积分变换课后答案

1-11． 试证：若()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有()()()d d 0cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞=+⎰⎰其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明.证明：利用Fourier 积分的复数形式，有()()j j e e d π12t tf t f ωωτω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()()j j d 1cos sin 2a b t t ωωωωω+∞-∞⎡⎤=-+⎣⎦⎰ 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以()()()d d 11cos sin 22f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰ ()()d d 0cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞=+⎰⎰2．求下列函数的Fourier 积分：1）()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩; 2) ()0,0;e sin 2,0tt f t t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 3) ()0,11,101,010,1t t f t t t ⎧-∞<<-⎪--<<⎪=⎨<<⎪⎪<<+∞⎩分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.解：1）函数()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞+∞⎧====-⎨-∞⎩⎰⎰F122330sin 2cos 2sin sin 4(sin cos )2t t t t t t ωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎛⎫-=--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦(偶函数)f (t )的Fourier 积分为j 311()()e d ()cos d 02ππ4(sin cos )cos d 0πtf t F F t t ωωωωωωωωωωωω+∞+∞==-∞+∞-=⎰⎰⎰ 2)所给函数为连续函数，其Fourier 变换为()[]j j ω()()e d e sin 2e d 0tt t F f t f t t t t ωωτ---+∞===-∞⎰⎰F2j 2j j (12j j )(12j j )e e 1e e d [e e ]d 02j 2j 0t t t t t t t t ωωω----+--+++∞+∞-=⋅⋅=-⎰⎰ (12j j )(12j j )01e e 2j 12j j 12j j t t ωωωω+∞-+--++⎡⎤=+⎢⎥-+-++⎣⎦ ()224252j j 1121(2)j 1(2)j 256ωωωωωω⎡⎤--⎛⎫⎣⎦=+=⎪-+-+--+⎝⎭（实部为偶函数，虚数为奇函数）f (t )的Fourier 变换为()j 1()e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ ()()224252j 1cos jsin d 2π256t t ωωωωωωω⎡⎤--+∞⎣⎦=⋅--∞-+⎰ ()()()2224242245cos 2sin 5sin 2cos 11d d π256π2565cos 2sin 2d π0256t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω-+--+∞+∞=+-∞-+-∞-+-++∞=-+⎰⎰⎰这里用到奇偶函数的积分性质.3）所给函数有间断点-1，0，1且f (-t )= - f (t )是奇函数，其Fourier 变换为()[]j ()()e d 2j ()sin d 0t F f t f t t f t t t ωωω-+∞+∞===--∞⎰⎰F12j(cos 1)2j 1sin d 0t t ωωω-=-⋅=⎰（奇函数）f (t )的Fourier 积分为()()j j ()e d sin d π0π021cos sin d π0tf t F F t t ωωωωωωωωωω+∞+∞=+∞-=⎰⎰⎰1=2其中t ≠-1，0，1（在间断点0t 处，右边f (t )应以()()00002f t f t ++-代替）.3．求下列函数的Fourier 变换，并推证下列积分结果： 1）()e(0),tf t ββ-=>证明：22cos πd e ;02tt βωωβωβ-+∞=+⎰ 2）()e cos tf t t -=，证明：242πcos d e cos ;042tt t ωωωω-+∞+=+⎰ 3）sin ,π()0,πt t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，证明：2πsin ,πsin πsin 2d 010,πt t t t ωωωω⎧≤+∞⎪=⎨-⎪>⎩⎰ 证明：1）函数()e t f t β-=为连续的偶函数，其Fourier 变换为()()j e e d 2e cos d 0t t tF f t t t t βωβωω---+∞+∞⎡⎤===⎣⎦-∞⎰⎰F()2222e cos sin 22t t t t t ββωωωββωβω-=+∞=-+==++ 再由Fourier 变换得()()j 22112e d cos d 2ππ0tf t F t t ωβωωωβω+∞+∞==-∞+⎰⎰ 即 22cos πd e 02tt βωωβωβ-+∞=+⎰2）函数()e cos t f t t -=为连续的偶函数，其Fourier 变换为()j j ()e d e cos e d t t t F f t t t t ωωω---+∞+∞==-∞-∞⎰⎰j j j e e e e d 2t t t tt ω---+∞+-∞⎰ (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e d e d e d e d 200tt t t t t t t ωωωω-+----+--+++∞+∞⎧⎫=+++⎨⎬-∞-∞⎩⎭⎰⎰⎰⎰ (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e e e e 21j j 1j j 1j j 01j j 0t t t t ωωωωωωωω+--++-+++-⎧⎫+∞+∞=+++⎨⎬+--∞---∞-+-+-⎩⎭2411111221j j 1j j 1j j 1j j 4ωωωωωω⎧⎫-+=+++=⎨⎬+----+-+-+⎩⎭ 再由Fourier 变换公式得()()2j 41112()e d cos d cos d 2ππ0π04tf t F F t t ωωωωωωωωωω+∞+∞+∞+===-∞+⎰⎰⎰ 即 242πcos d e cos 042tt t ωωωω-+∞+=+⎰ 3）给出的函数为奇函数，其Fourier 变换为()()()ππj j ππed sin ed sin cos jsin d ttF f t t t t t t t t ωωωωω+∞---∞--===-⎰⎰⎰()()ππ002j sin sin d j cos 1cos 1d t t t t t t ωωω⎡⎤=-=+--⎣⎦⎰⎰ ()()2sin 1πsin 1πsin sin 2jsin j j 1010111t t ωωωπωπωπωωωωω⎛⎫+---⎛⎫=-=-= ⎪⎪+-+--⎝⎭⎝⎭ ()()()-1j 2112jsin πe d cos jsin d 2π2π1tF F t t ωωωωωωωωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤==+⎣⎦-⎰⎰F20sin ,π2sin πsin d π10,πt t t t ωωωω+∞⎧≤⎪=-=⎨->⎪⎩⎰ 故2πsin ,πsin πsin 2d 10,πt t t t ωωωω+∞⎧≤⎪=⎨-⎪>⎩⎰4.求函数()()e 0,0t f t t ββ-=>≥的Fourier 正弦积分表达式和Fourier 余弦积分表达式.解：根据Fourier 正弦积分公式，并用分部积分法，有()()002sin d sin d πf t t f ωωτττω+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰002sin d sin d πe t t βτωωτω+∞+-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()220sin cos 2sin d π0e t t βτβωωωωωβτω+-∞⎡⎤-+∞=⎢⎥+⎣⎦⎰ 2202sin d .πt ωωωβω+∞=+⎰ 根据Fourier 余弦积分公式，用分部积分法，有()()002cos d cos d πf t t f ωωτττω+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 002cos d cos d πe tt βτωωτω+∞+-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()220sin cos 2cos d π0e t t βτβωωωωωβτω+-∞⎡⎤-+∞=⎢⎥+⎣⎦⎰ 2202cos d .πt ωωωβω+∞=+⎰ 1-21．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.解：[]()j j j j 01e e()()()e d e d 0j j t t t t A F f t f t t A t A τωωωωτωωω-----+∞⎡⎤=====⎢⎥-∞-⎣⎦⎰⎰F 2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换，证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.证明：()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对，即 ()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞⎰，()()j 1e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ 如果()F ω为奇函数，即()()F F ωω-=-，则()()()()()()j j 11e d e d 2π2πt tf t F F ωωωωωω--+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰（令u ω-=）()j 1e d 2πut F u u -∞=+∞⎰ （换积分变量u 为ω）()()j 1e d 2πtF f t ωωω+∞=-=--∞⎰ 所以()f t 亦为奇函数.如果()f t 为奇函数，即()()f t f t -=-，则()()()()()j j e d e d t tF f t t f t t ωωω----+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰ （令t u -=）()j e d u f u u ω--∞=+∞⎰ （换积分变量u 为t ）()()j e d t f t t F ωω-+∞=-=--∞⎰ 所以()F ω亦为奇函数.同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.4．求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换，并推证()20012sin πd e αωαωωαω+∞-=>+⎰解：由Fourier 正弦变换公式，有()()s s F f t ω⎡⎤=⎣⎦F ()0sin f t t t ω+∞=⎰d 0sin tt t ω+∞-=⎰e d ()2sin cos 10t t t ωωωω---+∞=+e 21ωω=+ 由Fourier 正弦逆变换公式，有()120022sin ()()sin 1ss s tf t F F t ωωωωωωωω+∞+∞-===⎡⎤⎣⎦+⎰⎰F d d ππ由此，当0t α=>时，可得()()20sin ππd e 0122f αωαωωααω+∞-==>+⎰5．设()()f t F ω⎡⎤=⎣⎦F ，试证明：1）()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=； 2）()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-.证明： 在一般情况下，记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数，且分别为()f t 的实部与虚部. 因此()()()()[]j e d j cos jsin d t r i F f t t f t f t t t t ωωωω-+∞+∞⎡⎤==+-⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()()()cos sin d j sin cos d ri r i f t t f t t t f t t f t t t ωωωω+∞+∞⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()Re Im F j F ωω⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦ 其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦-∞⎰， ()a ()()()Im sin cos d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦-∞⎰ ()b1）若()f t 为t 的实值函数，即()()(),0r i f t t f f t ==.此时，()a 式和()b 式分别为()()Re cos d r F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰ ()()Im sin d r F f t t t ωω+∞⎡⎤=-⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦ 反之，若已知()()F F ωω-=，则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的偶函数；()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此，必定有()()()cos d j sin d r rF f t t t f t t t ωωω+∞+∞=--∞-∞⎰⎰亦即表明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1）获证.2）若()f t 为t 的虚值函数，即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时，()a 式和()b 式分别为()()Re sin d i F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰ ()()Im cos d iF f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦()(){}Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦()F ω=-反之，若已知()()F F ωω-=-，则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的奇函数；()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此，必定有()()()sin d j cos d i iF f t t t f t t t ωωω+∞+∞==+-∞-∞⎰⎰， 亦即表明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2）获证.6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ωωω=，求该函数()f t .解：sin ()F ωωω=为连续的偶函数，由公式有()()j π1sin e d cos d 2π0tf t F t ωωωωωωω+∞+∞==-∞⎰⎰()()sin 1sin 111d d 2π02π0t t ωωωωωω+∞++∞-=+⎰⎰但由于当0a >时sin sin sin πd d()d 0002a a t a t t ωωωωωω+∞+∞+∞===⎰⎰⎰ 当0a <时sin sin()πd d 002a a ωωωωωω+∞+∞-=-=-⎰⎰ 当0a =时，sin d 0,0a ωωω+∞=⎰所以得 ()11211401t f t t t ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩，，，7．已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦，求该函数()f t .解：由函数()()()00δd t t g t t g t -=，易知()()()()j j j 001e d 2π11πδe d πδe d 2π2πtt t f t F ωωωωωωωωωωω+∞=-∞+∞+∞=++--∞-∞⎰⎰⎰j j 00011e e cos 22t t t ωωωωωωω=-==+=8．求符号函数（又称正负号函数）()1,0sgn 1,0t t t -<⎧=⎨>⎩的Fourier 变换.解：容易看出()()()sgn t u t u t =--，而1[()]()πδ().j u t F ωωω=-+F 9．求函数()()()1δδδδ222a a t a t a t f t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的Fourier 变换.解 ：()()()()j 1δδδδe d 222t a a F f t t a t a t t ωωω+∞--∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰F j j j j 1e e e e 222t t t t a a t a t a t t ωωωω----⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥=-==-=⎢⎥⎣⎦cos cos 2aa ωω=+.10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知()()000sin j πδδt ωωωωω⎡⎤=+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦F 由()1cos sin sin 22f t t t t ==有()()()πjδ2δ22f t ωω⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦F 11.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.解:已知()0j 0e 2πδtωωω⎡⎤=-⎣⎦F ,由()()3j j 33j j -j 3j e e j sin e 3e 3e e 2j 8t t t t t tf t t --⎛⎫-===-+- ⎪⎝⎭即得()()()()()πjδ33δ13δ1δ34f t ωωωω⎡⎤⎡⎤=---++-+⎣⎦⎣⎦F12.求函数()πsin 53t t f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的Fourier 变换.解: 由于()π1sin 5sin532f t t t t ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭故()()()()()πjδ5δ5δ5δ522f t ωωωω⎤⎡⎤⎡⎤=+--+++-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F .14.证明：若()()j e t F ϕω⎡⎤=⎣⎦F ，其中()t ϕ为一实数，则 ()()()1cos 2t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦F()()()1sin 2j t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦F其中()F ω-为()F ω的共轭函数.证明：因为 ()()j j ee d t t F t ϕωω+∞--∞=⋅⎰()()()j j j j ee d ee d t t tt F t t ϕϕωωω+∞+∞---∞-∞-==⋅⎰⎰()()()()()()j j j j 1e eed cose d cos 22t t tt F F t t t t ϕϕωωωωϕϕ-+∞+∞---∞-∞+⎡⎤⎡⎤+-===⎣⎦⎣⎦⎰⎰F 同理可证另一等式.17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）.解 ：02π,T ω=()1,00,ht t T f t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他()00111d d 2TTh C f t t ht t TTT ===⎰⎰()()000j j j 02011ed e d e d TTTn tn t n t n ht h C F n f t t t t t TTT Tωωωω---===⋅=⎰⎰⎰00j j 211j e e d j j 2πTn t n t Thht T n n n ωωωω--⎡⎤=⋅+=⎢⎥-⎣⎦⎰()()()()()000j j 2πδ2πδπδδ.22πn n n n h h hF n h n n n ωωωωωωω+∞+∞=-∞=-∞≠≠=+⋅-=+⋅-∑∑1－31．若1122()[()],()[()],F f t F f t ωω== F F ,αβ是常数，证明（线性性质）：1212()()()()f t f t F F αβαωβω+=+⎡⎤⎣⎦F -11212()()()()F F f t f t αωβωαβ+=+⎡⎤⎣⎦F分析：根据Fourier 变换的定义很容易证明. 证明：根据Fourier 变换与逆变换的公式分别有1212()()()()tf t f t f t f t t ωαβαβ+∞--∞+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰F j e d12()()tt f t t f t t ωωαβ+∞+∞---∞-∞=+⎰⎰j j ed e d12()()F F αωβω=+-112121()()()()2tF F F F ωαωβωαωβωω+∞-∞+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰Fj e d π1211()()22t tF F ωωαωωβωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰j j e d e d ππ12()()f t f t αβ=+6．若()[()]F f t ω= F ，证明（翻转性质）：()[()]F f t ω-=- F 分析：根据Fourier 变换的定义，再进行变量代换即可证明. 证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞-=-⎰F j e d （令t u -=）()()u f u u ω+∞---∞=⎰j e d（换u 为t ）()()tf t t ω+∞---∞=⎰j ed()F ω=-9．设函数()1,10,1t f t t ⎧<⎪=⎨>⎪⎩，利用对称性质，证明：π ,1sin .0,1t t ωω⎧<⎪⎡⎤=⎨⎢⎥>⎣⎦⎪⎩F 证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞=⎰F j e d 11t t ω--=⎰j e d1cos t t ω=⎰d 1sin tt ωω=⎰d由对称性质：()[()]f t F ω= F ，则()[()]2,F t f ω=-F π有()sin [()]2t F t f t ω⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦F F π (),1sin 0,1t f t ωωω⎧<⎪⎡⎤=-=⎨⎢⎥>⎣⎦⎪⎩F π π 12．利用能量积分()()2212f t t F ωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰⎰d d π，求下列积分的值： 1）21cos xx x +∞-∞-⎰d ； 2）42sin x x x +∞-∞⎰d ；3）()2211x x +∞-∞+⎰d ；4）()2221x x x +∞-∞+⎰d .解：1）2222sin 1cos 2xxx x x x +∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d（令2xt =）2sin t t t +∞-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰d 21sin 2t t ω+∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰F d π 12112ω-=⎰πd π=π 2）()22422sin 1cos sin x x xx x x x+∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d 22sin sin cos x x x x x x x +∞+∞-∞-∞⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰d d 21sin 2t t t +∞-∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰πd22=πππ-=3）()22221111x t t x +∞+∞-∞-∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭+⎰⎰d d 221121t ω+∞-∞⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦⎰F d π，其中221111tt t t ω+∞--∞⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦⎰F j e d 20cos 21t t t ω+∞=+⎰d 22ωω--==πe πe 从而()2221121x x ωω+∞+∞--∞-∞=+⎰⎰d πe d π2201ωω+∞-=⎰πe d π20122ω-+∞=⋅=-ππe 4）()()2222221111x x x x x x +∞+∞-∞-∞+-=++⎰⎰d d ()2221111x x x x +∞+∞-∞-∞=-++⎰⎰d d arctan 2x+∞-∞=-π2222=+-=ππππ1－41.证明下列各式： 2）()1f t ()()()()()23123f t f t f t f t f t ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦；6）()()()()()()121212d dd;d d d f t f t f tf t f t f t tt t⎡⎤==⎣⎦ 10)()()()d t f t u t f ττ-∞=⎰分析：根据卷积的定义证明. 证明： 2) ()()()123f t f t f t ⎡⎤⎣⎦()()()123d f f t f t ττττ+∞-∞⎡⎤=--⎣⎦⎰()()()132d f f u f t u du τττ+∞+∞-∞-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()132d d f f u f t u u τττ+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰()()()123d d f f t u f u uτττ+∞+∞-∞-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()123d f t u f t u f u u +∞-∞⎡⎤=--⎣⎦⎰()()()123f t f t f t ⎡⎤=⎣⎦6）()()()()1212d d d d d f t f t f f t tt τττ+∞-∞⎡⎤⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰()()()()1212ddd d d f f t f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=⋅-=⎣⎦⎰, ()()()()1212d d d d d f t f t f t f t t τττ+∞-∞⎡⎤⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ ()()()()1212d d d d d f t f f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.10) ()()()()d f t u t f u t τττ+∞-∞=-⎰()1,0,t u t t τττ⎛⎫⎧<⎪-= ⎪⎨ ⎪>⎪⎩⎝⎭()d t f ττ-∞=⎰. 2．若()()()()12e ,sin t f t u t f t tu t α-==，求()()12f t f t .注意：不能随意调换()1f t 和()2f t 的位置.解：由()()1e ,0e 0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩，()()2sin ,0sin 0,0t t f t tu t t >⎧==⎨<⎩， 所以 ()()()()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞=-⎰要确定()()210f f t ττ-≠的区间，采用解不等式组的方法.因为()()210,0;0,0f t f t ττττ>≠->-≠.即必须满足 00t ττ>⎧⎨->⎩, 即0t ττ>⎧⎨<⎩, 因此()()()()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞=-⎰()0sin ed t t ατττ--=⎰e sin e d t t αατττ-=⎰（分部积分法）()2e sin cos e 10ttατααττα-⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦ ()22e sin cos 1e11tαταατταα-⎡⎤-=+⎢⎥++⎣⎦ 2sin cos e 1tααττα--+=+ 4 .若()()()()1122,F f t F f t ωω⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F ，证明:()()()()11221*2πF f t t F f ωω⎡⎤⋅=⎣⎦F证明:()()()()121211d 2π2πF F F u F u u ωωω+∞-∞=⋅-⎰()()j 211e d d 2πutF u f t t u ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 211e d d 2πut F u f t t u ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 211e d d 2πutF u f t u t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()j 121e d d 2πut f t F u u t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j j 121e e d d 2πst tf t F s s t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()()j 1212e d t f t f t t f t f t ω+∞--∞⎡⎤=⋅⋅=⋅⎣⎦⎰F5.求下列函数的Fourier 变换： 1）()()0sin f t t u t ω=⋅； 2）()()0e sin t f t t u t βω-=⋅； 5）()()0j 0e t f t u t t ω=-；解: 1）已知()()1πδj u t ωω⎡⎤=+⎣⎦F ,又 ()()()()()00j j 01sin e e 2jtt f t t u t u t u t ωωω-=⋅=-. 由位移性质有()()()()()0000111πδπδ2j j j f t ωωωωωωωω⎛⎫⎡⎤=-+-+- ⎪⎣⎦ ⎪-+⎝⎭F()()000220πδδ2j ωωωωωωω⎡⎤=--+-⎣⎦-. 2）由Fourier 变换的定义，有()()j 00e sin e sin e d t t tt u t t u t t ββωωω+∞----∞⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎰F ()j 00sin ed tt t βωω+∞-+=⎰()()()j 000220ej sin cos 0j tt t βωβωωωωβωω-+⎡⎤-+-+∞⎣⎦=++()22j ωβωω=++5）利用位移性质及()u t 的Fourier 变换，有()()0j 0e t u t t u t ω-⎡⎤⎡⎤-=⎣⎦⎣⎦F F ()0j 1e πδj t ωωω-⎛⎫=+⎪⎝⎭再由象函数的位移性质，有()()()()000j j 0001e e πδj t tu t t ωωωωωωω--⎡⎤⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦F 7．已知某信号的相关函数()21e 4a R ττ-=，求它的能量谱密度()S ω，其中0a >.解 由定义知()()j e d S R ωτωττ+∞--∞=⎰2j 1e e d 4a τωττ+∞---∞=⎰ 02j 2j 011e e d e e d 44a a τωττωτττ+∞----∞=+⎰⎰ ()()()2j 2j 001e 1e 42j 42j a a a a ωτωτωω--++∞=+--∞-+2211142j 2j 4aa a a ωωω⎛⎫=+= ⎪-++⎝⎭ 9．求函数()()()e ,0t f t u t αα-=>的能量谱密度. 解: 因为()()e ,0e0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩,()()()()e,e0,t t t f t u t t ατατττττ-+-+⎧>-⎪+=+=⎨<-⎪⎩当0τ>时，()()0f t f t τ+≠的区间为()0,+∞，所以()()()()d e ed t t R f t f t t t αταττ+∞+∞-+--∞=+=⎰⎰22011eed ee e 22tt t αταατααταα+∞-----+∞===--⎰当0τ<时，()()0f t f t τ+≠的区间为(),τ-+∞，所以()()()d R f t f t t ττ+∞-∞=+⎰()e ed t t t ατατ+∞-+--=⎰2eed tt ατατ+∞---=⎰21e e2t ατατα--+∞-=-21e e 2ατατα-=1e 2ατα= 因此，()1e2R αττα-=，现在可以求得()f t 的能量谱密度，即 ()()j ed S R ωτωττ+∞--∞=⎰j 1e e d 2ατωττα+∞---∞=⎰()()0j j 01e d e d 2αωταωτττα+∞--+-∞⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()j j 0111e e 2j j 0αωταωτααωαω--+⎡⎤+∞=+⎢⎥--∞-+⎣⎦1112j j ααωαω⎡⎤=+⎢⎥-+⎣⎦221αω=+ 1－51．求微分方程()()(),()x t x t t t δ'+=-∞<<+∞的解. 分析：求解微分、积分方程的步骤：1）对微分、积分方程取Fourier 变换得象函数的代数方程； 2）解代数方程得象函数；3）取Fourier 逆变换得象原函数（方程的解）.解：设()(),x t X ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，得 ()()j 1.X X ωωω+= 即()1.1X j ωω=+其逆变换为()0,0.e ,0tt x t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 4．求解下列积分方程： 1）()()()222210;y a b t b t aτττ+∞-∞=<<+-+⎰d2）()22t t y τττ+∞----∞=⎰e d .解：1）利用卷积定理可以求解此类积分方程.显然，方程的左端是未知函数()y t 与221t a+的卷积，即()221y t t a+.设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，有()222211y t t a t b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥*+⎢⎥⎣⎦⎣+⎦F F即()222211y t t a t b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎣⎦⎢+⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+F F F 易知：22cos 2tt βωωβωβ+∞-=+⎰πd e ，有 ()222211t tY t t t a t bωωω+∞+∞---∞-∞⋅=++⎰⎰j j e d e d 即()222200cos cos 22t t Y t t t a t bωωω+∞+∞⋅=++⎰⎰d d 所以()()22b b a a a b Y b aωωωω----==πee πe由上可知222201cos π2d e a t t t a t a a ωω+∞-⎡⎤=⎢⎦=⎥++⎣⎰F ，()()-1b a a y t e b ω--⎥=⎡⎤⎢⎣⎦F()-1-b a a b a b b a ω--=⋅-⎡⎤⎢⎥⎣⎦F πe π()()22--a b a b t b a =⎡⎤+⎣⎦π.2）设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，同理可得()22e t t y t --⎤⎡⎤=⎥⎣⎦⎥⎦F F利用钟形脉冲函数的Fourier变换224e et A ωββ--⎡⎤=⎣⎦F 及由Fourier 变换的定义可求得：222e tβββω-⎡⎤=⎣⎦+F ，从而 ()22e t t y t --⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎥⎣⎦⎣⎦⎥⎦F F F即()()2222222121Y ωωωωω--==++πe πe()22222ωωω--=-πeπj e从而()()222-1-122y t ωωω--⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦πe πj e F F ， 其中，记()22ef t ω-⎡⎤=⎣⎦F ，则()22t f t -=，上式中第二项可利用微分性质()()()()2222f t f t ωωω-''⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F j j e，则()()2222-1222t f t t ωω--⎡⎤⎛⎫''== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭F d j ed 222t-= 因此()22222t t y t --=-π22221t t -⎫=-⎪⎭e .5.求下列微分方程的解()x t ：()()()()d ax t b x f t ch t τττ+∞-∞'+-=⎰其中()(),f t h t 为已知函数，,,a b c 均为已知常数.解：设()()()()()(),,.f t F h t H x t X ωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦F F F 对方程两边取Fourier 变换，可得()()()()j a X bX F cH ωωωωω+= 即()()(),j cH X a bF ωωωω=+从而()()()()-1.12tcH X a bF x t ωωωωωω+∞-∞⎡⎤==⎣⎦+⎰Fj πe d j 2－11．求下列函数的Laplace 变换，并给出其收敛域，再用查表的方法来验证结果.1)()sin 2tf t =.分析：用Laplace 变换的定义解题.解： j j 22001sin sin d d 222j e e e st s t s t t t t t ⎛⎫⎛⎫+∞+∞--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭-⎰⎰L ()21112Re()0j j 2j 4122s s s s ⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦>. 2)()2e t f t -=.解：()()d d Re()e e eett sts tt t s s >-2222012+∞+∞----+⎡⎤===⎣⎦+⎰⎰L . 3)()2f t t =. 解：2220000112e d d(e )2e d e st stst st t t t t s s t tt -+∞+∞+∞--+∞-⎡⎤⎡⎤==-=--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰L ∣()022300222d(e )e e d Re()0st st st t t t s sss+∞+∞--+∞-⎡⎤=-=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∣ >.4)()sin cos f t t t =. 解：[]0sin cos sin cos e d st t t t t t +∞-=⎰L01sin 2e d 2stt t +∞-=⎰22121244s s =⋅=++. 7)()2cos f t t =.解 ：22001cos 2cos cos e d e d 2ststt t t t t +∞+∞--+⎡⎤==⎣⎦⎰⎰L ()()2j 2j 001111cos 2e d e e d 2224s t s t st t t t s s +∞+∞--+-⎡⎤=+=++⎣⎦⎰⎰ ()2211112242j 2j 4s s s s s s ⎡⎤+=++=⎢⎥-++⎣⎦. 2．求下列函数的Laplace 变换：1)()3,021,2 4.0,4t f t t t ⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪≥⎩解： ()()24002d 3d d e e e stststf t f t t t t +∞---⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰L()∣∣24240231134.e e e e st st s ss s s----=-+=-+2)()π3,2.πcos ,2t f t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩解：()()π2π02e d 3e d cos e d stst stf t f t t t t t +∞+∞---⎡⎤==+⎣⎦⎰⎰⎰L ()()()∣∣j j πj -j π22ππ0223e e 31e e d 122j j e e e s t s tt tsst st t s s s s --++∞+∞---⎛⎫+⎛⎫ ⎪=-+=-++ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎰ ()()()()ππj j πππ222222313111e e Re()02j j 1e e e s s s ss s s s s s s -+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+-=--> ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭3) ()()2e 5δt f t t =+解：()()()()220005δe d d 5δe d e et s tst st f t t t t t t +∞+∞+∞---⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰L()0115e 5Re()222st t s s s -==+=+>--∣. 4)()()()cos δsin f t t t t u t =⋅-⋅ 解：()()()()()0δcos sin ed δcose d sin e d stst st f t t t u t t t t t t t t +∞+∞+∞---⎡⎤=-=-⎣⎦⎰⎰⎰L()()()∣∣∣j j j 000011cos e e d 12j 2j j j e e ees tj s t ttst st t t t s s --++∞+∞+∞---=⎡⎤⎢⎥=--=-+-+⎢⎥⎣⎦⎰ ()222111111Re()2j j j 11s s s s s s ⎛⎫=---=-= ⎪+-++⎝⎭>0. 2－21．求下列函数的Laplace 变换式： 1）()232f t t t =++.解:由[]2132!1232132m m m t s s s s st t +⎡⎤⎡⎤==++=++⎣⎦⎣⎦及有L L L .2)()1e t f t t =-. 解 ：[]()()1111,e e t tt t t s ss s --⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎣⎦222+1-1L L,L 1-.3)()()21e t f t t =-. 解：()22-1e e 2e e t t t tt t t ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦L L ()()()232322145.-1-1-1s s s s s s -+=-+=-1 5）()cos f t t at =. 解: 由微分性质有:[][]()2222222d d cos cos d d s s a t at at s s s a s a -⎛⎫=-=-= ⎪+⎝⎭+L L 6) ()5sin23cos2f t t t =- 解:已知[][]2222sin ,cos st t s s ωωωωω==++L L ,则[]522222103sin 23cos 253444st t s s s --=-=+++L 8)()4e cos4t f t t -=. 解: 由[]2cos 416t s +s=L 及位移性质有 42cos 4416e ts t s -⎡⎤=⎣⎦++4（＋）L . 3．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，证明（象函数的微分性质）:()()()()()1,Re nn nF s t f t s c ⎡⎤=->⎣⎦L特别地，()()tf t F s '⎡⎤=-⎣⎦L ，或()()11f t F s t-'⎡⎤=-⎣⎦L ，并利用此结论计算下列各式：1）()3e sin2t f t t t -=，求()F s . 解：()()()322sin 224ett s s ωωω-===++22+3+3L,()()()()()32222343d 2sin 2d 444e ts s t st s s s -⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦222+3+3+3L2)()30e sin 2d tt f t t t t -=⎰，求()F s .解：()0332112sin 2d sin 234e e t t t t t t ss s --⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦++⎰L L ,()()()02322222312132sin 2d 3434e t t s s t t t s s s s -'⎛⎫++ ⎪⎡⎤=-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎡⎤⎡⎤ ⎪++++⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎰L 3)()1ln1s F s s +=-，求()f t . 解:()1ln,1s F s s +=-()(),F s f t ⎡⎤=⎣⎦令-1L()()()()()()'211111ee ttF s tf t tf t s s s -=-=-=-=-=--+-2L L L故 ()()-12sinh tF s f t t⎡⎤==⎣⎦L. 4．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，证明（象函数的积分性质）:()()d s f t F s s t ∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L ，或()()1d s f t t F s s ∞-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L 并利用此结论计算下列各式：1)()sin ktf t t=，求()F s . 解: ()2222sin kkkt s s kωωω===++L , 222sin 1d d 1s skt k s s t s kk s k ∞∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰L πarctan arctan 2ss s k k∞==- 2)()3e sin 2t tf t t-=，求()F s .解:()()322e sin 234t t s -=++L ,()32e sin 22π3d arctan 2234t s t s s t s -∞⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦⎰L 2－31．设()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为c ），且()()()()1212,f t f t F s F s ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦L L ，则乘积()()12f t f t ⋅的Laplace 变换一定存在，且()()()()j 1122j 1d 2πj F q F s q q f t f t ββ+∞-∞⎡⎤=-⎣⋅⎦⎰L其中(),Re .c s c ββ>>+证明： 已知()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件且其增长指数均为c ，由Laplace 变换存在定理知()()12f t f t ⋅也满足Laplace 变换存在定理的条件且()()()()1212e e ct ct f t f t f t f t M M ⋅=⋅≤⋅22e ,0ct M t =≤<+∞ 表明()()12f t f t ⋅的增长指数为2c .因此()()12f t f t ⋅的Laplace 变换()()()120e d st F sf t f t t +∞-=⎰在半平面()Re 2s c >上一定存在，且右端积分在()()Re s c c ββ≥+>上绝对且一致收敛，并且在()Re 2s c >的半平面，()F s 为解析函数.根据()()11F f t s ⎡⎤=⎣⎦L ，则()1f t 的Laplace 反演积分公式为()()11j j 1e d 2πjqtq f F q t ββ+∞-∞=⎰ 从而()()()()12120e d stf t f t f t f t t +∞-⎡⎤⎣⋅=⎦⎰L ()()j 12j e d 1e d 2πj q s t tF q q f t t ββ+∞+--∞∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰（交换积分次序）()()()1j 0j 2e 12πj d d s q t F q f t t q ββ++∞-∞∞--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 12j 1d 2πjF q F s q q ββ+∞-∞=-⎰ 2．求下列函数的Laplace 逆变换（象原函数）；并用另一种方法加以验证. 1）()221F s s a=+. 2）()()()sF s s a s b =--.3）()()()2s cF s s a s b +=++.10）()()()2214sF s ss =++.解： 1）12211sin at s a a -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦L. 2）()()1sa b s a s b a b s a s b ⎛⎫=- ⎪-----⎝⎭, ()()()11e e .at bt s a b s a s b a b-⎡⎤=-⎢⎥---⎣⎦L3）()()()()()222111s cc a b c F s s a s b b a s a s b b a s b +--⎡⎤==-+⋅⎢⎥++-⎣⎦++-+, 故()()()()1222e at bts c c a b c a c e t b a s a s b b a a b ---⎡⎤⎡⎤+---⎢⎥⎢⎥=++-++--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L10）由()()()2222131414ss s s s s F s s ⎛⎫=⎪++++⎝⎭＝－，有 ()()()11cos cos 23f t F s t t -⎡⎤==-⎣⎦L.3．求下列函数的Laplace 逆变换： 1）()()2214F s s=+.6）()221ln s F s s -=.13）()221e sF s s -+=.解 ： 1）用留数计算法，由于122j,2j s s ==-均为()F s 的二级极点，所以()()()()()2112211e 2j 2j Res k s sts k F s F s s s f t --==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣-⎦+∑LL()()2222j j e e 2j 2d d lim lim d d j st s s t s s s s s →→-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎦⎣-⎣⎦+⎥ ()()()()()()2j 22244j22j 22j e e e e 2j 2j 2j 2l j im lim s s st st st st s s t t s s s s →→-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++---++⎢⎥⎢⎣⎦⎣-⎦-⎥2j 2j 2j 2j 8j 8j e e e e 1625616256t t t t t t --=---+ 2j 2j 2j 2j e e 1e e sin 2cos 282162j 168t t t t t t t t --+-=-+=-6）令()()()22212ln ,ln 1s F s F s s s s -'==-, ()()()()112e e 211t t F s tf t s s s-'=+-=+-=-+-L L , ()()21212ln 1cosh s f t t s t -⎛⎫-==- ⎪⎝⎭L. 13）2211122221e 1e s s ss s s -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LLL ()()()21,222,02t t t t u t t t ⎧->⎪=+--=⎨≤<⎪⎩.2－41.求下列卷积：3）mt n t （,m n 为正整数）. 解：mt ()()()0d 1C d nttnknm mk n k k n k t t t ττττττ-==⋅-=-∑⎰⎰()()001C d 1d C nnt tkkk n km km k k n knn k k tt ττττ-++-===-=-⋅∑∑⎰⎰ ()()()11001C 1C 11m k n k nnkk k m n k n nk k t t t m k m k ++-++==⋅=-⋅=-++++∑∑)1!!1!m n m n t m n ++=++.注:本小题可先用卷积定理求出mt n t 的Laplace 变换,再由Laplace 逆变换求出卷积6)sin kt ()sin 0kt k ≠.解 ：sin kt ()()001sin sin sin d cos cos 2d 2ttkt k k t kt k kt τττττ⎡⎤=-=---⎣⎦⎰⎰()()011cos cos 2d 224t t kt k t t k k ττ=-+--⎰()0sin 211sin cos cos 2422tt k ktt kt t kt kkτ-=-+=-+. 7) t sinh t解 ：t sinh sinh t t = t ()0sinh d tt τττ=⋅-⎰()()0011e d e d 22t t t t ττττττ-=---⎰⎰ ()()()000111d(e )d(e )2e e sinh 2220t t t t t t t t t ττττττ---⎡⎤=-+-=-++-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 9)()u t a - ()()0f t a ≥ .解：()u t a - ()()()()00,d d ,tt a t a f t u a f t f t t a τττττ⎧<⎪=-⋅-=⎨-≥⎪⎩⎰⎰.10) ()δt a - ()()0f t a ≥. 解： 当t a <,()δt a - ()0f t =. 当t a ≥,()δt a - ()()()0δd tf t a f t τττ=-⋅-⎰()()()()δd aa f t f t f t a τττττ+∞-∞==-⋅-=-=-⎰.2.设()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，利用卷积定理，证明:()()0d t F s f t t s⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L 证明：()()()()()1f t u t f t u t F s s⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅=⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L L ， ()()()()()()000d d d t t tf t u t u f t f t f t t τττττ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰L L L L 3.利用卷积定理，证明:()2221sin 2s a at a s t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥+⎣⎦L.。