人教版九年级数学上册知识点总结：旋转
人教版数学九年级上册课件14-第二十三章23.1图形的旋转
例2 (2020北京东城期末)如图23-1-2,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点 A的对应点D恰好落在边AB上,点B的对应点为E,连接BE,下列四个结论:①AC=AD; ②AB⊥EB;③BC=EC;④∠A=∠EBC.其中一定正确的是 ( )
2
+∠EBC不一定等于90°,故②不一定正确.综上所述,一定正确的是③④.故选C.
答案 C
温馨提醒 利用旋转的性质解决问题时,要准确确定旋转的对应线段、对应 角、旋转角等,然后利用旋转的性质求线段的长度、角的度数等.
知识点三 旋转作图
旋转作图 的依据 作图要素 作图步骤
(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (2)对应点到旋转中心的距离相等
答案 (1)A (2)60° (3)等边 方法归纳 一个图形由一个位置旋转到另一个位置,如果有固定不动的点,那
么这个点就是旋转中心,对应点与旋转中心所连线段的夹角就是旋转角.
知识点二 旋转的性质
旋转的性质 重点解读
(1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等
经典例题全解
题型一 利用旋转的性质求线段长度或角度 例1 (2019天津滨海新区期中)如图23-1-5,点O是等边三角形ABC内的一点, ∠BOC=150°,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得到△ADC,连接OD,OA. (1)求∠ODC的度数; (2)若OB=2,OC=3,求AO的长.
图23-1-5
图23-1-3
人教版九年级数学上册作业课件 第二十三章 旋 转 图形的旋转 第2课时 旋转作图
6．如图，正方形 OABC 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，
将正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45°，得到正方形 OA′B′C′，则
点 C′的坐标为( A．( 2 ， 2 )
A) B．(－ 2 ， 2 )
C．( 2 ，－ 2 ) D．(2 2 ，2 2 )
7．(2020·烟台)如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)， 连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合 (点A与点C重合，点B与点D重合)，则这个旋转中心的坐标为__(4_，__2_)___．
8．如图，在平面直角坐标系中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到， 则点P的坐标为__________(_1_，__－__1_)___________．
易错点：对图形的旋转方式考虑不全面 9．如图，如果正方形CDEF经过旋转后能与正方形ABCD重合，那么 图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有_3___个．
角形．
解：如图
4．如图，△ABC绕点O旋转，顶点A的对应点为A′，请画出旋转后的
图形．
解：如图
知识点2：在平面直角坐标系中的图形旋转
5．(孝感中考)如图，在平面直角坐标系中，将点P(2，3)绕原点O顺时
针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为(
)D
A．(3，2) B．(3，－1) C．(2，－3) D．(3，－2)
解：(1)如图所示，△A1B1C1 即为所求 (2)如图所示，△A2B2C2 即为所 求 (3)三角形的形状为等腰直角三角形 ，OB＝OA1＝ 16＋1 ＝
17 ，A1B＝ 25＋9 ＝ 34 ，即 OB2＋OA12＝A1B2，∴三角形的形 状为等腰直角三角形
最新人教版数学九年级上册第二十三章—旋转知识点总结及其练习
第二十三章—旋转一、旋转变换1、旋转的定义把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P＇,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
2、旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。
）（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
3、作旋转后的图形的一般步骤（1）明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；（2）确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；（3）顺次连结。
4、欣赏较复杂旋转图形图形是由什么基本图形，以哪个点为中心，按哪个方向（顺时针或逆时针）旋转多少度，连续旋转几次，便得到美丽的图案。
5、有关图形旋转的一些计算题和证明题例题练习1.将叶片图案旋转180°后，得到的图形是( )2.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则等于（）A.60°B.105°C.120°D.135°3.如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是()A.50°B.60°C.70°D.80°4.数学来源于生活,下列生活中的运动属于旋转的是 ( )A.国旗上升的过程B.球场上滚动的足球C.工作中的风力发电机叶片D.传输带运输东西5.如图,将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是 ( )6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=30°,点D、E分别为AB、AC上的点,且DE∥BC.将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上,连接BD、EC.下列结论:①△ADE的旋转角为120°;②BD=EC;③BE=AD+AC;④DE⊥AC.其中正确的为( )A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④7.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,且点D恰好在AC上,∠BAE=∠CDE=136°,则∠C的度数是（）8.如图,以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF,连接BE、CF.(1)求证:△FAC≌△BAE;(2)图中可以通过旋转△BAE而得到△FAC,请你说出旋转中心、旋转方向和旋转角的度数.9.如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上的动点(不与B,C重合),将线段AE 绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接AF,EF、AF分别与CD交于点M、N,连接EN,作FG⊥BC交BC的延长线于点G.(1)求证:BE=CG;(2)若BE=2,DN=3,求EN的长.二、中心对称图形1、中心对称的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
初中数学九年级上册知识点及公式总结大全(人教版)
九年级数学（上）知识点（２）被开方数中不含有开得尽方的整数或整式。
３、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
７、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，在合并同类二次根式，合并同类二次根式与合并同类项类似，将同类二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变。
注意：二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类二次根式不能合并。
８、二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。
在运算过程中，有理数（式）中的运算率及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用。
９、比较两数大小的常用方法：（１）平方法：若ａ＞０，ｂ＞０，且ａ²＞ｂ²，则ａ＞ｂ；（２）把跟号外的非负因式移到根号内，然后比较被开方数的大小。
第二十二章一元二次根式一．知识框二.知识概念１.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程．2 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax +bx+c=0（a≠0）．2这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．２.一元二次方程的解法：2（1）运用开平方法解形如（x+m） =n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．２（2）配方法：将一元二次方程变形为(x+p) =q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q ＜0,方程无实根．2 2（3）公式法：将方程化为一般形式ax +bx+c=0，当b -4ac≥0时，将a、b、c代入式子第二十三章旋转一.知识框架二．知识概念 1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
最新人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结(内部资料打印版)
21.1 二次根式知识点一 二次根式的概念(1) 一般地,我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式。
二次根式a 的实质是一个非负数a 的算术平方根。
其中“”叫做二次根号。
(2) 正确理解二次根式的概念，要把握以下几点： ① 二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“”。
如4是二次根式，虽然4=2，但2不是二次根式。
② 被开方数a 必须是非负数，即a ≥0.如3-就不是二次根式，但式子)3(-2是二次根式。
③ “”的根指数为2，即“2”，一般省略根指数2，写作“”，注意，不可误认为根指数是“1”或“0”。
提示：判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。
知识点二 二次根式的性质 (1)a (a ≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a ≥(a ≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性。
(2)(a )2= a (a ≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根式的化简和计算，可以去掉根号；逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式，常用于多项式的因式分解。
(3)a 2= a (a ≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即当被开方数能化为完全平方数(式)时，就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。
知识点三 代数式定义：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。
21.2 二次根式的乘除知识点一 二次根式的乘法法则 一般地，对二次根式的乘法规定：a ·b =ab (a ≥0,b ≥0)，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
知识点二 积的算术平方根的性质ab =a ·b (a ≥0，b ≥0)，积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积。
知识点三 二次根式的除法法则 一般地，对二次根式的除法规定：b a =ba (a ≥0，b ＞0)，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
人教版初中九年级数学上册第二十三章《旋转》知识点复习(含答案解析)
一、选择题1．下列图形一定不是中心对称图形的是（ ）A ．正六边形B ．线段()213y x x =-+≤≤C ．圆D ．抛物线2y x x =+ 2．如图，将△ABC 绕点C(0,1)旋转180°得到△A′B′C′，设点A 的坐标为(,)a b ，则点A′的坐标为( )A ．(,)a b --B ．2(),a b --+C ．(),1a b --+D ．(,1)a b --- 3．如图，在等边△ABC 中，AC=8，点O 在AC 上，且AO=3，点P 是边AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．8 4．以原点为中心，将点P （3，4）旋转90°，得到的点Q 所在的象限为（ ） A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第二或第四象限 5．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,1)-，将OA 绕原点O 按顺时针方向旋转90︒得到OA '，则点A '的坐标为（ ）A ．(3,1)B ．(3,1)-C ．(1,3)--D ．(1,3)7．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，1BC =，A B C ''由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A '与点A 、点B '与点B 是对应点，连接AB '，且点A 、B '、A '在同一条直线上，则AA '的长为（ ）A ．3B ．23C ．4D ．458．下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60︒得到线段BO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60︒得到；②点O 与O '的距离为4；③150AOB ︒∠=；④633AOBO S '=+四边形．其中正确的结论有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，等边△OAB 的边OB 在x 轴上，点B 坐标为（2，0），以点O 为旋转中心，把△OAB 逆时针转90︒，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．（-13）B 3-1）C ．（31-，）D ．（-2，1） 11．已知等边△ABC 的边长为8，点P 是边BC 上的动点，将△ABP 绕A 逆时针转60°得到△ACQ ，点D 是AC 边的中点，连接DQ ，则DQ 的最小值是 ( )A ．2B ．23C ．4D ．不能确定 12．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 13．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ． 14．如图，在平面直角坐标系中Rt △ABC 的斜边BC 在x 轴上，点B 坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt △ABC 先绕B 点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A 点的对应点A′的坐标为（ ）A ．（﹣4，﹣2﹣3）B ．（﹣4，﹣2+3）C ．（﹣2，﹣2+3）D ．（﹣2，﹣2﹣3）15．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD ⊥BC ，∠BAC 的度数为（ ）．A ．60 °B ．75°C ．85°D ．90°二、填空题16．有两个直角三角板，其中45E ∠=︒，30C ∠=︒，按图①的方式叠放，先将ABC固定，再将AED 绕顶点A 顺时针旋转，使//BC DE （如图②所示），则旋转角BAD ∠的度数为______．17．若点M （3，a ﹣2），N （b ，a ）关于原点对称，则ab ＝_____．18．如图，将边长为6的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30︒后得到正方形A B C D ''''，则图中阴影部分面积为____________．19．在ABC 中，2AB =，3AC =，以CB 为边作一个形状等边三角形BCD △，则DA 的最大值是________．20．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 在边CD 上．以点A 为中心，把ADE 顺时针旋转90︒至ABF 的位置，若2DE =，则FC =________．21．如图，在ABC 中，4AB =， 5.8BC =，60B ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为________．22．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC≌△DEF关于点H成中心对称，则对称中心H 点的坐标是_________．23．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝80°，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△DBE，若DE∥BC，则旋转的最小度数为_____．24．如图，△ABC中，∠BAC＝20°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点C、D，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是_____°．25．如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．将Rt ABC绕点A逆时针旋转△，使点C '落在AB边上，连结BB'，则BB'的长度为_________．得到Rt AB C''26．一副直角三角尺叠放，如图①所示，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两个三角尺有一组边互相平行．例如图②，当∠BAD=15°时，BC∥DE，当90°<∠BAD<180°时，∠BAD的度数为___．三、解答题27．如图，在一个1010⨯的正方形网格中有一个,ABC ABC ∆∆的顶点都在格点上．（1）在网格中画出ABC ∆向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的111A B C ∆． （2）在网格中画出ABC ∆关于点P 成中心对称得到的222A B C ∆．（3）若可将111A B C ∆绕点О旋转得到222A B C ∆，请在正方形网格中标出点O ，连接12A A 和12B B ，请直接写出四边形2211A B A B 的面积．28．已知30AOB ∠=，P 为射线OB 上一点，M 为射线OA 上一动点，连接PM ， 满足OMP ∠为钝角，将线段PM 绕点 P 顺时针旋转150，得到线段PN ，连接ON ． （1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）在射线 MA 上取点D ，点M 关于点D 的对称点为E ，连接EP ，当PDO ∠= 时，使得对于任意的点M ，总有ON EP =，并证明29．如图，四边形ABCD 中，45ABC ADC ∠=∠=︒，将BCD △绕点C 顺时针旋转一定角度后，点B 的对应点恰好与点A 重合，得到ACE △．（1）请求出旋转角的度数；（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由．30．江都大润发超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克．经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题：（1）填空：每千克水产品获利元，月销售量减少千克；（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？。
【人教版】九年级上册数学课件：第23章《旋转》
中心对称 有一个对称中心——点 图形绕中心旋转 180° 旋转后与另一个图形重合
轴对称 有一条对称轴——直线 图形沿轴折叠 折叠后与另一个图形重合
知识点一 知识点二 知识点三
教材新知精讲
例1 下列图形中哪两个图形成中心对称 ( )
综合知识拓展
拓展点一 拓展点二 拓展点三
分析:(1)根据等边三角形的性质,得到四边形ABDC是菱形,从而 再根据菱形是中心对称图形,得到旋转中心有B点、C点、BC的中 点;
(2)根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断.
解:(1)∵等边三角形ABC和等边三角形DBC有公共的底边BC, ∴AB=AC=CD=BD,∴四边形ABDC是菱形. ∴要旋转△DBC,使△DBC与△ABC重合,旋转中心有三点,分别
教材新知精讲
名师解读:可以这样理解和识别旋转的相关概念: (1)旋转中心:旋转中心可以是平面内的任意一点. 注意:旋转中心是点,而不是直线,如生活中的开门、关门,虽然门 转动了,但它是绕轴旋转一定的角度,所以它不属于我们要研究的 绕定点旋转. (2)旋转角:因为经过旋转,图形上的每一个点都绕旋转中心沿相 同方向转动了相同的角度,所以任意一对对应点与旋转中心的连线 所成的角都是旋转角. (3)旋转方向:旋转方向通常是指顺时针旋转或逆时针旋转. 这三个方面构成的旋转的三要素,三者缺一不可.
知识点二中心对称的性质 中心对称的性质:(1)中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过 对称中心,而且被对称中心所平分.(2)中心对称的两个图形是全等 形.
名师解读:由于成中心对称的两个图形是全等形,所以对应线段 相等、对应角相等.对称中心是对应点连线的中点.
新人教版九年级上册数学[《旋转》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](提高)
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新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C''').要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．对应线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．【典型例题】类型一、旋转1．如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE都是直角，点C在AE上，如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合.①请指出其旋转中心与旋转角度；②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？【答案与解析】①旋转中心：点A；旋转角度：45°（逆时针旋转）②以点A为旋转中心，将图1顺时针（或逆时针）旋转90°三次得到图2.【总结升华】此类题型要把握好旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.举一反三：【变式】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（）A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的.B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的.C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的.D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的.【答案】A.类型二、中心对称2. 如图，△ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．⑴将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3；⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______．【答案与解析】⑷△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称，对称轴是y轴．△A3B3C3与△A1B1C1成中心对称，对称中心的坐标是(2，0)．【总结升华】注意观察中心对称和旋转对称的关系.举一反三：【变式】如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．【答案】类型三、平移、轴对称、旋转【: 388636：经典例题2-3】3.（2015•北京校级模拟）如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，F为线段BD的中点．则线段EF与FC的数量关系是；∠EFD的度数为；（2）如图2，在图1的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点．则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论；（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置，F为线段BD的中点，连接EF、FC，请你完成图3，并直接写出线段EF与FC的关系（无需证明）．【思路点拨】（1）易得△EFC是等腰直角三角形，那么EF=FC，∠EFD=90°．（2）延长线段CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC，易证△BFC≌△DFM，进而可以证明△MDE≌△CAE，即可证明EF=FC，EF⊥FC；（3）基本方法同（2）．【答案与解析】解：（1）EF=FC，90°．（2）延长CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC，如下图2∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，∴△BFC≌△DFM，∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，∴MD=AC，MD∥BC，∵ED=EA，∠MDE=∠EAC=135°，∴△MDE≌△CAE，∴ME=EC，∠DEM=∠CEA，∴∠MEC=90°，∴EF=FC，EF⊥FC（3）图形如下，结论为：EF=FC，EF⊥FC．【总结升华】延长过三角形的中线构造全等三角形是常用的辅助线方法，证明线段相等的问题可以转化为证明三角形全等的问题解决．举一反三：【变式】如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AC=2，AB=23，△ACD 是等边三角形． （1）求∠ABC 的度数．（2）以点A 为中心，把△ABD 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形． （3）求BD 的长度．【答案】（1）Rt △ABC 中，AC=2，AB=23, ∴BC=4， ∴∠ABC=30° （2）如图所示：（3）连接BE ．由（2）知：△ACE ≌△ADB ， ∴AE=AB ，∠BAE=60°，BD=EC ， ∴BE=AE=AB=23，∠EBA=60°， ∴∠EBC=90°， 又BC=2AC=4，∴Rt △EBC 中，EC=2223+4=27（）4.（2015•东西湖区校级模拟）如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，连接AF．（1）填空：线段BE、AF的数量关系为，位置关系为；（2）当=时，求证：=2；（3）若当=n时，=，请直接写出n的值．【思路点拨】（1）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥CE，可推出∠ECB=∠ACF，且CE=CF，由此可得△ECB≌△FCA，即得BE=AF，∠CBE=∠CAF，且∠CBE+∠CAB=90°，故∠CAF+∠CAB=90°，即BE⊥AF；（2）作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，可得出GM=GN，从而有S△AEG=2S△AFG，即证=2；（3）根据（2）的推理过程，知S△AEG=nS△AFG，则，即可求得n的值．【答案与解析】（1）解：∵∠ACB=90°，CF⊥CE，∴∠ECB=∠ACF．又AC=BC，CE=CF，∴△ECB≌△FCA．∴BE=AF，∠CBE=∠CAF，又∠CBE+∠CAB=90°，∴∠CAF+∠CAB=90°，即BE=AF，BE⊥AF．（2）证明：作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，∵△ACF可由△BCE绕点C顺时针方向旋转90°而得到，∴AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°．∴AE=2AF，∠CAF=∠CAB，∴GM=GN．∴S△AEG=2S△AFG，∴EG=2GF，∴=2．（3）解：由（2），得当=n时，S△AEG=nS△AFG，则， ∴当n=时，=．【总结升华】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，能够从特殊推广到一般发现规律． 【:388636：经典例题4-5】5.已知：点P 是正方形ABCD 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，（1）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC 的长.(2)若2222PB PC PA =+，请说明点P 必在对角线AC 上.【思路点拨】通过旋转，把PA 、PB 、PC 或关联的线段集中到同一个三角形，再根据两边的平方和等于第三边求证直角三角形，可以求解∠APD ． 【答案与解析】(1)∵AB=BC,∠ABC=90°，∴△CBP 绕点B 逆时针旋转90°，得到△ABE, ∵BC=BA,BP=BE,∠CBP=∠ABE ∴△CBP ≌△ABE ∴AE=PC∵BE=BP,∠PBE=90°，PB=4 ∴∠BPE=45°，PE=42 又∵∠APB=135° ∴∠APE=90° ∴222AE AP EP =+ 即AE=6, 所以PC=6.(2)由（1）证得：PE=2BP,PC=AE ∵2222PB PC PA =+ ∴222PA AE PE += ∴∠PAE=90° 即∠PAB+∠BAE=90°又∵由（1）证得∠BAE=∠BCP∴∠PAB+∠BCP=90又∵∠ABC=90°∴点A,P,C三点共线，即P必在对角线AC上.【总结升华】注意勾股定理及逆定理的灵活运用.举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD中，AB=BC，，K为AB上一点，N为BC上一点.若的周长等于AB的2倍，求的度数.【答案】显然，绕点D顺时针方向旋转至6如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3～图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.⑴将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；⑵将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；⑶将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.【答案与解析】⑴平移的距离为5cm（即）⑵⑶证明：在△AHE与△DHB1中∴△AHE≌△DHB1（AAS）∴AH=DH.【总结升华】注意平移和旋转综合运用时找出不变量是解题的关键.。
-学九级数学上册第二十三章旋转教案人教版
- 发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料，包括PPT、视频和文档等，明确预习目标和要求。
- 设计预习问题：围绕“旋转”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。
- 监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。
学生活动：
- 自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解旋转的概念和性质。
- 实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握旋转技能。
- 合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
作用与目的：
- 帮助学生深入理解旋转的知识点，掌握旋转技能。
- 通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
- 通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3. 课后拓展应用
2. 旋转可以改变图形的位置，但不改变图形的大小和形状。（√）
3. 旋转后，图形上的对应点、对应线段和对应角保持不变。（√）
4. 旋转后的图形与原图形完全相同。（×）
5. 旋转的计算方法是已知一个图形绕某点旋转一个角度，求旋转后图形的位置。（√）
（2）选择题（每题3分，共15分）
1. 下列图形中，哪个图形是旋转对称图形？
- 培养学生的自主学习能力和独立思考能力。
2. 课中强化技能
教师活动：
- 导入新课：通过一个有趣的旋转实例或视频，引出“旋转”课题，激发学生的学习兴趣。
- 讲解知识点：详细讲解旋转的定义、性质和计算方法，结合实例帮助学生理解。
- 组织课堂活动：设计小组讨论、实际操作等活动，让学生在实践中掌握旋转技能。
（3）解决实际问题：鼓励学生运用旋转知识解决实际问题，如在制作几何模型、设计电路图等方面运用旋转的原理，提高学生解决实际问题的能力。
人教版初中九年级数学上册第二十三章《旋转》知识点(含答案解析)
一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，点D 在AC 边上．将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD ′，且D ′、D 、B 三点在同一条直线上，则∠ABD 的大小为（ ）A ．15°B ．22.5°C ．25°D ．30°2．下面四个图案是常用的交通标志，其中为中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．如图，OAB 绕点O 逆时针旋转80°到OCD 的位置，已知45AOB ∠=︒，则AOD ∠等于（ ）A ．45°B ．35°C ．25°D ．15° 4．如图，将△ABC 绕点C(0,1)旋转180°得到△A′B′C′，设点A 的坐标为(,)a b ，则点A′的坐标为( )A ．(,)a b --B ．2(),a b --+C ．(),1a b --+D ．(,1)a b --- 5．如图所示，把ABC 绕C 点旋转35︒，得到A B C '''，A B ''交AC 于点D ，若90A DC '∠=︒，则A ∠等于（ ）A ．35︒B ．65︒C ．55︒D ．45︒6．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 旋转，得到正方形CEFG ，在旋转过程中，则线段AE 的最小值为（ ）A ．32-B ．2-1C ．0．5D ．512- 7．如图，将一个含30角的直角三角尺AOB 放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重叠．已知30OAB ∠=︒，12AB =，点D 为斜边AB 的中点，现将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，则点D 的对应点D 的坐标为（ ）A ．(33,3)B ．(63,6)-C ．(3,33)-D ．(33,3)- 8．已知Rt ABC ∆中，两条直角边4AC =，3BC =，将ABC ∆绕斜边中点O 旋转，使直角顶点与点B 重合，得到与ABC ∆全等的EDB ∆，BE 边和AC 相交于点F ，则EF 的值是（ ）A ．78B ．1C ．45D ．239．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．11．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能12．已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是( )A．22B．4 C．23D．不能确定13．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转90 得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为（）A．（2，2）B．（2，4）C．（4，2）D．（1，2）14．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．15．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．若点M （3，a ﹣2），N （b ，a ）关于原点对称，则ab ＝_____．17．如图，O 是正方形ABCD 的中心，M 是ABCD 内一点，90DMC ∠=︒，将DMC 绕O 点旋转180°后得到BNA ．若3MD =，4CM =，则MN 的长为______．18．如图，在ABC 中，AB AC =，30B ∠=︒，将ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转一周，当BC 边的对应边与AC 平行时，旋转角为______度．19．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到A B C ''，点M 是BC 的中点，点P 是A B ''的中点，连接PM ．若4BC =，30A ∠=︒，则在旋转一周的过程中线段PM 长度的最大值等于_____．20．如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕30角的顶点B 顺时计旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则BCD ∠的度数为______．21．如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A 'B 'C '，此时A ′B ′⊥AC 于D ，已知∠A ＝50°，则∠B ′CB 的度数是_____°．22．如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，添加一个条件_____，使四边形ABCD 为矩形．23．一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转(090)αα<<，使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为______.24．如图，小正方形方格的边长都是1，点A 、B 、C 、D 、O 都是小正方形的顶点．若COD 是由AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．25．如图，正方形ABCD 的边长为2，BE 平分∠DBC 交CD 于点E ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△DCF ，延长BE 交DF 于G ，则BF 的长为_____．26．如图，O 是正△ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，下列结论正确有______．(请填序号)①点O 与O '的距离为4；②150AOB ∠=︒；③633AOBO S '=+四边形④9634AOC AOB S S +=+△△．三、解答题27．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （-1，1）、B （-3，1）、C （-1，4）．（1）画出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C ；（2）画出△ABC 关于点P （1，0）对称的△A 2B 2C 2．28．在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=．（1）直接写出ABC ∠的大小为______．（用含α的式子表示）（2）当060α︒<<︒时，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，连接AD 、CD ．①求证：ABD ACD ∆≅∆；②当40α=︒，求ACD ∠的度数．29．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0 0)O ，，点(10 0)A ，，点(0 6)B ，．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为点D ，E ， F ．（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ．①求证ADB △≌BCA ；②求出ABH 面积．30．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下列两种基本图形，请给予证明．（1）如图1，AC 与BD 交于点O ，AB ∥CD ，AB=CD ，求证：OA=OC ．（2）如图2，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．求证：BD ＝AE ．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们用图1或图2的基本图形来解决问题：如图3，把一块含45°的直角三角板ABC （即ABC ∆是等腰直角三角形，90C =∠，AC BC =）绕点A 逆时针旋转后成为ADE ∆，已知点B 、C 的对应点分别是点D 、E ．连结BD ，并作射线CE 交BD 于点F ，试探究在旋转过程中，DF 与BF 的大小关系如何，并证明．。
人教版九年级数学旋转知识点总结与练习
人教版九年级数学旋转知识点总结与练习旋转知识点总结与练知识点1：旋转的定义旋转是指将平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换，其中点O称为旋转中心，旋转角为旋转的角度。
旋转的三个要素是旋转中心、旋转方向和旋转角度。
1.如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（）。
2.如图2，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）。
知识点1：旋转的性质旋转具有以下性质：1)对应点到旋转中心的距离不变；2)对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角度；3)旋转前后的两个图形全等。
图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转。
3.如图，将△XXX绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）。
4.如图，直线y=-4x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO' B'，则点B'的坐标是（）。
知识点1：旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形。
5.在下图4×4的正方形网格中，△XXX绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）。
知识点2：中心对称中心对称是指将一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，旋转后能够重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的两个图形能够完全重合，即形状大小都相同，位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合。
6.如图所示，在下列四组图形中，右边图形与左边图形成中心对称的有（）。
中心对称的性质是，中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心所平分。
人教版初中数学九年级上册第二十三章：旋转(全章教案)
第二十三章旋转本章的内容包括：图形的旋转的概念与性质，中心对称(图形)的概念及性质，简单的图案设计．教材通过具体事例认识平面图形的旋转，探索旋转的基本性质；能够按要求画出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；通过具体实例认识中心对称图形的概念，探索它们的基本性质；探索图形之间的变化关系，会用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计．本章内容是中考的必考内容，主要考查图形的旋转的性质，中心对称(图形)的概念及性质．【本章重点】平面图形的旋转变换和中心对称图形的性质．【本章难点】旋转作图、中心对称、旋转等图形变换的灵活运用．【本章思想方法】1．体会对比数学思想．如：本章中要运用对比法学习图形的旋转，将变化前后的图形互相对比，可以发现旋转前后的图形只存在位置上的不同，从而，由旋转的定义及特征，进一步发展空间观念，提升设计图案能力．2．体会和掌握转化思想．如：在利用旋转的性质进行计算和证明时，利用转化法把求线段的相等转化为关于旋转的性质的问题．3．掌握数形结合思想．如：在解旋转知识与平面直角坐标系等知识的综合题时，利用几何图形将“数”与“形”结合起来，运用数形结合的思想解答．23.1图形的旋转1课时23.2中心对称3课时23.3课题学习图案设计1课时23.1图形的旋转一、基本目标【知识与技能】1．了解旋转及其旋转中心、旋转角、对应点的概念及应用它们解决一些实际问题．2．通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质．3．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形．【过程与方法】通过具体实例认识平面图形的旋转，通过提问、小组交流等方式探讨旋转的基本性质．【情感态度与价值观】1．通过具体实例认识平面图形的旋转，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．2．了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】旋转及对应点的有关概念及其应用．【教学难点】旋转的基本性质．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P59～P62的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．观察教材P59“思考”，回答问题．(1)教材上面的情景中的转动现象，有什么共同的特征？解：指针、风车叶片分别绕中间点旋转．(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？解：形状、大小不变，位置发生变化．(3)从3时到5时，时针转动了__60__°.(4)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了__60__°。
人教版九年级数学上册《图形的旋转》旋转PPT课件
又由∠CAC′＝90°可知△CAC′为等腰直角三角形，所
以∠ CC′ A＝ 45°.又由∠ AC′ B′ ＝∠ACB＝90°－60°
＝30°，可得∠ CC′ B′ ＝15°.
新课讲解
知识点3 用旋转的知识画图
• 简单旋转作图的一般步骤： • (1)找出图形的关键点； • (2)确定旋转中心，旋转方向和旋转角； • (3)将关键点与旋转中心连接起来，然 后按旋转方向 • 分别将它们旋转一个角，得到关键点的对应点； • (4)按照原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图 • 形就是旋转后的图形．
新课讲解
练一练
如图，A，B，C三点共线，△ACD和△BCE都是等边三角形，
△ACE旋转后到达△DCB的位置. (1) 旋转中心是哪一点? (2) 旋转角是多少度?
(1) 点C是在△ACE旋转过程中不动的点，所以点C是旋转中心. (2) △ACE旋转后到达△DCB的位置，AC绕点C转过的角即∠ACD就 是旋转角.因为△ACD是等边三角形，所以∠ACD =60°，即旋转角是
新课讲解
例 2 如图（1），E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中 心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
图（1） 分析：关键是确定△ADE三个顶点的对应点，
即它们旋转后的位置.
新课讲解
解：因为点A是旋转中心，
所以它知的识对点应点是它本身. 正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90°，
所以旋转后点D与点B重合.
设点E的对应点为点E′.因为旋转后的图形
图（2）
与旋转前的图形全等，所以∠ABE′=∠ADE
=90°，BE′=DE.
因此，在CB的延长线上取点E′，使BE′=DE，则
第23章：旋转课堂(教案)2023-2024学年人教版九年级数学上册
（2）设计实际操作活动，让学生动手测量旋转角度，加强对测量方法的掌握。
（3）通过观察和讨论，引导学生识别旋转对称图形，总结旋转对称性的特点。
（4）通过具体实例，指导学生寻找旋转对称轴，掌握寻找方法。
（3）旋转对称图形的识别：学生可能难以判断一个图形是否具有旋转对称性，尤其是复杂的图形。例如，一个五角星具有旋转对称性，但学生可能不清楚旋转角度是多少。
（4）旋转对称轴的确定：在确定旋转对称轴时，学生可能不知道如何寻找或验证。例如，一个矩形有两条旋转对称轴，学生需要学会如何找出这两条轴。
（5）旋转知识在解决实际问题中的应用：将旋转知识应用于实际问题，学生可能不知道如何入手。例如，在建筑设计中，如何运用旋转对称性来设计美观且实用的结构。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“旋转变换在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-掌握旋转角度的计算方法
3.知识点三：旋转对称图形与旋转对称轴
-认识旋转对称图形
-理解旋转对称轴的概念
-学会判断旋转对称图形及其旋转对称轴
4.知识点四：旋转的应用
-了解旋转在现实生活中的应用
-学会运用旋转变换解决实际问题
5.课堂练习：旋转相关习题练习，巩固所学知识。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念：通过旋转变换的学习，使学生能够观察、想象、分析几何图形在空间中的位置关系和运动变化，提高空间想象力。
人教版初中数学九年级上册第23章旋转知识点总结
【人教版】初中数学九年级知识点总结：23旋转【编者按】学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一步发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。
一、目标与要求1.了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质。
2.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题。
3.理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
4.理解旋转前、后的图形全等，掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用。
5.了解中心对称的概念并理解它的基本性质。
6.运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案，并运用它解决一些实际问题。
7.了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法。
二、知识框架三、重点1.图形旋转的基本性质2.中心对称的基本性质3.两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系4.图形的旋转的基本性质及其应用5.用旋转的有关知识画图6.利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题四、难点1.图形旋转的基本性质的归纳与运用2.中心对称的基本性质的归纳与运用3.运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质4.根据需要设计美丽图案5.从一般旋转中导入中心对称五、知识点、概念总结1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
如下图所示：2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。
人教版数学九年级上册 旋转的概念与性质
E
又∵DF = DF，DE = DM，
∴△DEF≌△DMF. ∴EF = MF. B F C M
(2) 当 AE = 1 时，求 EF 的长． 解：设 EF = MF = x，
A
D
∵ AE = CM = 1，AB = BC = 3， E
∴ EB = AB - AE = 3－1 = 2，
BM = BC + CM = 3 + 1 = 4. ∴ BF = BM－MF = 4－x.
B A
C. (-2，4)
3
D. (-3，3)
2
P
1
x
–4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
归纳总结
方法点拨：利用旋转的性质解决问题时应抓住 以下几点： (1)明确旋转中的“变”与“不变”； (2)找准旋转前后的“对应关系”； (3)充分挖掘旋转过程中的相等关系.
想一想
如图，将△ABC 逆时针旋转得到△DEF，如何
温馨提示：旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中
心，旋转角，旋转方向”称为旋转的三要素.
知识点2： 旋转的性质
我们已经知道了旋转的概念，下面我们要研 究什么？我们又该如何研究呢？
问题：说一说，平移和轴对称的性质. 它们是如何得出的呢？
先整体 → 变化前后的形状，大小之间的关系 再局部 → 对应点间的数量关系和位置关系
以后的图形是否改变，且与原图形的位置关系.
A(A′ )
C
O
B′ C′
M
M D′
N′
B (1) M 旋转；
M′ N (3) 点 O 旋转.
旋转以后图形没有改变，都与原图形垂直.
探究3：三角形的旋转
在硬纸板上先挖一个三角形洞，再 在三角形洞外挖一个小洞 O (作为旋转 中心)，把挖好洞的硬纸板放在白纸上， 在白纸上描出挖掉的三角形图案 (△ABC )，围绕旋转中心转动硬纸板， O 再描出挖掉的三角形图案(△A′B′C′ )， 移开硬纸板.
九年级数学知识点总结人教版
九年级数学知识点总结人教版学习从来无捷径，循序渐进登高峰。
如果说学习一定有捷径，那只能是勤奋，因为努力永远不会骗人。
学习需要勤奋，做任何事情都需要勤奋。
下面是小编给大家整理的一些九年级数学的知识点，希望对大家有所帮助。
1、概念：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角2、旋转的性质：(1)旋转前后的两个图形是全等形;(2)两个对应点到旋转中心的距离相等(3)两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180° ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.4、中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.(2)关于中心对称的两个图形是全等图形.5、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.6、坐标系中的中心对称两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P(x，y)关于原点 O 的对称点P′(-x，-y).(一)平行四边形的定义、性质及判定.1.两组对边平行的四边形是平行四边形.2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行;(2)平行四边形的对角相等，邻角互补;(3)平行四边形的对角线互相平分.3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.4 ·对称性：平行四边形是中心对称图形.(二)矩形的定义、性质及判定.1-定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2 ·性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3.判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形：(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形.4 ·对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形.(三)菱形的定义、性质及判定.1 ·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.(1)菱形的四条边都相等;。
人教版九年级数学上册第二十三章《图形的旋转》知识点总结与训练
第 23 章《旋转》复习教案【学习目标】：1、掌握旋转的特色，理解旋转的基天性质。
2、理解中心对称、中心对称图形的定义，认识它们的联系。
3、掌握对于原点对称的点的坐标特色。
【学习过程】一、知识回首1、旋转的定义：把一个平面图形绕平面内沿着转动就叫做图形的旋转.旋转的三因素：旋转；旋转；旋转2、旋转的基天性质：（ 1）对应点到的距离相等。
（2）每一组对应点与旋转中心所连线段的夹角相等都等于。
（3）旋转前后的两个图形是。
3、中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180 ，假如它能够与重合，那么就说对于这个点对称或中心对称。
这个点叫做对称中心。
4、中心对称的性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，并且被对称中心。
（2）中心对称的两个图形是图形。
5、中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，假如旋转后的图形能够与完好重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
6、中心对称、中心对称图形是两个不一样的观点，它们既有差别又有联系。
差别：中心对称是针对图形而言的，而中心对称图形指是图形。
联系：把中心对称的两个图形当作一个“整体” ，则成为。
把中心对称图形的两个部分当作“两个图形”，则它们。
3、点（ x，y）对于 x 轴对称点是（,）点（,）对于y轴对称点是（-x ，y）点（ x，y）对于原点对称点是（，）二、典型题型题型一：判断是不是中心对称图形例 1 (1) （2012天津）以下汽车标记中，能够看作是中心对称图形的是（）(2)（2012深圳）以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B C D(3) （ 2012北海）以下图形即是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）①平行四边形；②正方形；③等腰梯形；④菱形；⑤正六边形A．1 个B．2 个C．3 个D． 4 个根源:2【对应训练】1、 (2012 桂林 ) 下边四个标记图是中心对称图形的是【】A B C D2、（ 2012 铜仁）以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个3、（ 2012 毕节）以下图形是中心对称图形的是（）中国教育出@版网4、（ 2012 河南）以下是一种电子记分牌体现的数字图形，此中既是轴对称图形又是中心对称图形的是5、（ 2012 益阳）以下图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C． D ．6、（ 2012 长沙）以下平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C．D．7、（ 2012，襄阳）以下图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）8、（ 2012，扬州）以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．平行四边形B．等边三角形C．等腰梯形D．正方形9、（2012南昌）在以下四个黑体字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10、（ 2012东营）以下图形中，是中心对称图形的是()11、（ 2013?济南）民族图案是数学文化中的一块珍宝．以下图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A ．B．C．D．12、（ 2013?呼和浩特）察看以下图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4 个题型二：确立旋转角、旋转中心和旋转方向例 2、如图，该图形环绕自己的旋转中心，按以下角度旋转后，不可以．．与其自己重合的是（）Ａ． 72Ｂ．108Ｃ．144Ｄ．216例 3、 (2010 徐州 ) 如图，在 6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后获得格点三角形乙，则其旋转中心是 ( )A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q例 2 图例3图训练题1【对应训练】1、（ 2013?晋江）如图 3，E、F 分别是正方形ABCD的边 AB、BC上的点， BE=CF,连结 CE、DF．将△ BCE绕着正方形的中心 O按逆时针方向旋转到△ CDF的地点，则旋转角是 ( ). A．45B．60C．90 D ．1202、（ 2013?莆田）如图，将Rt△ABC （此中∠ B=35 °，∠ C=90 °）绕点 A按顺时针方向旋转到△ AB 1C1的地点，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A ． 55o B． 70o C．125o D． 145oC ADO B训练题 2训练题 3训练题 4训练题 53、（ 2012? 聊城）如图，在方格纸中，△ABC经过变换获得△DEF，正确的变换是（）A．把△ ABC绕点 C逆时针方向旋转90°，再向下平移 2 格B．把△ ABC绕点 C顺时针方向旋转90°，再向下平移 5 格C．把△ ABC向下平移4 格，再绕点 C 逆时针方向旋转180°D．把△ ABC向下平移 5 格，再绕点 C 顺时针方向旋转180°4、（ 2011 舟山）如图，点A、 B、 C、D、O 都在方格纸的格点上，若△COD 是由△ AOB绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）（ A） 30°（ B）45°（ C） 90°（ D）135°5、（ 2011 扬州）如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90o，∠ A=30o， BC=2，将△ ABC绕点 C按顺时针方向旋转 n 度后，获得△ EDC，此时，点 D 在 AB 边上，斜边 DE 交 AC 边于点 F，则n 的大小和图中暗影部分的面积分别为（）A. 30，2B.60， 23D. 60，3 C. 60，26、(2011湖州， )如图，已知△ OAB是正三角形， OC⊥ OB，OC=OB，将△ OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转，使得OA 与 OC重合，获得△ OCD，则旋转的角度是（）A． 150 °B． 120 °C．90°D． 60°B/BC/训练题 6训练题 7训练题 8AC训练题 97、（2012 ，江西）如图正方形 ABCD与正三角形 AEF的极点 A 重合 ,将△AEF绕其极点 A 旋转 ,在旋转过程中 ,当 BE=DF时,∠ BAE的大小能够是.8、（ 2013 衡阳）如图，在直角△ OAB 中，∠ AOB=30 °，将△ OAB 绕点 O 逆时针旋转 100°获得△ OA 1B1，则∠ A 1OB=°．9、（ 2013?吉林省）如图，把 Rt⊿ ABC绕点 A 逆时针旋转 40°，获得 Rt⊿ AB′ C′，点 C′恰巧落在边 AB 上，连结 BB′，则∠ BB′ C′=度 .10、(2011 南京 )如图，E、F 分别是正方形ABCD的边 BC、CD 上的点，BE=CF，连结 AE、 BF，将△ ABE 绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF，旋转角为 a（0°＜ a＜ 180°），则∠ a=______．训练题 10题型三：画旋转图形、中心对称图形例 4、将大写字母 A 绕它上侧的极点按逆时针方向旋转90°，作出旋转后的图案。
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知识点总结：旋转
【编者按】学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一步发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。
一、目标与要求
1.了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质。
2.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题。
3.理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
4.理解旋转前、后的图形全等，掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用。
5.了解中心对称的概念并理解它的基本性质。
6.运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案，并运用它解决一些实际问题。
7.了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法。
二、知识框架
三、重点
1.图形旋转的基本性质
2.中心对称的基本性质
3.两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系
4.图形的旋转的基本性质及其应用
5.用旋转的有关知识画图
6.利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题
四、难点
1.图形旋转的基本性质的归纳与运用
2.中心对称的基本性质的归纳与运用
3.运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质
4.根据需要设计美丽图案
5.从一般旋转中导入中心对称
五、知识点、概念总结
1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
如下图所示：
2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。
3.旋转的性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
4.中心对称图形与中心对称：
中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
5．中心对称和中心对称图形的区别
区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。
6.中心对称图形的判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
7.中心对称的性质：
关于中心对称的两个图形是全等形。
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
8.坐标系中对称点的特征
（1）关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
（2）关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
（3）关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
9.图案设计：利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如意的图案．
（参考教材：初中数学九年级人教版）。