征高中数学最无耻的得分技巧高考考场上数学拿高分的技巧如何判断函数的对称性与周期性1正弦定理、三角形面积公式正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角和任一边，求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解.(2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替.2.余弦定理在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2-b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便。

正弦定理、余弦定理知识点

正弦定理、余弦定理1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝21ca sin B ； 2．三角形中的边角不等关系:A>B ⇔a>b,a+b>c,a-b<c ；； 3．正弦定理：A a sin ＝B b sin ＝Ccsin ＝2R （外接圆直径）；正弦定理的变式：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．4．正弦定理应用围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A 为锐角babaabaBACACA Ba=bsin A bsin A<a<b a b ≥一解两解一解(2)A 为锐角或钝角当a>b 时有一解.5．余弦定理 a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ．若用三边表示角，余弦定理可以写为、6．余弦定理应用围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边． 7 . 三角形面积公式课堂互动知识点1 运用判断三角形形状例题1在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形解法2:由余弦定理: 22222222bca cb b ac b c a a -+⋅=-+⋅22b a =∴b a = 即△ABC 为等腰三角形.巩固练习1．在∆ABC 中，若2222sin sin 2cos cos b C c B b B C +=，试判断三角形的形状．2．在ABC ∆中,已知a 2tanB=b 2tanA,试判断这个三角形的形状. 3．已知ABC ∆中，有cos 2cos sin cos 2cos sin A C BA B C+=+，判断三角形形状.知识点2 运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理:①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角. 例题2 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c .【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【答案】解法1：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒22645sin 75sin 2sin sin +===BCb c 当A=120︒时C=15︒22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c解法2：设c =x 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x 当226+=c 时2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 从而A=60︒，C=75︒ 当226-=c 时同理可求得：A=120︒ C=15︒. 巩固练习1．已知在ABC ∆中，,6,45︒=∠A 在ABC ∆中，13,2tan tan +=-=c b b b c B A ，求三角3．在ABC ∆中，已知A 、B 、C 34，求三边a 、b 、c ．4．在ABC ∆中，已知B C A 2=+3+，求又知顶点C 的对边C 上的高等于34，求三角形各边知识点3 例题3 已知A 、B 、C 为锐角，围确定角．本题应先求出A+B 和C A+B+C ．【答案】 A B C 、、为锐角∴0°tan()tan tan tan tan A B A B A B +=+-⋅=-112[tan()tan ()A B C A B ++=+=-+⋅tan()tan A B C 1=--⨯133()所以A+B+C=πsin sin sin sin cos 22236ααββ-++=221336-+=(cos cos sin sin )αβαβ--=-25936cos()αβ∴-=cos()αβ5972巩固练习1．在∆ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,设a+c=2b,A-C=3π,求sinB 的值. 2．在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a c ac bc 22-=-，求∠A 的大小及b Bcsin 的值． 3．在ABC ∆中，若4,5==b a且3231)cos(=-B A ，求这个三角形的面积．例题4 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,证明:C B A cb a sin )sin(222-=-.【分析】在用三角式的恒等变形证明三角形中的三角等式时，其解题的一般规律是：二项化积、倍角公式，提取公因式，再化积.遇有三角式的平方项，则利用半角公式降次.【答案】证法一:由正弦定理得C A B C B A c b a 2222222sin 22cos 2cos sin sin sin -=-=-=C A B A B 2sin 2)sin()sin(2-+-=CB AC 2sin )sin(sin -=C B A sin )sin(-.证法二:由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA,则222c b a -=22cos 2c A bc c -=1-c b 2∙cosA,又由正弦定理得c b =C Bsin sin ,∴222c b a -=1-C B sin sin 2∙cosA=C A B C sin cos sin 2sin -=C A B B A sin cos sin 2)sin(-+=C A B B A sin cos sin cos sin -=C B A sin )sin(-. 证法三:C B A sin )sin(-=CAB B A sin cos sin cos sin -. 由正弦定理得cbC B c a C A ==sin sin ,sin sin ,∴CB A sin )sin(-=cAb B a cos cos -,又由余弦定理得CB A sin )sin(-=cbc a c b b ac b c a a 22222222-+⋅--+⋅=22222222)()(c a c b b c a -+--+=222c b a -.巩固练习1．已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=. （1）求证tan 2tan A B =；（2）设3AB =，求AB 边上的高．【考题再现】1．（04年全国Ⅲ）在ABC ∆中，3AB =，BC =4AC =，则边AC 上的高（A ）3（B ）2（C ）32（D ）2．（05年卷）已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小.3.（2005年春季）在△ABC 中，sin A +cos A =22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积. 4. （05年卷）ABC ∆中，3A π=，3BC =，则ABC ∆的周长为（A ）33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ （B ）36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭（C ）6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ （D ）6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 5．（06年卷）若ABC ∆的角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=B ．C ．53D ．53- 6.（2006年卷）如果111A B C ∆的三个角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个角的正弦值，则（）A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形【模拟训练】1．（2004年市区二模题）在∆ABC 中，cos2cos2B A >是A B >的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件2．（04年市二模题）在∆ABC 中，A ，B ，C 为三角形的三个角，且A B C <<，4sin 5B =4cos(2)5A C +=-，求cos2A 的值3．（04年华南师大附中）在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数（2）若a =3b c +=，求b 和c 的值4．（05年市基地学校联考）在∆ABC 中，边AB 为最长边，且2sin sin 4A B ⋅=，则cos cos A B ⋅的最大值是5.（06年八校第二次联考）已知关于x 的方程22cos cos 2sin02Cx x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形.6.(06年黄岗市荆州市高三年级模拟)已知ABC ∆的三个角为A 、B 、C 所对的三边为a 、b 、c ，若ABC ∆的面积为222()S a b c =--，则tan2A=__________．教考在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；另外，在三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，关键是正、余弦定理的边角互换．运用正、余弦定理求解三角形的有关问题，要非常熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，如三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具，同时注意三角形面积公式ah S 21=，C ab S sin 21=，还要注意三角形角和π=++C B A 的制约关系，此外，要对常见解题方法与解题技巧的总结，这样才能不断提高三角形问题的求解能力．参考答案课堂互动例题1 巩固练习1．【答案】[解法1]：由正弦定理2sin sin sina b cRA B C===，R为∆ABC外接圆的半径，将原式化为22228sin sin8sin sin cos cosR B C R B C B C=，sin sin0B C≠，sin sin cos cosB C B C∴=.即cos()0B C+=,90B C∴+=，90A=.故∆ABC为直角三角形[解法2]：将已知等式变为2222(1cos)(1cos)2cos cosb Cc B b B C-+-=，由余弦定理可得22222222222222a b c a c bb c b cab ac⎛⎫⎛⎫+-+-+-⋅-⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222222a cb a b cbcac ab+-+-=⋅⋅，即22b c+22222222()()4a b c a c ba⎡⎤+-++-⎣⎦=也即222b c a+=，故∆ABC为直角三角形．2．【答案】解法1:由已知得AAbBBacossincossin22=,由正弦定理得AABBBAcossinsincossinsin22=,∵sinAsinB≠0,∴sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,∴2A=2B或2A=1800-2B,即A=B或A+B=900.∴ABC∆是等腰三角形或直角三角形.解法2: 由已知得AAbBBacossincossin22=,由正弦定理得AabbacoscosB22=,即AbacoscosB=,又由余弦定理得bcacbba22acb-ca222222-+=+,整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a=b,或a2+b2=c2,∴ABC∆是等腰三角形或直角三角形.3．解：由已知得例题2 巩固练习1．【答案】解法1：由正弦定理，得2345sin 26sin =︒=C 因3226sin =⨯=⋅A AB 6,2==AB BC 由623<<，则有二解，即︒=∠60C 或︒=∠120C︒=︒-︒-︒=∠754560180B 或︒=︒-︒-︒=∠1545120180B故13sin sin +=⇒⋅=AC B ABCAC 或13-=AC ，︒=∠︒=∠15,120B C ︒=∠︒=∠75,60B C解法2：令AC=b ，则由余弦定理222245cos 62)6(=︒-+b b 1302322±=⇒=+-b b b又C b b cos 222)6(222⋅-+=︒=∠±=⇒60,21cos C C 或︒=∠120C ︒=︒+︒-︒=∠⇒75)6045(180B 或︒=︒+︒-︒=∠15)12045(180B .2【答案】由已知有bcB A 21tan tan =+，化简并利用正弦定理： B C B A B A B A sin sin 2sin cos sin cos cos sin =+BCB A B A sin sin 2sin cos )sin(=+0cos sin 2sin =-AC C由0sin ≠，故︒=⇒=6021cos A A 由213+=cb，可设k c k b 2,)13(=+=，由余弦定理，得k a k k k a 6)13(24)13(22222=⇒+-++=由正弦定理Cc A a sin sin =得226232sin sin =⋅==kk a A c C 由b c <则C 是锐角，故︒=--︒=︒=75180,45C A B C3．【答案】由已知，得2C A B +=，又由︒=++180C B A ︒=⇒60B 故4160cos sin sin 2=︒=C A ① 又由B c a S ABC sin 2134⋅⋅==∆164334=⇒=⇒ac ac ② 故64)sin ()sin (sin sin 22===C c A a C A ac 8sin sin ==⇒Cc A a由3460sin 8sin 8sin sin =︒⋅=⋅==B AB a b则21260cos cos 222=-+=︒=ac b c a B即964848)(3)(222=+=+⇒=-+c a ac b c a 64=+⇒c a ③ 把③与②联立，得)26(2),26(2-=+=c a 或)26(2),26(2+=-=c a4．【答案】由已知B C A 2=+，及︒=+︒=⇒︒=++120,60180C A B C B A由CA CA C A tan tan 1tan tan )tan(-+=+及32tan tan ,3)tan(+=⋅-=+C A C A得33tan tan +=+C A ，以C A tan ,tan 为一元二次方程032)33(2=+++-x x 的两个根，解方程，得⎩⎨⎧+==32tan 1tan C A 或⎩⎨⎧=+=1tan 32tan C A ⎩⎨⎧︒=︒=⇒7545C A 或⎩⎨⎧︒=︒=4575C A 若︒=︒=75,45C A ，则860sin 34=︒=a ，6445sin 34=︒=b ，)13(445sin 75sin 8sin sin +=︒︒==A C a c若︒=︒=45,75C A ，则︒=60sin 34a ︒==75sin 34,8b )13(64-=)623(4-=)13(8sin sin -==B C b c 例题3 巩固练习1．【答案】由正弦定理和已知条件a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式,得2sin 2C A +cos 2C A -=2sinB. 由A+B+C=π得sin 2C A +=cos 2B .又A-C=3π,得2cos 23B =sinB.∴2cos 23B=2sin 2B cos 2B ,∵0<2B <2π,∴cos 2B ≠0,∴sin2B =43.∴cos 2B =2sin 12B -=413,∴sinB=2sin 2B cos 2B =2∙43∙413=839. 2．【答案】（I ） a b c ，，成等比数列∴=b ac 2又a c ac bc 22-=-∴+-=b c a bc 222在∆ABC 中，由余弦定理得cos A b c a bc bc bc =+-==2222212∴∠=︒A 60（II ）在∆ABC 中，由正弦定理得sin sin B b A a=∴=︒=︒=b B c b ca sin sin sin 2606032．3．【答案】解法1：由余弦定理得c c bc a c b A 892cos 2222-=-+=cc ac b c a B 1092cos 2222+=-+=由正弦定理得：B A B A sin 45sin sin 4sin 5=⇒=3231)cos 1(4510989222=-++⋅-⇒B c c c c3231])109(1[4580812224=+-+-c c c c 63632318016282222=⇒=⇒=-⇒c c cc故1694893689cos 2=-=-=c c A 7165sin =A 4715sin 21=⋅⋅=∆A c b S ABC 解法2：如图，作B A CAD -=∠，AD 交BC 于D ，令x CD = 则由5=a 知，x AD x BD -=-=5,5，在CAD ∆中由余弦定理3231)5(84)5()cos(222=--+-=-x x x B A 化简得199=⇒=x x ，在CAD ∆中由正弦定理 )sin(4)sin(sin )sin(sin B A B A CD ADC B A CD C AD -=-⋅=⇒-=783)(cos 142=--=B A 74158735421sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆C BC AC S ABC例题4 巩固练习1．【答案】（1）证明：因为3sin()5A B +=，1sin()5A B -=，所以3sin cos cos sin 51sin cos cos sin 5A B A B A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，2sin cos 51cos sin 5A B A B ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩，tan 2tan A B ⇒=.所以tan 2tan A B =（2）因为2A B ππ<+<，3sin()5A B +=，所以3tan()4A B +=-，即tan tan 31tan tan 4A B A B +=--，将tan 2tan A B =代入上式并整理得22tan 4tan 10B B --=.解得2tan 2B =，舍去负值得2tan 2B +=，从而tan 2tan 2A B ==. 设AB 边上的高为CD.则tan tan CD CD AB AD DB A B =+=+=AB=3，得CD=2+AB边上的高等于2考题再现1．【答案】由余弦定理，得1cos 2A =，60A ︒=，所以AC边上的高sin BD AB A =⋅=选B.2．【答案】解法1：由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得.0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A 所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B 因为),,0(π∈B 所以0sin ≠B ，从而.sin cos A A =由),,0(π∈A 知.4π=A 从而π43=+C B . 由.0)43(2cos sin 02cos sin =-+=+B B C B π得即.0cos sin 2sin .02sin sin =-=-B B B B B 亦即由此得.125,3,21cos ππ===C B B 所以,4π=A .125,3ππ==C B 解法2：由).223sin(2cos sin 02cos sin C C B C B -=-==+π得由B <0、π<c ，所以.22223ππ-=-=C B C B 或即.22232ππ=-=+B C C B 或由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得.0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A 所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B 因为0sin ≠B ，所以.sin cos A A =由.4),,0(ππ=∈A A 知从而π43=+C B ，知B+2C=23π不合要求. 再由π212=-B C ，得.125,3ππ==C B 所以,4π=A .125,3ππ==C B .3．【答案】解法1：∵sin A +cos A =2cos （A －45°）=22，∴cos （A －45°）=21. 又0°＜A ＜180°，∴A －45°=60°，A =105°. ∴tan A =tan （45°+60°）=3131-+=－2－3.∴sin A =sin105°=sin （45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=462+. ∴S △ABC =21AC ·AB sin A =21·2·3·462+=43（2+6）.4．【答案】在ABC ∆，由正弦定理得3sin sin sin sin 3AC AB BC B C A π====∴(),3AC B AB C A B B ππ⎛⎫===-+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∴周长为AB AC BC ++sin sin 33B B π⎤⎛⎫=+++ ⎪⎥⎝⎭⎦3sin 322B B ⎫=++⎪⎪⎭6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 5．【答案】由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0，又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=，故选A. 6．【答案】111A B C ∆的三个角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形．故选D ．模拟训练- .- -.可修编- 1．【答案】2222cos 2cos 212sin 12sin sin sin B A B A B A >⇔->-⇔<⇔sin sin A B A B >⇔>2．【答案】∵A B C <<，A B C π++=，∴0,022B A C ππ<<<+<，由4sin 5B = 得3cos 5B =，∴4sin()5A C +=，()3cos 5A C +=-又由4cos(2)5A C +=-得3sin(2)5A C += ∴()33447sin sin 2()555525A A C A C ⎛⎫⎛⎫=+--=⨯---⨯=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭2527cos 212sin 625A A =-=. 3．【答案】由题意得[]2721cos()2cos 12B C A -+-+=()2721cos 2cos 12A θ+-+=∴1cos 2A =03A π<< 2221cos 22b c a A bc +-==()223b c a bc +-=将3a b c =+=代入得2,bc =由3b c +=及2bc =，得1,2b c ==或2,1b c ==.4．【答案】因为cos cos sin sin cos()1A B A B A B ⋅+⋅=-≤，易得cos cos A B ⋅. 5．【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222C C A B -=⋅⋅=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ∆一定是等腰三角形选C6．【答案】1sin 2S bc A =，222()S a b c =--，2222cos a b c bc A =+-， ∴1sin 22cos 2bc A bc bc A =-，∴22sin 11cos 2tan 4sin 22sin cos 22A A A A A A -===。

高三第一轮复习正弦定理、余弦定理与三角形面积公式

解斜三角形正弦定理、余弦定理与三角形面积公式【提纲挈领】主干知识归纳ABC 的6个基本元素： a,b,c,A,B,C .其中三内角 A,B,C 所对边边长分别为 a,b,c .1．正弦定理变式： a 2Rsin A,b2Rsin B,c 2RsinC2．余弦定理3. 三角形面积公式12ac sin B 2R sin A sin B sinC.2（ 2 ）秦九韶 —海伦公式： S ABC 方法规律总结1. 基本量观念： ABC 的 6个基本元素： a,b,c,A,B,C ．已知三个基本量（至少一个为边）确定一个三角形，正余弦定理是“量化”依据，是初中全等三角形判定定理由定性向定量的转换 .2. 方程观念：正余弦定理和面积公式是方程的粗坯，是解三角形的依据，从三角形 6 个基本元素来说是“知三求三” .有两条主线：一是统一为边（消角）的关系，归结为边为元的代数方程；二是统一为角（消边）的关系，归结为三角方程 . 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．3. 转化思想：利用正余弦定理实现边角间的相互转化 .4. 利用正弦定理解三角形主要是以下两类：（1）已知两边和一对角；（2）已知两角和一边 . 利用余弦定理解三角形主要是以下两类：（1）已知三边；（ 2）已知两边及其夹角 . 对于复杂问题需综合利用正余弦定理实现边角关系向统一转化 .【指点迷津】【类型一】定理的推导与证明【例 1】（2011 陕西理 18）叙述并证明余弦定理 .【解析】 : 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两abc sin A sin B sinC2R （其中 R 是 ABC 的外接圆的半径）a 2b 2c 222bc cos A ，b 2c 2 a 22ca cos B ， c 2a 2b 22abcosC .变式：cosA2 2 2b c a,cosB2bc a 2 b 2,cosC2acb 22ab1 )S ABC11ab sin C bcsin A22p(p a)(p b)(p c),其中 pabc 2倍.或：在ABC 中，a,b,c 为A,B,C 的对边，有a 2b 2c 2 2bc cos A 2 2 2b ac 2ac cos B 2 2 2ca b2ab cosC证法一如图uuuv uuuv BCuuuv uuuv uuuv uuuv(AC AB)?(AC AB)uuuv 2 uuuv uuuv uuuv 2 AC 2AC?AB ABI )证明： sinB cosA ；3(II) 若sinC sin A cosB ，且 B 为钝角，求 A,B,C .4 sinA sin A以 sinB cosA ；(II)解析】 :(I )由题根据正弦定理结合所给已知条件可得，所uuuv 2 ACuuu v ACuuuvAB COSA uuu v 2AB22b 22bc cos A c 22 2 2即 a b c 2bc cos A2 2 2同理可证 b a c 2ac cos B2 2 2c a b 2ab cosC证法二已知 ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c, 以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，则 C(bcosA,bsinA),B(c,0) ,2 2 2 2a 2 BC 2 (bcosA c)2 (bsin A)2b 2 cos 2 A 2bc cos A c 2 b 2 sin 2 A 2 2 2b ac 2ac cos B同理可证2 2 2 b c a 2ca cosB, c 2 a 2 b 2 2ab cosC.类型二】解三角形例 1】【 2015 湖南，文 17】设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,abtanA .cosA sinB43 2 3 根据两角和公式化简所给条件可得 sinC sin AcosB cosAsin B，可得 sin 2 B ，结合 44所给角 B 的范围可得角 B,进而可得角 A, 由三角形内角和可得角 C.答案】（I ）略；（II ） A 30o ,B 120o ,C 30.o例 2】［2014·辽宁卷］在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 a>c.已知BA ·BC ＝2，cosB1 ＝31，b ＝ 3.求：(1)a 和 c 的值； (2)cos(B －C)的值． → →1 ［解析］： (1)由 BA ·BC ＝2 得 c ·a ·cos B ＝ 2，又 cos B ＝ 3，所以 ac ＝6.由余弦定理，得 a 2＋c 2＝b 2＋2accos B ，又 b ＝3，所以 a 2＋ c 2＝ 9＋2× 2＝ 13.ac ＝ 6， a ＝ 2 ， a ＝ 3，解2 2 得或a 2＋ c 2＝ 13， c ＝ 3 c ＝ 2. 因为 a >c ，所以 a ＝ 3，c ＝ 2.sin B ＝ 1 － cos 2B＝sin C ＝c 2·2 2＝ 4 2sin C ＝b sin B ＝3· 3 ＝9因为 a ＝b >c ，所以 C 为锐角，求 AD 的长 .(2)在△ ABC中，由正弦定理，得因此所以cos （B －C ）＝cos Bcos C ＋sin Bsin C ＝13×79＋ 2 2 4 2 23 × ＝.3 9 27.[答案 ](1)a ＝3，c ＝2.(2)23. 27.例3【】2015安徽，理16】在 ABC 中，A3,AB6,AC3 2 ,点 D 在 BC 边上， AD BD ，22 3cos C ＝ 1－sin 2C ＝ 4 2 2＝ 7.9＝9.3答案】 10 类型三】三角形的面积【例 1】（2013年课标Ⅱ卷（文））△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 b=2,B= ,C= , 则△ ABC D ． -1的面积为A．() 2 +2B． +1C． 2 - 2【解析】：由正弦定理有 2cc 2 2，又sin Asin[( )] 2 6 ，6 4 4sin sin6 4所以 S ABC 1 bcsin A 1 2 2 2 2 6 3 1. 2 2 4 答案： B例 2】【2015 天津，理 13】在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 ABC 的面积为 3 15 ， b c 2,cos A 1, 则 a 的值为4【答案】 8【例 3】［2014·新课标全国卷Ⅰ ］已知 a ，b ，c 分别为△ ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边， a ＝2，且（2＋b ）·（sin A －sin B ）＝（c － b ）sin C ，则△ ABC 面积的最大值为．［解析］: 根据正弦定理和 a ＝2可得（a ＋b ）（a －b ）＝（c －b ）c ，故得 b 2＋ c 2－ a 2＝ bc ，根据余弦定理得 cos A ＝ b 2＋ c 2－ a 2 1 π b2bc ＝12，所以A ＝3.根据b 2＋c 2－a 2＝bc 及基本不等式得 bc ≥2bc －a 2，即bc ≤4，所以△ ABC 面积 2bc 2 3 的最大值为 1× 4× 3＝ 3.22答案： 3 【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题b c ，则 b （）答案】的面积是（答案： C13. 在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对应的边为 a,b,c ，若 cosA,b 3c ，则sinC 的值为（）1设C 的内角， C 的对边分别为 a ， b ， c ．若2 ， c 23 ， cos3，且2解析】由余弦定理得：B ．2C ．22 D ．3即b 26b 80 ，解得： b 2 c 22bc cos 2，所以b 2 2 3 2b 2 或b 4 ，因为 bc ，所以 b 2 ，故选 B ．2.[2014 江·西卷 ] 在△ABC 中，内角 A ，B ， C 所对的边分别是 a ， b ，c.若 c 2＝（a －b ）2＋6， πC ＝ 3 ，则△ABCA ．3B.9 23C.3 3C. 2D ． 3 3解析】：由余弦定理得， cos C ＝a ＋b －c ＝2ab －6＝12，所以2ab2abab ＝6，所以 S △ ABC ＝ 21absin C ＝ 3 2 3312223 A ．BC ．D.33 33【解析】：由 cosA 1,b33c及a2 b2 c 22bccosA,得a 2 b 2 c 2故△ABC 答案： A 是直角三角形，且 B , 所以 sinC21 cosA . 34． [2014 ·新课标全国卷Ⅱ ] 钝角三角形 ABC 的面积是 12，AB ＝1，BC ＝ 2，则 AC ＝( )A ．5B. 5C ．2D ． 1【解析】：根据三角形面积公式，得 21BA ·BC ·sin B ＝21，即12× 1× 2×sin B ＝ 12，得 sin B ＝ 22，其中C<A. 若 B 为锐角，则 B ＝ π4 ，所以 AC ＝ 1＋2－2×1× 2× 22＝1＝AB ，易知 A 为直角，此时△ ABC 为直角三角形，所以 B 为钝角，即 B ＝ 34π，所以 AC ＝ 1＋2－2×1× 2× － 22 ＝ 5. 答案： B的面积为答案： D 二、填空题【答案】 77．【 2015北京，理 12】在△ABC 中， a 4，答案】 1→ → π8． [2014·山东卷] 在△ABC 中，已知AB ·AC ＝tan A ，当 A ＝时，△ ABC 的面积为 ______ 65．在 OAB 中，OA (2cos,2sin ),OB (5cos ,5sin )，若 OAOB5，则 OAB3 B ．2C ． 5 353 D.2解析】：由条件知 OA2,OB5,cos AOB1,所以 2SOAB2553 26．【 2015福建，理 12】若锐角 ABC 的面积为 10 3 ，且 AB5,AC，则 BC 等于b 5，c 6，则 sin2A sinC→ → π → → 2解析】：因为AB ·AC ＝|AB |· |AC|cos A ＝tan A ，且A ＝6，所以|AB|·|AC|＝32，所以△ABC 的面积 S1 → → 12 π1 ＝2|AB|·|AC|sin A ＝2×3×sin 6＝6答案： 16三、解答题29．【 2015新课标 1，文17】已知 a, b, c 分别是 ABC 内角 A,B,C 的对边， sin 2B 2sin AsinC . I ）若 a b ，求 cosB; II ）若 B 90o ，且 a2, 求 ABC 的面积 .2【解析】 :（I ）先由正弦定理将 sin 2B 2sin AsinC 化为变得关系，结合条件 a b ，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值；（II ）由（ I ）知b 2 = 2ac ，根据勾股定理和即可求出 c ，从而求出 ABC 的面积 .试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得 b 2 =2ac . 又a=b ，可得 b=2c ,a=2c ,II ）由（1）知b 2 =2ac .2 2 2因为B = 90°，由勾股定理得 a 2+c 2 =b 2. 故a 2+c 2 = 2ac ，得 c=a= 2. 所以 D ABC 的面积为 1. 1 【答案】（I ）（II ）1410. 【2015浙江，文 16】在 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a, b,c .已知 tan （ A ） 2.4sin2A（ 1）求 2 的值； sin 2 A + cos 2A（2）利用正弦定理得到边 b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积由余弦定理可得 cosB =a 2 +c 2 -b 22ac（2）若 B,a 3，求 ABC 的面积 . 4解析】（1）利用两角和与差的正切公式，得到tanA1，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；3答案： A 2．［2014·重庆卷］已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 满足 sin 2A ＋sin （A －B ＋C ）＝sin （C －A －B ）＋12，面积 S 满足 1≤S ≤2，记 a ，b ，c 分别为 A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（）A ．bc （b ＋c ）＞8B ．ab （a ＋b ）＞16 2C ． 6≤abc ≤12D ． 12≤ abc ≤ 24［解析］: 因为 A ＋B ＋ C ＝π，所以 A ＋C ＝π－ B ， C ＝π－（A ＋ B ），所以由已知等式可得 sin 2A ＋sin （ π 11 －2B ）＝sin ［π－2（A ＋B ）］＋2，即 sin 2 A ＋ sin 2B ＝sin 2（A ＋B ）＋2，sin ［（ A ＋B ）＋（A －B ）］＋sin ［（A ＋B ）－（A －B ）］＝sin 2（A ＋B ）＋12， 2 sin （ A ＋ B ）cos （A －B ）＝2sin （A ＋ B ）cos （A ＋B ）＋12，112sin （ A ＋ B ）［cos （A － B ）－ cos （A ＋ B ）］＝，所以 sin Asin Bsin C ＝ .28 1由 1≤S ≤ 2，得1≤2bcsin A≤2.由正弦定理得 a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ，所以 1≤2R 2·sinAsin Bsin C ≤ 2，所以 1≤R 4 ≤2，即 2≤ R ≤22，所以 bc （b ＋c ）＞abc ＝8R 3sin Asin Bsin C ＝ R 3≥8.试题解析：（1）由 tan （ 4 sin2A 2cos A 所以 sin2A 1A ） 2，得 tanA32sin AcosA 2 2sin AcosA cos A 2tanA （2）由tanA13可得， 2tanA 1sinA 10 ,cos A 3 10 10 10 a 3,B ，由正弦定理知： b 3 5 . 4又sinC sin （A B ） sin AcosB cos Asin B 2551 12 5 所以 S ABC ab sin C3 3 5229.答案】（1） 2 ；（2）9 5 二级目标】能力提升题组一、选择题 1．在△ ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是b ,c ，若 a 2 b 2 3bc ， sin C 2 3sin B ，则 A= A ） 300 B ） 600 C ） 120 D ）1500 解析】由由正弦定理得2R2 3b 2R2 3b ，所以 22b +c -a cosA=2bcc 23bc 2 3bc 2bc2bc3，所以 A=3002所以所以所以13答案： A 二、填空题13．【 2015广东，理 11】设 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 a 3， sin B2πC ，则 b622 答案】 2 2 ,1. 3 ,1.高考链接】a=1 ，则 b=【答案】1．三、解答题4. 【 2015 山东，文 17】ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a,b,c .已知3cos B ,sin (A3 B) 6 ,ac 2 3 求sinA 和c9的值.解析】在ABC 中，由36 cosB ，得 sin B33因为 A BC ，所以 sinC sin(A B) 69因为 sinC sinB ，所以 C B ， C 为锐角， cosC539因此 sin A sin(B C) sin BcosC cosBsinC5 3 3 63922 3由asinAc, 可得 a sinCcsin A sinC22c 32 3c ，又 ac 6 92 3 ，所以 c1.1. （2016 年全国 II 理 13）△ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 cosA4,cosC54b2 2 c1【解析】：由余弦定理有52bc21，解得b21.51b2 2 c13132b21【答b132. 【2015 浙江，理16】在ABC 中，内角A，B ，C所对的边分别为a ，b，c，已知A1）求tanC 的值；2）若ABC的面积为7，求b的值.答案】（1）2；（2）b 3.3.【2015江苏，15】在ABC中，已知AB 2,AC 3,A 60 .1）求BC 的长；2）求sin2C的值.因此sin 2C 2sin CcosC 2 21 2 7 4 3 ．7 7 7【答案】（ 1） 7 ；（2） 4 374. 【2015新课标 2，理17】 ABC 中， D 是BC 上的点， AD 平分 BAC ， ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍． sin B (Ⅰ ) 求 sin C答案】 (Ⅰ)1 ；(Ⅱ)BD2,AC 1． 2(Ⅱ )若 AD 1， DC2 2 求 BD 和 AC 的长．。

余弦定理及三角形面积公式

余弦定理及三角形面积公式关键信息项：1、余弦定理的表述及推导过程2、三角形面积公式的表述及推导过程3、余弦定理与三角形面积公式的关系4、应用余弦定理和三角形面积公式的条件和限制5、示例说明余弦定理和三角形面积公式的实际应用11 余弦定理111 余弦定理表述：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

即对于三角形ABC，若边 a、b、c 分别对应角 A、B、C，则有：a²＝ b²＋ c² 2bc·cosAb²＝ a²＋ c² 2ac·cosBc²＝ a²＋ b² 2ab·cosC112 推导过程：以三角形 ABC 为例，通过向量的方法进行推导。

设向量 AB ＝ c，向量 AC ＝ b，则向量 BC ＝ a ＝ b c。

则有：a²＝（b c)²＝ b²＋ c² 2b·c因为 b·c ＝｜b|·｜c|·cosA，所以 a²＝ b²＋ c² 2|b|·｜c|·cosA113 作用：可以用于求解三角形的边长、角度等问题。

12 三角形面积公式121 常见的三角形面积公式表述：1、面积＝ 1/2 ×底 ×高2、面积＝√s(s a)（s b)（s c)，其中 s ＝（a ＋ b ＋ c) ／ 2 （海伦公式）122 推导过程：对于“面积＝ 1/2 ×底 ×高”，可以通过作三角形的高来证明。

对于海伦公式，首先根据余弦定理求出角的余弦值，再利用三角函数关系求出正弦值，进而推导得出。

123 作用：可以方便地计算三角形的面积。

13 余弦定理与三角形面积公式的关系131 利用余弦定理可以求出三角形的边长和角度，进而为使用三角形面积公式提供必要的条件。

正余弦定理、三角形的一些公式

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin A sin B sinC 2R （R为外接圆的半径）变形有: a 2Rsin A b 2Rs inB c 2Rs inC三角形的面积公式:SABC s"A島sin Bb2Rs"C 2R1 1absinC acsin B2 21bcsin A2余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即变形有:cosA22bccosA b■ 2 2 2b c a2bccosB2accosB2 2 ■ 2a c b2aca2b22abcosC2 ■ 2 2 a b c cosC -2ab判断三角形的形状:2 a2 a2 a b2b2b22 c2 c2 , 2c ,bABC为钝角三角形ABC为直角角三角形2a2 2c ,c a2b2,ABC为锐角三角形三角形中有:ABC中 (1) sin(A⑵若A、B)B、si nCC成等差数列,cos(A两角和差的正余弦公式及两角和差正切公式sin sin cos cos sin cos( cos cos sin sin tantan tan二倍角公式:半角公式: sin 2tan 2tan tan2sin cos2 tan1 tan2aB） cosC ta n（A B）a、b、c成等比数列，则该三角ta nC形为正三角形sincostancos2 cos21 2si n222cos字〈正员磅所在的象限炖件（正负涉在刚沁）sin coscos costan tancos sinsin sin1 tan tansin 2现货原油R6008mxehUmG。

余弦定理公式大全

正弦、余弦定理解斜三角形建构知识结构1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外证明：由三角形面积111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===得sin sin sin a b c A B C==画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b cR A B C===3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c aA bc+-=；证明：如图ΔABC 中，sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。

正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有解；a<bsinA 时无解。

5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

余弦定理6个公式

余弦定理6个公式
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

用余弦定理求三角形面积是常见的数学问题，但是想要快速的算出三角形的面积，还需要牢记余弦定理求三角形的面积的公式。

余弦定理有三个公式，三角形ABC中，如果∠A，∠B，∠C的对边分别用a、b、c来表示那么就有如下关系：
在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。

则有：
正弦定理：a/SinA=b/SinB=c/SinC=2R(R为三角形外接圆半径)
余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC
余弦定理变形公式：cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC
cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab
注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

cos公式的其他资料：
它是周期函数，其最小正周期为2π。

在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为（2k+1）π时，该函数有极小值-1，余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

三角形三边关系公式三角函数

三角形三边关系公式三角函数三角形是初中数学中一个重要的几何形体，也是很多高中数学的基础知识。

而三角形的三边关系公式和三角函数则是三角形相关的必备知识。

下面我们来详细了解一下这方面的内容。

一、三角形三边关系公式三角形三边关系公式是求解三角形的重要公式，在初中的教学中，通过这些公式，可以求解任意三角形的内角和、周长、面积等重要性质。

1. 余弦定理：在任意三角形ABC中，设三边对应的内角分别为α、β、γ，边长分别为a、b、c，则有：cos α = (b² + c² - a²) / 2bccos β = (a² + c² - b²) / 2accos γ = (a² + b² - c²) / 2ab其中，cos表示余弦函数，a、b、c表示三边，α、β、γ表示与其对应的内角。

2. 正弦定理：在任意三角形ABC中，设三边对应的内角分别为α、β、γ，边长分别为a、b、c，则有：a / sin α =b / sin β =c / sinγ其中，sin表示正弦函数。

3. 勾股定理：在直角三角形ABC中，设斜边AB对应的内角为α，直角边AC和BC分别对应的内角为β、γ，斜边AB的长度为c，直角边AC和BC的长度分别为a、b，则有：a² + b² = c²二、三角函数三角函数是三角学中的重要分支，是数学和物理学中非常基础而常用的知识。

在初中数学中，学习三角函数有助于理解三角形的各种性质，同时也是后续高中数学学习的基础。

1. 正弦函数：在直角三角形ABC中，设斜边AB对应的内角为α，斜边AB的长度为c，直角边AC的长度为a，则有正弦函数：sin α = a / c2. 余弦函数：在直角三角形ABC中，设斜边AB对应的内角为α，斜边AB的长度为c，直角边BC的长度为b，则有余弦函数：cos α = b / c3. 正切函数：在直角三角形ABC中，设直角边AC对应的内角为α，直角边BC的长度为b，直角边AC的长度为a，则有正切函数：tan α = b / a4. 余切函数：在直角三角形ABC中，设直角边BC对应的内角为α，直角边BC的长度为b，直角边AC的长度为a，则有余切函数：cot α = a / b通过学习上述三角形三边关系公式和三角函数的知识，我们可以更深刻地理解三角形的结构和性质，从而更好地解决与其相关的问题。

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 常见变形a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．3．三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解| 微点提醒 |1．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.2．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A ；已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .(√)(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(√) (3)在△ABC 中，sin A >sin B 的充分不必要条件是A >B .(×)(4)在△ABC 中，“a 2＋b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件．(√) (5)在△ABC 的角A ，B ，C ，边长a ，b ，c 中，已知任意三个可求其他三个．(×)‖自主测评‖1．(教材改编题)在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.2．(教材改编题)在非钝角△ABC 中，2b sin A ＝3a ，则角B 为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 由正弦定理得b sin A ＝a sin B ，所以2a sin B ＝3a ，即sin B ＝32，又B 为非钝角，所以B ＝π3，故选C. 3．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形( ) A ．无解 B ．有两解C ．有一解D ．解的个数不确定解析：选B 因为a sin A ＝b sin B，所以sin B ＝b a ·sin A ＝2418×sin45°＝223.又因为a <b ，所以B 有两解.4．(教材改编题)已知△ABC 的三边之比为3∶5∶7，则最大角为( ) A.2π3 B.3π4C.5π6D.7π12解析：选A 由三边之比为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3k 2)＋(5k )2－(7k )22×3k ×5k＝－12，又0<C <π，所以C ＝2π3.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为________．解析：由cos2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.答案：12………………考点一利用正、余弦定理解三角形……|多维探究型|……………|多角探明|角度一求三角形的边长【例1】 (2018届贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°. (1)求边长a ；(2)(一题多解)求AB 边上的高CD 的长． [解] (1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos120°＝a 2＋(a ＋2)2－(a ＋4)22a (a ＋2)，即a 2－a －6＝0，∴a ＝3或a ＝－2(舍去)，∴a ＝3.(2)解法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由三角形的面积公式得12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，∴CD ＝ab sin ∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314. 解法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin120°，即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.角度二求三角形的角或角的三角函数值【例2】 (1)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010(2)(2018届河北“五个一名校联盟”模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3，若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则A ＝________.[解析] (1)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝52c 2＋c 2－92c 22×102c ×c＝－1010，故选C.(2)在△ABC 中，由sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A 可得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝4sin A cos A ，∴cos A sin B ＝2sin A cos A ，即cos A (sin B －2sin A )＝0，即cos A ＝0或sin B ＝2sin A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当sin B ＝2sin A 时，根据正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ，结合c ＝2，C ＝π3，得a 2＋b 2－ab ＝4，∴a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∴B ＝π2，∴A ＝π6.综上可得，A ＝π2或π6.[答案] (1)C (2)π2或π6『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa 或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化；如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．|变式训练|1．(2018届福建莆田联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B .∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6，故选A.2．(2019届黄冈模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若23cos 2A ＋cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； (2)若a ＝3，A ＝π3，求b ＋c 的取值范围．解：(1)∵23cos 2A ＋cos2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， ∴cos 2A ＝125，又A 为锐角，∴cos A ＝15，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2－125b －13＝0，得b ＝5(负值舍去)，∴b ＝5.(2)解法一：由正弦定理可得b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6，又0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤1，∴b ＋c ∈(3，23]．解法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得b 2＋c 2－3＝bc ， ∴(b ＋c )2－3＝3bc ≤34(b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号，∴b ＋c ≤23，又由两边之和大于第三边可得b ＋c >3， ∴b ＋c ∈ (3，23]．………………考点二判断三角形的形状…………|重点保分型|……………|研透典例|【典例】 (一题多解)在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．[解] 解法一：利用边的关系来判断由正弦定理得sin C sin B ＝cb，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b .又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为a 2＋b 2－c 2＝ab .所以2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形．解法二：利用角的关系来判断因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )，又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ，又由a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°，所以C ＝60°，所以△ABC 为等边三角形.『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|判定三角形形状的两种常用途径[提醒]“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．|变式训练|在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D 因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，所以b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]，所以2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .解法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B .所以A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D. 解法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0，即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D.………………考点三三角形面积的计算………………|多维探究型|……………|多角探明|角度一求三角形的面积【例1】 (2018届武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c . (1)求B ；(2)若b ＝2，a ＋c ＝5，求△ABC 的面积． [解] (1)由正弦定理，知2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ，由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ，化简，得2sin B cos C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )＋sin C ，即2cos B sin C ＋sin C ＝0. 因为sin C ≠0，所以cos B ＝－12.因为0<B <π，所以B ＝2π3.(2)由余弦正理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可知b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，因为b ＝2，a ＋c ＝5，所以22＝(5)2－2ac －2ac cos 2π3，得ac ＝1.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×32＝34.角度二已知三角形的面积解三角形【例2】 (2018届沈阳教学质量监测(一))在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b . (1)求C ；(2)若a ＋b ＝6，△ABC 的面积为23，求c . [解] (1)由正弦定理得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，∴2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ， ∴2sin B cos C ＋sin B ＝0， ∵sin B ≠0，∴cos C ＝－12.又C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝23，∴ab ＝8，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝28， ∴c ＝27.角度三求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题【例3】 (2018届沈阳市教学质量检测(一)) 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________． [解析] 由题意得：4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1，又0<A <π，所以π4<A ＋π4<5π4，所以A ＋π4＝3π4，所以A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，所以bc ≤16，所以S 的最大值为8. [答案] 8『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．|变式训练|1．(2018年全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选C 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.。

正弦余弦定理三角形面积公式

正弦余弦定理三角形面积公式好的，以下是为您生成的文章：在我们学习数学的奇妙旅程中，有两个非常重要的小伙伴，那就是正弦定理和余弦定理，还有它们与三角形面积公式之间千丝万缕的联系。

这可真是个有趣又实用的知识宝藏！先来说说正弦定理。

正弦定理就像是一个神奇的魔法棒，它告诉我们在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比值是相等的。

这听起来有点抽象，但是咱们来举个例子就好懂多啦。

记得有一次，我和朋友一起去公园散步。

公园的地形有点复杂，有一个三角形的花坛。

我们好奇地想要知道这个花坛三条边的长度。

这时候，正弦定理就派上用场啦！我们先测量出了其中两个角的大小，然后通过正弦定理，很快就计算出了三条边的相对比例，进而估算出了边的长度。

那种解开谜题的成就感，简直太棒了！接下来是余弦定理。

余弦定理能帮助我们通过三角形的三条边来求出角的大小，或者通过两条边和它们的夹角来求出第三条边的长度。

再说说三角形的面积公式。

大家都知道常见的三角形面积公式是底乘以高除以 2，但是当我们只知道三角形的边和角的时候，正弦定理和余弦定理就能帮助我们推导出新的面积公式。

比如说，通过正弦定理可以得到一个面积公式是 S = 1/2 * ab * sinC，这里的 a、b 是两条边，C 是它们的夹角。

在实际生活中，这些知识的用处可大了。

比如说建筑工人在建造房屋的时候，需要计算三角形结构的稳定性和面积，就得用到这些定理和公式；工程师设计桥梁的时候，也得依靠它们来确保桥梁的结构合理。

学习正弦余弦定理和三角形面积公式，就像是在探索一个神秘的宝藏，每一次的运用都是一次惊喜的发现。

它们不仅能帮助我们解决数学问题，还能让我们更好地理解这个丰富多彩的世界。

所以呀，同学们，可别小瞧了这些看似枯燥的定理和公式，它们可是有着大能量呢！只要我们用心去学习、去探索，就能在数学的海洋里畅游，发现更多的精彩！。

余弦定理推导三角形面积公式

余弦定理推导三角形面积公式
余弦定理是用来计算一个三角形的边长或角度的定理。

假设三角形的三边长分别为a、b和c，对应的内角分别为A、B和C。

根据余弦定理，可以推导出三角形面积的公式。

首先，根据余弦定理可以得到以下公式：
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
进一步，我们可以将三角形的面积S表示为一个三角形的一条边长和与其对应的两个内角的正弦值的乘积的一半，即：
S = (1/2) · a · b · sin(C)
接下来，我们将a和b表示为两个向量的模长，即：
a = |A|
b = |B|
然后，我们可以将向量A和B表示为它们的坐标差值向量，即：
A = (x₁, y₁)
B = (x₂, y₂)
根据向量的模长公式，我们可以得到：
|A| = √(x₁² + y₁²)
|B| = √(x₂² + y₂²)
接着，我们可以求出向量A和B的点积，即：
A·B = x₁x₂ + y₁y₂
将以上求得的结果代入面积公式，可以得到：
S = (1/2) · √(x₁² + y₁²) · √(x₂² + y₂²) · sin(C)进一步化简，我们可以得到：
S = (1/2) · √[(x₁² + y₁²)(x₂² + y₂²) - (x₁x₂ +
y₁y₂)²] · sin(C)
这就是通过余弦定理推导出的三角形面积的公式。

三角公式总结正弦定理余弦定理诱导公式二倍角公式半角公式积化和差公式和差化积公式

三角公式总结正弦定理余弦定理诱导公式二倍角公式半角公式积化和差公式和差化积公式三角公式是解决三角形问题的基本工具，包括正弦定理、余弦定理、诱导公式、二倍角公式、半角公式、积化和差公式和和差化积公式等。

下面我们详细介绍这些公式。

1. 正弦定理（Sine Rule）：在一个三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C满足如下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC这个公式可以用于求解已知三角形任意两边及其夹角，求解三角形内外角和的问题。

2. 余弦定理（Cosine Rule）：在一个三角形ABC中，边长a、b、c 与其对应的角A、B、C满足如下关系：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC这个公式可以用于求解已知三角形两边及其夹角，求解三角形内外角和的问题。

3. 诱导公式（Tangent Addition Formula）：对于角A和角B，有如下关系：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA*tanB)这个公式可以用于求解角的和与差的正切值。

4. 二倍角公式（Double Angle Formula）：对于角A，有如下关系：sin(2A) = 2*sinA*cosAcos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)tan(2A) = 2*tanA / (1 - tan^2(A))这个公式可以用于求解角的两倍角的正弦、余弦和正切值。

5. 半角公式（Half Angle Formula）：对于角A，有如下关系：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]这个公式可以用于求解角的半角的正弦、余弦和正切值。

三角形面积所有公式

三角形面积所有公式三角形作为几何学中最基本的图形之一，具有广泛的应用。

计算三角形面积是我们常见的数学问题之一。

在这篇文档中，我们将介绍几种常见的计算三角形面积的公式。

首先，我们来讨论最简单的情况，即已知三角形的底和高的情况。

对于一个底长为b，高为h的三角形，其面积可以通过公式S=1/2 * b * h来计算得出。

当我们已知三角形的两边长a和b以及它们之间的夹角C时，我们可以使用三角函数来计算面积。

如果我们已知两边长a和b以及它们之间的夹角C，那么三角形的面积可以通过公式S=1/2 * a * b *sin(C)来计算得出。

这个公式叫做正弦定理。

除了正弦定理，我们还有余弦定理可以用于计算三角形的面积。

当我们已知三角形的三边长a、b和c时，且已知它们对应的夹角分别为A、B和C时，我们可以使用余弦定理来计算三角形的面积。

具体的计算公式为S=1/4 * sqrt((a+b+c)*(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c))。

除了以上提到的公式，有时候我们已知三角形的三个顶点坐标，这时候我们可以使用行列式的方法计算三角形的面积。

假设三角形的三个顶点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)和(x3, y3)，那么三角形的面积可以通过公式S=1/2 * abs(x1*(y2-y3) + x2*(y3-y1) + x3*(y1-y2))来计算得出。

除了以上介绍的常见计算三角形面积的公式，还有一些特殊情况和问题需要注意。

例如，在计算等边三角形的面积时，可以直接使用公式S=(sqrt(3)/4) * a^2，其中a是等边三角形的边长。

此外，在计算直角三角形的面积时，我们可以使用公式S=1/2 * a * b，其中a和b是直角三角形的两条直角边。

综上所述，计算三角形面积的公式有很多种，每种公式适用于不同的情况。

根据已知信息，选择合适的公式能够更加准确地计算三角形的面积。

希望这篇文档对你对于三角形面积的计算有所帮助。

正余弦定理三角形一些公式

1 / 1 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R c C R b B R a A C R c B R b AR a R R Cc B b A a 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2)(2sin sin sin =========变形有：为外接圆的半径三角形的面积公式：A bcB acC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即ab c b a C ac b c a B bca cb A C ab b ac B ac c a b Abc c b a 2cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 2222222222222222222-+=-+=-+=-+=-+=-+=变形有：判断三角形的形状：为锐角三角形，为直角角三角形为钝角三角形ABC b a c c a b c b a ABC c b a ABC c b a ∆+<+<+<∆+=∆+>222222222222222,,三角形中有：形为正三角形成等比数列，则该三角、、成等差数列，、、）若（）（中c b a C B A CB AC B A C B A ABC 2tan )tan(cos )cos(sin )sin(1-=+-=+=+∆两角和差的正余弦公式及两角和差正切公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=- ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- 二倍角公式： ααααββααααα22222tan 1tan 22tan 1cos 2sin 21sin cos 2cos cos sin 22sin -=-=-=-==半角公式：。

余弦定理和面积公式

余弦定理和面积公式一、余弦定理。

1. 内容。

- 对于三角形ABC，设a,b,c分别为角A,B,C所对的边，则有c^2=a^2+b^2-2abcos C，a^2=b^2+c^2-2bccos A，b^2=a^2+c^2-2accos B。

2. 推导（以c^2=a^2+b^2-2abcos C为例）- 设→CA=→b，→CB=→a，→AB=→c。

- 根据向量的减法→c=→a-→b。

- 那么c^2=→c·→c=(→a-→b)·(→a-→b)=→a^2+→b^2-2→a·→b。

- 因为|→a| = a，|→b| = b，→a·→b=|→a||→b|cos C = abcos C。

- 所以c^2=a^2+b^2-2abcos C。

3. 应用。

- 已知两边及其夹角求第三边。

- 例如在ABC中，已知a = 3，b=4，C = 60^∘，求c。

- 根据余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcos C，a = 3，b = 4，cosC=cos60^∘=(1)/(2)。

- 则c^2=3^2+4^2-2×3×4×(1)/(2)=25 - 12 = 13，所以c=√(13)。

- 判断三角形的形状。

- 若a^2+b^2=c^2，则cos C = 0，C = 90^∘，三角形为直角三角形。

- 若a^2+b^2>c^2，则cos C>0，C为锐角，三角形为锐角三角形（当a,b,c 为最长边时）。

- 若a^2+b^2，则cos C<0，C为钝角，三角形为钝角三角形（当c为最长边时）。

二、三角形面积公式。

1. 常见公式。

- 已知底和高：S=(1)/(2)ah，其中a为三角形的底，h为这条底边上的高。

- 已知两边及其夹角：S=(1)/(2)absin C=(1)/(2)bcsin A=(1)/(2)acsin B。

- 海伦公式：设三角形的三边为a,b,c，半周长p=(a + b+ c)/(2)，则S=√(p(p -a)(p - b)(p - c))。

三角形正玄余玄正切定理公式

三角形正玄余玄正切定理公式
三角形的正弦、余弦和正切定理公式如下：
1. 正弦定理：在任意三角形ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。

则有：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。

2. 余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形则有：
a²=b²+c²-2bc·cosA；
b²=a²+c²-2ac·cosB；
c²=a²+b²-2ab·cosC。

也可表示为：
cosC=(a²+b²-c²)/2ab；
cosB=(a²+c²-b²)/2ac；
cosA=(c²+b²-a²)/2bc。

3. 正切定理：在三角形中，任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商，等于这两条边对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。

对于边长为a，b和c而相应角为A，B
和C的三角形，有：
(a-b)/(a+b)=[tan(A-B)/2]/[tan(A+B)/2]；
(b-c)/(b+c)=[tan(B-C)/2]/[tan(B+C)/2]；
(c-a)/(c+a)=[tan(C-A)/2]/[tan(C+A)/2]。

以上信息仅供参考，如果您还有疑问，建议咨询数学领域专业人士或查阅数学书籍。

三角形面积公式余弦

三角形面积公式余弦三角形面积公式（涉及余弦定理）一、三角形面积的常见公式。

1. 基本公式。

- 已知三角形底a和高h，则三角形面积S = (1)/(2)ah。

- 例如，一个三角形底为6，高为4，则其面积S=(1)/(2)×6×4 = 12。

2. 海伦公式（已知三边）- 设三角形三边为a，b，c，半周长p=(a + b+ c)/(2)，则面积S=√(p(p - a)(p - b)(p - c))。

- 例如，三角形三边a = 3，b = 4，c = 5，p=(3 + 4+5)/(2)=6，S=√(6(6 - 3)(6 -4)(6 - 5))=√(6×3×2×1)=6。

二、三角形面积公式与余弦定理的关系。

1. 余弦定理。

- 对于三角形ABC，三边为a，b，c，c^2=a^2+b^2-2abcos C（C为a，b夹角），同理a^2=b^2+c^2-2bccos A，b^2=a^2+c^2-2accos B。

2. 由余弦定理推导三角形面积公式。

- 由c^2=a^2+b^2-2abcos C可得cos C=frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}。

- 我们知道sin^2C+cos^2C = 1，则sin C=√(1-cos^2)C- 把cos C=frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}代入sin C=√(1-cos^2)C得：- sin C=√(1 - (frac{a^2)+b^{2-c^2}{2ab})^2}- 三角形面积S=(1)/(2)absin C- 将sin C=√(1 - (frac{a^2)+b^{2-c^2}{2ab})^2}代入S=(1)/(2)absin C得：- S=(1)/(2)ab√(1 - (frac{a^2)+b^{2-c^2}{2ab})^2}- 化简这个式子：- 先将1 - (frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})^2通分得到frac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}。