第八章 超静定结构的内力分析

力，作内力图，如图c所示。根据叠加原理，结构任一截面的弯矩M
也可以用下列公式表示，即
M M 1 X1 M P
综上可知,力法是以多余未知力作为基本未知量，取去掉多余联 系后的静定结构为基本结构，并根据去掉多余联系处的已知位移条
件建立基本方程，将多余未知力首先求出，而以后的计算即与静定
结构无异。它可用来分析任何类型的超静定结构。
8-1 力法
力法是超静定计算基本方法之一，也是学习其他方法的
基础。力法是把超静定结构拆成静定结构，再由静定结构过
渡到超静定结构。静定结构的内力和位移计算是力法计算的
基础。
一、力法的基本原理
1.力法的基本结构 图a所示一端固定，另一端铰支的 梁，承受荷载ｑ的作用，EI为常数， 该梁有一个多余约束，是一次超静定 结构。对图 a所示的原结构，如果把 支杆B作为多余约束去掉，并代之以 多余未知力X1（简称多余力），则图 a所示的超静定梁就转化为图b所示的 静定梁，这样得到的含有多余未知力 的静定结构称为力法的基本体系。与 之相应，把图a中原超静定结构中多 余约束（支座B）和荷载都去掉后得 到的静定结构称为力法的基本结构 （图c）。
1P
将11 和1P 之值代入力法基本方程由此求出：
X1 1P
11
ql 4 l 3 3ql / 8EI 3EI 8
所得结果为正值，表明 X1 的实际方向与原假设的方向相同。 多余未知力 X1 求出后，就可以利用静力平衡条件求原结构的支座反
同的原则来确定。
二、力法的基本方程
基本体系转化为原来超静定结构的条件是：基本体系沿多余未知力 X 1 方向的位移 1 应与原结构中相应的位移相等，即1 0 。可见，为了 唯一确定超静定结构的反力和 内力，必须同时考虑静力平衡条件和变形 协调条件。
(d)
(e)
设以 11 和 1P 分别表示未知力 X 1 和荷载q单独作用在基本结构时， B点沿 X 1 方向上的位移（图d、e）。符号右下方两个角标的含义是： 第一个角标表示位移的位置和方向；第二个角标表示产生位移的原因。 为了求得B 点总的竖向位移，根据叠加原理： 1 11 1P 0 若以 11表示 X 1 为单位力（即 X1 1 ）时，基本结构在 X 1 作用点沿 方向产生的位移，则有 11 11 X 1 ，于是上式可写成
例如图(a)所示结构，铰化结点后增加一根链杆 可变为几何不变体系 [图(b)]，所以结点独立线位移
的数目为一，整个结构的基本未知量为两个角位移
和一个独立结点线位移。
四、位移法的杆端内力 1.运用位移法计算超静定结构时，需要将结构拆成单杆，单杆的 杆端约束视结点而定，刚结点视为固定支座，铰结点视为固定铰支 座。当讨论杆件的弯矩与剪力时，由于铰支座在杆轴线方向上的约 束力只产生轴力，因此可不予考虑，从而铰支座可进一步简化为垂
这就是三次超静定结构的力法方程。 同理，我们可以建立力法的一般方程。对于n次超静定结构， 用力法计算时，可去掉n个多余约束得到静定的基本结构，在去掉 的n个多余约束处代之以n个多余未知力。当原结构在去掉多余约 束处的位移为零时，相应地也就有n 个已知的位移条件，即：
1 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1n X n 1Ρ 0 2 21 1 22 2 23 3 2 n n 2 Ρ 0 n n1 1 n 2 2 n 3 3 Baidu Nhomakorabea nn n nΡ 0
⑶求系数和自由项
11
1 1 2 256 4 4 4 4 4 4 EI 2 3 3EI 1 1 1280 80 4 4 EI 3 3EI
1P
⑷求解多余力
⑸绘制内力图 各杆端弯矩可按 M X 1 M 1 M P 计算，最后弯矩图如图8-7c所示。
M1M1 1 l 2 2l l3 11 dx EI EI 2 3 3EI
M M 1 1 P dx EI EI 1 ql 2 3l ql 4 3l 2 4 8 EI
同理可用 M 1 图与 M P 图相图乘计算 1P ,得
图（a）所示刚架有两个刚结点，现在两个刚结点
都发生了角位移和线位移，但在忽略杆件的轴向变形
时，这两个线位移相等，即独立的结点线位移只有一 个，因此用位移法求解时，该结构的基本未知量是两 个角位移C和 D 以及一个线位移Δ。
(b)
同理，图（ b）所示排架有三个铰结点，其水 平线位移相同，故该结构的基本未知量是一个线位 移Δ。
当结构的独立结点线位移的数目由直观的方法难以判 断时，则可以采用“铰化结点、增加链杆”的方法判断。 即在确定结构独立的结点线位移时，先把所有的结点和支 座都换成铰结点和铰支座，得到一个铰结体系。 若此体系是几何不变体系，则由此知道结构的所有结
点均无独立结点线位移。如果此体系是几何可变体系或瞬
变体系，则可以通过增加链杆使其变为几何不变体系，所 增加的最少链杆的数目，就是原结构的独立结点线位移的 数目。
二、位移法基本变形假设 位移法的计算对象是由等截面直杆组成的杆系结构，例如刚架、连
续梁。在计算中认为结构仍然符合小变形假定，同时位移法假设：
1. 各杆端之间的轴向长度在变形后保持不变； 2. 刚性结点所连各杆端的截面转角是相同的。 三、位移法的基本未知量 位移法以结构的刚结点角位移和结点线位移为基本未知量，通过平衡 条件和变形条件建立位移法方程求出未知量。未知量求出后，再利用杆端 内力与荷载及结点位移之间的关系，计算出结构的内力，作出内力图。 在结构中，一般情况下刚结点的角位移数目和刚结点的数目相同，但 结构独立的结点线位移的数目则需要分析判断后才能确定。 下面举例说明如何确定位移法的基本未知量。
建筑力学
第8章 超静定结构的内力分析
超静定结构与静定结构在计算方面的主要区别：
静定结构的支座反力和各截面的内力只根据静力平衡条 件即可求出；
超静定结构支座反力和各截面的内力则不能单从静力平
衡条件求出，而必须同时考虑变形协调条件。
静定结构
超 静定结构
从几何构造来看，静定结构是没有多余约束的几何不变
体系；超静定结构为有多余约束的几何不变体系。 总之，有多余约束是超静定结构区别于静定结构的基本特点。
直于杆轴线的可动铰支座。结合边界支座的形式，位移法的单杆超
静定梁有三种形式，如图8-10所示。
(a)
(b)
(c)
图8-10 单杆超静定梁的约束形式
2. 为了计算方便，杆端内力采用两个下标来表示，其中第一个下
标表示该弯矩所作用的杆端，称为近端，第二个下标表示杆件的 另一端，称为远端。 如图8-11所示AB梁
符，在C点处沿多余未知力方向的相应位移都等于零。 即应满足位移条件：1 0，2 0 ， 3 0 。
根据叠加原理，上面位移条件可表示为：
1 11 X 1 12 X 2 13 1 p 0 2 21 X 1 22 X 2 23 2 p 0 3 31 X 1 32 X 2 33 3 p 0
三、力法典型方程
(a)
(b)
图a所示为一个三次超静定结构，在荷载作用下结构的变形如图中 虚线所示。用力法求解时，去掉支座C的三个多余约束，并以相应
X 3 代替所去约束的作用，则得到图b所示的基 的多余力 X 1 、 X 2 、
本体系。由于原结构在支座C处不可能有任何位移，因此，在承受 原荷载和全部多余未知力的基本体系上，也必须与原结构变形相
X1
11 X1 1P 0
此式就是根据原结构的变形条件建立的用以确定 X 1 的变形协调方程， 即为力法的基本方程。
(a)
(b)
(c)
绘出基本结构的单位弯矩图 M 1 （由单位力 X1 1 产生）和荷载弯 矩图 M P（由荷载q 产生），分别如图a、b 所示。 用图乘法计算位移: 计算 11 时可用 M 1 图乘 M 1 图,叫做图 M 1 的“自乘”，即
【例8-1】试分析图8-6a所示刚架，EI=常数。
解：⑴确定超静定次数，选取基本结构 此刚架具有一个多余联系，是一次超静定结构，去掉支座链杆C 即
为静定结构，并用X1代替支座链杆C 的作用，得基本体系如图8-6b所示。
⑵建立力法典型方程
11 X 1 1P 0
(a) 图8-6
(b)
图8-7
• 即：n次超静定结构力法的基本方程，通常称为力法典型方程。这一 方程组的物理意义为：基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下， 在去掉多余联系处沿各多余未知力方向的位移，应与原结构相等。 • 典型方程中，多余未知力系数主对角线上称为主系数，其物理意义为： 当单位力单独作用时，在其自身方向上所引起的位移，恒为正且不为 零。其它系数称为副系数，其物理意义为：当单位力单独作用时，所 引起方向的位移。各式最后一项称为自由项，它是荷载单独作用时所 引起的方向的位移。副系数和自由项的值可能为正、负或零。
•
按前面求静定结构位移的方法求得典型方程中的系数和自由项后，
即可解得多余未知力 X i ，然后可按照静定结构的分析方法求得原结 构的全部反力和内力，或按下述叠加公式求出弯矩:
M X1 M 1 X 2 M 2 X n M n M P
再根据平衡条件可求得其剪力和轴力。
四、力法计算的应用 力法计算超静定结构的步骤： ⑴选取基本结构。去掉原结构的多余约束得到一个静定的基本结构，并以力 法基本未知量代替相应多余约束的作用，确定力法基本未知量的个数； ⑵建立力法典型方程。根据基本结构在多余力和原荷载的共同作用下，在去 掉多余约束处的位移应与原结构中相应的位移相同的位移条件，建立力 法典型方程； ⑶求系数和自由项。为此，需分两步进行： ①令 X i 1 作基本结构单位弯矩图 Mi 和基本结构荷载弯矩图 M p ； ②按照求静定结构位移的方法计算系数和自由项； ⑷解典型方程，求出多余未知力； ⑸求出原结构内力绘制内力图。
8-2 位移法
位移法是把结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。杆件的内力和位 移关系是位移法的计算基础。位移法虽然主要用于超静定结构，但也可 用于静定结构。 一、位移法的基本概念 位移法是以结点位移作为基本未知量求解超静定结构的方法。利用 位移法既可以计算超静定结构，也可以计算静定结构。对于高次超静定 结构，运用位移法计算通常也比力法简便。同时，学习位移法也帮助我 们加深对结构位移概念的理解，为学习力矩分配法打下必要的基础。
EI i l
其中：EI是杆件的抗弯刚度； l 是杆长。
表8.1 等截面直杆的杆端弯矩和剪力
1
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续表8.1 等截面直杆的杆端弯矩和剪力
(a)原结构
(b)基本体系
A
(c）基本结构
B
2.力法的基本未知量 求解基本结构的多余未知力 ，一旦求得多余未知力 ，就可在基本 结构上用静力平衡条件求出原结构的所有反力和内力。因此多余力是最 基本的未知力，又可称为力法的基本未知量。但是这个基本未知量 不
能用静力平衡条件求出，而必须根据基本结构的受力和变形与原结构相
8-11杆端弯矩的正、负号规定
位移法规定杆端弯矩使杆端顺时针转向为正，逆时针转向 为负（对于支座和结点就变成逆时针转向为正，顺时针转向为
负），如图8-11所示。对于杆端、支座及结点剪力的正负号规
定则和以前相同，以顺时针为正，逆时针为负。
3. 位移法的杆端内力主要是剪力和弯矩，由于位移法下
的单杆都是超静定梁，所以不仅荷载会引起杆端内力， 杆端支座位移也会引起内力，由荷载引起的弯矩称为固 端弯矩，由荷载引起的剪力称为固端剪力。这些杆端内 力可通过查表8-1获得，表中的i称为杆件的线刚度，即：