高三一轮复习排列组合

解题技巧
（一）特殊元素的“优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元 素，再考虑其它元素。 例1 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字 的三位数，其中偶数共有（ B ） A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优 先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类； 1) 0排在末尾时，有 A 2 4 个； 2) 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排 1 1 1 十位有 A 2A 3A 3 个； 由分类计数原理，共有偶数 30 个.
分步记数原理
完成一件事需要分成n个 步骤，第一步有m1种不同的 方法，第二步有m2种不同的 方法，……，第n步有mn种 不同的方法，那么完成这件 事共N=m1×m2×……×mn 有种不同的方法。 分步记数原理针对的是 “分步”问题，各步方法相 互依存，只有各步都完成才 能完成这件事。
原理
区别
3。排列与组合 排列 组合 从n个不同元素中，任取 从n个不同的元素中， 定义 m(m≤n)个不同元素按照 任取m（m≤n）个不 一定顺序排成一列，叫 同的元素并成一组， 做从n个不同元素中取出 叫做从n个不同的元素 m个不同元素的一个排列。 中取出m个不同的元 素的一个组合。 区别 与顺序有关 与顺序无关 判定 公式 看取出的两个元素互换位置是否为同一种方 法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。
考向3
涂色问题
【例1】如图，用5种不同的颜色给图中 A、 B 、 C 、 D 四个区域涂色，规定每个区 域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 求有多少种不同的涂色方法？
180 解法一（分步法）如题图分四个步骤来完成涂色这件 事需分为四步，第一步涂A区有5种涂法；第二步涂B有4 种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有3种方法(还 可以使用涂A的颜色)，根据分步计数原理共有 5×4×3×3＝180种涂色方法．
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
! ( nnm )!
C

m n
nm !m!
n( n1)( n2)( nm1) m! n!
考向一 分类加法计数原理 【例1】►(2011· 全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3 本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠 送方法共有( )．
解法二：由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色 互不相同，共有 ＝60种涂法；又D与B、C相邻、因此D 有3种涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180种涂法．
解法三（分类法）：完成涂色的方法分为两类，第一类： 2011高考导航 四个区域涂四种不同的颜色共有 ＝120种涂法； 第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不 相邻只能是A、D两区域颜色一样，将A、D看做一个区 域，共 ＝60种涂法． 由分类计数原理知共有涂法120＋60＝180(种)．
解题原则：先选后排，先分再排 (1) 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是 先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素 （位置）法“优限法”； (2) 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元 素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻 元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”； (3)某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素 , 再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插 空法”. (4) 间接法和去杂法等等.
2 含有二个 2，二个 3 共有 C4 ＝6(个)，因此满足条件的四位数共 2 有 2×4＋C4 ＝14(个)．
• (2012·陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局 者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形 (各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( ) C A．10种 B．15种 C．20种 D．30种
方法总结：
对涂色问题，有两种解法，法1是逐区图示法，注意不 相邻可同色.
法2根据用色多少分类法.
变式1 如下图，一个地区分为5个行政区，现给地图着色，要 求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4种颜色可供选择， 则不同的着色方法共有________ 种．(以数字作答) 答案：72
3.排列组合混合题的解题策略
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 [审题视点] 理．
解析 赠送一本画册，3 本集邮册，共 4 种方法；赠送 2 本画册，2
由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原
2 本集邮册共 C2 种方法，由分类计数原理知不同的赠送方法共 4 ＋ C 4 4
＝10(种)．
答案 B
考向二
分步乘法计数原理
【解析】 由题意知比赛场数至少为 3 场，最多为 5 场．分三类： ①当为 3 场时，情况为甲或乙连赢 3 场，共 2 种． ②当为 4 场时，若甲赢，则前 3 场中甲赢 2 场，最后一场甲赢，共有 C2 3＝ 3(种 )情况；同理，若乙赢也有 3 种情况．共有 6 种情况． ③当为 5 场时，前 4 场，甲、乙各赢 2 场，最后 1 场胜出的人赢，共 有 2C2 4＝ 12(种 )情况． 由上综合知，共有 20 种情况．
2016年12月28日星期三
一。复习回顾 1、知识结构
排列
基 本 原 理
排列数公式
组合
组合数公式
应 用 问 题
源自文库
2。分类记数原理，分步记数原理
分类记数原理
完成一件事可以有n类 办法，在第一类中有m1种不 同的方法，在第二类中有m2 种不同的方法，„„，在第 n类办法中有mn种不同的方 法，那么完成这件事共N= m1+m2+„„+mn有种不同的方 法。 分类记数原理针对的是 “分类”问题，其中各种方 法相互独立，用其中任何一 种方法都可完成这件事。
【例 2】 ►(2011· 北京)用数字 2,3 组成四位数， 且数字 2,3 至少都 出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．
解析 法一 用2,3组成四位数共有2×2×2×2＝ 16(个)，其中不出现2或不出现3的共2个，因此满 足条件的四位数共有16－2＝14(个)．
法二 满足条件的四位数可分为三类：第一类含有一个 2，三 个 3，共有 4 个；第二类含有三个 2，一个 3 共有 4 个；第三类