质点动力学的基本方程
11第11章质点动力学的基本方程PPT课件
略摩擦及AB质量;λ=r/l 较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方
程近似为
x l( 1 24 ) r [ct o (s 4 )c,试2 o 求t]s
t0和 时2,AB所受的力。
解:以滑块B为研究对象
mxaFcos
yA
O
F
FN
x
由滑块B的运动方程得
a x x r 2 (c to c s2 o t)s
§11-2 动力学的基本定律
牛顿三定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
包括受平衡力系作用的质点
不受力作用的质点处于静止状态，或保持其原有的 速度(包括大小和方向)不变的性质称为惯性。
第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，故称为惯 性定律。
§11-2 动力学的基本定律
从这种意义上说，动力学是理论力学中最具普遍意义 的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。
动力学的研究对象：低速、宏观物体的机械运动的普 遍规律。
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
刚体：质点系的一种特殊情形——不变形的质点系 其中任意两个质点间的距离保持不变。
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒击 打后，其速度的大 小和方向发生了变 化。如果已知这种 变化即可确定球与 棒的相互作用力。
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
理论力学9质点动力学基本方程ppt课件
小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
9.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
v0 F (v)
0
例例1 9如.1图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
§3.3 质点系的动力学方程(YBY
m1a1 F1 f12 ,
f12 f21
m2a2 F2 f21
m1a1 m2a2 F1 F2
推广到质点组 （1） m a F F ii i （1）称为质点组的动力学方程。 2、质点系质心动力学方程
（5）
质点系的质心运动定理在直角坐标系中投影式为
Fx Fix maCx , Fy Fiy maCy , Fz Fiz maCz （6）
质心运动定理给出质心加速度，描述了质点系整体运动的重要 特征．并未对质点系运动作全面描述，更全面描述质点系的运 动，还应进—步研究各质点相对质心的运动．
d 2 ri F Fi mi ai mi 2 dt
2 2
d d mi ri 2 mi ri m 2 dt dt m
（2）
m r ii m
具有长度的量纲，描述与质点系相关的某一空间点的位置 m r ii （3） 引入质心的概念 rC m 在直角坐标系
m1r1 m2 r2 rc (t ) m1 m2 r2 (t ) r1 (t ) r (t )
m2 r1 (t ) rc (t ) m m r (t ) 1 2 m1 r r (t ) 2 (t ) rc (t ) m1 m2
m x ,
i i
xc
m
yc
m y ,
i i
m
第二章非惯性系中的质点动力学
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
质点动力学的基本方程最新课件.ppt
则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos 2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r2cos t cos2 t
当 0时, ax r21 ,且 0,
得 F mr21
当
l2 r2 l
伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成 正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置——摆奠定了基础。 伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。
1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关 于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。
1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现 了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发 明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos
2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
coskt 1
(c)
轨迹方程
y
eA mk2
cos
k v0
9质点动力学的基本方程
质点：只有质量而无大小的物体。
动 力 学 介 绍
在下面两种情况下，可以把物体视为质点： 物体作平移的时候； 当物体的运动范围远远大于它自身的尺寸、忽略 其大小对问题的性质无本质影响的时候。
刚体：有质量、不变形的物体
质点系：由若干质点组成的、有内在联系 的系统
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第一定律
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
惯性参考系：以太阳为原点，三个坐标轴指向 三个恒星的日心参考系是惯性参考系。
如果在地球的引力场内，研究人造地球卫星 、大气流动、洲际导弹等等的机械运动，忽略掉 地球公转的加速度，只考虑地球自转的影响。选 择以地心为原点，三个坐标轴指向三个恒星的地 心参考系是惯性参考系。
临沂大学机械工程学院机械工程系
徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第一定律
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
牛顿定律，是牛顿在《自然哲学的数学原理》中 建立的描述物体机械运动的运动学三定律，亦称 为动力学基本定律。 第一定律(惯性定理) 任何质点如不受力作用 ，将永 远保持其静止或匀速直线运动状态。 定律定义了惯性参考系。涉及到了静止和匀速直 线运动，也就涉及了参考系。
m a
F
质点的质量与其加速度的乘积等于作用在此质点上诸 力的合力。 该定律表明， 质量是质点惯性的度量。
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
质点动力学基本方程
t
dt
vx0
Fx
0
①在绝大多数工程问题中，可取固结于地球的坐标系为惯性 参考系。 ②对需考虑地球自转影响的问题（如由地球自转而引起的河 流冲刷，落体对铅直线的偏离等）必须选取以地心为原点而 三个轴指向三颗“遥远恒星”的坐标系作为惯性参考系，即 所谓的地心参考系。 ③在天文计算中，则取日心参考系，即以太阳中心为坐标原 点，三个轴指向三颗“遥远恒星”。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m
dvx dt
dx
Fxdx
vxdvx
Fx m
dx
vx vxdvx
vx0
x Fx dx x0 m
当作用于质点上的力Fx是速度vx的函数时，求质点的运动。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m dvx dt Fx
vx m dvx
aF 或 m
F ma
质点动力学基本方程
式中 m 为质点的质量； 此方程只能直接应用于质点。
F Fi 是作用于质点的所有力的合力矢。
质量是物体惯性的度量，质点的质量愈大，保持惯性运动 的能力愈强。
物体的质量 m 与它的重量 W 之间的关系：W = mg
g 是重力加速度，取 g= 9 . 8 m / s2
第九章 质点动力学基本方程
§9-1 动力学基本定律 §9-2 质点运动微分方程
§9-1 动力学基本定律
1、动力学基本定律（牛顿运动定律）
1687 Sir Isaac Newton (1642-1727) 发 表了著名的《自然哲学的数学原理》
牛顿三大定律，它描述了动力学最基 本的规律，是古典力学体系的核心
理论力学质点动力学的基本方程
F mg 1.96N
cos
v
Fl sin 2
m
2.1m s
这是混合问题。
例11-4 粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水
平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。
为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0
时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。
已知:匀速转动。 0 时小球掉下。
gl
其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 ,
因此 0时 , T Tmax
Tm
ax
G(1
v02 gl
)
[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。
②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力， 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。
已知: m 0.1kg, l 0.3m, 60 匀速
求: v, F
已知: m 0.1kg, l 0.3m, 600 匀速
求: v, F
解:
v2
研究小球，m
F sin
0 F cos mg
其中， l sin ，解得
第十一章 质点动力学的基本方程
第十一章 质点动力学的基本方程
§11-1 动力学的基本定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律(力与加速度之间的关系定律)
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小， 加速度的方向与力的方向相同。
ma F
质量是质点惯性的度量。 国际单位制：长度（m米），
引言
一.研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
质点相对运动动力学的基本方程
质点相对运动动 力学的基本方程
设质量为 m 的质点 M 对动坐标系 Oxyz （非惯性坐标系）做相对运 动，如图 17-1 所示。现在研究质点相对于动坐标系的运动与作用在 其上的力之间的关系。
取定坐标系 O1x1 y1z1（惯性坐标系），动坐标 系 Oxyz 相对于它的运动为牵连运动，对于定坐 标系 O1x1 y1z1，牛顿第二定律成立，即
maa F
（17-1）
式中，aa 为 M 点的绝对加速度； F 为作用在质点上的
合力。由运动学中加速度合成定理，有
图17-1
aa ae ar aC
（17-2）
式中，ae 为牵连加速度；ar 为相对加速度；aC 2 vr ，为科氏加速度。将 式（17-2）代入式（17-1），并整理，得
mar F mae maC
应用达朗伯原理中关于惯性力的概念，令
（17-3）
FIe FIC
mae maC
式中， FIe 称为牵连惯性力， FIC 称为科氏惯性力。
（17-4）
于是式（17-3）可写成与牛顿第二定律相类似的形式，即
mar F FIe FIC
即质点的质量与相对加速度的乘积，等于作用于质点的力与牵连惯性 力、科氏惯性力的矢量和，这就是质点相对运动动力学基本方程。
则 FIe FIC 0 ，于是式（17-5）成为
mar F
（17-9）
即此种情况下，质点相对运动动力学基本方程与牛顿第二定律一致。
也就是说，凡相对惯性坐标系做匀速直线平动的动坐标都是惯性坐标
系。式（17-9）也说明，当动坐标系做惯性运动时，质点的相对运动
不受牵连运动的影响，因此，发生在惯性坐标系中的任何力学现象，
（4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有 ar 0 。于是式 （17-5）成为
质点动力学基本方程
y 质心C 质心 x F1 G F2 FA
l 解:(1)取活塞为研究对象; (2)受力分析,画受力图; (3)运动分析,写出运动方程;
x = OA cos ωt + l
求加速度
d 2x = OAω 2 cos ωt dt 2
d x 由 m 2 = ∑ Fx dt
2
2
FA
F1
得
d 2x = OAω 2 cos ωt dt 2
此速度为质点在阻尼介质中运动的极限速度 极限速度.跳伞运 极限速度 动员着地时的速度即可由该式求出.
例5 发射火箭,求脱离地球引力的最小速度. 求 属于已知力是位置的函数的第二类问题. 解:属于已知力是位置的函数的第二类问题. 属于已知力是位置的函数的第二类问题 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示. 火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用.
dv dv , 再分离变量积分. =v dt ds
例4:求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的 : 运动方程.设质点受到的阻尼力Fr=-cv,c称为粘度系 数,简称粘度.初始时质点在介质表面上被无初速度 释放.
解:取质点M为研究对象,作用其上的力有重力和介质阻尼 力,均为已知,求质点的运动,属于动力学第二类问题. 在任意位置上,有 d 2x dx m 2 = mg c dt dt
于是 分离变量, 再积分一次 质点的运 动方程
即
e
g t v′
v′ v = v′
)
dx = v = v ′(1 e dt
g t v′
∫
x
0
dx = ∫ v ′(1 e
0
t
g t v′
)dt
g ′ 2 v′ t v x = v ′t + (e 1) g
ch质点动力学基本方程
2
mg 0
如果sinθ≠0，则由第（1)式可解得：
S l (k m 2 )
此即杆AB所受的力，方向与S相反。 再将S的值代入第（2)式，注意到三角关系，可解 得：
kl m g m lcos
系统稳定转动时的最小角速度为
（此时 cos 1 ）
min
kl m g ml
⑤求解未知量
v2 由 2 式得 T G (cos ), gl
, 因此 0时 , T Tmax 其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动
Tmax
2 2 v0 G v0 G(1 )G gl g l
2 G v0 [注]①动拉力Tmax由两部分组成, 一部分即物体重量G,称为静拉力；一部分 g l
理论力学引Fra bibliotek力学模型：言
动力学：研究物体的运动与所受力之间的关系
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点；
质点。
2.质点系：由有限或无限个有一定联系的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离
不变的质点组成，又称为不变质点系。
2 2
例：求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的运动方程。 设质点受到的阻尼力Fr=-cv，c称为粘度系数，简称粘度。初始 时质点在介质表面上被无初速度释放。
解：取质点M为研究对象，受力及运动分析如图所示。作用 其上的力有重力和介质阻尼力，均为已知，求质点的运动， 属于动力学第二类问题。
在任意位置上，有 d 2x dx m 2 mg c dt dt
2.人造卫星、洲际导弹问题：地心为原点，三轴指向三个恒星；
第 11 章 质点动力学的基本方程(1)
d2x m dt 2
m dvx dt
0,
m
d2 dt
y
2
m dvy dt
eA cos
kt
26
例题
第二类问题：已知力求运动.
例 题 11-7
y
O
交流 电源
平板电容器
E x
v0
质点运
m
动轨迹
Fv
按题意，t 0 时，vx v0, vy 0, 以
此为下限，式
d2x m dt2
E x
v0
质点运
m
动轨迹
Fv
质量为m的质点带有 电荷e，以速度v0进入强度 按E=Acos kt 变化的均匀电 场中，初速度方向与电场 强度垂直，如图所示。质 点在电场中受力F=-eE作 用。已知常数A，k，忽略 质点的重力，试求质点的 运动轨迹。
2、力是时间函数的情形
25
例题
第二类问题：已知力求运动.
m dvx dt
0
和
d2 y m dt2
m dvy dt
eA cos
kt
的定积分分别为
dv vx v0 x
0
vy
0
dvy
eA m
t
cos kt dt
0
得
vx
dvx dt
v0
vy
dvy dt
eA sin kt mk
27
例题
第二类问题：已知力求运动.
例 题 11-7
( g v1 )t
v v1 e(2g v1 )t 1 v1 e( g v1 )t e( g v1 )t
质点动力学的基本方程
,
ab = 0
式中 τ 和 n 为沿轨迹切线和主法线 的
质点动力学基本方程在 自然轴系上的投影为
n dv m = ∑ Fti d t i =1
,
m
v2
ρ
= ∑ Fni
i =1
பைடு நூலகம்
n
,
0 = ∑ Fbi
i =1
19
n
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
应用质点运动微分方程，可以求解下面两类质点动 力学的问题: 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 第一类 已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 已知质点的运动 解题步骤和要点： 解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 正确选择研究对象 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 正确进行受力分析,画出受力图 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 正确进行运动分析 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 ⑤求解未知量。 求解未知量。
d2 x n m 2 = ∑ Fxi dt i =1
,
d2 y n m 2 = ∑ Fyi dt i =1
,
n d2 z m 2 = ∑ Fzi dt i =1
18
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为
a = a tτ + a n n
15
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地 发明了微积分，给出了二项式定理。 发明了微积分，给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然 牛顿在力学上最重要的贡献， 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。 这本书出版于1687年 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系 统总结了前人对动力学的研究成果， 统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总 结的经典力学系统称为牛顿力学。 结的经典力学系统称为牛顿力学。 16
11质点动力学基本方程
选取自然坐标系， 根据质点运动微分
方程，有
mat Fit : man Fin :
ms mg sin
m
s2 l
FT
mg cos
O
n
l
FT
s mg
14
ms mg sin
m
s2 l
FT
mg
cos
解方程，并带入初始条件， 得钢绳拉力为
O
n
l
FT
FT
mg
3cos
2
mv02 l
当 = 0 ，即在初始位置时，钢绳具有最大拉力
s mg
FT max
mg
m
v02 l
此时，钢绳拉力有两部分：① 因重物重量引起的静拉力 mg ；②
因重物加速度引起的附加动拉力 mv02 / l 。 为了避免钢绳中产生过
大的附加动拉力，跑车的运行速度不能太大，并应平稳停启，避
10
mx 0
y
my
mg
积分两次，得到
x C1t C3
O
y
1 2
gt2
C2 t
C4
x
根据运动初始条件，求出积分常数，得物体的运动方程为
x v0 cos t
y
v0
sin
t
1 2
gt
2
从运动方程中消去时间参数 t ，即得物体的轨迹方程为
4
四、求解动力学问题的一般步骤 1）选取研究对象； 2）受力分析； 3）运动分析； 4）建立动力学方程； 5）解方程，求出未知量。
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第十章 质点动力学基本方程
10-3 半径为R 的偏心轮绕O 轴以匀角速度ω转动，推动导板沿铅直轨道运动，如图所示。
导板顶部放有一质量为m 的物块A ，设偏心距e OC =，开始时OC 沿水平线。
求：（1）物块对导板的最大压力；（2）使物块不离开导板的ω最大值。
解：建立如图所示直角坐标系Oxy ，导板与物块均沿y 轴线作直
线运动，导板作平动，其运动规律为
t e R y ωsin +=
对时间求二阶导数得
t e a y ωωsin 2-=
物块A 受重力m g 和导板的约束反力N F 作用如图)a (。
物块对导板的压力与N F 等值、反向、共线。
由图(a)得物块A
的运动微分方程在y 轴的投影式为
)
sin (2N N t e g m F ma mg F y
ωω-==- 1）物块对导板的最大压力 )(2N ωe g m F +=
2）要使物块不离开导板，则应有
0)(2min N ≥-=ωe g m F
即 2ωe g ≥
故 e
g =max ω 10-7 销钉M 的质量为0.2 kg ，水平槽杆带动，使其在半径为mm 200=r 的固定半圆槽内运动。
设水平槽杆以匀速mm/s 400=v 向上运动，不计摩擦。
求在图示位置时圆槽对销钉M 的作用力。
解：以水平槽为动系，速度分析如图)a (，v v =e
3
24.02
330cos e a ⨯==︒=v v v 受力与加速度分析如图(b)，
2222a n m/s 07.132.044.04
3=⨯⨯=⋅==r v r v a M r t n a a a =+M M 向铅直方向投影，得
2t n 2
n t t n m/s 23.13079.09238.030sin 30cos m/s 616.03
30cos 30sin =+=︒+︒====︒-︒M M Mx M M
M M a a a a a a a 设水平槽对M 的反力为F N ，圆槽对M 的反力为F ，则
N 284.0232.12.03
23230cos =⨯⨯===︒Mx Mx
ma F ma F 10-9 铅垂发射的火箭由一雷达跟踪，如图所示。
当m 10000=r 、
︒=60θ、rad/s 02.0=θ且2rad/s 003.0=θ
时，火箭的质量为5000 kg 。
求此时的喷射反推力F 。
解：此题为已知运动求力。
用极坐标与直角坐标系描述运动的变换关系
θsin r y =
θθθ ⋅+=cos sin r r y
2sin cos cos 2sin θθθθθθθ r r r r y -++= （1） 约束条件 m 5000cos ==θr x （常数）
故
0sin cos =⋅-=θθθ r r x ，θθ ⋅=tan r r （2）
0sin cos sin 2cos 2=---=θθθθθθθ r r r r x 所以 θθθθθ ⋅++⋅=t a n t a n 22r r r r （3）
由已知，m 10000=r ，︒=60θ时，rad/s 02.0=θ
，2rad/s 003.0=θ 代入式（2）得 m /s 4.34602.0310000=⨯⨯=r （4）
式（4）代入（3），得 22m/s 96.79003.0310000)02.0(1000002.0320032=⨯+⨯+⨯⨯=r （5） 式（4），（5）代入（1），得
2m/s 7.87=y
由质点动力学方程 y
m mg F =- 所以 kN 488)7.878.9(5000)(=+=+=y
g m F 10-13 图示一质点带有负电荷e ，其质量为m ，以初速度v O 进入强度为H 的均匀磁场中，该速度方向与磁场强度方向垂直。
设已知作用于质点的力为)(H v F ⨯-=e ，试求质点的运动轨迹。
提示：解题时宜采用在自然轴上投影的运动微分方程。
解：取质点为研究对象，其受力与运动分析如图，选图示坐标系mnt ，质点在mnt 平面内，也就是速度v 与力F 决定的平面内运动。
写出质点沿t 及n 轴的运动微分方程
0d d =t
v m
（1） evH v m =ρ
2
（2） 由式（1）解得 0v v ==常量
代入式2）得 eH mv 0=ρ 所以质点运动轨迹为由进入磁场位置起的半径为eH
mv 0=ρ的圆弧。