十年高考真题分类汇编 数学 专题 圆锥曲线

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学

专题12圆锥曲线

1.(2019·全国·理T 10文T 12)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( )

A.x 22+y 2

=1

B.x 23+y 2

2=1 C.x 24+y 2

3=1 D.x 2

5+y 2

4=1

【答案】B

【解析】如图,由已知可设|F 2B|=n,|BF 1|=m. 由|AB|=|BF 1|,则|AF 2|=m-n,|AB|=m. 又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|,故|AF 1|=2n. 由椭圆的定义及|AF 2|=2|F 2B|, 得{m -n =2n ,

m +n =2a ,解得{m =3a

2,n =a 2.

∴|AF 1|=a,|AF 2|=a.∴点A 为(0,-b). ∴k AF 2=b

1=b.

过点B 作x 轴的垂线,垂足为点P.由题意可知△OAF 2∽△PBF 2. 又|AF 2|=2|F 2B|,∴|OF 2|=2|F 2P|. ∴|F 2P|=12. 又k AF 2=|BP |

|F 2P |=

|BP |12

=b,∴|BP|=12b.∴点B (32,1

2b).

把点

B 坐标代入椭圆方程x 2a 2+y 2

b

2=1

中,得a 2

=3.

又c=1,故b

2

=2.所以椭圆方程为

x 2

3+y 2

2

=1. 2.(2019·全国1·文T 10)双曲线C: x 2a 2−y 2

b

2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为

( ) A.2sin 40° B.2cos 40° C.1

sin50° D.1

cos50°

【答案】D

【解析】由已知可得-b a

=tan 130°=-tan 50°, 则

e=c a

=√1+(b

a )2

=√1+tan 250° =√1+sin 250°cos 250°

=√sin 250°+cos 250°

cos 2

50°

=1

cos50°

. 故选D.

3.(2019·北京·文T 5)已知双曲线x 2a 2-y 2

=1(a>0)的离心率是√5,则

a=( )

A.√6

B.4

C.2

D.12

【答案】D

【解析】∵双曲线的离心率e=c

a =√5,c=√a 2+1, ∴

√a 2+1

a

=√5,【解析】得a=12

,故选D.

4.(2019·天津·理T 5文T 6)已知抛物线y 2

=4x 的焦点为F,准线为l.若l 与双曲线

x 2a 2−y 2

b

2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A 和点B,且|AB|=4|OF|(O 为原点),则双曲线的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5

【答案】D

【解析】由抛物线方程可得l 的方程为x=-1.

由{y =b

a x ,x =-1,得y 1=-

b a .由{y =-b

a x ,

x =-1,

得y 2=b a . ∴AB=2b

a .

由|AB|=4|OF|得2b a =4,故b

a =2.

c a

2

=a 2+b

2

a 2

=5a 2

a 2.∴e=√5,故选D.

5.(2018·全国1·理T 11)已知双曲线C:x 23-y 2

=1,O

为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐

近线的交点分别为M,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN|=( ) A.32

B.3

C.2√3

D.4

【答案】B

【解析】由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±√3

3x,

所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°. 不妨设∠OMN=90°,则|MN|=√3|OM|.

又|OF|=2,在Rt △OMF 中,|OM|=2cos 30°=√3, 所以|MN|=3.

6.(2018·全国2·理T 5文T 6)双曲线x 2

a

2

−

y 2b

2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为(

)

A.y=±√2x

B.y=±√3x

C.y=±√2

2x D.y=±√3

2x

【答案】A 【解析】∵e 2

=c 2a 2

=

b 2

+a 2a 2

=

(b a )2

+1=3,

∴b

a =√2.

∵双曲线焦点在x 轴上, ∴渐近线方程为y=±b a

x, ∴渐近线方程为y=±√2x.

7.(2018·全国3·理T 11)设F 1,F 2是双曲线C:

x 2a 2

−

y 2b

2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O

是坐标原点,过F 2作C

的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.2

C.√3

D.√2

【答案】C

【解析】如图,过点F 1作OP 的反向延长线的垂线,垂足为P',连接P'F 2,由题意可知,四边形PF 1P'F 2为平行四边形,且△PP'F 2是直角三角形. 因为|F 2P|=b,|F 2O|=c,所以|OP|=a. 又|PF 1|=√6a=|F 2P'|,|PP'|=2a, 所以|F 2P|=√2a=b,

所以c=√a 2+b 2=√3a,所以e=c

a =√3.

8.(2018·浙江·T2)双曲线x 2

3-y 2

=1的焦点坐标是( ) A.(-√2,0),(√2,0)

B.(-2,0),(2,0)