第七章第五节湍流谱理论

vv v v v v v v i k ⋅r Bij ( r ) = u i ( x )u j ( r + x ) = ∫∫∫ e Φ ij ( k ) dk
v Φ ij (k ) =
1 (2π )
2
3
∫∫∫ e
vv − i k ⋅r
v v Bij (r )dr
v v v Bij (0) = u i ( x ) = ∫∫∫ Φ ij (k )dk
Bij ,k
1 (u 2 ) 3 / 2 2 2 ′ ≡ ui u j u k = {(k − h − 2 g )ri r j rk + hr rk δ ij + gr (r j δ ik + ri δ jk )} 3 r
§7．5湍流谱理论
一、概述 二、均匀各向同性湍流谱理论 三、准平衡区湍流谱特征 四、实验个例 五、总结和作业
2 2
18
f(r)用E(k) 表示
上式先对r积分，化简为，
v sin( kr ) cos( kr ) u f (r ) = 2∫ [ − ]E ( k ) dk 3 2 0 (kr ) (kr )
2 ∞
19
E(k)用f(r)来表示
将E(k)用f(r)来表示，
v 1 E (k ) = 2πk Φ ii (k ) =
14
谱密度函数E(k)的说明
可见，在各向同性湍流中，由于湍流能量在 三维波数空间中分布的球对称性．可将三维空 间简化为以球面半径k为自变量的一维空间，则 E(k) 可理解为在这一维波数空间上对湍流能量 的贡献密度。它描述了湍流能量在各个波数 上，也即在各个长度尺度上的分布情况。故称 函数 E(k) 为能谱函数，也像纵向二元速度关联 函数f(r)一样。也是湍流统计理论中的一个主要 研究对象。 E(k) 是速度起伏能量在波数空间的 三维谱密度。 Φii(k) 表示波数空间内单位体积的能量， 15 E(k)为单位波数的能量。
复 习
相关，各向同性 零阶矩，一阶矩，二阶矩，三阶矩
v Ai = A1 r
v Bij (r ) = B1 (ri ri )ri r j + B2 (ri ri )δ i j
Bi , j (r ) = [ B LL (r ) − B NN (r )]
ri r j r
2
+ B NN (r )δ ij
′ Bij ,k ≡ u i u j u k = A2 ri r j rk + B2 rk δ ij + C 2 r j δ ik + D2Baidu Nhomakorabeari δ jk
21
E(k)与f(r)的关系
互为一对Fourier变换 的两个关系式，
sin kr E (k ) = ∫0 r k f (r )( kr − cos kr )dr π v ∞ sin( kr ) cos( kr ) 2 u f (r ) = 2∫ [ − ]E ( k ) dk 3 2 0 (kr ) (kr )
2、 E(k)与二元相关矩B(r)关系
根据(6.5.20)
Bij (r ) = 4π ∫
∞ 0
v 2 sin( kr ) Φ ij ( k )k dk kr
E (k ) 1 Φ ii ( k ) = 2 4πk 2
Bii ( r ) = 4π ∫
∞
∞
0
v 2 sin( kr ) Φ ii (k )k dk kr
20
化简上式
对上式进行化简，
∞ k sin kr k sin kr 3 = )] r f (r ) − ∫ r 3 f (r )d ( 0 r r 0 ∞
= −∫
∞
0
∞ sin kr k sin kr 2 2 r f (r )d ( ) = ∫ r k f (r )( − cos kr ) dr 0 r kr 3
2 2
u2
∞
22
4、f (r)和g(r)的Fourier变换
设 f (r) 和 g(r) 的 Fourier 变换分别为 E1(k) 和 E2(k),
1 ∞ ik1r1 u f ( r1 ) = ∫ e E1 (k1 ) dk1 2 −∞ u 2 ∞ −ik1r1 E1 (k1 ) = ∫−∞ e f (r1 )dr1 π
2
一、概述
湍流是由大小不同的湍涡组成的，这些大大 小小的湍涡之间的关系是湍流的重要因素。 空间某一点同一方向速度起伏之间的相关反 映湍流强度或湍流能量； 空间某一点不同方向的速度起伏之间的相关 反映Reynolds应力或湍流动量通量；
u i u i = 3u
2
τ ij = u i u j
3
概
述
不同空间点或不同时间点之间的速度相关， 则反映湍涡空间尺度大小和时间尺度大小。例 如小于两点间距离的小湍涡，将使两点速度有 较大的差别，即速度相关小；而大于两点间距 离的大湍涡，将使两点间的速度比较一致（因 为处于同一个湍涡中），即两点的速度相关较 大。
8
二、均匀各向同性湍流谱理论
1、湍流能量谱密度E(k) 2、 E(k)与二元相关矩B(r)的关系 3、 E(k)与二元相关系数f(r)的关系 4、 f (r)和g(r)的Fourier变换E1(k)和E2(k) 5、 E1(k)、 E2(k)、E(k)之间的关系 6、湍流能谱方程
9
1、湍流能量谱密度E(k)
v sin( kr ) v 1 ∞ sin( kr ) Φ ii (k ) = Bii ( r ) r 2 dr Bii (r ) = 2 ∫ E ( k )dk 2 ∫0 kr 2π 0 kr v 1 ∞ 2 E (k ) = 2πk Φ ii (k ) = ∫ kr sin krBii (r )dr
∂E 2 (k1 ) 1 ] E 2 (k1 ) = [ E1 (k1 ) − k1 2 ∂k1
1 2 ∂2 1 ∂E ( k ) E ( k 1 ) = k1 E1 (k1 ) − k1 1 1 2 ∂k1 2 2 ∂k1
25
E1(k)、 E2(k)、E (k)之间的关系
应用常数变易法解上面的微分方程得到
2
2 ∞ ∞
1 ∞ ik1r1 u g ( r1 ) = ∫ e E 2 ( k1 ) dk1 2 −∞ u 2 ∞ −ik1r1 E2 (k1 ) = ∫ e g (r1 )dr1 π −∞
2
u = ∫ E1 (k1 )dk1 = ∫ E 2 (k1 )dk1
0 0
u = u1
2
2
1 2 = u ii 3
v v v ui ( x )u j ( x + r )
ui (t )u j (τ + t )
4
概
述:欧拉时间相关和 拉格朗日时间相关
RL(τ)
假定湍流是准定常的，则这个统计平均值应 只是两时刻的间隔τ的偶函数。定义无量纲的 欧拉时间关联系数 RE(τ) 和拉格朗日时间相关
u 2 (t )u 2 (t + τ ) u2
由相关矩和谱之间的变换及连续性方程，有
vv v v v v v v Bij ( r ) = ui ( x )u j ( r + x ) = ∫∫∫ e ik ⋅r Φ ij ( k ) dk
vv vv v v v v ∂ ∂ v ik ⋅r ik ⋅r Bij (r ) = ∫∫∫ e Φ ij (k )dk = ∫∫∫ik j e Φ ij (k )dk = 0 ∂r j ∂r j v k j Φ ij (k ) = 0
称性。如让它在半径为k的球面S(k)上积分
E (k ) 1 Φ ii (k )dS (k ) = ∫∫ dS (k ) = E (k ) 2 ∫∫) 2 S (k S ( k ) 4πk
可见E(k)就代表在三维波数空间中，在 半径为k的球面上的能量密度的总和。
13
湍流总能量
湍流总能量为
v 1 E (k ) v ∫∫∫ Φ ii (k )dk = ∫∫∫ 4πk 2 dk 2 E (k ) 2 k sin ϕ sin θdϕdθdk = ∫∫∫ 2 4πk 1 2 = ∫∫∫ E (k )dk = uii 2
RE (τ ) =
u1 (t )u1 (t + τ ) u
2
RL (τ ) =
这些相关可以反映湍流的结构或尺度，但并 不能直接估计出湍涡能量的大小。
5
概述：湍涡的能量
某个大小的湍涡有自己的能量 ：
E ( k ), E ( n), E (ω )
k = 2π / λ
n = u /λ
ω = 2πn
6
概述：湍涡的能量
23
5 E1(k)、 E2(k)、E(k)之间的关系
由 f(r) 与 g（r） 之间的关系能够得到 E1(k) 和E2(k)之间的关系:
∂E 2 (k1 ) 1 E 2 (k1 ) = [ E1 (k1 ) − k1 ] ∂k1 2
1 ∞ Bi ,i (r1 ) = u [ f ( x1 ) + 2 g ( x1 )] = ∫ [ E1 (k1 ) + 2 E 2 (k1 )]e ik1r1 dk1 2 −∞
湍谱密度E(k)，总的湍流能量：
3u = ∫ E (k )dk
2 0 ∞
u = u1
2
2
1 2 = u ii 3
u = ∫ E (n)dn = ∫ E (ω )dω
2 0 0
∞
∞
7
概述：相关矩和谱
相关矩Bij和能谱Φij张量之间的变换：
vv v v v u i ( x ) = ∫∫∫ e ik ⋅x dZ i ( k )
π
0
16
E(k)和Bii(k)
E(k)和Bii(k)互为Fourier正弦变换 ：
Bii (r ) = 2 ∫
E (k ) =
∞
0
sin( kr ) v E (k )dk kr
∫ π
1
∞
0
kr sin krBii ( r )dr
17
3、 E(k)与f(r)的关系
先将f(r)用E(k)来表示。根据(7.3.10)得，
u 2 r ∂f r ∂f 2 Bi , j (r ) = 2 [− ri r j + ( f + )r δ ij ] 2 ∂r 2 ∂r r
∂ 3 r Bi , i = u [r f (r )] ∂r 1 r 2 2 u f (r ) = 3 ∫ r Bi ,i (r ) dr r 0 v ∞ sin( kr ) 2 r 2 2 u f ( r ) = 3 ∫ r dr ∫ E (k )dk 0 0 kr r
10
均匀各向同性能谱张量Φij
在均匀各向同性湍流中，能谱张量 Φij 也必 具有均匀各向同性特点，即Φij可表示为
v Φ ij (k ) = A(k )ki k j + B(k )δ ij
v k j Φ ij (k ) = 0
[ A(k )k 2 + B(k )]k j = 0
v 2 Φ ij (k ) = A(k )[k δ ij − ki k j ]
E1 ( k1 ) = k [ ∫
2 1 k1 k1 E (k ) E (k ) dk 3 + C ] − ∫ dk +D 0 k k
0
k1 →∞
lim E1 (k1 ) = 0
∞ 2 1 2
E (k ) k (1 − ) E1 (k1 ) = ∫ dk k1 k k
k12 1 E (k ) (1 + 2 ) E 2 (k1 ) = ∫ dk 2 k1 k k
2
E1 (k1 ) + 2 E2 (k1 ) =
1
π
∫
∞
−∞
e − ik1r1 Bii (r1 )dr1
24
E1(k)、 E2(k)、E (k)之间的关系
两边对k1微分，并利用(7.5.18)得
2 ∂ ∂ − i ∞ −ik1r1 E1 (k1 ) + 2 E 2 ( k1 ) = r1e Bii (r1 )dr1 = − E (k1 ) π ∫−∞ ∂k1 ∂k1 k1
2
∂ 3 r Bi , i = u [r f ( r )] ∂r
2 2
π∫
∞
0
kr sin( kr ) Bii ( r ) dr
E (k ) =
u2
π
∫
∞
0
kr sin(kr ) B(r )dr =
u2
π
∫
∞
0
kr sin kr ∂ 3 (r f (r ))dr 2 ∂r r
∫
∞
0
kr sin kr ∂ 3 (r f ( r ))dr = ? 2 ∂r r
11
引入三维能谱函数E(k)
引入一个新的函数：三维能谱函数 E(k),
E (k ) = −4πk A(k )
4
v E (k ) 2 Φ ij (k ) = [ k δ ij − k i k j ] 4 4πk
1 E (k ) Φ ii ( k ) = 2 4πk 2
12
Φii(k)
Φii(k)是波数空间单位体积内的能量。 Φii(k)只是波矢量的模k的函数，具有球对
∞
26
解释说明
积分下限的物理 意义是只有对应于 2π/k≤2π/k1 ， 即 k≥k1 的三维谱的那 些波长 2π/k 才对一 维 谱 的 波 长 2π/k1 的值有贡献。