信号频谱介绍及分析方法

H ( sk ) 或 H ( z k ) 相乘求得。
频域分析法将信号和系统模型的时间变量函数（或序列）变换为频域的某个 变量函数，并研究他们的特性，由于时域中的微分（或差分）方程和卷积运算在 频域都变成了代数运算，这就简化了运算。同时，频域分析将时间变量变换成频 率变量,揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切 关系,从而导出了信号的频谱,带宽以及滤波,调制和频分复用等重要概念。 信号的频谱，从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，所画 出的图形称为信号的频谱图。 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的,这方面的 问题也称为傅里叶分析(频域分析).将信号进行正交分解(分解为三角函数或复数 函数的组合)。
T1 nπτ 2 kπ = kπ ，或 nω1 = T1 τ
(8)
， k ∈ Z,k ≠ 0
即当 ω = nω1 = 2kπ / τ 时， an = cn = Fn = 0 。 (iii) 在频域，能量集中在第一个过零点之内。 (iv) 带宽 βω = 2π / τ 或 β f
= 1 / τ 只与矩形脉冲的脉宽 τ
F (ω) =
∫−∞ f (t )e
∞
− jωt
dt = F[ f (t )]
∆
是信号 f (t ) 的频谱密度函数或 FT 频谱，简称为频谱(函数)。
(2)
频谱密度函数 F (ω) 的逆傅里叶变换为： f (t ) =
1 2π
∫−∞ F (ω)e
∞
jωt
ˆ F −1 F (ω) dω =
[
]
(3) 称 e− jωt 为 FT 的变换核函数， e jωt 为 IFT 的变换核函数。 (4) FT 与 IFT 具有唯一性。如果两个函数的 FT 或 IFT 相等，则这两个函数 必然相等。 (5) FT 具有可逆性。如果 F [ f (t )] = F (ω) ，则必有 F −1[ F (ω)] = 信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成 称
有关， 而与脉高
和周期均无关。(定义 0 ~ 2π / τ 为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简 称带宽) (9) 周期信号的功率： P[ f (t )] =
n =−∞
∑ Fn
∞
2
(10) 帕斯瓦尔方程：
1 T1
∫T
f 2 (t ) dt =
1
n = −∞
∑ Fn
∞
2
2.2 2.2 非周期信号的频谱分析— 非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT) 傅里叶变换(FT) (1) 信号 f (t)的傅里叶变换：
二 确知信号的频谱
确知信号：取值在任何时间都是确定和可预知的信号，通常可以用数学公式 表示它在任何时间的取值，例如：振幅，频率和相位都是确定的一段正弦波，都 是一个确知信号。具体来说，确知信号的频谱可以分为周期信号的频谱和非周期 信号的频谱。
2.1 周期信号的频谱分析—— 周期信号的频谱分析——傅 ——傅里叶级数 FS
信号的频谱
摘要
本文说明了信号的频谱的由来，确知信号、随机信号的频谱的相关概念等信 息的介绍，及其相关的傅里叶变换的知识，对频域分析的方法也进行了说明，便 于进行对比理解。
关键词：傅里叶变换 频谱 确知信号 随机信号 频域分析
一 信号频谱的由来
在 LTI 系统中，信号表示成基本信号的线性组合，这些基本信号应该具有以下两 个性质： 1，由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号； 2，LTI 系统对每一个基本信号的响应应该十分简单，以使得系统对任意输 入信号的响应由一个很方便的表示式。 在 LTI 系统中，复指数信号的重要性在于：一个 LTI 系统对复指数信号的响 应也是一个复指数信号，不同的是幅度上的变化，即： 连续时间： e st → H ( s )e st 离散时间： z n → H ( z ) z n 这里 H ( s ) 或 H ( z ) 是一个复振幅因子， 一般来说是复变量 s 或 z 的函数。 对于连续时间和离散时间来说， 如果一个 LTI 系统的输入能够表示成复指数 的线性组合，那么系统的输出也能表示成相同复指数信号的线性组合；并且输出 表达式中的每一个系数可以用输入中相应的系数分别与有关的系统特征值
F (ω) = Fr2 (ω) + Fi2 (ω) , ϕ(ω) = arctan
Fr (ω) = F (ω) cos(ϕ(ω) ),
jFi (ω)
Fi (ω) Fr (ω)
Fi (ω) = F (ω) sin (ϕ(ω) )
∞
(8) FT 存在的充分条件：时域信号 f (t ) 绝对可积，即 ∫ −∞
n =1
∞
(b)
f (t ) = d 0 +
ψ n 和 θ n 分别对应合并后
n 次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(vi) (a) (b) (c) (d) (e)
傅里叶系数之间的关系：
a0 = c0 = d 0 an = cn cos ψ n = d n sin θn bn = −cn sin ψ n = d n cos nθn c0 = d 0 = a0
令 由式(4.22)右端所示的平均功率可写成为:
可见,平均功率是由被积函数 p(ω)在频率(-∞, ∞)区间覆盖的面积所确定。故 称 p(ω)为功率密度谱,简称功率谱。这样就把功率信号在频域的分析与傅立叶 变换联系起来。 如果 x(t)表示随机信号 X(t)的任一样本函数,则意味着随机信号 在频域的特征可以通过傅立叶变换来表征。 同时从式(4.22)还表明随机信号的平 均功率也可以通过计算均方值的时间平均（时间均方值）来求得。功率密度谱虽 然描述了随机信号的功率在各个不同频率上的分布,但因为它仅与幅度频谱有关, 没有相位信息,所以从已知功率谱还难以完整地恢复原来的功率信号。 功率有限信号的功率谱函数和相关函数是一对傅里叶变换， 即维纳辛钦定理。
2.3 功率密度谱 一个确定性的能量信号可以通过能量密度谱 E(ω)来描述信号能量在频域 的分布特性。同理,对一个确定性功率信号可以利用功率密度谱来描述信号功率 在频率域分布情况,功率密度谱反映了单位频带信号功率的大小,是频率的函数 以 p(ω)表示。 设 x(t)是一个功率信号,其平均功率定义为:
2 2 2 2 cn = dn = an + bn
(f) (g) (5) (i)
ψ n = − arctg
bn an
θn = arctg
an bn
复指数形式的 FS： 展开式： f (t ) =
n = −∞
∑ Fn e jnω t
1
∞
(ii) (iii)
系数计算： Fn =
1 T1
∫T
f (t )e − jnω1t dt , n ∈ Z
由于功率信号不满足傅立叶变所要求的总能量为有限(平方可积)的充要条件,因 此为了求得傅立叶变换与功率密度谱的关系式,采取求极限的办法先将 x(t)截 短,形成 xT(t),即
所以只要 T 为有限值,则相应的傅立叶变换 xT(ω)存在,其总能量按能量信号的 帕斯瓦尔公式,有:
由于 故得平均功率为
上式中,因 x(t)是功率信号故极限存在,当 T→∞,∣XT(ω)∣2/2T 趋于一个极限 值。
F (ω)
f (t ) ；反之亦然。
F (ω) = F (ω) e jϕ(ω)
(6) (i)
为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随
频率变化的幅频特性； (ii) 称 ϕ(ω) = Arg (F (ω) ) 为相位频谱密度函数，简称相位谱函数， 表示信号的相位随频率变化的相频特性。 (7) FT 频谱可分解为实部和虚部： F (ω) = Fr (ω) +
1
(iii) 系数 an 和 bn 统称为三角形式的傅里叶级数系数， 简称傅里叶系数。 (iv) (v) (a) 称 f1 = 1 / T1 为信号的基波、基频； nf1 为信号的 n 次谐波。 合并同频率的正余弦项得：
f (t ) = c 0 +
n =1
∞
∑ cn cos(nω1t + ψ n ) ∑ d n sin(nω1t + θn )
an =
Fn =
2 T1
∫T
f (t ) cos nω1tdt
； bn =
1
2 T1
∫T
f (t ) sin nω1tdt = 0 ； cn = d n = an
1
an − jbn an = = F− n 2 2
( Fn 实，偶对称)； ψn = 0 ； θn = π
2
(ii) 偶的周期信号的 FS 系数只有直流项和余弦项。 (iii)奇信号的 FS：
a0 = an = 0 ； bn =
Fn = − F− n = −
1 jbn 2 2 T1
∫T
f (t ) sin nω1tdt
； cn = d n = bn = 2 jFn ；
ψn = − π 2
1
( Fn 纯虚，奇对称)；
； θn = 0
(7)
(iv) 奇的周期信号的 FS 系数只有正弦项。 周期信号的傅里叶频谱： (i) 称 {Fn } 为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或 FS 谱。
(1)
狄义赫利条件：在同一个周期 T1 内，间断点的个数有限；极大值和极小
T1
值的数目有限；信号绝对可积 ∫ (2)
f (t ) dt < ∞ 。
傅里叶级数：正交函数线性组合。 正 交 函 数 集 可 以 是 三 角 函 数 集 {1, cos nω1t , sin nω1t : n ∈ N } 或 复 指 数 函 数 集
(ii) 系数计算公式： (a) (b) (c) 直流分量： a0 =
1 T1
∫T
f (t )dt f (t ) cos nω1tdt , n ∈ N f (t ) sin nω1tdt , n ∈ N