函数导数应用题

函数导数应用题

1.根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x(件)

之间近似地满足关系式

* 2

* 2

19,, 15

60

1020,

540

x x

x

p

x

x x

⎧

∈

⎪⎪-

=⎨

+

⎪∈

⎪⎩

N

N

, ≤≤

,　≤≤

(日产品废品率=

日废品量

日产量

×100％)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y=日正品赢利额-日废品亏损额）

（1）将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；

（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？

1．解：（1）由题意可知，

2

*

3

*

242

19,,

15

2(1)

5

1020,.

3180

x x

x x

x

y x p px

x

x x x

⎧-

∈

⎪⎪-

=--=⎨

⎪-∈

⎪⎩

N

N

,　≤≤

,　≤≤

（2）考虑函数

2

3

242

19,

15

()

5

1020,

3180

x x

x

x

f x

x

x x

⎧-

⎪⎪-

=⎨

⎪-

⎪⎩

,　≤≤

,　≤≤

当15359

x

-<≤时，'()0

f x<，函数()

f x在(1535,9]

-上单调减．所以当1535

x=-()

f x取得极大值，也是最大值，

又x是整数，

64

(8)

7

f=，(9)9

f=，所以当8

x=时，()

f x有最大值

64

7

．当1020

x

≤≤时，

22

5100

'()0

36060

x x

f x

-

=-=≤，所以函数()

f x在[10,20]上单调减，

所以当10

x=时，()

f x取得极大值

100

9

，也是最大值．

由于

10064

97

>，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．

答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是

100

9

千元．

2.一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.

(Ⅰ)将此枕木翻转90°（即宽度变为厚度），枕木的安全负荷会如何变化？为什么？（设翻

转前后枕木的安全负荷分别为21,y y 且翻转前后的比例系数相同都为k ）

(Ⅱ)现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度为10，问截取枕木的厚度为d 多少时，可使安全负荷y 最大？

2.解：（Ⅰ）安全负荷k l ad k y (221⋅=为正常数）翻转22

2,90l

da k y ⋅=︒后，

a

d

y y =21

， ∴当a d <<0时，21y y <安全负荷变大.

当 12

,0y y d a <<<时，安全负荷变小；

当a d =时，21y y =安全负荷不变.

（II ）如图，设截取的宽为a ，厚度为d ，则22222244,)2

(R d a R d a

=+=+即.

1002kad y =)4(10022a R a k -==)4(400

32a a R k -= （)2,0(R x ∈)0>k )3

4(40032

2R a k y --=' 令0='y 得： R a 332= 当)332,,0(R a ∈时 ,0>'y 函数y 在)33

2,0(R 上为增函数； 当)2,332(R R a ∈时 ,0>'y 函数y 在)2,3

3

2(R R 上为减函数； 当 R a 33

2=时，安全负荷y 最大。此时厚度R d 36=

答：当问截取枕木的厚度为R 3

6

时，可使安全负荷最大。 3.某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为(*)m m N ∈个单位的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的

浓度y （毫克/升）满足y=mf (x )，其中log (4),05()6

,52x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩

】，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化．．．．；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化．．．．

.