整数规划_分支定界法_MATLAB程序

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Matlab求解线性规划和整数规划问题

Matlab求解线性规划和整数规划问题Matlab是一种强大的数值计算和科学计算软件，可以用于求解各种数学问题，包括线性规划和整数规划问题。

本文将详细介绍如何使用Matlab来求解线性规划和整数规划问题。

一、线性规划问题的求解线性规划是一种优化问题，旨在找到一组变量的最佳值，以使线性目标函数在一组线性约束条件下最大或者最小化。

下面以一个简单的线性规划问题为例来说明如何使用Matlab求解。

假设有以下线性规划问题：最大化目标函数：Z = 3x + 5y约束条件：2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x, y ≥ 01. 创建线性规划模型在Matlab中，可以使用linprog函数来创建线性规划模型。

首先，定义目标函数的系数向量c和不等式约束条件的系数矩阵A以及不等式约束条件的右侧常数向量b。

c = [-3; -5];A = [2, 1; 1, 3];b = [10; 15];2. 求解线性规划问题然后，使用linprog函数求解线性规划问题。

该函数的输入参数为目标函数的系数向量c、不等式约束条件的系数矩阵A、不等式约束条件的右侧常数向量b以及变量的下界和上界。

lb = [0; 0];ub = [];[x, fval, exitflag] = linprog(c, A, b, [], [], lb, ub);其中，x是最优解向量，fval是最优解对应的目标函数值，exitflag是求解器的退出标志。

3. 结果分析最后，打印出最优解向量x和最优解对应的目标函数值fval。

disp('最优解向量x：');disp(x);disp('最优解对应的目标函数值fval：');disp(fval);二、整数规划问题的求解整数规划是一种优化问题，与线性规划类似，但是变量的取值限制为整数。

Matlab提供了intlinprog函数来求解整数规划问题。

下面以一个简单的整数规划问题为例来说明如何使用Matlab求解。

Matlab学习系列26.整数规划

26. 整数规划全部变量限制为整数的规划问题，称为纯整数规划；部分变量限制为整数的规划问题，称为混合整数规划；变量只取0或1的规划问题，称为0-1整数规划。

整数规划问题，建议使用Lingo 软件求解。

常用的整数规划问题解法有：（1）分枝定界法：可求纯或混合整数线性规划；（2）割平面法：可求纯或混合整数线性规划；（3）隐枚举法：用于求解0-1整数规划，有过滤法和分枝法；（4）匈牙利法：解决指派问题（0-1规划特殊情形）；（5）蒙特卡罗法：求解各种类型规划。

一、分枝定界法分支定界法的基本思想是：设有最大化的整数规划问题A ，先解与之相应的线性规划问题B ，若B 的最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优目标函数必是A 的最优目标函数z*的上界，记作z2, 而A 的任意可行解的目标函数值将是z*的一个下界z1, 分支定界法就是将B 的可行域分成子区域（称为分支）的方法，逐步减小z2和增大z1, 最终求到z*。

例1 分枝定界法原理示例：1212120max 58s. t. 65945 () 0, Z (1,2)i i z x x x x x x P x x i =++≤+≤≥∈=用Lingo软件求解：代码：max 5x1+8x2stx1+x2<=65x1+9x2<=45endgin 2运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 40.00000Objective bound: 40.00000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 0.000000 -5.000000X2 5.000000 -8.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 40.00000 1.0000002 1.000000 0.0000003 0.000000 0.000000二、0-1整数规划变量x i只能取值0,1，该约束条件可表示为：0≤x i≤1, x i∈N 或x i (1-x i)=0 1. 隐枚举法例2求解下列0-1规划问题：1231231231223 max 325s. t. 2 2 () 4 4 () 3 () 4 6 z x x x x x x a x x x b x x c x x =-++-≤++≤+≤+≤123 () ,,0 1d x x x =或求解思路：（1）先试探性地求一个可行解，易看出(x1, x2, x3)=(1, 0, 0)满足约束条件，故是一个可行解，相应的目标函数值为z=3.（2）由于是求极大值，故目标值z<3的解，不必检验是否满足约束条件即可删除，于是可增加一个约束条件（称为过滤条件）：1233253x x x -+≥ (e)（3）用全部枚举法，3个变量共23=8种可能的组合，用过滤条件（并计算目标函数值，不断改进过滤条件）筛选每个可能的组合，最终得到问题的最优解。

线性整数规划的分支限界解法及其MATLAB实现

名字由和两词的前个字母MATLAB Matrix Laboratory 3组合而成。

起于世纪年代后期，现在研究和设计中，2070被认为是进行高效研究、开发的首选软件工具。

MATLAB 在国际学术界，已经被确认为准确、可靠的科学MATLAB 计算标准软件。

在数学上提供了大量的优化计算命令。

线性规MALAB 划中，提供了相关函数，但是对于变量取整数的MATLAB 线性规划，即线性整数规划，并没有提供相关函MATLAB 数。

线性整数规划是介于计算机算法和最优化方法中的问题，在实际工程中有着广泛的应用。

本文通过计算机算法中分支限界法的思想解决此类方法。

线性整数规划的求解，是离散型优化问题求解，即指在有限多个可行方案中寻找一个符合目标的方案，常用的技术之一是将整个搜索的范围划分为若干个互不重叠并且完备的子范围，试图找到两个明确结论之一：所要找的最优解(1)肯定不在这个子范围内，如已知所要找的最小值不超过而a,在此范围内最小值超过则问题的解不在此范围内；原问a,(2)题的最小值在该子范围内，则找到该最小值，或者继续划分该子范围，直到找到最小值为止，这样原问题的解就自然得到。

解线性整数规划是一类具体的离散优化问题。

离散优化的问题都可以使用穷举法，在线性整数规划上，这个解空间很大。

显然在实际使用中，使用穷举法时间消耗很大。

在计算机的计算过程中，通常使用回朔的方法，然而仍然需要遍历整个树，然后在所有满足条件的值中找到最优的值。

树的遍历是个递归过程，如果使用递归算法，在每次进行递归调用中，需要保存当前的状态和当前的所有变量，仍然需要很大的空间和时间消耗。

本文通过堆栈的方式，改进递归过程，这将改进整个算法的执行效率。

分支限界法的算法思想1 分支限界法是一种在问题的解空间树上搜索问题界的算法，其目的是找出满足约束条件的一个解，或者是在满足约束条件的解中找出使目标函数值达到极大或极小的解，即最优解。

分支限界法以广度优先或者以最小耗费优先的方式搜索解空间树，分支限界法的策略是，在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点，以加速搜索进程，在每一活结点处，计算一个函数值，并根据这些已经计算出的函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索向着解空间树上最优解的分支推进，以便尽快找出一个最优解。

Matlab求解线性规划和整数规划问题

Matlab求解线性规划和整数规划问题线性规划和整数规划是数学规划中常见的两种优化问题。

Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了丰富的工具和函数来解决这些问题。

本文将介绍如何使用Matlab求解线性规划和整数规划问题，并提供详细的步骤和示例代码。

一、线性规划问题的求解线性规划问题可以表示为如下形式的数学模型：```minimize c'*xsubject to A*x <= blb <= x <= ub```其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是不等式约束矩阵，b 是不等式约束向量，lb和ub分别是决策变量的下界和上界。

Matlab中求解线性规划问题可以使用`linprog`函数。

下面是一个示例：```matlabc = [1; 2; 3]; % 目标函数的系数向量A = [1, -1, 2; 3, 1, 0]; % 不等式约束矩阵b = [4; 5]; % 不等式约束向量lb = zeros(3, 1); % 决策变量的下界ub = [Inf; Inf; 10]; % 决策变量的上界[x, fval] = linprog(c, A, b, [], [], lb, ub);```在上面的示例中，我们定义了目标函数的系数向量c，不等式约束矩阵A，不等式约束向量b，以及决策变量的下界lb和上界ub。

然后使用`linprog`函数求解线性规划问题，得到最优解x和最优目标函数值fval。

二、整数规划问题的求解整数规划问题是线性规划问题的一个扩展，要求决策变量取整数值。

Matlab中求解整数规划问题可以使用`intlinprog`函数。

下面是一个示例：```matlabc = [1; 2; 3]; % 目标函数的系数向量A = [1, -1, 2; 3, 1, 0]; % 不等式约束矩阵b = [4; 5]; % 不等式约束向量lb = zeros(3, 1); % 决策变量的下界ub = [Inf; Inf; 10]; % 决策变量的上界intcon = [1; 2]; % 决策变量的整数约束[x, fval] = intlinprog(c, intcon, A, b, [], [], lb, ub);```在上面的示例中，我们除了定义了线性规划问题的参数外，还定义了决策变量的整数约束intcon。

milp优化问题的典型求解方法

Milp（Mixed Integer Linear Programming）是一类线性规划问题，其变量包括整数型和实数型变量。

对于Milp优化问题，常见的求解方法包括整数规划分支定界法、整数规划切割平面法、启发式算法等。

本文将着重介绍Milp优化问题的典型求解方法，以便读者更好地理解和应用这些方法。

一、整数规划分支定界法1. 整数规划分支定界法是一种常用的Milp求解方法，其基本思想是通过不断地分支和界定变量取值范围来逐步逼近最优解。

具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。

（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。

（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则进行分支操作。

（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。

二、整数规划切割平面法2. 整数规划切割平面法是另一种常用的Milp求解方法，其核心思想是通过不断添加约束条件来逼近最优解。

具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。

（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。

（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则添加约束条件。

（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。

三、启发式算法3. 启发式算法是一类常用的Milp求解方法，其特点是通过启发式策略来搜索最优解。

常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法等。

这些算法通过不断地迭代和搜索来寻找最优解，其求解步骤包括：（1）初始化种群或解空间。

（2）根据指定策略进行选择、交叉和变异操作。

（3）更新种群或解空间，并计算适应度值。

（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。

四、优化问题的特点及应用4. Milp优化问题的求解方法在实际应用中具有广泛的适用性，常见的应用领域包括生产调度、物流规划、网络设计等。

由于Milp问题的复杂性和求解困难性，对于实际问题的建模和求解需要充分考虑问题特点和求解方法的选择。

Matlab求解线性规划和整数规划问题

Matlab求解线性规划和整数规划问题Matlab是一种功能强大的数学软件，可以用于求解线性规划和整数规划问题。

在本文中，我将详细介绍如何使用Matlab来解决这些问题。

首先，让我们了解一下线性规划和整数规划的基本概念。

线性规划是一种数学优化问题，其目标是在给定的一组约束条件下，最大化或者最小化线性目标函数。

整数规划是线性规划的一种扩展形式，其中变量被限制为整数值。

为了使用Matlab求解线性规划和整数规划问题，我们需要使用Matlab中的优化工具箱。

请确保你已经安装了该工具箱，并准备好了你的问题的数学模型。

在Matlab中，我们可以使用"linprog"函数来求解线性规划问题。

该函数的基本语法如下：[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)其中，参数f是目标函数的系数向量，A和b是不等式约束的系数矩阵和右侧向量，Aeq和beq是等式约束的系数矩阵和右侧向量，lb和ub是变量的下界和上界。

函数的输出包括最优解x，最优目标函数值fval，退出标志exitflag以及输出信息output。

接下来，让我们通过一个具体的例子来演示如何使用Matlab求解线性规划问题。

假设我们有以下线性规划问题：最小化目标函数：f = [4, 3, 5]约束条件：A = [1, 1, 1; 2, 1, 3; 1, 2, 2]b = [6; 10; 8]变量的下界和上界：lb = [0; 0; 0]ub = []我们可以使用以下代码来求解这个问题：f = [4, 3, 5];A = [1, 1, 1; 2, 1, 3; 1, 2, 2];b = [6; 10; 8];lb = [0; 0; 0];ub = [];[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, [], [], lb, ub);最优解x将包含变量的最优值，最优目标函数值fval将给出最小化的结果。

分支定界解析

MATLAB 解整数规划问题——分支定界法柯伟敏 G012012348一、问题分析在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，事实上，线性规划是连续变量的线性优化问题。

但在实际问题中，常有要求解答必须是整数的情形。

例如，所求解是机器人的台数，完成工作的人数或者装货的车数等，分数或者小数的解答就不符合要求。

为了满足整数解的要求，初看起来，似乎只要把已得到的带有分数的或小数的解经过‘舍入化整’就可以了。

但这常常是不行的，因为化整之后不见得就是可行解，或虽是可行解，但不一定是最优解。

因此，对求最优整数解问题，有必要另行研究。

我们称这样的问题为整数规划问题。

学习运筹学过后，我们学习了笔算这类问题，但是当对于一个问题的约束条件有很多个时，手算必然耗费很大个工作量。

但是用 MATLAB 解题却可以达到事半功倍的效果，省去了很多繁琐的运算过程。

二、数学原理下面我主要介绍分支定界解法。

分支定界法的基本思想是不断将可行域分割成小的集合，然后再小的集合上找整数最优解，在分割可行域时，整数解并不会丢失。

其算法过程如下： 1、置矩阵NF_lb 为原整数的的lb ，NF_ ub 为原整数规划的ub ，置最优解=*x ∅，目标函数的最优上界F=+∞。

2、设NF_lb 的第一列为l 0b ，NF_ub 第一列为u 0b ，求解线性规划min f （x ）=cx ， b Ax ≤s.t. 00ub x lb ≤≤ ，设最优解为-x ，最优值为_f ，如果不存在最优解，则设_f =+∞；0≥x3、若_f =+∞，则将NF_lb 的第一列和NF_ub 的第一列去掉，转7，否则，转44、若_f ≥F ，则将NF_lb 的第一列去掉，和NF_ub 的第一列去掉，转7，否则，转5.5、若_f <F ，且-x 的各分量都为整数，则置F=_f ,=*x -x ，将NF_lb 的第一列和NF_ub 的第一列去掉，转7，否则转6。

6、若_f <F ，但-x 的有些分量不是整数，任选择-x 中一个不是整数的分量_k x ，将此问题分解为两个问题Q1Q2；第一个问题的ub 等于u 0b ，而lb 是将NF_lb 中的第一列分量_k x 对应的下界改为[_k x ]+1;第二个问题的lb 等于l 0b ，而ub 是将NF_ub 中的第一列_k x ，对应的上界改为[_k x ]，再将NF_lb 的第一列和NF_ub 的第一列去掉，把Q1，Q2对应的lb ，ub 作为新列分别添加到NF_lb 和NF_ub 的后面，转27、若NF_lb不为空，则转2，若为空，且*x不为空，则*x为原整数规划的最优解，F=最优值，如果*x为空，则原整数规划不存在最优解。

分支定界法----整数规划matlab

分支定界法的思想是：首先确定目标值的上下界发布人：chengxu0921 发布时间：2008-7-21 18:16:27 新闻类别：分支-界限法例1：设有A,B,C,D,E 5人从事j1,j2,j3,j4,j5 5项工作每人只能从事一项,它们的效益表如下:求最佳安排,使效益最高？原文代码重写如下，希望增加点可读性。

program PlanJob;const MAX_SIZE = 20;typeTIntArray = array[1..MAX_SIZE] of Integer;PNode = ^Node;Node = recordJob2Man: TIntArray; // Job2Man[n] = m, job-n assign to person-m Man2Job: TIntArray; // Man2Job[n] = m, person-n assign to job-m UpperVal: Integer; // upper valueJobsDep: Integer; // jobs decided, as search depthNext: PNode;end;varCurNode: PNode; // Current nodeNewNode: PNode; // New branch nodeDelNode: PNode; // for deleteGoalNode: PNode; // the goalGoalMaxVal: Integer; // goal max valueCurMan, CurJob: Integer; // Current Man and Job of current NodeSize: Integer; // Person number, also task numberValues: array[1..MAX_SIZE, 1..MAX_SIZE] of Integer;function CalUpperValue(ANode: PNode): Integer;varRes: Integer;Man, Job: Integer;JobMaxVal: Integer;beginRes := 0;with ANode^ dobeginfor Job := 1 to Size dobeginif Job <= JobsDep thenbeginMan := Job2Man[Job];Res := Res + Values[Man, Job];Continue;end;// else find the max value for JobJobMaxVal := 0;for Man := 1 to Size dobeginif (JobMaxVal < Values[Man,Job]) and (Man2Job[Man] = 0) then JobMaxVal := Values[Man,Job];end;Res := Res + JobMaxVal;end; // for Jobend; // with ANode^CalUpperValue := Res;end;function InitNode(): PNode;varMan, Job: Integer;FInput: Text;Res: PNode;beginAssign(FInput, 'input.txt');Reset(FInput);Read(FInput, Size);Readln(FInput);for Man := 1 to Size dobeginfor Job := 1 to Size doRead(FInput, Values[Man,Job]);Readln(FInput);New(Res);with Res^ dobeginfor Man := 1 to Size dobeginMan2Job[Man] := 0;Job2Man[Man] := 0;end;JobsDep := 0;UpperVal := CalUpperValue(Res);Next := nil;end;InitNode := Res;end;procedure Insert(ANode: PNode; From: PNode);varPrevNode, NextNode: PNode;beginNextNode := From;repeatPrevNode := NextNode;NextNode := PrevNode^.Next;until (NextNode = nil) or (ANode^.UpperVal >= NextNode^.UpperVal); PrevNode^.Next := ANode;ANode^.Next := NextNode;end;procedure PrintNode(ANode: PNode);varMan, Job: Integer;AllJobAssigned: Boolean;beginAllJobAssigned := true;for Job := 1 to Size dobeginMan := ANode^.Job2Man[Job];if 0 <> Man thenWriteln('Job ', Job, ' assign to man ',Man, ', value ', Values[Man, Job])elseAllJobAssigned := false;Writeln;if AllJobAssigned thenWriteln('Value = ', ANode^.UpperVal)elseWriteln('UpperVal = ', ANode^.UpperVal);end;beginCurNode := InitNode();GoalMaxVal := 0;repeatCurJob := CurNode^.JobsDep + 1;for CurMan := 1 to Size dobeginif CurNode^.Man2Job[CurMan] <> 0 thenContinue;// New search branchNew(NewNode);NewNode^ := CurNode^;NewNode^.JobsDep := CurJob;NewNode^.Man2Job[CurMan] := CurJob;NewNode^.Job2Man[CurJob] := CurMan;NewNode^.UpperVal := CalUpperValue(NewNode);if NewNode^.UpperVal < GoalMaxVal thenDispose(NewNode) // discard this branch if smaller than limit elseInsert(NewNode, CurNode);if CurJob < Size then Continue; // for CurMan// all job assigned, update goalif NewNode^.UpperVal > GoalMaxVal thenbeginGoalNode := NewNode;GoalMaxVal := GoalNode^.UpperValend; // ifend; // for CurManDelNode := CurNode;CurNode := CurNode^.Next;Dispose(DelNode);until (CurNode^.UpperVal <= GoalMaxVal)or (CurNode = nil); // end of repeatPrintNode(GoalNode);Readln;end.input.txt:513 11 10 4 713 10 10 8 55 9 7 7 415 12 10 11 510 11 8 8 4output:Job 1 assign to man 4, value 15Job 2 assign to man 5, value 11Job 3 assign to man 2, value 10Job 4 assign to man 3, value 7Job 5 assign to man 1, value 7Value = 50如果扩展为10*10,input.txt:1013 11 10 4 7 13 11 10 4 713 10 10 8 5 13 10 10 8 55 9 7 7 4 5 9 7 7 415 12 10 11 5 15 12 10 11 5 10 11 8 8 4 10 11 8 8 413 11 10 4 7 13 11 10 4 713 10 10 8 5 13 10 10 8 55 9 7 7 4 5 9 7 7 415 12 10 11 5 15 12 10 11 5 10 11 8 8 4 10 11 8 8 4运行约两分钟。

线性整数规划分支定界法并行化研究

线性整数规划分支定界法并行化研究作者：李平风刘海峰来源：《电脑知识与技术》2016年第24期摘要：规划中的变量（全部或部分）限制为整数，称为整数规划。

若在线性模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。

分支定界算法是解决整数规划的一个重要方法，然而算法的效率却有待提高。

该文先对分支定界法解决线性整数规划问题的步骤进行阐述，再通过使用matlab提供的并行化的支持来实现对于分支定界法的并行化，并将算法并行前和并行后的运行时间进行分析，来研究并行化对于算法效率的提高。

关键词：线性整数规划；分支定界；matlab；算法效率；并行化处理中图分类号：O246 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）24-0028-03Abstact： Variables （all or part） is limited to an integer， called integer programming. If the linear model， limited to an integer variable， is called linear integer programming. Branch and bound algorithm is an important method to solve integer programming. However， the efficiency of the algorithm needs to be improved. The paper elaborates the steps of solving linear integer programming problem by the method of branch and bound， then through then achieve branch and bound method for parallelization of algorithms in the use of parallelism supported by matlab. Analysis the running time of both before and after parallel to study the parallelization algorithms for efficiency.Key words： linear integer programming； branch and bound； matlab； algorithm efficiency； parallel processing1 分支定界法简介在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题，常常会遇到一些变量的解必须是整数。

Matlab求解线性规划和整数规划问题

Matlab求解线性规划和整数规划问题标题：Matlab求解线性规划和整数规划问题引言概述：线性规划和整数规划是数学中常见的优化问题，通过Matlab可以方便地求解这些问题。

本文将介绍如何使用Matlab求解线性规划和整数规划问题，包括问题的建模、求解方法和实际操作步骤。

一、线性规划问题的建模和求解1.1 确定优化目标：线性规划问题的目标是最大化或者最小化一个线性函数，通常表示为目标函数。

1.2 约束条件建模：线性规划问题还需要满足一系列线性约束条件，这些约束条件可以通过不等式或者等式表示。

1.3 使用Matlab求解：在Matlab中，可以使用linprog函数来求解线性规划问题，将目标函数和约束条件输入函数即可得到最优解。

二、整数规划问题的建模和求解2.1 确定整数规划问题：整数规划是线性规划的一个扩展，其中变量需要取整数值。

2.2 整数规划建模：整数规划问题可以通过将变量限制为整数来建模，通常使用0-1整数变量表示。

2.3 使用Matlab求解：Matlab中提供了intlinprog函数来求解整数规划问题，输入目标函数、约束条件和整数变量的取值范围即可得到最优解。

三、线性规划和整数规划问题的实际操作步骤3.1 准备数据：首先需要准备问题的数据，包括目标函数系数、约束条件系数和整数变量范围。

3.2 建立模型：将数据输入Matlab中的相应函数，建立线性规划或者整数规划模型。

3.3 求解问题：调用Matlab函数求解问题，得到最优解和最优值。

四、Matlab求解线性规划和整数规划问题的优势4.1 高效性：Matlab提供了高效的优化算法，能够快速求解复杂的线性规划和整数规划问题。

4.2 灵便性：Matlab支持多种约束条件和整数变量类型，可以灵便应对不同类型的优化问题。

4.3 可视化：Matlab还可以将优化结果可视化展示，匡助用户更直观地理解问题和解决方案。

五、总结通过本文的介绍，我们了解了如何使用Matlab求解线性规划和整数规划问题，包括建模方法、求解步骤和优势。

利用yalmip解决整数规划问题

整数规划问题matlab 求解1．整数线性规划的提法：在一般的线性规划中，增加限定：决策变量是整数，即为所谓ILP 问题:整数线性规划问题的标准形式为：Matlab 没有整数线性规划求解命令，但使用分支定界法和工具箱yalmip(可网上下载），可求解全整数线性或混合整数线性规划2.yalmip 用法(1)定义变量：sqdvar （）实型；intvar （）整型；binvar （）0-1型；(2)设定目标函数: f=目标函数；(3)设定限定条件：F=set （限定条件）；多个限定条件用加号相连：F=set （限定条件）+set （限定条件1）+set （限定条件2）……；(4) 求解： solvesdp （F,f ）；这里解得是F 条件下目标函数f 的最小值，要求最大值f 前面加个负号。

求解之后查看数值: double （f ） double （变量）3.运用 yalmip 线性规划求解举例例1目标函数：max z=4x1+6x2+2x3s.t. -x1+3x2<=8-x2+3x3<=105x1-x3<=8x1、x2、x3>=0,x1、x2、x3为整数具体代码如下：x=intvar(1,3);f=[4 6 2]*x';F=set(x>0)+set([-1 3 0]*x'<=8)+set([0 -1 3]*x'<=10)+set([5 0 -1]*x'<=8);solvesdp(F,-f)double(f)double(x)运行结果：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≥≥=≤=取整数或或),,2,1(),,2,1(0),(..'min n j x n j x b Ax t s x c f j j ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=≤=)( .. min 的某些分量取整数x u x l h x G h Gx t s x f z b b eq eqans =34ans =2 3 4例2Max z=x1^2+x2^2+3*x3^2+4*x4^2+2*x5^2-8*x1-2*x2-3*x3-x4-2*x5s.t.x1+x2+x3+x4+x5<=400x1+2*x2+2*x3+x4+6*x5<=8002*x1+x2+6*x3<=800x3+x4+5*x5<=2000<=xi<=99 (i=1,2, (5)xi为整数x=intvar(1,5);f=[1 1 3 4 2]*(x'.^2)-[8 2 3 1 2]*x';F=set(0<=x<=99)+set([1 1 1 1 1]*x'<=400)+set([1 2 2 1 6]*x' <=800)+set([2 1 6 0 0]*x'<=800)+set([0 0 1 1 5] *x'<=200);solvesdp(F,-f)double(f)double(x)例3源代码f=-[2 1 4 3 1]';A=[0 2 1 4 2; 3 4 5 -1 -1];B=[54; 62];Ae=[];Be=[];xm=[0,0,3.32,0.678,2.57]';P= binvar(5,1);g=f'*P;F=set(A*P<=B)+set(xm<=P);sol=solvesdp(F,g);P=double(P)例4源代码1（使用yalmip）x=intvar(1,3);f=[6 3 4]*x';F= set([1 1 1]*x'>=120);F=F+set([1 0 0]*x' >=30)+set([0 1 0]*x'>=0)+set([0 1 0]*x'<=50)+set([0 0 1]*x' >=20); solvesdp(F,f)double(f)double(x)源代码2（使用linprog）c=[6 3 4];A=[1 1 1;0 1 0];b=[120 50];Aeq=[];beq=[];,vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)感谢东北大学数学系王琪的资料整理：一只帅气的皮皮侠2019.4.1。

matlab解决整数规划问题（蒙特卡洛法）

matlab解决整数规划问题（蒙特卡洛法）整数规划：clc,clear;c = [-40;-90];A = [9 7;7 20];b = [56;70];lb = zeros(2,1);[x,fval]= intlinprog(c,1:2,A,b,[],[],lb);fval = -fvalx分⽀定界法或者割平⾯法求解纯或者混合整数线性规划问题；输出：当条件A,B之间不是且关系⽽是或的时候：固定成本问题（最优化函数中含有与xi⽆关的常量，相当于固定成本，优化函数可以写成总固定成本加上总可变成本之和）：0-1整数规划问题（过滤隐枚举法，分枝隐枚举法）指派问题（0-1规划特殊情形：匈⽛利法）蒙特卡洛法（求解各种类型规划）下⾯主要介绍蒙特卡洛法（随机取样法）：例题：如果⽤显枚举法试探，需要计算1010个点，计算量巨⼤。

但是⽤蒙特卡洛去计算106个点便可以找到满意解。

前提：整数规划的最优点不是孤⽴的奇点；⽽采集106个点后，我们有很⼤把握最优值点在106个点之中；function [f,g] = mengte(x);f = x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-...x(4)-2*x(5);g = [sum(x)-400x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-8002*x(1)+x(2)+6*x(3)-200x(3)+x(4)+5*x(5)-200];rand('state',sum(clock));p0 = 0;ticfor i = 1:10^6x = 99*rand(5,1);x1 = floor(x);x2 = ceil(x);[f,g] = mengte(x1);if sum(g<=0)==4if p0<=fx0 = x1;p0=f;endend[f,g] = mengte(x2);if sum(g<=0)==4if p0 <= fx0 = x2;p0 = f;endendendx0,p0toc输出：蒙特卡洛法得到的解为最优解的近似解，10^6个数据已经⽤了将近7s的时间，所以如果增加⼗倍，可能得70s时间才能得到结果。

Matlab求解线性规划和整数规划问题

Matlab求解线性规划和整数规划问题Matlab是一种强大的数学计算工具，可以用于求解各种数学问题，包括线性规划和整数规划问题。

本文将详细介绍如何使用Matlab求解线性规划和整数规划问题，并提供相应的代码示例和结果分析。

一、线性规划问题的求解线性规划问题是一类常见的数学优化问题，其目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数最优化的变量值。

在Matlab中，可以使用线性规划函数“linprog”来求解线性规划问题。

下面以一个简单的线性规划问题为例进行说明。

假设有如下线性规划问题：目标函数：maximize 2x1 + 3x2约束条件：x1 + x2 ≤ 5x1 - x2 ≤ 2x1, x2 ≥ 0首先，我们需要定义目标函数的系数矩阵和约束条件的系数矩阵。

在Matlab 中，可以使用矩阵来表示这些系数。

可以按照以下方式定义：c = [-2; -3]; % 目标函数的系数矩阵A = [1 1; 1 -1]; % 约束条件的系数矩阵b = [5; 2]; % 约束条件的右侧常数然后，我们可以使用“linprog”函数来求解线性规划问题。

代码如下：x = linprog(c, A, b); % 求解线性规划问题最后，我们可以输出求解结果，并进行结果分析。

代码如下：disp('最优解为：')disp(x)disp('目标函数的最优值为：')disp(-c'*x)运行以上代码，即可得到线性规划问题的最优解和目标函数的最优值。

在这个例子中，最优解为x1=2，x2=3，目标函数的最优值为-13。

二、整数规划问题的求解整数规划问题是线性规划问题的一种扩展，其变量需要取整数值。

在Matlab 中，可以使用整数规划函数“intlinprog”来求解整数规划问题。

下面以一个简单的整数规划问题为例进行说明。

假设有如下整数规划问题：目标函数：minimize 2x1 + 3x2约束条件：x1 + x2 ≥ 5x1 - x2 ≤ 2x1, x2 ≥ 0x1, x2为整数首先，我们需要定义目标函数的系数矩阵和约束条件的系数矩阵。

整数规划Matlab

例：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） min Z x1 5 x 2
x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 30 4 x1 x , x 0且全为整数 1 2
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题(原整数规划问题的松驰问题) min Z x 5 x
1 2
x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 30 4 x1 x1 , x 2 0
记为（LP）
function [a1,a2,b1,b2]=intp(k,n,a,b,p) % k为分支变量的编号,n为矩阵a的列数,p是要分支变量值 d1=zeros(1,n); d1(k)=1; d2=d1; d2(k)=-1; a1=[a;d1] a2=[a;d2] f=[-1 -5]; a=[-1 1;5 6;1 0]; b=[2 30 4]';
x1 x2 2 5 x 6 x 30 2 1 4 x1 ( P3) 2 x1 x2 3 x1 , x2 0且为整数
只要求出（P3）和（P4）的最优解即可。
p=x2(2) % [a3,a4,b3,b4]=intp(2,2,a2,b2,p) %形成分支后的约束矩阵 [x3,fv3,e3]=linprog(f,a3,b3,[],[],lb) %x3 =(2.4, 3), fv3 = -17.4<-16, e3=1,继续分支. [x4,fv4,e4]=linprog(f,a4,b4,[],[],lb) % e4<0, 无可行解
⑵ A B
⑴ (18/11,40/11) C D E F
⑶
1
3
x1
如对P6继续分解，其最小值也不会低于－15.5 ，问题探明, 剪枝。

Matlab求解线性规划和整数规划问题

Matlab求解线性规划和整数规划问题Matlab是一款强大的数学建模和计算软件，可以用于求解各种数学问题，包括线性规划和整数规划问题。

本文将详细介绍如何使用Matlab来求解线性规划和整数规划问题，并给出相应的示例。

1. 线性规划问题求解步骤线性规划问题是一类数学优化问题，其目标函数和约束条件都是线性的。

求解线性规划问题的普通步骤如下：步骤1：定义决策变量首先，需要定义决策变量。

决策变量是问题中需要优化的变量，通常用符号x1, x2, ..., xn表示。

步骤2：定义目标函数其次，需要定义目标函数。

目标函数是需要最小化或者最大化的线性函数，通常用符号f(x)表示。

例如，最小化目标函数f(x) = c1*x1 + c2*x2 + ... + cn*xn。

步骤3：定义约束条件然后，需要定义约束条件。

约束条件是问题中需要满足的条件，通常用一组线性等式或者不等式表示。

例如，约束条件可以是 a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn <= b。

步骤4：求解线性规划问题最后，使用Matlab的线性规划求解函数进行求解。

Matlab提供了linprog函数来求解线性规划问题。

该函数的基本用法如下：[x, fval] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)其中，f是目标函数的系数向量，A和b是不等式约束条件的系数矩阵和右侧常数向量，Aeq和beq是等式约束条件的系数矩阵和右侧常数向量，lb和ub是决策变量的下界和上界。

函数的返回值x是最优解向量，fval是最优解对应的目标函数值。

2. 整数规划问题求解步骤整数规划问题是线性规划问题的一种扩展，要求决策变量必须取整数值。

求解整数规划问题的普通步骤如下：步骤1：定义决策变量同样，首先需要定义决策变量。

步骤2：定义目标函数和约束条件然后，定义目标函数和约束条件，与线性规划问题相似。

步骤3：求解整数规划问题最后，使用Matlab的整数规划求解函数进行求解。

整数规划与matlab1

割平面法
计算步骤: (1~3) 1、用单纯形法求解( IP )对应的松弛问题( LP )：
⑴.若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行解，停止计算。
⑵.若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，则( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。
⑶.若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件，转入下一步。
aij x j bi yi Mi (i 1,2,...,p)
j 1
p
yi p q
i 1
2. 0-1型整数规划的解法
n个变量有2n种组合，采用隐枚举法。列出2n种组合，先求出一个可行解，计算
目标函数值，作为当前的最优解。对于其它组合，先计算目标函数值，若不如当前的最优解，就不必检验它的可行性。
3
26
满足条件
Z值
是∨ 否×
∨
0
∨
5
∨
－2
∨
3
×
∨
8
×
×
0－1 整数规划求解
由上表可知，问题的最优解为 X*=( x1 =1 x2=0 x3=1 ) 由上表可知： x1 =0 x2=0 x3=1 是一个可行解，为尽快找到最优解，可将3 x1－2 x2＋5 x3 ≥5 作为一个约束，凡是目标函数值小于5 的组合不必讨论，如下表。
MATLAB命令 1、整数线性规划命令 intlinprog(c, intcon, A, b, Aeq, beq, VLB, VUB) 例如：intcon=1:2; %x(intcon)为整数.
2、0-1规划命令 *bintprog (c, A, b, Aeq, beq, x0, options)

整数规划_分支定界法_MATLAB程序

整数规划_分支定界法_MATLAB程序整数规划分支定界法MATLAB程序 1.这种方法绝对能都解出答案，而且答案正确 function [x,val]=fzdj(n,f,a,b,aeq,beq,lb,ub)x=zeros(n,1);x1=zeros(n,1);m1=2;m2=1;[x1,val1]=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub);if (x1==0)x=x1;val=val1;elseif (round(x1)==x1)x=x1;val=val1;elsee1={0,a,b,aeq,beq,lb,ub,x1,val1}; e(1,1)={e1};zl=0;zu=-val1;while (zu~=zl)for c=1:1:m2if (m1~=2)if (cell2mat(e{m1-1,c}(1))==1) e1={1,[],[],[],[],[],[],[],0};e(m1,c*2-1)={e1};e(m1,c*2)={e1};continue;end;end;x1=cell2mat(e{m1-1,c}(8)); x2=zeros(n,1);s=0;s1=1;s2=1;lb1=cell2mat(e{m1-1,c}(6)); ub1=cell2mat(e{m1-1,c}(7));lb2=cell2mat(e{m1-1,c}(6)); ub2=cell2mat(e{m1-1,c}(7)); for d=1:1:n if (abs((round(x1(d))-x1(d)))>0.0001)&(s==0)s=1;lb1(d)=fix(x1(d))+1;if (a*lb1<=b)s1=0;end;ub2(d)=fix(x1(d));if (a*lb2<=b)s2=0;end;end;end;e1={s1,a,b,aeq,beq,lb1,ub1,[],0}; e2={s2,a,b,aeq,beq,lb2,ub2,[],0}; e(m1,c*2-1)={e1};e(m1,c*2)={e2};end;m1=m1+1;m2=m2*2;for c=1:1:m2if (cell2mat(e{m1-1,c}(1))==0) [x1,val1]=linprog(f,cell2mat(e{m1-1,c}( 2)),cell2mat(e{m1-1,c}(3)),cell2mat(e{m1-1,c}(4)),cell2 mat(e{m1-1,c}(5)),cell2mat(e{m1-1,c}(6)),cell2mat(e{m1-1,c}(7)));e1={cell2mat(e{m1-1,c}(1)),cell2mat(e{m1-1,c}(2)),cell2mat(e{m1-1,c}(3)),cell2mat(e{m1-1,c}(4)),cell2mat(e{m1-1,c}(5)),cell2mat(e{m1-1,c}(6)),cell2mat(e{m1-1,c}(7)),x1,val1};e(m1-1,c)={e1};end;z=val1;if ((-z)<(-zl))e1={1,[],[],[],[],[],[],[],0}; e(m1-1,c)={e1};elseif (abs(round(x1)-x1)<=0.0001) zl=z;end;end;for c=1:1:m2if (cell2mat(e{m1-1,c}(1))==0) zu=cell2mat(e{m1-1,c}(9));end;end;for c=1:1:m2if (-cell2mat(e{m1-1,c}(9))>(-zu)) zu=cell2mat(e{m1-1,c}(9));end;end;end;for c=1:1:m2if (cell2mat(e{m1-1,c}(1))==0)&(cell2mat(e{m1-1,c}(9))==zu)x=cell2mat(e{m1-1,c}(8));end;end;val=zu;end;2.这种方法是课本上的程序，但是不能解题，希望高手能将它改进function [x,y]=IntLp(f,G,h,Geq,heq,lb,ub,x,id,options) %整数线性规划分支定界法，可求解全整数线性或混合整数线性规划%y=min f'*x subject to:G*x<=h Geq*x=heq x为全整数%数或混合整数列向量%用法% [x,y]=IntLp(f,G,h)% [x,y]=IntLp(f,G,h,Geq,heq)% [x,y]=IntLp(f,G,h,Geq,heq,lb,ub) %[x,y]=IntLp(f,G,h,Geq,heq,lb,ub,x) %[x,y]=IntLp(f,G,h,Geq,heq,lb,ub,x,id) %[x,y]=IntLp(f,G,h,Geq,heq,lb,ub,x,id,options) %参数说明% x:最优解列向量;y:目标函数最小值;f:目标函数系数列向量% G:约束不等式条件系数矩阵;h:约束不等式条件右端列向量% Gep:约束等式条件系数矩阵;heq:约束等式条件右端列向量% lb:解的下界列向量(Default:-inf)% ub:解得上界列向量(Default:inf)% x:迭代初值列向量;% id:整数变量指标列向量，1—整数，0—实数(default:1)% options的设置请参见 optimset或linprog%例 min z=x1+4x2%s.t. 2x1+x2<=8% x1+2x2>=6% x1,x2>=0且为整数%先将 x1+x2>=6 化为 -x1-2x2<=-6%[x,y]=IntLp([1;4],[2 1;-1 -2],[8;-6],[],[],[0;0]) global upper opt c x0 A b Aeq beq ID options; ifnargin<10,options=optimset({});options.Display='off';rgeScale='off';endif nargin<9,id=ones(size(f));endif nargin<8,x=[];endif nargin<7|isempty(ub),ub=inf*ones(size(f));end ifnargin<6|isempty(lb),lb=zeros(size(f));end if nargin<5,heq=[];end if nargin<4,Geq=[];endupper=inf;c=f;x0=x;A=G;b=h;Aeq=Geq;beq=heq;ID=id;ftemp=IntLp(lb(:),ub(:));x=opt;y=upper;%以下为子函数function ftemp=IntLp(vlb,vub)global upper opt c x0 A b Aeq beq ID options;[x,ftemp,how]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0,options);if how<=0return;end;if ftemp-upper>0.00005%in order to avoid errorreturn;end;if max(abs(x.*ID-round(x.*ID)))<0.00005if upper-ftemp>0.00005%in order to avoid erroropt=x';upper=ftemp;return;elseopt=[opt;x'];return;end;end;notintx=find(abs(x-round(x))>0.00005); %in order to avoid error intx=fix(x);tempvlb=vlb;tempvub=vub; ifvub(notintx(1,1),1)>=intx(notintx(1,1),1)+1tempvlb(notintx(1,1),1)=intx(notintx(1,1),1)+1;ftemp=IntLp(tempvlb,vub);end;if vlb(notintx(1,1),1)<=intx(notintx(1,1),1)tempvub(notintx(1,1),1)=intx(notintx(1,1),1);ftemp=IntLp(vlb,tempvub);end;3.这种方法是我网上搜的，也不能解题，希望高手改进function [y,fval]=BranchBound(c,A,b,Aeq,beq) NL=length(c); UB=inf;LB=-inf;FN=[0];AA(1)={A};BB(1)={b};k=0;flag=0;while flag==0;[x,fval,exitFlag]=linprog(c,A,b,Aeq,beq);if (exitFlag == -2) | (fval >= UB) FN(1)=[];if isempty(FN)==1flag=1;elsek=FN(1);A=AA{k};b=BB{k};endelsefor i=1:NLif abs(x(i)-round(x(i)))>1e-7kk=FN(end);FN=[FN,kk+1,kk+2];temp_A=zeros(1,NL);temp_A(i)=1;temp_A1=[A;temp_A];AA(kk+1)={temp_A1};b1=[b;fix(x(i))];BB(kk+1)={b1};temp_A2=[A;-temp_A];AA(kk+2)={temp_A2};b2=[b;-(fix(x(i))+1)];BB(kk+2)={b2};FN(1)=[];k=FN(1);A=AA{k};b=BB{k};break;endendif (i==NL) & (abs(x(i)-round(x(i)))<=1e-7)UB=fval;y=x;FN(1)=[];if isempty(FN)==1flag=1;elsek=FN(1);A=AA{k};b=BB{k};endendendendy=round(y);fval=c*y;以上程序都是我网上搜到的，还有自己从课本上自己敲的，第一个程序能成功解出答案，后两个不能，也许是程序有问题，也许是我不会调用，希望高手指点，帮助更多朋友们能够应用这三个程序～～～。

Matlab求解线性规划和整数规划问题

Matlab求解线性规划和整数规划问题Matlab是一种强大的数学软件，可以用于求解各种数学问题，包括线性规划和整数规划问题。

本文将详细介绍如何使用Matlab来求解这两类问题。

一、线性规划问题的求解线性规划是一种优化问题，其目标是在给定的约束条件下，最大化或者最小化一个线性目标函数。

下面是一个线性规划问题的标准形式：最小化：C^T * X约束条件：A * X <= BX >= 0其中，C是一个n维向量，X是一个n维向量，A是一个m×n维矩阵，B是一个m维向量。

在Matlab中，可以使用linprog函数来求解线性规划问题。

下面是一个示例：```matlabC = [-1; -2]; % 目标函数的系数向量A = [1, 1; -1, 2; 3, 2]; % 约束条件的系数矩阵B = [2; 2; 6]; % 约束条件的右侧常数向量LB = [0; 0]; % 变量的下界UB = []; % 变量的上界[X, FVAL, EXITFLAG] = linprog(C, A, B, [], [], LB, UB);```在上述示例中，C是一个2维向量，A是一个3×2维矩阵，B是一个3维向量。

linprog函数的输出参数X是最优解，FVAL是最优解对应的目标函数值，EXITFLAG是求解器的退出标志。

二、整数规划问题的求解整数规划是一种线性规划问题的扩展，其变量需要取整数值。

在Matlab中，可以使用intlinprog函数来求解整数规划问题。

下面是一个示例：```matlabC = [-1; -2]; % 目标函数的系数向量A = [1, 1; -1, 2; 3, 2]; % 约束条件的系数矩阵B = [2; 2; 6]; % 约束条件的右侧常数向量LB = [0; 0]; % 变量的下界UB = []; % 变量的上界INTCON = [1; 2]; % 整数变量的索引[X, FVAL, EXITFLAG] = intlinprog(C, INTCON, A, B, [], [], LB, UB);```在上述示例中，INTCON是一个整数变量的索引向量，表示哪些变量需要取整数值。

如何使用Matlab进行线性规划与整数规划

如何使用Matlab进行线性规划与整数规划引言在现代科技逐渐发展的背景下，线性规划和整数规划作为一种数学优化方法，被广泛应用于各个领域。

Matlab作为一种强大的数值计算工具，提供了各种优化工具箱，可以方便地进行线性规划和整数规划的求解。

本文将详细介绍如何使用Matlab进行线性规划和整数规划求解，并结合实例进行说明。

一、线性规划的基本概念线性规划是一种数学规划方法，其目标是在一组线性约束条件下寻找一组变量的最优解，使得目标函数值达到最大或最小。

线性规划的标准形式可以表示为：min/max f(x) = c^T * xs.t. A * x <= bAeq * x = beqlb <= x <= ub其中，f(x)为线性目标函数，c为其系数向量；x为变量向量；A、b、Aeq、beq 分别为不等式约束和等式约束的系数矩阵和向量；lb和ub分别为变量的下界和上界。

二、使用Matlab进行线性规划求解Matlab提供了优化工具箱，其中的linprog函数可以方便地求解线性规划问题。

以下是使用linprog函数求解线性规划问题的基本步骤：Step 1: 定义目标函数和约束条件首先，需要定义目标函数和约束条件的系数。

假设我们要最小化目标函数 f(x) = 2x1 + 3x2，约束条件为 2x1 + x2 <= 10，x1 + 3x2 <= 15，x1和x2的取值范围均为非负实数。

c = [2; 3]; % 目标函数的系数向量A = [2, 1; 1, 3]; % 不等式约束的系数矩阵b = [10; 15]; % 不等式约束的右侧系数向量lb = [0; 0]; % 变量的下界Step 2: 调用linprog函数求解线性规划问题然后，可以使用linprog函数求解线性规划问题。

该函数的基本语法为：[x, fval] = linprog(c, A, b, [], [], lb);其中，x为求解得到的最优解，fval为最优解对应的目标函数值。

分支定界法Matlab程序实现与验证

x1, x2 int
min z 3x1 2x2
24x1x13xx22
14.5 16.5

x1, x2 0
（2）通过如下 Matlab 程序进行求解
f=[-3 -2];
A=[2 3;4 1];
B=[14.5 16.5];
lb=[0 0];
ub=[inf,inf];
分支定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在 20 世纪 60 年代初
2
由 Land Doig 和 Dakin 等人提出。由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。
设有最大化的整数规划问题 A，与它相应的线性规划为问题 B，从解问题 B 开始，若其最优解不符合 A 的整数条件，那么 B 的最优目标函数必是 A 的最优目标函数 z*的上界，记作 z ，而 A 的任意可行解的目标函数值将是 z*的一个下界 z 。分支定界法就是将 B 的可行域分成子区域(称为分支)的方法，逐步减小 z 和增大 z ，最终求到 z*。
4 分支定界法 Matlab 函数 jBranchBound 程序源代码
根据上述程序设计逻辑结构，设计分支定界法的 Matlab 函数源代码如下：
function [xOut,fitOut,flagOut]=jBranchBound(c,A,B,Aeq,beq,vlb,vub,optXin,optF)
现用下例来说明，例 2：
max z 40x1 90x2
9x1 7x2 56
7
x1

20x2 70 x1, x2 0
x1, x2 int
图 1 分支定界法求解示例的过程
《运筹学》教材编写组《运筹学》第三版 p117，清华大学出版社